人教版2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)專(zhuān)題14.3乘法公式及其應(yīng)用(重點(diǎn)題專(zhuān)項(xiàng)講練)專(zhuān)題特訓(xùn)(學(xué)生版+解析)

專(zhuān)題14.3乘法公式及其應(yīng)用【典例1】數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師準(zhǔn)備了若干個(gè)如圖1的三種紙片，A種紙片是邊長(zhǎng)為a的正方形，B種紙片是邊長(zhǎng)為b的正方形，C種紙片是長(zhǎng)為b，寬為a的長(zhǎng)方形．并用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形．利用圖2正方形面積的不同表示方法，可以驗(yàn)證公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（1）類(lèi)似的，請(qǐng)你用圖1中的三種紙片拼一個(gè)圖形驗(yàn)證：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，請(qǐng)畫(huà)出圖形．（2）已知：a+b＝5，a2+b2＝13，求ab的值；（3）已知（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝4043，求（2021﹣a）（a﹣2020）的值；（4）已知（a﹣2020）2+（a﹣2022）2＝64，求（a﹣2021）2的值．【思路點(diǎn)撥】（1）結(jié)合算式拼圖即可；（2）由（a+b）2＝a2+2ab+b2可推導(dǎo)出ab=(a+b（3）由ab=(a+b（4）設(shè)a﹣2020＝x，a﹣2022＝y(tǒng)，則x﹣y＝2，由（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，可推得xy=(【解題過(guò)程】解：（1）如圖，可以驗(yàn)證：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2；（2）∵（a+b）2＝a2+b2+2ab∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2），∴ab=(a+b又∵a+b＝5，a2+b2＝13，∴ab=5（3）設(shè)2021﹣a＝x，a﹣2020＝y(tǒng)，則x+y＝1，∵（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝4043，∴x2+y2＝4043，∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，∴xy=(x+y即（2021﹣a）（a﹣2020）＝xy＝﹣2021；（4）設(shè)a﹣2020＝x，a﹣2022＝y(tǒng)，則x﹣y＝2，∵（a﹣2020）2+（a﹣2022）2＝64，∴x2+y2＝64，∵（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，∴xy=∵x﹣y＝2，∴（a﹣2021）2＝（a﹣2021）（a﹣2021）＝（x﹣1）（y+1）＝xy+x﹣y﹣1＝30+2﹣1＝31．1．（2021春?萊山區(qū)期末）如果用平方差公式計(jì)算（x﹣y+5）（x+y+5），則可將原式變形為（）A．[（x﹣y）+5][（x+y）+5] B．[（x+5）﹣y][（x+5）+y] C．[（x﹣y）+5][（x﹣y）﹣5] D．[x﹣（y+5）][x+（y+5）]2．（真題?安居區(qū)期末）若x2+2（m﹣1）x+4是一個(gè)完全平方式，則m的值等于（）A．2 B．3 C．2或﹣2 D．﹣1或33．（真題?南安市期中）設(shè)a＝192×918，b＝8882﹣302，c＝10532﹣7472，則數(shù)a，b，c按從小到大的順序排列，結(jié)果是（）A．a(chǎn)＜b＜c B．a(chǎn)＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a4．（2021春?常德期末）如圖，在邊長(zhǎng)為a的正方形中挖掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，把余下的部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（無(wú)重疊部分），通過(guò)計(jì)算兩個(gè)圖形中陰影部分的面積，可以驗(yàn)證的一個(gè)等式是（）A．