人教版2024-2025學年八年級數(shù)學專題11.1與三角形有關線段的綜合(壓軸題專項講練)專題特訓(學生版+解析)

專題11.1與三角形有關線段的綜合思維方法思維方法正向思維：是一類常規(guī)性的、傳統(tǒng)的思維形式，指的是大家按照自上而下，由近及遠、從左到右、從可知到未知等一般而言的線性方向做出探究問題的思維途徑。逆向思維：是指在剖析、破解數(shù)學難題進程中，可以靈活轉換思維方向，從常規(guī)思維的相反方向出發(fā)進行探索的思維方式，比如正向思維無法解決問題時可反其道而行采取逆向思維，直接證明有困難時可采用間接證明。知識點總結知識點總結一、三角形的三邊關系三角形兩邊的和大于第三邊，兩邊的差小于第三邊.在運用三角形三邊關系判定三條線段能否構成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構成一個三角形．二、三角形的角平分線、中線和高1.從三角形的一個頂點向底邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高．2.三角形一個內角的平分線與這個內角的對邊交于一點，則這個內角的頂點與所交的點間的線段叫做三角形的角平分線．

3.三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線．

4.三角形有三條中線，有三條高線，有三條角平分線，它們都是線段．

5.銳角三角形的三條高在三角形內部，相交于三角形內一點，直角三角形有兩條高與直角邊重合，另一條高在三角形內部，它們的交點是直角頂點；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內部，三條高所在直線相交于三角形外一點．典例分析典例分析【典例1】【問題情境】如圖1，AD是△ABC的中線，△ABC與△ABD的面積有怎樣的數(shù)量關系？小旭同學在圖1中作BC邊上的高AE，根據(jù)中線的定義可知BD=CD．又因為高AE相同，所以S△ABD=S

【深入探究】（1）如圖2，點D在△ABC的邊BC上，點P在AD上．①若AD是△ABC的中線，求證：S△APB②若BD=3DC，則S△APB【拓展延伸】（2）如圖3，分別延長四邊形ABCD的各邊，使得點A、B、C、D分別為DH、AE、BF、CG的中點，依次連結E、F、G、H得四邊形EFGH．①求證：S△HDG②若S四邊形ABCD=3【思路點撥】（1）①根據(jù)中線的性質可得S△ADB=S△ADC，點D為BC的中點，推得PD是△PBC的中線，②設△ABC邊BC上的高為?，根據(jù)三角形的面積公式可得S△ADB=12×BD×?，S△ADC=12（2）①連接AG，AC，CE，根據(jù)中線的判定和性質可得S△GAH=S△GAD=12S△GHD，S△CBA=S△CBE②由①可得S△HDG+S△FBE=2S四邊形【解題過程】（1）①證明：∵AD是△ABC的中線，∴S△ADB=S△ADC，點∴PD是△PBC的中線，∴S△PDB∴S△ADB即S△APB②S△APB解：設△ABC邊BC上的高為?，則S△ADB=1∵BD=3DC，∴S△ADB同理S△PDB則S△ADB即S△APB∴S△APB（2）①證明：連接AG，AC，CE，如圖：

∵點A、B、C、D分別為DH、AE、BF、CG的中點，∴AG，BC，CE，DA分別為△GHD，△CAE，△EFB，△ACG的中線，∴S△GAH=S△GAD=12∴S△ADC=∵S四邊形即S△HDG②15，解：由①可得S△HDG+SS四邊形即S四邊形∵S四邊形∴S四邊形學霸必刷學霸必刷1．（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·七年級?？茧A段練習）如圖，三角形ABC被分成三角形BEF和四邊形AEFC兩部分，BE=3，BF=4，F(xiàn)C=5，AE=6，那么三角形BEF面積和四邊形AEFC面積的比是（）A．4：23 B．4：25 C．5：26 D．1：62．（2023下·重慶沙坪壩·七年級重慶市第七中學校校考階段練習）如圖，在△ABC中，延長CA至點F，使得AF=CA，延長AB至點D，使得BD=2AB，延長BC至點E，使得CE=3CB，連接EF、FD、DE，若S△DEF=36，則S△ABC

