人教版2024-2025學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊21.3根與系數(shù)的關(guān)系(壓軸題專項講練)(學(xué)生版+解析)

專題21.3根與系數(shù)的關(guān)系思想方法思想方法分類討論思想：當問題所給的對象不能進行統(tǒng)一研究時，我們就需要對研究對象進行分類，然后對每一類分別進行研究，得出每一類的結(jié)論，最后綜合各類的結(jié)果，得到整個問題的解答。分類討論的分類并非是隨心所欲的，而是要遵循以下基本原則：1.不重（互斥性）不漏（完備性）；2.按同一標準劃分（同一性）；3.逐級分類（逐級性）。知識點總結(jié)知識點總結(jié)一、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個實數(shù)根是，那么，.注意：它的使用條件為a≠0，Δ≥0.也就是說，對于任何一個有實數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項除以二次項系數(shù)所得的商.典例分析典例分析【典例1】已知：關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x+1?2k=0有兩個實數(shù)根x（1）若x1+x（2）當k取哪些整數(shù)時，x1，x（3）當k取哪些有理數(shù)時，x1，x【思路點撥】（1）分兩種情況：①若兩根同號，②若兩根異號；根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合根的判別式解答即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得若x1+x（3）顯然，當k=?1時，符合題意；由兩根之積可得k應(yīng)該是整數(shù)的倒數(shù)，不妨設(shè)k=1m，則方程可變形為x2【解題過程】解：（1）∵Δ=∴不論k為何值，關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x+1?2k=0都有兩個實數(shù)根x∵關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x+1?2k=0有兩個實數(shù)根x∴x1分兩種情況：①若兩根同號，由x1+x2=2當x1+x2=2當x1+x2=?2②若兩根異號，由x1+x即x1∴?2解得：k=1，綜上，k的值為1或±2（2）∵關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x+1?2k=0有兩個實數(shù)根x∴x1若x1，x則x1∴整數(shù)k=±1,±2，當k=±2時，x1當k=1時，此時方程為x2當k=?1時，此時方程為?x2+2x+3=0綜上，當k取?1時，x1，x（3）顯然，當k=?1時，符合題意；當k為有理數(shù)時，由于x1∴k應(yīng)該是整數(shù)的倒數(shù)，不妨設(shè)k=1m(m≠0)，則方程kx2+2x+1?2k=0配方得：x+m2即x=?m±m(xù)當m=2即k=12時，方程的兩根為當m≠2時，m2?m+2=(m?綜上，k=?1或12學(xué)霸必刷學(xué)霸必刷1．（22-23九年級上·湖北襄陽·自主招生）設(shè)方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個根x1和x2，且1<x1<2<A．12<x3<1 B．?4<x2．（22-23九年級下·安徽安慶·階段練習(xí)）若方程x2+2px?3p?2=0的兩個不相等的實數(shù)根x1、x2滿足A．0 B．?34 C．?1 3．（22-23八年級下·安徽合肥·期末）若關(guān)于x的一元二次方程x2?2x+a2+b2①m·n＞0；②m>0，n>0；③a2≥a；④關(guān)于x的一元二次方程x+12+aA．1 B．2 C．3 D．44．（22-23九年級上·浙江·自主招生）設(shè)a、b、c、d是4個兩兩不同的實數(shù)，若a、b是方程x2?8cx?9d=0的解，c、d是方程x2?8ax?9b=0的解，則5．（23-24九年級上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知實數(shù)a,b,c滿足：a+b+c=2,abc=4．求a+b6．（22-23九年級上·四川成都·期末）將兩個關(guān)于x的一元二次方程整理成ax+?2+k＝0（a≠0，a、h、k均為常數(shù)）的形式，如果只有系數(shù)a不同，其余完全相同，我們就稱這樣的兩個方程為“同源二次方程”．