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a(chǎn)（a﹣b）＝a2﹣ab C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a(chǎn)（a+b）＝a2+ab5．（2021春?鎮(zhèn)江期中）小妍將（2020x+2021）2展開(kāi)后得到a1x2+b1x+c1；小磊將（2021x﹣2020）2展開(kāi)后得到a2x2+b2x+c2，若兩人計(jì)算過(guò)程無(wú)誤，則c1﹣c2的值為（）A．4041 B．2021 C．2020 D．16．（2021?寶安區(qū)模擬）如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方差，那么這個(gè)正整數(shù)就稱(chēng)為“智慧數(shù)”，例如：5＝32﹣22，5就是一個(gè)智慧數(shù)，則下列各數(shù)不是智慧數(shù)的是（）A．2020 B．2021 C．2022 D．20237．（真題?鳳山縣期末）已知x2﹣3x+1＝0，則x2+x﹣2+3值為（）A．10 B．9 C．12 D．38．（真題?高青縣期中）已知長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為16cm，它兩鄰邊長(zhǎng)分別為xcm，ycm，且滿足（x﹣y）2﹣2x+2y+1＝0，則該長(zhǎng)方形的面積為（）A．16cm2 B．15cm2 C．312cm2 D．6349．（2021春?芝罘區(qū)期末）已知x+2y＝13，x2﹣4y2＝39，則多項(xiàng)式x﹣2y的值是．10．（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）?…?（232+1）+1的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字為．11．（真題?萊州市期中）用簡(jiǎn)便方法進(jìn)行計(jì)算：（1）20212﹣4040×2021+20202．（2）20002﹣19992+19982﹣19972+…+22﹣12．12．（真題?玉州區(qū)期中）已知x+1x=136且0＜x13．（真題?仁壽縣期末）閱讀下列文字，尋找規(guī)律，解答下列各小題．已知x≠1，計(jì)算：（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4（1﹣x）（1+x+x2+x3+x4）＝1﹣x5（1）觀察上式計(jì)算：（1﹣x）（1+x+x2+…+xm）＝．（2）計(jì)算：①（1﹣2）（1+2+22+23+…+22022）；②2+22+23+24+…+2m．14．（真題?長(zhǎng)春期末）【知識(shí)生成】用兩種不同方法計(jì)算同一圖形的面積，可以得到一個(gè)等式，如圖1，是用長(zhǎng)為x，寬為y（x＞y）的四個(gè)全等長(zhǎng)方形拼成一個(gè)大正方形，用兩種不同的方法計(jì)算陰影部分（小正方形）的面積，可以得到（x﹣y）2、（x+y）2、xy三者之間的等量關(guān)系式：；【知識(shí)遷移】如圖2所示的大正方體是由若干個(gè)小正方體和長(zhǎng)方體拼成的，用兩種不同的方法計(jì)算大正方體的體積，我們也可以得到一個(gè)等式：；【成果運(yùn)用】利用上面所得的結(jié)論解答：（1）已知x＞y，x+y＝3，xy=54，求x﹣（2）已知|a+b﹣4|+（ab﹣2）2＝0，則a3+b3＝．15．（真題?花都區(qū)期末）如圖1，有A型、B型、C型三種不同形狀的紙板，A型是邊長(zhǎng)為a的正方形，B型是邊長(zhǎng)為b的正方形，C型是長(zhǎng)為b，寬為a的長(zhǎng)方形．現(xiàn)用A型紙板一張，B型紙板一張，C型紙板兩張拼成如圖2的大正方形．（1）觀察圖2，請(qǐng)你用兩種方法表示出圖2的總面積．方法1：；方法2：；請(qǐng)利用圖2的面積表示方法，寫(xiě)出一個(gè)關(guān)于a，b的等式：．（2）已知圖2的總面積為49，一張A型紙板和一張B型紙板的面積之和為25，求ab的值．（3）用一張A型紙板和一張B型紙板，拼成圖3所示的圖形，若a+b＝8，ab＝15，求圖3中陰影部分的面積．16．（2021春?電白區(qū)月考）問(wèn)題再現(xiàn)：初中數(shù)學(xué)里的一些代數(shù)公式，很多都可以通過(guò)表示幾何圖形面積的方法進(jìn)行直觀推導(dǎo)和解釋?zhuān)?）例如：利用圖①的幾何意義推證，將一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形的邊長(zhǎng)增加b，形成兩個(gè)矩形和兩個(gè)正方形，這個(gè)大正方形的面積可以用兩種形式表示，分別用代數(shù)式表示為或，這就驗(yàn)證了乘法公式（用式子表達(dá)）；（2）問(wèn)題提出：如何利用圖形幾何意義的方法推證：13+23＝32？