A．1 B．2 C．3 D．43．（2023下·江蘇蘇州·七年級校考期中）如圖，在△ABC中，D是邊BC上的中點，AF=2FB，CE=3AE，連接CF交DE于點P，則DPEP

A．12 B．25 C．134．（2023下·江蘇無錫·七年級統(tǒng)考期中）如圖，△ABC中，點D、E分別在邊AB和BC上，AD=2BD，BE=EC，AE和CD相交于點M，△ADM比△CEM的面積大2，則△ABC的面積為（

）．A．9 B．10 C．11 D．125．（2023下·貴州畢節(jié)·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AG=BG，BD=DE=EC，CF=4AF，若四邊形DEFG的面積為28，則△ABC的面積為（

）

A．60 B．56 C．70 D．486．（2023下·七年級課時練習）不等邊△ABC的兩條高的長度分別為4和12，若第三條高也為整數(shù)，那么它的長度最大值是7．（2023下·陜西西安·七年級西安市鐵一中學?？茧A段練習）若△ABC中AB＝AC，且面積為定值，點P在直線BC上，且P到直線AC的距離為PF．當PF＝3，C到AB的距離CH＝7時，P到AB的距離為．8．（2023下·黑龍江哈爾濱·七年級校考期中）如圖，BD,CE都是△ABC的高，過點A作AF∥BC交CE的延長線于點F，BD=6，AB:AC=6:5，若S△ACE=

9．（2023上·廣東廣州·七年級校考開學考試）如圖，在三角形ABC中，D是BC邊上靠近C的三等分點，E是AD的中點，已知三角形ABC的面積為3，那么圖中兩個陰影三角形面積之和是．10．（2023下·江蘇蘇州·七年級統(tǒng)考期中）如圖，點C為直線AB外一動點，AB=6，連接CA、CB，點D、E分別是AB、BC的中點，連接AE、CD交于點F，當四邊形

11．（2023下·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱風華中學?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，已知BD為△ABC的中線，過點A作AE⊥BD分別交BD、BC于點F、E，連接CF，若DF=2，AF=6，BE:EC=3:1，則S△ABC=12．（2023下·重慶沙坪壩·七年級重慶一中?？计谀┤鐖D，在△ABC中，點D是AC邊上一點，CD:AD=1:2，連接BD，點E是線段BD上一點，BE:ED=1:3，連接AE，點F是線段AE的中點，連接CF交線段BD于點G，若△ABC的面積是12，則△EFG的面積是．

13．（2023下·江蘇南京·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，D是邊AB的中點，E、F分別是邊AC上的三等分點，連接BE、BF分別交CD于G、H點，若△ABC的面積為90，則四邊形EFHG的面積為

14．（2023下·江蘇連云港·七年級?？茧A段練習）設△ABC的面積為a，如圖①將邊BC、AC分別2等份，BE1、AD1相交于點O，△AOB的面積記為S1；如圖②將邊BC、AC分別3等份，BE1、AD1相交于點O，△AOB

15．（2023上·安徽六安·八年級六安市第九中學?？计谥校┤鐖D，在△ABC中AB>BC，AC=2BC，BC邊上的中線AD把△ABC的周長分成60和40兩部分，求AC和AB的長．

16．（2023上·陜西西安·七年級西安市鐵一中學?？奸_學考試）如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、DA上，且BE=13AB，CF=13