已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）與方程x+12?2=0是“同源二次方程”，且方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個根為x7．（23-24九年級上·山東濟南·期末）已知xy+x+y=44，x2y+xy8．（2024九年級·全國·競賽）記一元二次方程x2+3x?5=0的兩根分別為（1）求1x（2）求3x9．（23-24九年級下·北京·開學(xué)考試）已知關(guān)于x的方程x2（1）求n的取值范圍；（2）若n為符合條件的最小整數(shù)，且該方程的較大根是較小根的3倍，求m的值．10．（23-24九年級上·安徽淮南·階段練習(xí)）若關(guān)于x的一元二次方程x2（1）若α和β分別是該方程的兩個根，且αβ=?2，求m的值；（2）當m=1，2，3，???，2024時，相應(yīng)的一元二次方程的兩個根分別記為α1、β1，α2、β2，???，α202411．（22-23九年級上·湖北武漢·期中）已知α、β是關(guān)于x的一元二次方程x2（1）直接寫出m的取值范圍（2）若滿足1α+1（3）若α>2，求證：β>2；12．（22-23九年級·浙江·自主招生）已知方程x2+4x+1=0的兩根是α、（1）求|α?β|的值；（2）求αβ（3）求作一個新的一元二次方程，使其兩根分別等于α、β的倒數(shù)的立方．（參考公式：x313．（22-23九年級上·福建泉州·期末）已知關(guān)于x的方程mx（1）若方程的兩根之和為整數(shù)，求m的值；（2）若方程的根為有理根，求整數(shù)m的值．14．（22-23九年級下·浙江·自主招生）設(shè)m為整數(shù)，關(guān)于x的方程m2（1）求m的值．（2）設(shè)△ABC的三邊長a,b,c滿足c=42,m15．（22-23九年級上·湖南常德·期中）閱讀材料：材料1：若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根為x1，x2材料2：已知一元二次方程x2?x?1=0的兩個實數(shù)根分別為m，n，求解：∵一元二次方程x2?x?1=0的兩個實數(shù)根分別為m，∴m+n=1，mn=?1，則m2根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識，完成下列問題：（1）材料理解：一元二次方程x2?3x?1=0的兩個根為x1，x2，則（2）類比應(yīng)用：已知一元二次方程x2?3x?1=0的兩根分別為m、n，求（3）思維拓展：已知實數(shù)s、t滿足s2?3s?1=0，t2?3t?1=0，且16．（23-24八年級上·北京海淀·期中）小聰學(xué)習(xí)多項式研究了多項式值為0的問題，發(fā)現(xiàn)當mx+n=0或px+q=0時，多項式A=mx+npx+q=mpx2（1）已知多項式3x+1x?2（2）已知多項式B=x?1bx+c=a（3）小聰繼續(xù)研究x?3x?1，xx?4及x?52x?32等，發(fā)現(xiàn)在x軸上表示這些多項式零點的兩個點關(guān)于直線x=217．（22-23九年級上·湖北黃石·期末）（1）x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2（2）已知：α，βα>β是一元二次方程x2?x?1=0的兩個實數(shù)根，設(shè)s1=α+β，s2=α2+β根據(jù)以上信息，解答下列問題：①直接寫出s1，s②經(jīng)計算可得：s3=4，s4=7，s5=11，當n≥3時，請猜想18．（23-24九年級上·福建寧德·期中）已知關(guān)于x的方程x2?m+2x+4m=0有兩個實數(shù)根（1）若m=?1，求x1（2）一次函數(shù)y=3x+1的圖像上有兩點Ax1,y1（3）邊長為整數(shù)的直角三角形，其中兩直角邊的長度恰好為x1和x19．（22-23九年級上·全國·單元測試）如果方程x2+px+q=0有兩個實數(shù)根x1，x2，那么（1）已知a，b是方程x2+15x+5=0（2）已知a、b、c滿足a+b+c=0，abc=16，求正數(shù)c的最小值．（3）結(jié)合二元一次方程組的相關(guān)知識，解決問題：已知x=x1y=y1和x=x2y=y2是關(guān)于x，20．