如圖②，A表示1個(gè)1×1的正方形，即：1×1×1＝13，B表示1個(gè)2×2的正方形，C與D恰好可以拼成1個(gè)2×2的正方形，因此：B，C，D就可以表示2個(gè)2×2的正方形，即：2×2×2＝23，而A，B，C，D恰好可以拼成一個(gè)（1+2）×（1+2）的大正方形，由此可得：13+23＝（1+2）2＝32＝9．嘗試解決：請(qǐng)你類(lèi)比上述推導(dǎo)過(guò)程，利用圖形幾何意義方法推證，然后求值：13+23+33＝．（要求自己構(gòu)造圖形并寫(xiě)出推證過(guò)程）．（3）問(wèn)題拓廣：（要求直接求出具體數(shù)值，不必有構(gòu)造圖形、推證過(guò)程）請(qǐng)用上面的表示幾何圖形面積的方法探究：13+23+33+…+103＝．17．（真題?東城區(qū)校級(jí)期中）老師在黑板上寫(xiě)出了一道思考題：已知a+b＝2，求a2+b2的最小值．（1）愛(ài)思考的小明同學(xué)想到了一種方法：先用b表示a，a＝2﹣b；再把a(bǔ)＝2﹣b代入a2+b2；a2+b2＝+b2；再進(jìn)行配方得到：a2+b2＝2（b﹣）2+；根據(jù)完全平方式的非負(fù)性，就得到了a2+b2的最小值是．（2）請(qǐng)你根據(jù)小明的方法，當(dāng)x+y＝10時(shí)，求x2+y2的最小值．18．（真題?十堰期末）閱讀、理解、應(yīng)用．例：計(jì)算：20163﹣2015×2016×2017．解：設(shè)2016＝x，則原式＝x3﹣（x﹣1）?x?（x+1）＝x3﹣x（x2﹣1）＝x＝2016．請(qǐng)你利用上述方法解答下列問(wèn)題：（1）計(jì)算：1232﹣124×122；（2）若M＝123456789×123456786，N＝123456788×123456787，請(qǐng)比較M，N的大??；（3）計(jì)算：(119．（真題?西山區(qū)校級(jí)期中）問(wèn)題情境：閱讀：若x滿足（8﹣x）（x﹣6）＝3，求（8﹣x）2+（x﹣6）2的值．解：設(shè)（8﹣x）＝a，（x﹣6）＝b，則（8﹣x）（x﹣6）＝ab＝3，a+b＝（8﹣x）+（x﹣6）＝2，所以（8﹣x）2+（x﹣6）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝22﹣2×3＝﹣2．請(qǐng)仿照上例解決下面的問(wèn)題：?jiǎn)栴}發(fā)現(xiàn)（1）若x滿足（3﹣x）（x﹣2）＝﹣10，求（3﹣x）2+（x﹣2）2的值．類(lèi)比探究（2）若x滿足（2021﹣x）2+（2020﹣x）2＝2019，求（2021﹣x）（2020﹣x）的值．拓展延伸（3）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，AE＝10，CG＝20，長(zhǎng)方形EFGD的面積為200．四邊形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是長(zhǎng)方形，求四邊形MFNP的面積（結(jié)果必須是一個(gè)具體數(shù)值）．20．（2021?沙坪壩區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）對(duì)于任意四個(gè)有理數(shù)a，b，c，d，可以組成兩個(gè)有理數(shù)對(duì)（a，b）與（c，d）．我們規(guī)定：（a，b）?（c，d）＝a2+d2﹣bc．例如：（1，2）?（3，4）＝12+42﹣2×3＝11．（1）若（2x，kx）?（﹣2y，y）是一個(gè)完全平方式，求常數(shù)k的值；（2）若2x+y＝18，且（3x+y，2x2+3y2）?（3，x﹣3y）＝204，求xy的值；（3）在（2）問(wèn)的條件下，將長(zhǎng)方形ABCD及長(zhǎng)方形CEFG按照如圖方式放置，其中點(diǎn)E、G分別在邊CD、BC上，連接BD、BF、DF，EG．若AB＝2x，BC＝2nx，CE＝y(tǒng)，CG＝ny，圖中陰影部分的面積為168，求n的值．專(zhuān)題14.3乘法公式及其應(yīng)用【典例1】數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師準(zhǔn)備了若干個(gè)如圖1的三種紙片，A種紙片是邊長(zhǎng)為a的正方形，B種紙片是邊長(zhǎng)為b的正方形，C種紙片是長(zhǎng)為b，寬為a的長(zhǎng)方形．并用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形．