2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第01講數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法(知識(shí)+真題+10類高頻考點(diǎn))(精講)(學(xué)生版+解析)

第01講數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基礎(chǔ)知識(shí) 2第二部分：高考真題回顧 3第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過 3高頻考點(diǎn)一：利用與的關(guān)系求通項(xiàng)公式(角度1：利用替換) 3高頻考點(diǎn)二：利用與的關(guān)系求通項(xiàng)公式(角度2：利用替換) 4高頻考點(diǎn)三：角利用與的關(guān)系求通項(xiàng)公式(角度3：作差法求通項(xiàng)) 5高頻考點(diǎn)四：利用遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式（角度1：累加法） 6高頻考點(diǎn)五：利用遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式（角度2：累乘法） 8高頻考點(diǎn)六：利用遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式（角度3：構(gòu)造法） 9高頻考點(diǎn)七：利用遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式（角度4：倒數(shù)法） 10高頻考點(diǎn)八：數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用（角度1：數(shù)列的周期性） 12高頻考點(diǎn)九：數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用（角度2：數(shù)列的單調(diào)性） 12第四部分：新定義題 13第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)1、數(shù)列的有關(guān)概念概念含義數(shù)列按照一定順序排列的一列數(shù)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)數(shù)列的通項(xiàng)數(shù)列的第項(xiàng)通項(xiàng)公式如果數(shù)列的第項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系能用公式表示，這個(gè)公式叫做數(shù)列的通項(xiàng)公式前n項(xiàng)和數(shù)列中，叫做數(shù)列的前項(xiàng)和2、數(shù)列的表示方法（1）列表法列出表格來表示序號(hào)與項(xiàng)的關(guān)系．（2）圖象法數(shù)列的圖象是一系列孤立的點(diǎn)．（3）公式法①通項(xiàng)公式法：把數(shù)列的通項(xiàng)用公式表示的方法，如．②遞推公式法：使用初始值和或，和來表示數(shù)列的方法．3、與的關(guān)系若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則．4、數(shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)類型滿足條件項(xiàng)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系遞增數(shù)列其中遞減數(shù)列常數(shù)列第二部分：高考真題回顧1．（2024·全國(guó)·高考真題（甲卷文））已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.2．（2024·全國(guó)·高考真題（甲卷理））記為數(shù)列an的前項(xiàng)和，已知．(1)求an(2)設(shè)，求數(shù)列bn的前項(xiàng)和．第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過高頻考點(diǎn)一：利用與的關(guān)系求通項(xiàng)公式(角度1：利用替換)典型例題例題1．（23-24高二下·江蘇南京·階段練習(xí)）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是．例題2．（24-25高二上·上?！ふn后作業(yè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則數(shù)列通項(xiàng)公式．練透核心考點(diǎn)1．（23-24高一下·上?！て谀┮阎獢?shù)列的前項(xiàng)和，則它的通項(xiàng)公式．2．（23-24高二下·黑龍江雙鴨山·階段練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為.(1)求，；(2)求數(shù)列an高頻考點(diǎn)二：利用與的關(guān)系求通項(xiàng)公式(角度2：利用替換)典型例題例題1．（23-24高二下·江蘇南京·開學(xué)考試）設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，且.若對(duì)滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為．例題2．（23-24高二上·山東青島·期末）已知正項(xiàng)數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；練透核心考點(diǎn)1．（23-24高二下·四川南充·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;2．（23-24高二上·甘肅蘭州·期末）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列前項(xiàng)和為，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；高頻考點(diǎn)三：角利用與的關(guān)系求通項(xiàng)公式(角度3：作差法求通項(xiàng))方法總結(jié)：已知等式中左側(cè)含有：，作差法（類似）（注意記憶該模型）典型例題例題1．（23-24高二下·江西撫州·階段練習(xí)）數(shù)列滿足，則.例題2．（23-24高二下·遼寧·期中）已知正項(xiàng)等差數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，，設(shè)數(shù)列滿足.(1)分別求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；練透核心考點(diǎn)1．（23-24高二下·遼寧·期中）已知數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．2．（2024高三下·全國(guó)·專題練習(xí)）數(shù)列滿足，則．高頻考點(diǎn)四：利用遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式（角度1：累加法）累加法（疊加法）(記憶累積法模型)若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“變差數(shù)列”，求變差數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，利用恒等式求通項(xiàng)公式的方法稱為累加法。具體步驟：將上述個(gè)式子相加（左邊加左邊，右邊加右邊）得：=整理得：=典型例題例題1．（24-25高三上·遼寧沈陽(yáng)·開學(xué)考試）若數(shù)列an滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則例題2．（23-24高二下·廣東深圳·期末）設(shè)數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;練透核心考點(diǎn)1．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列滿足，且，則等于（