（22-23九年級上·四川資陽·期末）定義：已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的兩個實數(shù)根，若x1<x2<0請閱讀以上材料，回答下列問題：（1）判斷一元二次方程x2（2）若關(guān)于x的一元二次方程2x2+k+7x+k2（3）若關(guān)于x的一元二次方程x2+1?m專題21.3根與系數(shù)的關(guān)系思想方法思想方法分類討論思想：當問題所給的對象不能進行統(tǒng)一研究時，我們就需要對研究對象進行分類，然后對每一類分別進行研究，得出每一類的結(jié)論，最后綜合各類的結(jié)果，得到整個問題的解答。分類討論的分類并非是隨心所欲的，而是要遵循以下基本原則：1.不重（互斥性）不漏（完備性）；2.按同一標準劃分（同一性）；3.逐級分類（逐級性）。知識點總結(jié)知識點總結(jié)一、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個實數(shù)根是，那么，.注意：它的使用條件為a≠0，Δ≥0.也就是說，對于任何一個有實數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項除以二次項系數(shù)所得的商.典例分析典例分析【典例1】已知：關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x+1?2k=0有兩個實數(shù)根x（1）若x1+x（2）當k取哪些整數(shù)時，x1，x（3）當k取哪些有理數(shù)時，x1，x【思路點撥】（1）分兩種情況：①若兩根同號，②若兩根異號；根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合根的判別式解答即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得若x1+x（3）顯然，當k=?1時，符合題意；由兩根之積可得k應(yīng)該是整數(shù)的倒數(shù)，不妨設(shè)k=1m，則方程可變形為x2【解題過程】解：（1）∵Δ=∴不論k為何值，關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x+1?2k=0都有兩個實數(shù)根x∵關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x+1?2k=0有兩個實數(shù)根x∴x1分兩種情況：①若兩根同號，由x1+x2=2當x1+x2=2當x1+x2=?2②若兩根異號，由x1+x即x1∴?2解得：k=1，綜上，k的值為1或±2（2）∵關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x+1?2k=0有兩個實數(shù)根x∴x1若x1，x則x1∴整數(shù)k=±1,±2，當k=±2時，x1當k=1時，此時方程為x2當k=?1時，此時方程為?x2+2x+3=0綜上，當k取?1時，x1，x（3）顯然，當k=?1時，符合題意；當k為有理數(shù)時，由于x1∴k應(yīng)該是整數(shù)的倒數(shù)，不妨設(shè)k=1m(m≠0)，則方程kx2+2x+1?2k=0配方得：x+m2即x=?m±m(xù)當m=2即k=12時，方程的兩根為當m≠2時，m2?m+2=(m?綜上，k=?1或12學(xué)霸必刷學(xué)霸必刷1．（22-23九年級上·湖北襄陽·自主招生）設(shè)方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個根x1和x2，且1<x1<2<A．12<x3<1 B．?4<x【思路點撥】由根與系數(shù)的關(guān)系得出x1+x2=?ba，x1?x2=ca，再設(shè)方程cx2?bx+a=0的為m，n【解題過程】解：∵方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個根x∴x1+設(shè)方程cx2?bx+a=0的兩根為m則m+n=bc，∵m+n=bc=?∴m+n=?(x∴方程cx2?bx+a=0的兩根為?∵1<x1<2∴12<1∴?1<?1x1∵?1∴方程cx2?bx+a=0的較小根x故選：D．2．（22-23九年級下·安徽安慶·階段練習(xí)）若方程x2+2px?3p?2=0的兩個不相等的實數(shù)根x1、x2滿足A．0 B．?34 C．?1 【思路點撥】先根據(jù)一元二次方程解的定義和根與系數(shù)的關(guān)系得到x12+2px1?3p?2=0，x1+x2=?2p，進而推出x13【解題過程】解：∵x1、x∴x12+2p∴x1∴x1∴x1∴x1同理得x2∵x1∴x1∴3px∴3p+2x∴3p+2?2p∴?6p∴?6p∴?2p∴?2p4∴2p4∴2p4p+3解得p1∵Δ=∴p2∴p+1p+3∴p=?1不符合題意，∴p∴符合題意，故選B．