利用圖2正方形面積的不同表示方法，可以驗(yàn)證公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（1）類(lèi)似的，請(qǐng)你用圖1中的三種紙片拼一個(gè)圖形驗(yàn)證：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，請(qǐng)畫(huà)出圖形．（2）已知：a+b＝5，a2+b2＝13，求ab的值；（3）已知（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝4043，求（2021﹣a）（a﹣2020）的值；（4）已知（a﹣2020）2+（a﹣2022）2＝64，求（a﹣2021）2的值．【思路點(diǎn)撥】（1）結(jié)合算式拼圖即可；（2）由（a+b）2＝a2+2ab+b2可推導(dǎo)出ab=(a+b（3）由ab=(a+b（4）設(shè)a﹣2020＝x，a﹣2022＝y(tǒng)，則x﹣y＝2，由（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，可推得xy=(【解題過(guò)程】解：（1）如圖，可以驗(yàn)證：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2；（2）∵（a+b）2＝a2+b2+2ab∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2），∴ab=(a+b又∵a+b＝5，a2+b2＝13，∴ab=5（3）設(shè)2021﹣a＝x，a﹣2020＝y(tǒng)，則x+y＝1，∵（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝4043，∴x2+y2＝4043，∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，∴xy=(x+y即（2021﹣a）（a﹣2020）＝xy＝﹣2021；（4）設(shè)a﹣2020＝x，a﹣2022＝y(tǒng)，則x﹣y＝2，∵（a﹣2020）2+（a﹣2022）2＝64，∴x2+y2＝64，∵（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，∴xy=∵x﹣y＝2，∴（a﹣2021）2＝（a﹣2021）（a﹣2021）＝（x﹣1）（y+1）＝xy+x﹣y﹣1＝30+2﹣1＝31．1．（2021春?萊山區(qū)期末）如果用平方差公式計(jì)算（x﹣y+5）（x+y+5），則可將原式變形為（）A．[（x﹣y）+5][（x+y）+5] B．[（x+5）﹣y][（x+5）+y] C．[（x﹣y）+5][（x﹣y）﹣5] D．[x﹣（y+5）][x+（y+5）]【思路點(diǎn)撥】能用平方差公式計(jì)算式子的特點(diǎn)是：（1）兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，（2）有一項(xiàng)相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)．把x+5看作公式中的a，y看作公式中的b，應(yīng)用公式求解即可．【解題過(guò)程】解：（x﹣y+5）（x+y+5）＝[（x+5）﹣y][（x+5）+y]．故選：B．2．（真題?安居區(qū)期末）若x2+2（m﹣1）x+4是一個(gè)完全平方式，則m的值等于（）A．2 B．3 C．2或﹣2 D．﹣1或3【思路點(diǎn)撥】根據(jù)完全平方公式的特征即可得到m的值．【解題過(guò)程】解：∵x2+2（m﹣1）x+4是一個(gè)完全平方式，∴2（m﹣1）＝±2×2，m﹣1＝±2，解得m＝﹣1或3．故選：D．3．（真題?南安市期中）設(shè)a＝192×918，b＝8882﹣302，c＝10532﹣7472，則數(shù)a，b，c按從小到大的順序排列，結(jié)果是（）A．a(chǎn)＜b＜c B．a(chǎn)＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a【思路點(diǎn)撥】逆用平方差公式，進(jìn)行變形即可得出答案．【解題過(guò)程】解：∵a＝361×918，b＝（888﹣30）×（888+30）＝858×918，c＝（1053+747）×（1053﹣747）＝1800×306＝600×918，∴a＜c＜b，故選：B．4．（2021春?常德期末）如圖，在邊長(zhǎng)為a的正方形中挖掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，把余下的部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（無(wú)重疊部分），通過(guò)計(jì)算兩個(gè)圖形中陰影部分的面積，可以驗(yàn)證的一個(gè)等式是（）A．