）A．148 B．149 C．152 D．2992．（23-24高二下·河南南陽(yáng)·期末）已知數(shù)列an滿足，當(dāng)時(shí)，.(1)求an高頻考點(diǎn)五：利用遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式（角度2：累乘法）累乘法（疊乘法）（記憶累乘法模型）若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“變比數(shù)列”，求變比數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，利用求通項(xiàng)公式的方法稱為累乘法。具體步驟：將上述個(gè)式子相乘（左邊乘左邊，右邊乘右邊）得：整理得：典型例題例題1．（23-24高二下·四川達(dá)州·期中）在數(shù)列中，若，且對(duì)任意有，則數(shù)列的前30項(xiàng)和為（

）A． B．C． D．例題2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，，.(1)求的通項(xiàng)公式；練透核心考點(diǎn)1．（2024高三下·全國(guó)·專題練習(xí)）在數(shù)列中，，前項(xiàng)和，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（

）A． B． C． D．2．（23-24高二下·廣東佛山·期中）已知數(shù)列滿足.(1)求的通項(xiàng)公式.高頻考點(diǎn)六：利用遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式（角度3：構(gòu)造法）用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”將原等式變形為（其中：），由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.標(biāo)準(zhǔn)模型：（為常數(shù)，）或（為常數(shù)，）典型例題例題1．（23-24高二下·江西南昌·階段練習(xí)）已知數(shù)列an的遞推公式為且，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和=例題2．（23-24高二下·四川南充·期中）已知數(shù)列an的首項(xiàng)為，且滿足，則．例題3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，.求數(shù)列的通項(xiàng)公式；練透核心考點(diǎn)1．（23-24高二下·河南·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；2．（2024高三下·四川成都·專題練習(xí)）已知數(shù)列an的前項(xiàng)和為，且滿足．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；高頻考點(diǎn)七：利用遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式（角度4：倒數(shù)法）用“倒數(shù)變換法”構(gòu)造等差數(shù)列類型1：形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，通過兩邊取“倒”，變形為，即：，從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，即可求得.類型2：形如（為常數(shù)，，，）的數(shù)列，通過兩邊取“倒”，變形為，可通過換元：，化簡(jiǎn)為：（此類型符構(gòu)造法類型1：用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列：形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”將原例題1．（23-24高二上·云南昆明·階段練習(xí)）數(shù)列中，，則的值為（

）A． B． C．5 D．例題2．（23-24高二下·河南信陽(yáng)·期末）意大利數(shù)學(xué)家斐波那契提出了一個(gè)著名的兔子問題，得到了斐波那契數(shù)列.數(shù)列滿足，.現(xiàn)從數(shù)列的前2023項(xiàng)中隨機(jī)抽取1項(xiàng)，能被3除余1的概率是（

）A． B． C． D．練透核心考點(diǎn)1．（23-24高二下·四川成都·期中）已知數(shù)列滿足，（），則（

）A．2 B． C． D．20232．（23-24高二下·河南焦作·期中）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，若且，則.高頻考點(diǎn)九：數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用（角度2：數(shù)列的單調(diào)性）方法總結(jié)：求數(shù)列最值的常用方法(1)利用數(shù)列的單調(diào)性:根據(jù)單調(diào)性求數(shù)列的最值.(2)通過建立不等式組求解:若設(shè)第()項(xiàng)最大,則有解該不等式組確定的值即得數(shù)列的最大值（注意）.(3)通過建立不等式組求解:若設(shè)第()項(xiàng)最大,則有解該不等式組確定的值即得數(shù)列的最小值（注意）.典型例題例題1．（24-25高三上·廣東汕頭·開學(xué)考試）已知數(shù)列，則數(shù)列的前100項(xiàng)中的最小項(xiàng)和最大項(xiàng)分別是（

）A．， B．， C．， D．，例題2．（23-24高二下·北京房山·期末）設(shè)無窮數(shù)列的通項(xiàng)公式為.若是單調(diào)遞減數(shù)列，則的一個(gè)取值為.練透核心考點(diǎn)1．（23-24高一下·天津）已知，則數(shù)列的最大項(xiàng)（