（1）連接BD，BH，若三角形ABD的面積為9平方厘米，則三角形ABH的面積是三角形______，三角形AEH的面積是______．（2）如果陰影部分面積為45平方厘米，則四邊形ABCD的面積是多少?17．（2023上·廣東廣州·八年級廣州大學附屬中學?？奸_學考試）在△ABC中，AB=2，BC=4，CD⊥AB于D．（1）如圖①，已知AE⊥BC于E，求證：CD=2AE（2）如圖②，P是線段AC上任意一點（P不與A、C重合），過P作PE⊥BC于E，PF⊥AB于F，求證：2PE+PF=CD（3）在圖②中，若P是AC延長線上任意一點，其他條件不變，請畫出圖形并直接寫出PE、PF、CD之間的關系．18．（2024上·北京西城·七年級北京四中?？茧A段練習）設△ABC的面積為a．（1）如圖1，延長△ABC的各邊得到△A1B1C1，且A1B=AB，B1C=BC，（2）如圖2，延長△ABC的各邊得到△A1B1C1，且A1B=2AB，B1C=2BC，（3）如圖3，P為△ABC內一點，連接AP、BP、CP并延長分別交邊BC、AC、AB于點D、E、F，則把△ABC分成六個小三角形，其中四個小三角形面積已在圖上標明，則計算得到△ABC的面積a=________．19．（2023下·江蘇鹽城·七年級?？茧A段練習）【數(shù)學經(jīng)驗】三角形的中線，角平分線，高是三角形的重要線段，同時，我們知道，三角形的3條高所在直線交于同一點．（1）①如圖1，△ABC中，∠A=90°，則△ABC的三條高所在直線交于點；②如圖2，△ABC中，∠BAC>90°，已知兩條高BE、AD，請你僅用一把無刻度的直尺（僅用于過任意兩點作直線、連接任意兩點、延長任意線段）畫出△ABC的第三條高．（不寫畫法，保留作圖痕跡）【綜合應用】（2）如圖3，在△ABC中，∠ABC>∠C，AD平分∠BAC，過點B作BE⊥AD于點E．①若∠ABC=80°，∠C=30°，則∠EBD=；②請寫出∠EBD與∠ABC，∠C之間的數(shù)量關系，并說明理由．【拓展延伸】（3）三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，如果兩個三角形的高相同，則它們的面積比等于對應底邊的比．如圖4，△ABC中，M是BC上一點，則有△ABM的面積△ACM的面積=BMCM．如圖5，△ABC中，M是BC上一點，且BM=13BC，N是AC的中點，若△ABC20．（2023下·江蘇淮安·七年級?？茧A段練習）已知△ABC的面積是60，請完成下列問題：

（1）如圖1，若AD是△ABC的BC邊上的中線，則△ABD的面積______△ACD的面積．（填“>”“<”“=”）（2）如圖2，若CD、BE分別是△ABC的AB、AC邊上的中線，求四邊形ADOE的面積可以用如下方法，連接AO，由AD=DB得：S△ADO=S△BDO，同理：S△CEO=S△AEO，設S△ADO=x，S△CEO=y，則（3）如圖3，AD:DB=1:3，CE:AE=1:2，則四邊形ADOE的面積為______．（4）如圖4，D，F(xiàn)是AB的三等分點，E，G是CA的三等分點，CD與BE交于O，且S△ABC=60，則四邊形A專題11.1與三角形有關線段的綜合思維方法思維方法正向思維：是一類常規(guī)性的、傳統(tǒng)的思維形式，指的是大家按照自上而下，由近及遠、從左到右、從可知到未知等一般而言的線性方向做出探究問題的思維途徑。逆向思維：是指在剖析、破解數(shù)學難題進程中，可以靈活轉換思維方向，從常規(guī)思維的相反方向出發(fā)進行探索的思維方式，比如正向思維無法解決問題時可反其道而行采取逆向思維，直接證明有困難時可采用間接證明。知識點總結知識點總結一、三角形的三邊關系三角形兩邊的和大于第三邊，兩邊的差小于第三邊.在運用三角形三邊關系判定三條線段能否構成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構成一個三角形．二、三角形的角平分線、中線和高1.從三角形的一個頂點向底邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高．2.三角形一個內角的平分線與這個內角的對邊交于一點，則這個內角的頂點與所交的點間的線段叫做三角形的角平分線．