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a(chǎn)（a﹣b）＝a2﹣ab C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a(chǎn)（a+b）＝a2+ab【思路點(diǎn)撥】由面積的和差關(guān)系可求解即可．【解題過(guò)程】解：根據(jù)圖形可知：第一個(gè)圖形陰影部分的面積為a2﹣b2，第二個(gè)圖形陰影部分的面積為（a+b）（a﹣b），即a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故選：C．5．（2021春?鎮(zhèn)江期中）小妍將（2020x+2021）2展開(kāi)后得到a1x2+b1x+c1；小磊將（2021x﹣2020）2展開(kāi)后得到a2x2+b2x+c2，若兩人計(jì)算過(guò)程無(wú)誤，則c1﹣c2的值為（）A．4041 B．2021 C．2020 D．1【思路點(diǎn)撥】依據(jù)完全平方公式求出c1和c2，即可得到c1﹣c2＝20212﹣20202，進(jìn)而得出結(jié)論．【解題過(guò)程】解：∵（2020x+2021）2＝20202x2+2×2020×2021x+20212＝a1x2+b1x+c1，∴c1＝20212，∵（2021x﹣2020）2＝20212x2﹣2×2021×2020x+20202＝a2x2+b2x+c2，∴c2＝20202，∴c1﹣c2＝20212﹣20202＝（2021+2020）（2021﹣2020）＝4041，故選：C．6．（2021?寶安區(qū)模擬）如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方差，那么這個(gè)正整數(shù)就稱(chēng)為“智慧數(shù)”，例如：5＝32﹣22，5就是一個(gè)智慧數(shù)，則下列各數(shù)不是智慧數(shù)的是（）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【思路點(diǎn)撥】除1外，所有的奇數(shù)都是智慧數(shù)；除4外，所有的能被4整除的偶數(shù)都是智慧數(shù)．【解題過(guò)程】解：設(shè)k是正整數(shù)，∵（k+1）2﹣k2＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1，∴除1外，所有的奇數(shù)都是智慧數(shù)，所以，B，D選項(xiàng)都是智慧數(shù)，不符合題意；∵（k+1）2﹣（k﹣1）2＝（k+1+k﹣1）（k+1﹣k+1）＝4k，∴除4外，所有的能被4整除的偶數(shù)都是智慧數(shù)，所以A選項(xiàng)是智慧數(shù)，不符合題意，C選項(xiàng)2022不是奇數(shù)也不是4的倍數(shù)，不是智慧數(shù)，符合題意．故選：C．7．（真題?鳳山縣期末）已知x2﹣3x+1＝0，則x2+x﹣2+3值為（）A．10 B．9 C．12 D．3【思路點(diǎn)撥】根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和完全平方公式對(duì)原式進(jìn)行變形，然后利用等式的性質(zhì)求得x+1【解題過(guò)程】解：原式＝x2+1＝（x+1x）＝（x+1x）∵x2﹣3x+1＝0，∴x﹣3+1∴x+1∴原式＝32+1＝9+1＝10，故選：C．8．（真題?高青縣期中）已知長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為16cm，它兩鄰邊長(zhǎng)分別為xcm，ycm，且滿足（x﹣y）2﹣2x+2y+1＝0，則該長(zhǎng)方形的面積為（）A．16cm2 B．15cm2 C．312cm2 D．634【思路點(diǎn)撥】由題意可求得x2+2xy+y2＝64和x2﹣2xy+y2＝1，則可求得xy的值，此題得以求解．【解題過(guò)程】解：由題意得，2（x+y）＝16，∴（x+y）＝8，∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝82＝64，∵（x﹣y）2﹣2x+2y+1＝（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝（x﹣y﹣1）2＝0，∴x﹣y＝1，∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝1，∴（x2+2xy+y2）﹣（x2﹣2xy+y2）＝4xy＝64﹣1＝63，∴xy=63∴該長(zhǎng)方形的面積為634故選：D．9．（2021春?芝罘區(qū)期末）已知x+2y＝13，x2﹣4y2＝39，則多項(xiàng)式x﹣2y的值是．【思路點(diǎn)撥】直接逆用平方差公式得出即可．