3．（22-23八年級下·安徽合肥·期末）若關(guān)于x的一元二次方程x2?2x+a2+b2①m·n＞0；②m>0，n>0；③a2≥a；④關(guān)于x的一元二次方程x+12+aA．1 B．2 C．3 D．4【思路點撥】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x1x2=mn=a2+b2+ab，利用a+b=1消去b得到mn=a2?a+1=a?122+34>0，從而即可對①進行判斷；由于x【解題過程】解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x1∵a+b=1，∴b=1?a，∴mn=a∵x1+x∴m>0，n>0，所以②正確；∵Δ≥0∴4?4a即4?4a∴a≥a∵a2∴方程x2?2x+a即x?12∵方程x+12+a∴x+2=m或x+2=n，解得x1=m?2，故選：C．4．（22-23九年級上·浙江·自主招生）設(shè)a、b、c、d是4個兩兩不同的實數(shù)，若a、b是方程x2?8cx?9d=0的解，c、d是方程x2?8ax?9b=0的解，則【思路點撥】由根與系數(shù)的關(guān)系得a+b，c+d的值，兩式相加得的值，根據(jù)一元二次方程根的定義可得a2?8ac?9d=0，代入可得a2?72a+9c?8ac=0，同理可得c2【解題過程】解：由根與系數(shù)的關(guān)系得a+b=8c，c+d=8a，兩式相加得a+b+c+d=8a+c．因為a是方程x2?8cx?9d=0的根，所以a2所以a2?72a+9c?8ac=0同理可得c2?72c+9a?8ac=0①-②得a?ca+c?81因為a≠c，所以a+c=81，所以a+b+c+d=8a+c故答案為648．5．（23-24九年級上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知實數(shù)a,b,c滿足：a+b+c=2,abc=4．求a+b【思路點撥】用分類討論的思想，解決問題即可．【解題過程】解：不妨設(shè)a是a，b，c中的最大者，即a≥b，a≥c，由題設(shè)知a>0，且b+c=2?a，bc=4于是b，c是一元二次方程x2∴Δ=2?a2所以a≥4．又當a=4，b=c=?1時，滿足題意．故a，b，c中最大者的最小值為4．因為abc=4>0，所以a，b，c為全大于0或一正二負．①若a，b，c均大于0，a，b，c中的最大者不小于4，這與a+b+c=2矛盾．②若a，b，c為或一正二負，不妨設(shè)a>0，b<0，c<0，則a+∵a≥4，故2a?2≥6，當a=4，b=c=?1時，滿足題設(shè)條件且使得不等式等號成立．故a+故答案為：6．6．（22-23九年級上·四川成都·期末）將兩個關(guān)于x的一元二次方程整理成ax+?2+k＝0（a≠0，a、h、k均為常數(shù)）的形式，如果只有系數(shù)a不同，其余完全相同，我們就稱這樣的兩個方程為“同源二次方程”．已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）與方程x+12?2=0是“同源二次方程”，且方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個根為x【思路點撥】利用ax2+bx+c=0（a≠0）與方程x+12?2=0是“同源二次方程”得出b=2a，c=a?2，即可求出b?2c；利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=?2，x1x2=a?2a，進而得出【解題過程】解：根據(jù)新的定義可知，方程ax2+bx+c=0（a≠0∴ax+1展開，ax可得b=2a，c=a?2，∴b?2c=2a?2a?2∵x1+x∴ax∵方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個根為x∴Δ=b2∴a>0，設(shè)a+1a=t（t>0∵方程a2∴Δ=解得t≥2，即a+1∴ax故答案為：4，-3．7．（23-24九年級上·山東濟南·期末）已知xy+x+y=44，x2y+xy【思路點撥】本題主要考查了代數(shù)式求值、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、因式分解的應(yīng)用等知識點，綜合應(yīng)用所學(xué)知識成為解題的關(guān)鍵．