3.三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線．

4.三角形有三條中線，有三條高線，有三條角平分線，它們都是線段．

5.銳角三角形的三條高在三角形內部，相交于三角形內一點，直角三角形有兩條高與直角邊重合，另一條高在三角形內部，它們的交點是直角頂點；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內部，三條高所在直線相交于三角形外一點．典例分析典例分析【典例1】【問題情境】如圖1，AD是△ABC的中線，△ABC與△ABD的面積有怎樣的數(shù)量關系？小旭同學在圖1中作BC邊上的高AE，根據(jù)中線的定義可知BD=CD．又因為高AE相同，所以S△ABD=S

【深入探究】（1）如圖2，點D在△ABC的邊BC上，點P在AD上．①若AD是△ABC的中線，求證：S△APB②若BD=3DC，則S△APB【拓展延伸】（2）如圖3，分別延長四邊形ABCD的各邊，使得點A、B、C、D分別為DH、AE、BF、CG的中點，依次連結E、F、G、H得四邊形EFGH．①求證：S△HDG②若S四邊形ABCD=3【思路點撥】（1）①根據(jù)中線的性質可得S△ADB=S△ADC，點D為BC的中點，推得PD是△PBC的中線，②設△ABC邊BC上的高為?，根據(jù)三角形的面積公式可得S△ADB=12×BD×?，S△ADC=12（2）①連接AG，AC，CE，根據(jù)中線的判定和性質可得S△GAH=S△GAD=12S△GHD，S△CBA=S△CBE②由①可得S△HDG+S△FBE=2S四邊形【解題過程】（1）①證明：∵AD是△ABC的中線，∴S△ADB=S△ADC，點∴PD是△PBC的中線，∴S△PDB∴S△ADB即S△APB②S△APB解：設△ABC邊BC上的高為?，則S△ADB=1∵BD=3DC，∴S△ADB同理S△PDB則S△ADB即S△APB∴S△APB（2）①證明：連接AG，AC，CE，如圖：

∵點A、B、C、D分別為DH、AE、BF、CG的中點，∴AG，BC，CE，DA分別為△GHD，△CAE，△EFB，△ACG的中線，∴S△GAH=S△GAD=12∴S△ADC=∵S四邊形即S△HDG②15，解：由①可得S△HDG+SS四邊形即S四邊形∵S四邊形∴S四邊形學霸必刷學霸必刷1．（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·七年級?？茧A段練習）如圖，三角形ABC被分成三角形BEF和四邊形AEFC兩部分，BE=3，BF=4，F(xiàn)C=5，AE=6，那么三角形BEF面積和四邊形AEFC面積的比是（）A．4：23 B．4：25 C．5：26 D．1：6【思路點撥】如圖：連接AF，根據(jù)△BEF的邊BE上的高和△ABF邊AB上的高相等可得SΔBEFSΔABF=BE【解題過程】解：如圖：連接AF∵BE=3，AE=6，∴AB=9，∵△BEF的邊BE上的高和△ABF邊AB上的高相等，∴SΔBEF同理可得：SΔABF=∴S△BEF故選：C．2．（2023下·重慶沙坪壩·七年級重慶市第七中學校校考階段練習）如圖，在△ABC中，延長CA至點F，使得AF=CA，延長AB至點D，使得BD=2AB，延長BC至點E，使得CE=3CB，連接EF、FD、DE，若S△DEF=36，則S△ABC

A．1 B．2 C．3 D．4【思路點撥】先設△ABC的面積為m，再根據(jù)底共線，高相等，面積的比等于底邊的比，將其余各個三角形的面積表示出來，總面積為36，解得△ABC的面積．【解題過程】解：如圖，連接EA、CD，設△ABC的面積為m，

∵BD=2AB，∴△BCD的面積為2m，△ACD的面積為3m，∵AF=CA∴△AFD的面積為3m，∵CE=3CB,∴△ACE的面積為3m，△AEF的面積為3m，△ECD的面積為6m，∴S△DEF∴m=2，即△ABC的面積為2故選：B．3．（2023下·江蘇蘇州·七年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，D是邊BC上的中點，AF=2FB，CE=3AE，連接CF交DE于點P，則DPEP