）A． B． C．或 D．不存在2．（23-24高二上·江蘇南京·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，且數(shù)列是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．第四部分：新定義題1．（多選）（山東省青島市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期初調(diào)研檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）設(shè)數(shù)列an和bn的項(xiàng)數(shù)均為，稱為數(shù)列an和bn的距離．記滿足的所有數(shù)列an構(gòu)成的集合為．已知數(shù)列和為中的兩個(gè)元素，項(xiàng)數(shù)均為，下列正確的有（

）A．?dāng)?shù)列和數(shù)列的距離為B．若，則C．若，則D．若，，數(shù)列和的距離小于，則的最大值為2．（24-25高三上·山東菏澤·開學(xué)考試）已知數(shù)集具有性質(zhì)：對(duì)任意的與兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于.(1)分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)，并說明理由；(2)（i）證明：且；（ii）當(dāng)時(shí)，若，寫出集合.3．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）定義：已知數(shù)列為有窮數(shù)列，①對(duì)任意（），總存在，使得，則稱數(shù)列為“乘法封閉數(shù)列”；②對(duì)任意（），總存在，使得，則稱數(shù)列為“除法封閉數(shù)列”，(1)若，判斷數(shù)列是否為“乘法封閉數(shù)列”.(2)已知遞增數(shù)列，為“除法封閉數(shù)列"，求和.(3)已知數(shù)列是以1為首項(xiàng)的遞增數(shù)列，共有項(xiàng)，，且為“除法封閉數(shù)列”，探究：數(shù)列是否為等比數(shù)列，若是，請(qǐng)給出說明過程；若不是，請(qǐng)寫出一個(gè)滿足條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式.第01講數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基礎(chǔ)知識(shí) 1第二部分：高考真題回顧 3第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過 4高頻考點(diǎn)一：利用與的關(guān)系求通項(xiàng)公式(角度1：利用替換) 4高頻考點(diǎn)二：利用與的關(guān)系求通項(xiàng)公式(角度2：利用替換) 6高頻考點(diǎn)三：角利用與的關(guān)系求通項(xiàng)公式(角度3：作差法求通項(xiàng)) 8高頻考點(diǎn)四：利用遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式（角度1：累加法） 11高頻考點(diǎn)五：利用遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式（角度2：累乘法） 13高頻考點(diǎn)六：利用遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式（角度3：構(gòu)造法） 16高頻考點(diǎn)七：利用遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式（角度4：倒數(shù)法） 18高頻考點(diǎn)八：數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用（角度1：數(shù)列的周期性） 20高頻考點(diǎn)九：數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用（角度2：數(shù)列的單調(diào)性） 22第四部分：新定義題 24第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)1、數(shù)列的有關(guān)概念概念含義數(shù)列按照一定順序排列的一列數(shù)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)數(shù)列的通項(xiàng)數(shù)列的第項(xiàng)通項(xiàng)公式如果數(shù)列的第項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系能用公式表示，這個(gè)公式叫做數(shù)列的通項(xiàng)公式前n項(xiàng)和數(shù)列中，叫做數(shù)列的前項(xiàng)和2、數(shù)列的表示方法（1）列表法列出表格來表示序號(hào)與項(xiàng)的關(guān)系．（2）圖象法數(shù)列的圖象是一系列孤立的點(diǎn)．（3）公式法①通項(xiàng)公式法：把數(shù)列的通項(xiàng)用公式表示的方法，如．②遞推公式法：使用初始值和或，和來表示數(shù)列的方法．3、與的關(guān)系若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則．4、數(shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)類型滿足條件項(xiàng)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系遞增數(shù)列其中遞減數(shù)列常數(shù)列第二部分：高考真題回顧1．（2024·全國(guó)·高考真題（甲卷文））已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】寫出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、分組（并項(xiàng)）法求和、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首項(xiàng)后可求通項(xiàng)；（2）利用分組求和法即可求.【詳解】（1）因?yàn)?故，所以即故等比數(shù)列的公比為，故，故，故.（2）由等比數(shù)列求和公式得，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和.2．（2024·全國(guó)·高考真題（甲卷理））記為數(shù)列an的前項(xiàng)和，已知．(1)求an(2)設(shè)，求數(shù)列bn的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】錯(cuò)位相減法求和、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)【分析】（1）利用退位法可求an（2）利用錯(cuò)位相減法可求.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得．當(dāng)時(shí)，，所以即，而，故，故，∴數(shù)列an是以4為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以.（2）,所以故所以，.第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過高頻考點(diǎn)一：利用與的關(guān)系求通項(xiàng)公式(角度1：利用替換)典型例題例題1．（23-24高二下·江蘇南京·階段練習(xí)）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)【分析】分解因式化簡(jiǎn)條件式得，利用與的關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】由可得，所以（舍），，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，將代入，，所以的通項(xiàng)公式是故答案為：．例題2．（24-25高二上·上?！ふn后作業(yè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則數(shù)列通項(xiàng)公式．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)【分析】利用結(jié)合已知條件求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椴环仙鲜?，所?故答案為：練透核心考點(diǎn)1．（23-24高一下·上?！て谀┮阎獢?shù)列的前項(xiàng)和，則它的通項(xiàng)公式．【答案】．【知識(shí)點(diǎn)】利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)【分析】由與的關(guān)系，化簡(jiǎn)可得所求通項(xiàng)公式．【詳解】由，可得時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．此時(shí)，當(dāng)綜上，可得．故答案為：．2．