設(shè)xy=m，x+y=n，等量代換后可得44=m+n、484=mn，則m、n為t2?44t+484=0的根，可解得m=n=22，然后再對x3【解題過程】解：設(shè)xy=m，x+y=n，∴44=xy+x+y=m+n，484=x∴m、n為t2∴m=n=22，∴x3==n==9196．8．（2024九年級·全國·競賽）記一元二次方程x2+3x?5=0的兩根分別為（1）求1x（2）求3x【思路點撥】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、一元二次方程的解．在利用根與系數(shù)的關(guān)系x1?x2=ca，x（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系求得求1x（2）由一元二次方程的解可得x1【解題過程】（1）∵x∴====5；（2）∵x1是一元二次方程x∴∴x又∵x∴3x9．（23-24九年級下·北京·開學(xué)考試）已知關(guān)于x的方程x2（1）求n的取值范圍；（2）若n為符合條件的最小整數(shù)，且該方程的較大根是較小根的3倍，求m的值．【思路點撥】本題考查一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系，對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，當判別式Δ>0時方程有兩個不相等的實數(shù)根，Δ=0時方程有兩個相等的實數(shù)根，Δ<0時方程沒有實數(shù)根，若方程的兩個實數(shù)根為x1（1）根據(jù)方程x2?2mx+m（2）根據(jù)（1）中結(jié)果得出n值，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系列方程求出m的值即可．【解題過程】（1）解：∵關(guān)于x的方程x2∴Δ=解得：n>0．（2）設(shè)方程的兩個實數(shù)根為x1、x2，且∴x1+x由（1）可知：n>0，∵n為符合條件的最小整數(shù)，∴n=1，∵該方程的較大根是較小根的3倍，∴x1∴4x2=2m∴3×m解得：m1=?2，當m=2時，x2=1，則當m=?2時，x2=?1，則x1∴m=2．10．（23-24九年級上·安徽淮南·階段練習(xí)）若關(guān)于x的一元二次方程x2（1）若α和β分別是該方程的兩個根，且αβ=?2，求m的值；（2）當m=1，2，3，???，2024時，相應(yīng)的一元二次方程的兩個根分別記為α1、β1，α2、β2，???，α2024【思路點撥】（1）根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系進行求解即可；（2）根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系x1+x2=?【解題過程】（1）解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2+2x?m2?m=0∴αβ=?∵αβ=?2，∴?2=?∴m=1或m=?2；（2）解：設(shè)方程x2+2x?則x1∴1∴1α1+1…．．1∴1=2×=2×=11．（22-23九年級上·湖北武漢·期中）已知α、β是關(guān)于x的一元二次方程x2（1）直接寫出m的取值范圍（2）若滿足1α+1（3）若α>2，求證：β>2；【思路點撥】（1）根據(jù)一元二次方程x2+2m+3（2）結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得α+β=?2m+3和αβ=m2，因為1α+1β=?1，所以（3）因為α?2β?2=αβ?2α+β+4，結(jié)合α+β=?2m+3和αβ=m2，得m【解題過程】（1）解：∵一元二次方程x2∴Δ=即m>?3（2）解：∵1α+1β∴2m+3整理得m2解得：m1=3∵由（1）知m>?3∴m=3檢驗：當m=3時，m2≠0，即（3）證明：因為α?2β?2把α+β=?2m+3和αβ=得m2∵m+22∴m+2∴α?2∵α>2，∴α?2>0，∴β?2>0，即β>2．12．（22-23九年級·浙江·自主招生）已知方程x2+4x+1=0的兩根是α、（1）求|α?β|的值；（2）求αβ（3）求作一個新的一元二次方程，使其兩根分別等于α、β的倒數(shù)的立方．（參考公式：x3【思路點撥】（1）利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得α+β=?4,αβ=1，再求得α?β2的值，進而求得|α?