A．12 B．25 C．13【思路點撥】連接DF,EF，根據(jù)同高三角形的面積比等于底邊比，得到S△CDF=12S△BFC，【解題過程】解：連接DF,EF，

∵D是邊BC上的中點，∴S△CDF∵AF=2FB，∴S△AFC∵CE=3AE，∴S△CEF∵S△FPD∴S△FPD即：DPPE故選C．4．（2023下·江蘇無錫·七年級統(tǒng)考期中）如圖，△ABC中，點D、E分別在邊AB和BC上，AD=2BD，BE=EC，AE和CD相交于點M，△ADM比△CEM的面積大2，則△ABC的面積為（

）．A．9 B．10 C．11 D．12【思路點撥】連接BM，設S△CEM=x，則S△ADM=x+2，然后再根據(jù)三角形的等分線的性質表示出S△CEM=S△BEM=x、S△ABE=S△ACE、S△ACD=2【解題過程】解：如圖：連接BM，設S△CEM=x，則∵BE=EC，∴S△CEM=S∵AD=2BD，∴S△ADM=2S∴S△BDM∴S△BDCS△AEC∴S△AMC∴S△ACD∴S∵S△ACD∴52解得：x=1.2，∴S△ABC故選：D．5．（2023下·貴州畢節(jié)·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AG=BG，BD=DE=EC，CF=4AF，若四邊形DEFG的面積為28，則△ABC的面積為（

）

A．60 B．56 C．70 D．48【思路點撥】連接CG、BF，過點F作FM⊥AB于點M，設S△AFG=a，根據(jù)同高的三角形的面積的比等于底邊的比，分別得到S△AFB=2a、SΔBCF=8a、S△ABC=10a、S△CFE=【解題過程】解：連接CG、BF，過點F作FM⊥AB于點M，設S△AFG∵S△AFG=12∴S∴S∵CF=4AF，同理可得：S△BCF∴S∴S∵BD=DE=EC，∴BC=3EC，同理可得：S△CFE∵G是AB的中點，同理可得：S△ACG∵BD=DE=EC，∴BC=3BD，同理可得：S△BDG∵四邊形DEFG的面積為28，∴S∴a=6，∴S故選：C．6．（2023下·七年級課時練習）不等邊△ABC的兩條高的長度分別為4和12，若第三條高也為整數(shù)，那么它的長度最大值是【思路點撥】根據(jù)三角形三邊關系及三角形面積相等即可求出要求高的整數(shù)值．【解題過程】解：因為不等邊△ABC的兩條高的長度分別為4和12，根據(jù)面積相等可設△ABC的兩邊長為3x，x；因為3x×4＝12×x（2倍的面積），面積S＝6x，因為知道兩條邊的假設長度，根據(jù)兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊可得：2x＜第三邊長度＜4x，因為要求高的最大長度，所以當?shù)谌呑疃虝r，在第三邊上的高就越長，S＝12×第三邊的長×高，6x＞12×2x×高，6x＜12∴6＞高＞3，∵是不等邊三角形，且高為整數(shù)，∴高的最大值為5，故答案為：5．7．（2023下·陜西西安·七年級西安市鐵一中學?？茧A段練習）若△ABC中AB＝AC，且面積為定值，點P在直線BC上，且P到直線AC的距離為PF．當PF＝3，C到AB的距離CH＝7時，P到AB的距離為．【思路點撥】分兩種情況討論，由三角形的面積公式可求解．【解題過程】解：如圖①，∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP＝12AB?PE，S△ACP＝12AC?PF，S△ABC＝12AB又∵S△ABP+S△ACP＝S△ABC，∴12AB?PE+12AC?PF＝12AB∵AB＝AC，∴PE+PF＝CH，∴PE＝7﹣3＝4；如圖②，PE＝PF+CH．證明如下：∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP＝12AB?PE，S△ACP＝12AC?PF，S△ABC＝12AB∵S△ABP＝S△ACP+S△ABC，∴12AB?PE＝12AC?PF+12AB又∵AB＝AC，∴PE＝PF+CH，∴PE＝7+3＝10；故答案為10或4．8．（2023下·黑龍江哈爾濱·七年級?？计谥校┤鐖D，BD,CE都是△ABC的高，過點A作AF∥BC交CE的延長線于點F，BD=6，AB:AC=6:5，若S△ACE=