（23-24高二下·黑龍江雙鴨山·階段練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為.(1)求，；(2)求數(shù)列an【答案】(1)，(2).【知識(shí)點(diǎn)】利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)【分析】（1）賦值法求得，再根據(jù)求解即可；（2）利用和關(guān)系求解通項(xiàng)公式即可.【詳解】（1）令得，令得，所以.（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)滿足上式，所以.高頻考點(diǎn)二：利用與的關(guān)系求通項(xiàng)公式(角度2：利用替換)典型例題例題1．（23-24高二下·江蘇南京·開學(xué)考試）設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，且.若對(duì)滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)、裂項(xiàng)相消法求和【分析】先根據(jù)關(guān)系化簡(jiǎn)，再根據(jù)等差數(shù)列求出通項(xiàng)最后應(yīng)用裂項(xiàng)相消求和即可.【詳解】由題知，.因?yàn)?，所?兩邊同時(shí)除以得，，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以所以，因?yàn)?，所以?shù)列的前項(xiàng)和為.故答案為：例題2．（23-24高二上·山東青島·期末）已知正項(xiàng)數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)；【知識(shí)點(diǎn)】錯(cuò)位相減法求和、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)、利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用變形給定等式，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出，再求出數(shù)列an的通項(xiàng).【詳解】（1）由，得，則，而，因此是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，于是，即，當(dāng)時(shí)，，滿足上式，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式.練透核心考點(diǎn)1．（23-24高二下·四川南充·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;【答案】(1)【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)、裂項(xiàng)相消法求和【分析】（1）通過與的關(guān)系，求出數(shù)列為等差數(shù)列，進(jìn)而求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【詳解】（1）由題意可知，，所以當(dāng)時(shí)，，，所以，即，故數(shù)列首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，所以，即，當(dāng)時(shí)成立.所以.所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.2．（23-24高二上·甘肅蘭州·期末）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列前項(xiàng)和為，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【知識(shí)點(diǎn)】確定數(shù)列中的最大（?。╉?xiàng)、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)、裂項(xiàng)相消法求和【分析】（1）根據(jù)條件得到，即數(shù)列構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，從而得到，再利用與間的關(guān)系，即可求出結(jié)果；【詳解】（1）因?yàn)?，得到，又，所以?shù)列構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，故，得到，當(dāng)時(shí)，，所以，又時(shí)，，即，也滿足，所以.高頻考點(diǎn)三：角利用與的關(guān)系求通項(xiàng)公式(角度3：作差法求通項(xiàng))方法總結(jié)：已知等式中左側(cè)含有：，作差法（類似）（注意記憶該模型）典型例題例題1．（23-24高二下·江西撫州·階段練習(xí)）數(shù)列滿足，則.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)【分析】當(dāng)時(shí)求出，當(dāng)時(shí)，作差即可得解.【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，所以，當(dāng)時(shí)不成立，所以.故答案為：例題2．（23-24高二下·遼寧·期中）已知正項(xiàng)等差數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，，設(shè)數(shù)列滿足.(1)分別求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；【答案】(1)，【知識(shí)點(diǎn)】利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和【分析】（1）利用等差數(shù)列基本量運(yùn)算求得，再由bn的和式采用作差法求得并驗(yàn)證即得通項(xiàng)；【詳解】（1）設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列an的公差為，因?yàn)?，，所以，解得：所?數(shù)列bn滿足設(shè)，當(dāng)時(shí)，有，即，當(dāng)時(shí)，有，得符合，所以練透核心考點(diǎn)1．（23-24高二下·遼寧·期中）已知數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)【分析】由數(shù)列遞推式考慮賦值作差，即可求出，需要檢測(cè)首項(xiàng)是否符合.【詳解】由①知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，②，由①②：，即得，當(dāng)時(shí)，符合題意，故.故選：A.2．（2024高三下·全國(guó)·專題練習(xí)）數(shù)列滿足，則．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)【分析】令，得到，結(jié)合與的關(guān)系，求得，進(jìn)而求得，得到答案.【詳解】令，的前項(xiàng)和為，因?yàn)?，可得，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，將代入上式可得，綜上可得，即，所以.故答案為：.高頻考點(diǎn)四：利用遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式（角度1：累加法）累加法（疊加法）(記憶累積法模型)若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“變差數(shù)列”，求變差數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，利用恒等式求通項(xiàng)公式的方法稱為累加法。具體步驟：將上述個(gè)式子相加（左邊加左邊，右邊加右邊）得：=整理得：=典型例題例題1．（24-25高三上·遼寧沈陽(yáng)·開學(xué)考試）若數(shù)列an滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則【答案】/【知識(shí)點(diǎn)】累加法求數(shù)列通項(xiàng)、裂項(xiàng)相消法求和【分析】根據(jù)給定條件，利用累加法求出，再利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】當(dāng)時(shí)，，而滿足上式，因此，，.故答案為：例題2．（23-24高二下·廣東深圳·期末）設(shè)數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;【答案】(1)【知識(shí)點(diǎn)】累加法求數(shù)列通項(xiàng)、裂項(xiàng)相消法求和、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、分組（并項(xiàng)）法求和【分析】（1）利用累加法求解數(shù)列通項(xiàng)公式，再根據(jù)分組求和進(jìn)行化簡(jiǎn)；【詳解】（1）可知上式相加得所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式練透核心考點(diǎn)1．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列滿足，且，則等于（

