2024-2025學年高考數學一輪復習講義(新高考)第03講等比數列及其前n項和(含新定義解答題)(分層精練)(學生版+解析)VIP

二、多選題9．（24-25高三上·山東菏澤·開學考試）記等比數列的前項積為，且，若，則的可能取值為（

）A．-7 B．5 C．6 D．710．（23-24高二下·安徽亳州·期末）已知數列的前項和為，且，則下列結論中正確的是（

）A． B．是等比數列C． D．是遞增數列三、填空題11．（23-24高二下·陜西榆林·期末）在各項均為正數的等比數列中，，則．12．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知是等差數列，是等比數列，若，，則．四、解答題13．（22-23高二下·北京延慶·期中）在數列中，已知，．(1)若數列是等差數列，求數列的通項公式及前項和；(2)若數列是等比數列，求數列的通項公式及前項和；(3)若數列的前項和，求數列的通項公式．B能力提升1．（23-24高二下·廣東佛山·期中）在當前市場經濟條件下，私營個體商店中的商品，所標價格與其實際價值之間，存在著相當大的差距，對顧客而言，總是希望通過“討價還價”來減少商品所標價格與其實際價值的差距.設顧客第次的還價為，商家第次的討價為，有一種“對半討價還價”法如下：顧客第一次的還價為標價的一半，即第一次還價，商家第一次的討價為與標價的平均值，即；…，顧客第次的還價為上一次商家的討價與顧客的還價的平均值，即，商家第次討價為上一次商家的討價與顧客這一次的還價的平均值，即，現有一件衣服標價1200元，若經過次的“對半討價還價”，與相差不到2元，則的最小值為（

）A．4 B．5 C．6 D．72．（23-24高三上·重慶南岸·階段練習）等比數列的首項為4，公比為3，前n項的和為，若（n，），則的最小值為.3．（24-25高三上·湖南長沙·階段練習）已知等比數列的前項和為，且．(1)求數列的通項公式；(2)在與之間插入個數，使這個數組成一個公差為的等差數列，在數列中是否存在不同的3項（其中成等差數列）成等比數列？若存在，求出這樣的3項，若不存在，請說明理由．C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）1．（2024·河南鄭州·模擬預測）設任意一個無窮數列的前項之積為，若，，則稱是數列．(1)若是首項為，公差為的等差數列，請判斷是否為數列？并說明理由；(2)證明：若的通項公式為，則不是數列；(3)設是無窮等比數列，其首項，公比為，若是數列，求的值．第03講等比數列及其前n項和(分層精練）A夯實基礎B能力提升C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）A夯實基礎一、單選題1．（24-25高三上·浙江·開學考試）已知等比數列的前2項和為12，，則公比的值為（

）A． B．2 C． D．3【答案】A【知識點】等比數列通項公式的基本量計算【分析】根據等比數列的通項公式建立方程組，解之即可求解.【詳解】由題意知，設等比數列的公比為，則，即，解得，.所以.故選：A2．（23-24高三下·廣西·階段練習）已知為等比數列，，，則（

）A．3 B．2 C． D．【答案】D【知識點】等比數列通項公式的基本量計算【分析】由等比數列基本量的計算依次求得，，進一步即可得解.【詳解】由題得，，故，，故，即，，所以.故選：D.3．（2024·黑龍江·模擬預測）已知為等比數列的前項積，若，且（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】等比中項的應用【分析】利用等比中項的性質求解即可.【詳解】由等比數列的性質，得，所以.故選:B.4．（2024·四川成都·模擬預測）已知數列是等比數列，若，是的兩個根，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】等比數列下標和性質及應用【分析】根據一元二次方程韋達定理得出，得出，再利用等比數列的性質，計算出結果；【詳解】若，是的兩個根，則，因為數列是等比數列，，.故選：C.5．（24-25高三上·安徽·開學考試）設公差的等差數列中，成等比數列，則（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】等差數列通項公式的基本量計算、利用等差數列的性質計算、等比中項的應用【分析】由題意可得，根據求解即可.【詳解】因為公差的等差數列中，成等比數列，所以，即，解得，所以.故選：A.6．（23-24高三上·山東菏澤·階段練習）已知數列是等比數列，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】等比數列通項公式的基本量計算、利用等比數列的通項公式求數列中的項【分析】根據已知條件算出等比數列的首項和公比，即可計算.【詳解】設等比數列的公比為，因為，，所以由，得，所以，又，即，所以，所以.故選：B.7．（2024·山西太原·二模）已知，分別是等差數列和等比數列，其前項和分別是和，且，，，則（

）A．9 B．9或18 C．13 D．13或37【答案】B【知識點】等比數列前n項和的基本量計算、求等差數列前n項和【分析】設等比數列的公比為，當時求出，即可求出，再由等差數列求和公式及下標和性質計算可得，當時根據等比數列求和公式求出，從而求出，即可求出，再由等差數列求和公式及下標和性質計算可得.【詳解】設等比數列的公比為，由且，當時，則，符合題意，則，又，所以，所以；當時，則，即，解得（舍去）或，所以，則，又，所以，所以；綜上可得或.故選：B8．（23-24高二下·西藏拉薩·期末）遞增等比數列中，，，則（