【思路點撥】連接FB，根據(jù)面積法求得EC的長，即可通過三角形面積公式求得AE,BE的長，再根據(jù)AF∥BC，可得S△FBC【解題過程】解：如圖，連接FB，

∵S∴BD∴EC=5×6∵S△ACE=∴AE=2∵AF∥∴S∴S∴EF=29．（2023上·廣東廣州·七年級?？奸_學考試）如圖，在三角形ABC中，D是BC邊上靠近C的三等分點，E是AD的中點，已知三角形ABC的面積為3，那么圖中兩個陰影三角形面積之和是．【思路點撥】本題考查了三角形的面積，作輔助線是解題的關鍵．如圖，連接DF，根據(jù)題意可得S△ABF=S△BDF，【解題過程】解：如圖，連接DF，∵E是AD的中點，∴S△ABE=∴S即S△ABF∵D是BC邊上靠近C的三等分點，∴S∴S∴===(3?=6故答案為：6510．（2023下·江蘇蘇州·七年級統(tǒng)考期中）如圖，點C為直線AB外一動點，AB=6，連接CA、CB，點D、E分別是AB、BC的中點，連接AE、CD交于點F，當四邊形

【思路點撥】如圖：連接BF，過點C作CH⊥AB于點H，根據(jù)三角形中線的性質求得S△ABC=15，從而求得【解題過程】解：如圖：連接BF，過點C作CH⊥AB于點H，

∵點D、E分別是AB、BC的中點，∴S△ABE=S△ACE=∴S△CEF+S∴S四邊形∴S△ABC∴12∴CH=5，又∵點到直線的距離垂線段最短，∴AC≥CH=5，∴AC的最小值為5．故答案為：5．11．（2023下·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱風華中學?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，已知BD為△ABC的中線，過點A作AE⊥BD分別交BD、BC于點F、E，連接CF，若DF=2，AF=6，BE:EC=3:1，則S△ABC=【思路點撥】根據(jù)BD為△ABC的中線，可得S△ADF=S△CDF，S△ABD=S△CBD，通過題中條件可求得S△ADF=S△CDF=6，根據(jù)BE:EC=3:1，可得S△FEB:【解題過程】解：∵BD為△ABC的中線，∴S△ADF=S∵AE⊥BD，∴S△ADF∵BE:EC=3:1，∴S△FEB:設S△FEC=x，則∴S∴S根據(jù)S△AEB:S解得x=9，∴S故答案為：84．12．（2023下·重慶沙坪壩·七年級重慶一中?？计谀┤鐖D，在△ABC中，點D是AC邊上一點，CD:AD=1:2，連接BD，點E是線段BD上一點，BE:ED=1:3，連接AE，點F是線段AE的中點，連接CF交線段BD于點G，若△ABC的面積是12，則△EFG的面積是．

【思路點撥】連接DF，CE．由題意中的線段的比和S△ABC=12，可推出S△ABD=23S△ABC=8，S△CBD=13S△ABC【解題過程】解：如圖，連接DF，CE．

∵CD:AD=1:2，S△ABC∴S△ABD=2又∵BE:ED=1:3，∴S△ABE=1∵點F是線段AE的中點，∴S△ADF∵CD:AD=1:2，∴S△CDF∴S△ACF∴S△ECF∴S△CDFS△ECF∴DGEG∴S△EFG故答案為：9413．（2023下·江蘇南京·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，D是邊AB的中點，E、F分別是邊AC上的三等分點，連接BE、BF分別交CD于G、H點，若△ABC的面積為90，則四邊形EFHG的面積為