）A．148 B．149 C．152 D．299【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】累加法求數(shù)列通項(xiàng)、根據(jù)數(shù)列遞推公式寫出數(shù)列的項(xiàng)【分析】根據(jù)遞推公式求和偶數(shù)項(xiàng)之間的遞推關(guān)系，然后由累加法可得.【詳解】由題意得，因?yàn)椋?，所以，所以．故選：B．2．（23-24高二下·河南南陽(yáng)·期末）已知數(shù)列an滿足，當(dāng)時(shí)，.(1)求an【答案】(1)【知識(shí)點(diǎn)】累加法求數(shù)列通項(xiàng)、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和、由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式、數(shù)列不等式恒成立問題【分析】（1）應(yīng)用累加法求通項(xiàng)公式；【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，.又，因此an的通項(xiàng)公式為.高頻考點(diǎn)五：利用遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式（角度2：累乘法）累乘法（疊乘法）（記憶累乘法模型）若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“變比數(shù)列”，求變比數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，利用求通項(xiàng)公式的方法稱為累乘法。具體步驟：將上述個(gè)式子相乘（左邊乘左邊，右邊乘右邊）得：整理得：典型例題例題1．（23-24高二下·四川達(dá)州·期中）在數(shù)列中，若，且對(duì)任意有，則數(shù)列的前30項(xiàng)和為（