）A． B． C．72 D．144【答案】D【知識點】等比數列通項公式的基本量計算【分析】設公比為，然后由已知條件列方程可求出，從而可求出.【詳解】設公比為，因為，，所以，得，得，所以或（舍去），所以，所以.故選：D二、多選題9．（24-25高三上·山東菏澤·開學考試）記等比數列的前項積為，且，若，則的可能取值為（

）A．-7 B．5 C．6 D．7【答案】BD【知識點】等比數列下標和性質及應用【分析】由題意結合等比數列下標和的性質可得，結合即可求解.【詳解】，，又，而，或.故選：.10．（23-24高二下·安徽亳州·期末）已知數列的前項和為，且，則下列結論中正確的是（

）A． B．是等比數列C． D．是遞增數列【答案】ACD【知識點】利用an與sn關系求通項或項、求等比數列前n項和、由定義判定等比數列、判斷數列的增減性【分析】由題中條件可得，判斷A；通過兩式相減的，變形可得出，判斷B；根據求和公式結合作差法比較大小判斷C，D；【詳解】對于A，由得，，所以．A正確；對于B，將與整體相減得，，所以，又，即，所以．因此不是等比數列，B錯誤；對于C,因為，所以當時，．當時，．當時，，因此,C正確；對于D，因為，所以，所以，因此是遞增數列，D正確；故選:ACD．三、填空題11．（23-24高二下·陜西榆林·期末）在各項均為正數的等比數列中，，則．【答案】3【知識點】等比數列下標和性質及應用、對數的運算【分析】根據等比數列性質和對數運算即可.【詳解】由題意得.故答案為：3.12．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知是等差數列，是等比數列，若，，則．【答案】【知識點】等比數列通項公式的基本量計算、等差數列通項公式的基本量計算【分析】根據等差和等比數列的性質，再結合特殊角的正切值，即可求解.【詳解】由等差數列的性質可知，，即，而，根據等比數列的性質可知，，則，，所以.故答案為：.四、解答題13．（22-23高二下·北京延慶·期中）在數列中，已知，．(1)若數列是等差數列，求數列的通項公式及前項和；(2)若數列是等比數列，求數列的通項公式及前項和；(3)若數列的前項和，求數列的通項公式．【答案】(1)，(2)，(3)【知識點】等差數列通項公式的基本量計算、等比數列通項公式的基本量計算、求等差數列前n項和、求等比數列前n項和【分析】（1）根據等差數列的通項公式及求和公式計算即可；（2）根據等比數列的通項公式及求和公式計算即可；（3）根據，時，求解即可．【詳解】（1）設等差數列的首項為，公差為，則，解得，，所以，．（2）設等比數列的首項為，公差為，則，解得，，所以，．（3）由已知得，當時，，當時，，又因為，所以．B能力提升1．（23-24高二下·廣東佛山·期中）在當前市場經濟條件下，私營個體商店中的商品，所標價格與其實際價值之間，存在著相當大的差距，對顧客而言，總是希望通過“討價還價”來減少商品所標價格與其實際價值的差距.設顧客第次的還價為，商家第次的討價為，有一種“對半討價還價”法如下：顧客第一次的還價為標價的一半，即第一次還價，商家第一次的討價為與標價的平均值，即；…，顧客第次的還價為上一次商家的討價與顧客的還價的平均值，即，商家第次討價為上一次商家的討價與顧客這一次的還價的平均值，即，現有一件衣服標價1200元，若經過次的“對半討價還價”，與相差不到2元，則的最小值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【知識點】由遞推關系證明等比數列【分析】判斷出數列是等比數列，由此列不等式，從而求得的最小值.【詳解】依題意可知，，則，又，所以數列是以為首項，公比為的等比數列，所以，由得，其中，解得，因此的最小值為.故選：B.當時，，②聯立①②，解得，所以數列的通項公式．（2）由（1）知．所以，所以．設數列中存在3項（其中成等差數列）成等比數列．則，所以，即，又因為成等差數列，所以，所以，化簡得，所以，又，所以，與已知矛盾，所以在數列中不存在不同的3項成等比數列．C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）1．（2024·河南鄭州·模擬預測）設任意一個無窮數列的前項之積為，若，，則稱是數列．(1)若是首項為，公差為的等差數列，請判斷是否為數列？并說明理由；(2)證明：若的通項公式為，則不是數列；(3)設是無窮等比數列，其首項，公比為，若是數列，求的值．【答案】(1)是T數列，理由見解析(2)證明見解析(3)或．【知識點】數列新定義、利用定義求等差數列通項公式、求等差數列前n項和、寫出等比數列的通項公式【分析】（1）由題知，再根據T數列的定義，即可作出判斷；（2）先假設是數列，從而有，再進行驗證，即可證明結果；（3）根據題設得到，取對數后可得，分類討論后可求.【詳解】（1）是T數列，理由：由題知，即，所以，，當時，，所以是T數列．（2）假設是數列，則對任意正整數，總是中的某一項，，所以對任意正整數，存在正整數滿足：，顯然時，存在，滿足，

取，得，所以，可以驗證：當，2，3，4時，都不成立，故不是T數列.（3）已知是等比數列，其首項，公比，所以，所以，由題意知對任意正整數n，總存在正整數m，使得，即對任意正整數n，總存在正整數m，使得，即對任意正整數n，總存在正整數m，使得，若，則，任意，這不可能成立；若，故對任意，總存在使得該等式成立，故必為整