【思路點撥】如圖:連接AH，設S△CFH=a，S△ADH=b，根據(jù)“等底同高的三角形面積相等”可得S△ABF=23S△ABC=60、S△ACH=3a、S△AFH=S△ACH?S【解題過程】解：如圖:連接AH，設S△CFH=a，

E、F分別是邊AC上的三等分點，△ABC的面積為90，∴AE=EF=CF=13AC，S△ABF∵D是邊AB的中點，∴S△ADC=∵S△ADC=S△ACH+S∴3a+b=452b+2a=60，解得：a=152如圖:連接AG，設S△ADG=c，

∴S△ABG=2c∵S△ADC=S△ADG+S∴c+3d=452c+d=30，解得：c=9∴S△ADGE.SEFHG故答案為33214．（2023下·江蘇連云港·七年級校考階段練習）設△ABC的面積為a，如圖①將邊BC、AC分別2等份，BE1、AD1相交于點O，△AOB的面積記為S1；如圖②將邊BC、AC分別3等份，BE1、AD1相交于點O，△AOB

【思路點撥】利用三角形的面積公式，求出前三個圖形的面積，再得出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律列出方程便可求得a．【解題過程】解：在圖①中，連接OC，

∵AE1=C∴S△OAE1=S∵S△OAE1∴S△OA∴S△OA設S△OAS1解得S1在圖②中，連接OE2、OC、

則S△ABE1設S△OAS2解得S2在圖③中，連OE2、OE3、OC、則S△ABE1設S△OAS3解得S3.....．由可知，Sn∵S∴12×7+1解得a=60．故答案為：60.15．（2023上·安徽六安·八年級六安市第九中學校考期中）如圖，在△ABC中AB>BC，AC=2BC，BC邊上的中線AD把△ABC的周長分成60和40兩部分，求AC和AB的長．

【思路點撥】先根據(jù)AC=2BC和三角形的中線列出方程求解，分類討論①AC+CD=60，②AC+CD=40，注意答案是否滿足條件，即是否滿足題目給出的條件、是否滿足三角形三邊的關系．【解題過程】解：設BD=CD=x，則AC=2BC=4x，∵BC邊上的中線AD把△ABC的周長分成60和40兩部分，AB>BC，①當AC+CD=60，AB+BD=40時，4x+x=60，解得：x=12，∴AC=4x=4×12=48，BD=CD=12，∴AB=40?BD=40?12=28，∴AB=28>BC=24，滿足條件；∵BC+AB=28+24=52>AC=48，滿足三邊關系，∴AC=48，AB=28；②當AC+CD=40，AB+BD=60時，4x+x=40，解得：x=8，∴AC=4x=4×8=32，∴BD=CD=8，AB=60?BD=60?8=52，∵AC+BC=32+16=48<52=AB，∴不滿足三角形的三邊關系，∴不合題意，舍去，∴AC=48，AB=28．16．（2023上·陜西西安·七年級西安市鐵一中學?？奸_學考試）如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、DA上，且BE=13AB，CF=13