【解題過(guò)程】解：∵x+2y＝13，x2﹣4y2＝39，∴x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）＝39，∴x﹣2y＝3．故答案為：3．10．（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）?…?（232+1）+1的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字為．【思路點(diǎn)撥】先將原式進(jìn)行計(jì)算得到264，再判斷264的個(gè)位數(shù)字即可．【解題過(guò)程】解：原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）?…?（232+1）+1＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）?…?（232+1）+1＝（24﹣1）（24+1）（28+1）?…?（232+1）+1＝264﹣1+1＝264，而21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，……又因?yàn)?4÷4＝16，所以264的個(gè)位數(shù)字是6，故答案為：6．11．（真題?萊州市期中）用簡(jiǎn)便方法進(jìn)行計(jì)算：（1）20212﹣4040×2021+20202．（2）20002﹣19992+19982﹣19972+…+22﹣12．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)完全平方公式和平方差公式解答即可．【解題過(guò)程】解：（1）原式＝20212﹣2×2020×2021+20202＝（2021﹣2020）2＝1；（2）20002﹣19992+19982﹣19972+…+22﹣12＝（2000+1999）（2000﹣1999）+（1998+1997）（1998﹣1997）+…+（2+1）（2﹣1）＝2000+1999+1998+1997+…+2+1＝（2000+1）+（1999+2）+（1998+3）+…（1001+1000）＝2001×1000＝2001000．12．（真題?玉州區(qū)期中）已知x+1x=136且0＜x【思路點(diǎn)撥】根據(jù)完全平方公式進(jìn)行變形求解．【解題過(guò)程】解：原式＝（x+1x）（x∵x+1∴（x+1x）2∴x2+1x2∴（x?1x）2＝x2﹣2+1又∵0＜x＜1，∴x?1∴x?1∴原式=1313．（真題?仁壽縣期末）閱讀下列文字，尋找規(guī)律，解答下列各小題．已知x≠1，計(jì)算：（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4（1﹣x）（1+x+x2+x3+x4）＝1﹣x5（1）觀察上式計(jì)算：（1﹣x）（1+x+x2+…+xm）＝．（2）計(jì)算：①（1﹣2）（1+2+22+23+…+22022）；②2+22+23+24+…+2m．【思路點(diǎn)撥】（1）觀察上面的式子得出規(guī)律，即可得出答案；（2）①當(dāng)x＝2時(shí)即可得出答案；②當(dāng)x＝2時(shí)，（1﹣2）（1+2+22+23+…+2m）＝1﹣2m+1，等式兩邊都除以﹣1，再減去1即可得出答案．【解題過(guò)程】解：（1）觀察上面的式子得到原式＝1﹣xm+1，故答案為：1﹣xm+1；（2）①當(dāng)x＝2時(shí)，原式＝1﹣22023；②當(dāng)x＝2時(shí)，（1﹣2）（1+2+22+23+…+2m）＝1﹣2m+1，∴1+2+22+23+…+2m＝2m+1﹣1，∴原式＝2m+1﹣2．14．（真題?長(zhǎng)春期末）【知識(shí)生成】用兩種不同方法計(jì)算同一圖形的面積，可以得到一個(gè)等式，如圖1，是用長(zhǎng)為x，寬為y（x＞y）的四個(gè)全等長(zhǎng)方形拼成一個(gè)大正方形，用兩種不同的方法計(jì)算陰影部分（小正方形）的面積，可以得到（x﹣y）2、（x+y）2、xy三者之間的等量關(guān)系式：；【知識(shí)遷移】如圖2所示的大正方體是由若干個(gè)小正方體和長(zhǎng)方體拼成的，用兩種不同的方法計(jì)算大正方體的體積，我們也可以得到一個(gè)等式：；【成果運(yùn)用】利用上面所得的結(jié)論解答：（1）已知x＞y，x+y＝3，xy=54，求x﹣（2）已知|a+b﹣4|+（ab﹣2）2＝0，則a3+b3＝．【思路點(diǎn)撥】知識(shí)生成：用兩種方法表示同一個(gè)圖形面積即可．知識(shí)遷移：用兩種方法表示同一個(gè)幾何體體積即可．成果應(yīng)用：利用前面得到的關(guān)系變形計(jì)算．【解題過(guò)程】解：知識(shí)生成：圖1中陰影部分面積可以表示為：（a﹣b）2，還可以表示為：（a+b）2﹣4ab．∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．知識(shí)遷移：圖2中幾何體的體積為：（a+b）3，還可以表示為：a3+3a2b+3ab2+b3．（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．成果應(yīng)用：（1）∵（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝9﹣5＝4．∴x﹣y＝±2．∵x＞y，∴x﹣y＝2．（2）∵|a+b﹣4|+（ab﹣2）2＝0，∴a+b﹣4＝0，ab﹣2＝0．∴a+b＝4，ab＝2．∴a3+b3＝（a+b）3﹣3a2b﹣3ab2＝（a+b）3﹣3ab（a+b）＝64﹣3×2×4＝40．故答案為：40．15．（真題?花都區(qū)期末）如圖1，有A型、B型、C型三種不同形狀的紙板，A型是邊長(zhǎng)為a的正方形，B型是邊長(zhǎng)為b的正方形，C型是長(zhǎng)為b，寬為a的長(zhǎng)方形．現(xiàn)用A型紙板一張，B型紙板一張，C型紙板兩張拼成如圖2的大正方形．（1）觀察圖2，請(qǐng)你用兩種方法表示出圖2的總面積．方法1：；方法2：；請(qǐng)利用圖2的面積表示方法，寫(xiě)出一個(gè)關(guān)于a，b的等式：．（2）已知圖2的總面積為49，一張A型紙板和一張B型紙板的面積之和為25，求ab的值．（3）用一張A型紙板和一張B型紙板，拼成圖3所示的圖形，若a+b＝8，ab＝15，求圖3中陰影部分的面積．【思路點(diǎn)撥】（1）由觀察圖2可得兩種方法表示出圖2的總面積為（a+b）2和a2+2ab+b2，關(guān)于a，b的等式（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）由題意得，a2+2ab+b2＝49，a2+b2＝25，兩個(gè)等式作差可求得此題結(jié)果；（3）由題意得b22+a【解題過(guò)程】解：（1）用兩種方法表示出圖2的總面積為（a+b）2和a2+2ab+b2，關(guān)于a，b的等式（a+b）2＝a2+2ab+b2，故答案為：（a+b）2，a2+2ab+b2，（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）由題意得，（a+b）2＝a2+2ab+b2＝49，a2+b2＝25，∴ab=(a+b（3）由題意得圖3中陰影部分的面積為：b22+a∴當(dāng)a+b＝8，ab＝15時(shí)，圖3中陰影部分的面積為：8216．（2021春?電白區(qū)月考）問(wèn)題再現(xiàn)：初中數(shù)學(xué)里的一些代數(shù)公式，很多都可以通過(guò)表示幾何圖形面積的方法進(jìn)行直觀推導(dǎo)和解釋?zhuān)?）例如：利用圖①的幾何意義推證，將一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形的邊長(zhǎng)增加b，形成兩個(gè)矩形和兩個(gè)正方形，這個(gè)大正方形的面積可以用兩種形式表示，分別用代數(shù)式表示為或，這就驗(yàn)證了乘法公式（用式子表達(dá)）；（2）問(wèn)題提出：如何利用圖形幾何意義的方法推證：13+23＝32？如圖②，A表示1個(gè)1×1的正方形，即：1×1×1＝13，B表示1個(gè)2×2的正方形，C與D恰好可以拼成1個(gè)2×2的正方形，因此：B，C，D就可以表示2個(gè)2×2的正方形，即：2×2×2＝23，而A，B，C，D恰好可以拼成一個(gè)（1+2）×（1+2）的大正方形，由此可得：13+23＝（1+2）2＝32＝9．嘗試解決：請(qǐng)你類(lèi)比上述推導(dǎo)過(guò)程，利用圖形幾何意義方法推證，然后求值：13+23+33＝．（要求自己構(gòu)造圖形并寫(xiě)出推證過(guò)程）．（3）問(wèn)題拓廣：（要求直接求出具體數(shù)值，不必有構(gòu)造圖形、推證過(guò)程）請(qǐng)用上面的表示幾何圖形面積的方法探究：13+23+33+…+103＝．【思路點(diǎn)撥】（1）用兩種方法分別表示大正方形的面積，根據(jù)面積相等得出乘法公式；（2）可以利用相同的方法進(jìn)行探究推證，構(gòu)成大正方形有9個(gè)基本圖形（3個(gè)正方形6個(gè)長(zhǎng)方形）組成，如圖所示可以推證；（3）根據(jù)（2）推導(dǎo)過(guò)程，得出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律計(jì)算即可．