β|（2）先根據(jù)二次根式的性質(zhì)將αβ+βα化為αβ（3）由題意可得新一元二次方程的兩個根為1α3和1β3，然后求得【解題過程】（1）解：∵方程x2+4x+1=0的兩根是α∴α+β=?4,αβ=1∴α?β∴|α?β|=23（2）解：由（1）可知：α<0，β<0，∵====16，∴αβ（3）解：由題意可得新一元二次方程的兩個根為1α3則1=(====?521所以新的一元二次方程x213．（22-23九年級上·福建泉州·期末）已知關(guān)于x的方程mx（1）若方程的兩根之和為整數(shù)，求m的值；（2）若方程的根為有理根，求整數(shù)m的值．【思路點撥】（1）根據(jù)關(guān)于x的方程mx2?m?1x+2=0有兩個根，且為實數(shù)根，先利用一元二次方程的根的判別式確定m的取值范圍，再根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，可知x（2）分兩種情況討論：當m=0時，此時關(guān)于x的方程為x+2=0，求解可得x=?2，符合題意；當m≠0時，對于關(guān)于x的方程mx2?m?1x+2=0可有x=【解題過程】（1）解：∵關(guān)于x的方程mx∴m≠0，且Δ=根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，可知x1若方程的兩根之和為整數(shù)，即m?1m∵m?1m∴1m∴m=±1，當m=1時，Δ=1?10+1=?8<0當m=?1時，Δ=1+10+1=12>0，m?1∴m的值為?1；（2）當m=0時，此時關(guān)于x的方程為x+2=0，解得x=?2；當m≠0時，對于關(guān)于x的方程mx2?若方程的根為有理根，且m為整數(shù)，則Δ=設(shè)m2?10m+1=k則：m=10±∵m為整數(shù)，設(shè)24+k2=∴k+nn?k∴k+n=12n?k=2或k+n=6n?k=4或k+n=8n?k=3解得：k=5n=7或k=1n=5或k=5∴m2?10m+1=1當m2?10m+1=1時，解得m=10或當m2?10m+1=25時，解得m=?2或綜上所述，若方程的根為有理根，則整數(shù)m的值為0或10或?2或12．14．（22-23九年級下·浙江·自主招生）設(shè)m為整數(shù)，關(guān)于x的方程m2（1）求m的值．（2）設(shè)△ABC的三邊長a,b,c滿足c=42,m【思路點撥】（1）設(shè)原方程的兩個解分別為x1,x（2）由（1）得出的m的值，然后代入將m2+a2m?12a=0，m2+b2【解題過程】（1）解：∵m2∴m≠?2或m=1，∵方程有兩個實數(shù)根，∴Δ=設(shè)原方程的兩個解分別為x∴x1∴mm2+m?2=1，解得：m2+m?2=2，解得：m2+m?2=3，解得：m2+m?2=4，解得：m=?3m2+m?2=6，解得：m2+m?2=12，解得：當m=?3時，7m+2m當m=2時，7m+2m綜上所述，m=2；（2）把m=2代入兩等式，化簡得a2?6a+2=0，當a=b時，a=b=3±7當a≠b時，a、b是方程x2?6x+2=0的兩根，而根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得，a+b=6>0，ab=2>0，則a>0、b>0，①a≠b，c=42時，由于a故△ABC為直角三角形，且∠C=90°，SΔ②a=b=3?7，c=42時，因故不能構(gòu)成三角形，不合題意，舍去；；③a=b=3+7，c=42時，因SΔ綜上，△ABC的面積為1或44+315．（22-23九年級上·湖南常德·期中）閱讀材料：材料1：若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根為x1，x2材料2：已知一元二次方程x2?x?1=0的兩個實數(shù)根分別為m，n，求解：∵一元二次方程x2?x?1=0的兩個實數(shù)根分別為m，∴m+n=1，mn=?1，則m2根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識，完成下列問題：（1）材料理解：一元二次方程x2?3x?1=0的兩個根為x1，x2，則（2）類比應(yīng)用：已知一元二次方程x2?3x?1=0的兩根分別為m、n，求（3）思維拓展：已知實數(shù)s、t滿足s2?3s?1=0，t2?3t?1=0，且【思路點撥】（1）直接利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解即可；（2）利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可求出m+n=?ba=3，mn=（3）由題意可將s、t可以看作方程x2?3x?1=0的兩個根，即得出s+t=?ba=3，s?t=ca【解題過程】（1）解：∵一元二次方程x2?3x?1=0的兩個根為x1∴x1+x故答案為：3，?1；（2）∵一元二次方程x2?3x?1=0的兩根分別為m、∴m+n=?ba=3∴n===?11；（3）∵實數(shù)s、t滿足s2?3s?1=0，∴s、t可以看作方程x2∴s+t=?ba=3∵t?s==13∴t?s=13或t?s=?