（1）連接BD，BH，若三角形ABD的面積為9平方厘米，則三角形ABH的面積是三角形______，三角形AEH的面積是______．（2）如果陰影部分面積為45平方厘米，則四邊形ABCD的面積是多少?【思路點撥】（1）由圖，S△ABH=1（2）由圖，S△AEH=29S△ABD，S△CFG=2【解題過程】（1）解：如圖，∵AH=1∴S△ABH∵BE=1∴S△AEH（2）解：由（1），S△ABH=1∴S△AEH同理，S△CFG=29S∴S===4∴SEFGH∴SABCD17．（2023上·廣東廣州·八年級廣州大學附屬中學?？奸_學考試）在△ABC中，AB=2，BC=4，CD⊥AB于D．（1）如圖①，已知AE⊥BC于E，求證：CD=2AE（2）如圖②，P是線段AC上任意一點（P不與A、C重合），過P作PE⊥BC于E，PF⊥AB于F，求證：2PE+PF=CD（3）在圖②中，若P是AC延長線上任意一點，其他條件不變，請畫出圖形并直接寫出PE、PF、CD之間的關系．【思路點撥】（1）分別以AB、BC邊為底邊，利用△ABC的面積的兩種不同表示列式整理即可得證；（2）連接PB，根據(jù)△ABC的面積等于△ABP和△BCP的面積的和，然后列式整理即可得證；（3）作出圖形，連接PB，然后根據(jù)△ABP的面積等于△ABC的面積和△PBC的面積的和，列式整理即可得解．【解題過程】解：（1）證明：∵（2）如圖②，連接PB，∵S△ABC∴1（3）如圖③，即為圖像，連接PB，作PE⊥BC交BC的延長線于E點，∵S△PAB∴18．（2024上·北京西城·七年級北京四中校考階段練習）設△ABC的面積為a．（1）如圖1，延長△ABC的各邊得到△A1B1C1，且A1B=AB，B1C=BC，（2）如圖2，延長△ABC的各邊得到△A1B1C1，且A1B=2AB，B1C=2BC，（3）如圖3，P為△ABC內一點，連接AP、BP、CP并延長分別交邊BC、AC、AB于點D、E、F，則把△ABC分成六個小三角形，其中四個小三角形面積已在圖上標明，則計算得到△ABC的面積a=________．【思路點撥】此題是三角形的綜合題，主要考查了面積及等積變換，利用三角形同高則面積比與底邊關系分別分析得出是解題關鍵．（1）利用三角形同高等底面積相等，進而求出即可；（2）利用三角形同高不等底面積比為底邊長的比，進而求出即可；（3）利用三角形面積之間關系得出其邊長比，得出關于x，y的方程求出即可．【解題過程】（1）如圖1,連接A1∵B∴S△ABC=∴S同理可得出：S△A∴S故答案為:7a；（2）如圖2，連接A1∵A根據(jù)等高兩三角形的面積比等于底之比，∴S∴S∴S同理可得出：S△A∴S?=19a；故答案為:19a；（3）如圖3，過點C作CG⊥BE于點G，∵S∴S∴BPEP=2同理S△APB設S△APB=2S∵x+84=2y，即S△FPB∵S△APBS∴x+84又∵x+84=2y∴x=56∵S∴故答案為:315．19．（2023下·江蘇鹽城·七年級?？茧A段練習）【數(shù)學經(jīng)驗】三角形的中線，角平分線，高是三角形的重要線段，同時，我們知道，三角形的3條高所在直線交于同一點．（1）①如圖1，△ABC中，∠A=90°，則△ABC的三條高所在直線交于點；②如圖2，△ABC中，∠BAC>90°，已知兩條高BE、AD，請你僅用一把無刻度的直尺（僅用于過任意兩點作直線、連接任意兩點、延長任意線段）畫出△ABC的第三條高．（不寫畫法，保留作圖痕跡）【綜合應用】（2）如圖3，在△ABC中，∠ABC>∠C，AD平分∠BAC，過點B作BE⊥AD于點E．①若∠ABC=80°，∠C=30°，則∠EBD=；②請寫出∠EBD與∠ABC，∠C之間的數(shù)量關系，并說明理由．【拓展延伸】（3）三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，如果兩個三角形的高相同，則它們的面積比等于對應底邊的比．如圖4，△ABC中，M是BC上一點，則有△ABM的面積△ACM的面積=BMCM．如圖5，△ABC中，M是BC上一點，且BM=13BC，N是AC的中點，若△ABC【思路點撥】（1）①由直角三角形三條高的定義即可得出結論；②延長BE、DA交于點F，連接CF，延長BA交CF于點G，則CG為△ABC的第三條高；（2）①由三角形內角和定理和角平分線定義得∠BAE=12∠BAC=35°（3）連接CD，由中線的性質得S△ADN=S△CDN，同理S△ABN=S△CBN，設S△ADN【解題過程】（1）解：①∵直角三角形三條高的交點為直角頂點，∠A=90°，∴ΔABC的三條高所在直線交于點故答案為：A；②如圖2，延長BE、DA交于點F，