【解題過(guò)程】解：（1）大正方形的邊長(zhǎng)為（a+b），所以面積可以表示為：（a+b）2，也可以用兩個(gè)矩形和兩個(gè)正方形的面積的和來(lái)表示，即a2+2ab+b2，根據(jù)面積相等得到乘法公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．故答案為：（a+b）2；a2+2ab+b2；（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）如圖，A表示1個(gè)1×1的正方形，即1×1×1＝13；B表示1個(gè)2×2的正方形，C與D恰好可以拼成1個(gè)2×2的正方形，因此B、C、D就可以拼成2個(gè)2×2的正方形，即：2×2×2＝23；G與H、E與F和I可以拼成3個(gè)3×3的正方形，即：3×3×3＝33；而整個(gè)圖形恰好可以拼成一個(gè)（1+2+3）×（1+2+3）的大正方形，因此可得：13+23+33＝（1+2+3）2＝62＝36．故答案為：36．（3）根據(jù)規(guī)律可得：13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2．依據(jù)規(guī)律得：13+23+33+...+103＝（1+2+3+...+10）2＝552＝3025．故答案為：3025．17．（真題?東城區(qū)校級(jí)期中）老師在黑板上寫(xiě)出了一道思考題：已知a+b＝2，求a2+b2的最小值．（1）愛(ài)思考的小明同學(xué)想到了一種方法：先用b表示a，a＝2﹣b；再把a(bǔ)＝2﹣b代入a2+b2；a2+b2＝+b2；再進(jìn)行配方得到：a2+b2＝2（b﹣）2+；根據(jù)完全平方式的非負(fù)性，就得到了a2+b2的最小值是．（2）請(qǐng)你根據(jù)小明的方法，當(dāng)x+y＝10時(shí)，求x2+y2的最小值．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)小明的思路得到關(guān)于b的代數(shù)式，根據(jù)平方的非負(fù)性即可求得最小值；（2）根據(jù)小明的思路得到關(guān)于x的代數(shù)式，根據(jù)平方的非負(fù)性即可求得最小值．【解題過(guò)程】解：（1）∵a+b＝2，∴a＝2﹣b；代入a2+b2得到：a2+b2＝（2﹣b）2+b2＝4﹣4b+b2+b2＝2b2﹣4b+4＝2（b﹣1）2+2；根據(jù)完全平方式的非負(fù)性，就得到了a2+b2的最小值是2；故答案為：2﹣b，1，2，2；（2）∵x+y＝10，∴y＝10﹣x；∴x2+y2＝x2+（10﹣x）2＝2x2﹣20x+100＝2（x﹣5）2+50；根據(jù)完全平方式的非負(fù)性，就得到了x2+y2的最小值是50．根據(jù)小明的方法，當(dāng)x+y＝10時(shí)，x2+y2的最小值是50．18．（真題?十堰期末）閱讀、理解、應(yīng)用．例：計(jì)算：20163﹣2015×2016×2017．解：設(shè)2016＝x，則原式＝x3﹣（x﹣1）?x?（x+1）＝x3﹣x（x2﹣1）＝x＝2016．請(qǐng)你利用上述方法解答下列問(wèn)題：（1）計(jì)算：1232﹣124×122；（2）若M＝123456789×123456786，N＝123456788×123456787，請(qǐng)比較M，N的大??；（3）計(jì)算：(1【思路點(diǎn)撥】（1）仿照例題的思路，設(shè)123＝x，則124＝x+1，122＝x﹣1，然后進(jìn)行計(jì)算即可；（2）仿照例題的思路分別計(jì)算出M，N的值，然后進(jìn)行比較即可；（3）仿照例題的思路，設(shè)12+13【解題過(guò)程】解：（1）設(shè)123＝x，∴1232﹣124×122＝x2﹣（x+1）（x﹣1）＝x2﹣x2+1＝1；（2）設(shè)123456786＝x，∴M＝123456789×123456786＝（x+3）?x＝x2+3x，N＝123456788×123456787＝（x+2）（x+1）＝x2+3x+2，∴M＜N；（3）設(shè)12+13∴(＝（x+12021）（1+x）﹣（1+x+＝x+x2+12021+12021x﹣x=119．（真題?西山區(qū)校級(jí)期中）問(wèn)題情境：閱讀：若x滿足（8﹣x）（x﹣6）＝3，求（8﹣x）2+（x﹣6）2的值．解：設(shè)（8﹣x）＝a，（x﹣6）＝b，則（8﹣x）（x﹣6）＝ab＝3，a+b＝（8﹣x）+（x﹣6）＝2，所以（8﹣x）2+（x﹣6）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝22﹣2×3＝﹣2．請(qǐng)仿照上例解決下面的問(wèn)題：?jiǎn)栴}發(fā)現(xiàn)（1）若x滿足（3﹣x）（x﹣2）＝﹣10，求（3﹣x）2+（x﹣2）2的值．類(lèi)比探究（2）若x滿足（2021﹣x）2+（2020﹣x）2＝2019，求（2021﹣x