當t?s=131s當t?s=?131s綜上分析可知，1s?1t的值為16．（23-24八年級上·北京海淀·期中）小聰學(xué)習(xí)多項式研究了多項式值為0的問題，發(fā)現(xiàn)當mx+n=0或px+q=0時，多項式A=mx+npx+q=mpx2（1）已知多項式3x+1x?2（2）已知多項式B=x?1bx+c=a（3）小聰繼續(xù)研究x?3x?1，xx?4及x?52x?32等，發(fā)現(xiàn)在x軸上表示這些多項式零點的兩個點關(guān)于直線x=2【思路點撥】（1）根據(jù)多項式的零點的定義即可求解；（2）根據(jù)多項式的零點的定義將x=1代入ax2?（3）令cx?5c=0，求得M的一個零點為5，根據(jù)“2系多項式”的定義求得方程bx2?4cx?2a?4=0的兩個根為x【解題過程】（1）解：令3x+1x?2∴3x+1=0或x?2=0，∴x=?13或則此多項式的零點為?1故答案為：?1（2）解：∵多項式B=x?1∴將x=1代入ax2?解得a=2，∴B=2x令2x+1=0，解得x=?1∴多項式B的另一個零點為?1（3）解：∵M=2ax+b令cx?5c=0，解得x=5，即M的一個零點為5，∴設(shè)M的另一個零點為y，則y+52=2，解得即2ax+b=0時，x=?1，則?2a+b=0①，令M=bx根據(jù)題意，方程bx2?4cx?2a?4=0的兩個根為x∴x1+x∴c=b②，5b?2a?4=0③，解①②③得c=b=1，a=1∴a=12，17．（22-23九年級上·湖北黃石·期末）（1）x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2（2）已知：α，βα>β是一元二次方程x2?x?1=0的兩個實數(shù)根，設(shè)s1=α+β，s2=α2+β根據(jù)以上信息，解答下列問題：①直接寫出s1，s②經(jīng)計算可得：s3=4，s4=7，s5=11，當n≥3時，請猜想【思路點撥】（1）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1+x2=2k+1，（2）①根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得出α+β=?ba=1，αβ=ca=?1，進而可求出s1=α+β=1，s2=α2+β2【解題過程】解：（1）∵x1，x2是關(guān)于∴x1+x∴x1整理，得：k2解得：k1=?3，當k=?3時，Δ=∴此時原方程沒有實數(shù)根，∴k=?3不符合題意；當k=1時，Δ=∴此時原方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴k=1符合題意，∴k的值為1；（2）①∵x2∴a=1，∵α，βα>β是一元二次方程x∴α+β=?ba=1∴s1=α+β=1，②猜想：sn證明：根據(jù)一元二次方程根的定義可得出α2?α?1=0，兩邊都乘以αn?2同理可得：βn由①+②，得：αn∵sn=αn+∴sn?s18．（23-24九年級上·福建寧德·期中）已知關(guān)于x的方程x2?m+2x+4m=0有兩個實數(shù)根（1）若m=?1，求x1（2）一次函數(shù)y=3x+1的圖像上有兩點Ax1,y1（3）邊長為整數(shù)的直角三角形，其中兩直角邊的長度恰好為x1和x【思路點撥】該題主要考查了一元二次方程的根判別式“Δ=b2?4ac（1）將m=?1代入方程得出方程，再根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系得到x1+x（2）根據(jù)點Ax1,y1,Bx（3）根據(jù)直角三角形兩直角邊x1,x2為整數(shù)，得出Δ=b2?4ac=m2【解題過程】（1）當m=?1時，方程為x2Δ=b∴x即x1（2）將Ax1,y1又Δ=m+2故x1A=10x即10x1?x1m+22m?62m1（3）∵直角三角形兩直角邊x1∴Δ=b不妨令m2?12m+4=km?62m+k?6m?k?6m+k?6>m?k?6，當①∴m+k?6=32,