）A． B．C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】錯(cuò)位相減法求和、累乘法求數(shù)列通項(xiàng)【分析】由累乘法求出，再由錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的前項(xiàng)和為，即可求出.【詳解】因?yàn)槿我庥?，所以，，，……，，上式累乘可得：，因?yàn)?，所以，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，兩式相減可得：，所以，所以，所以.故選：D.例題2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，，.(1)求的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【知識(shí)點(diǎn)】錯(cuò)位相減法求和、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)、累乘法求數(shù)列通項(xiàng)【分析】（1）利用之間的關(guān)系，再結(jié)合累乘法計(jì)算化簡(jiǎn)即可．（2）表示出數(shù)列的前項(xiàng)和，利用錯(cuò)位相減法計(jì)算化簡(jiǎn)即可．【詳解】（1）結(jié)合題意：因?yàn)棰?，?dāng)時(shí)，②，所以①-②得，即，所以，當(dāng)時(shí)，上式也成立.故an的通項(xiàng)公式．練透核心考點(diǎn)1．（2024高三下·全國(guó)·專題練習(xí)）在數(shù)列中，，前項(xiàng)和，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】累乘法求數(shù)列通項(xiàng)、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)【分析】根據(jù)數(shù)列遞推式，得，兩式相減，可得，利用累乘法，即可得到結(jié)論【詳解】由于數(shù)列中，，前項(xiàng)和，∴當(dāng)時(shí)，，兩式相減可得：∴，所以，因此，故選：A.2．（23-24高二下·廣東佛山·期中）已知數(shù)列滿足.(1)求的通項(xiàng)公式.【答案】(1)【知識(shí)點(diǎn)】錯(cuò)位相減法求和、累乘法求數(shù)列通項(xiàng)、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和【分析】（1）根據(jù)題意利用累乘法可求得通項(xiàng)公式；【詳解】（1）因?yàn)?，所以，，，……，，所以，所以，得；高頻考點(diǎn)六：利用遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式（角度3：構(gòu)造法）用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”將原等式變形為（其中：），由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.標(biāo)準(zhǔn)模型：（為常數(shù)，）或（為常數(shù)，）典型例題例題1．（23-24高二下·江西南昌·階段練習(xí)）已知數(shù)列an的遞推公式為且，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和=【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求等比數(shù)列前n項(xiàng)和、構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)、由遞推關(guān)系證明等比數(shù)列【分析】由題意可得是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即可求出，再由分組求和法求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，數(shù)列的前n項(xiàng)和.故答案為：例題2．（23-24高二下·四川南充·期中）已知數(shù)列an的首項(xiàng)為，且滿足，則．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)、由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式、寫出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式【分析】借助所給條件可構(gòu)造，即可得數(shù)列為等比數(shù)列，即可得.【詳解】由，即，則，又，故數(shù)列是以為公比、為首項(xiàng)的等比數(shù)列，即，則.故答案為：.例題3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，.求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】【知識(shí)點(diǎn)】由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式、寫出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)【分析】構(gòu)造法得到新數(shù)列為等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，再得到原數(shù)列通項(xiàng)公式.【詳解】因?yàn)椋?，又因?yàn)椋詳?shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，，①又因?yàn)椋?，?shù)列為常數(shù)列，故，②②①可得，所以，，所以，對(duì)任意的，.練透核心考點(diǎn)1．（23-24高二下·河南·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；【答案】(1)證明見解析【知識(shí)點(diǎn)】由遞推關(guān)系證明等比數(shù)列、構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、寫出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式【分析】（1）分析可得，結(jié)合等比數(shù)列的定義分析證明；【詳解】（1）因?yàn)?，則，且，可得，所以是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列；2．（2024高三下·四川成都·專題練習(xí)）已知數(shù)列an的前項(xiàng)和為，且滿足．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；【答案】(1)證明見解析【知識(shí)點(diǎn)】由遞推關(guān)系證明等比數(shù)列、錯(cuò)位相減法求和、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)、構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)【分析】（1）由與的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，可得所求；【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，由，可得,兩式相減得，所以，又因?yàn)?，所以是首?xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.高頻考點(diǎn)七：利用遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式（角度4：倒數(shù)法）用“倒數(shù)變換法”構(gòu)造等差數(shù)列類型1：形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，通過兩邊取“倒”，變形為，即：，從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，即可求得.類型2：形如（為常數(shù)，，，）的數(shù)列，通過兩邊取“倒”，變形為，可通過換元：，化簡(jiǎn)為：（此類型符構(gòu)造法類型1：用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列：形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”將原等式變形為（其中：），由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.）典型例題例題1．（24-25高三上·四川瀘州·開學(xué)考試）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；【答案】(1)證明見詳解；【知識(shí)點(diǎn)】由遞推關(guān)系證明等比數(shù)列、分組（并項(xiàng)）法求和、構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)【分析】（1）將已知等式取倒，通過構(gòu)造數(shù)列即可得證；【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，又，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.例題2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式、構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)、寫出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、由遞推關(guān)系證明等比數(shù)列【分析】根據(jù)題意先證數(shù)列為等比數(shù)列，再結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式分析求解.【詳解】因?yàn)?，且，可知，則，可得，且，可知數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為4的等比數(shù)列，可得，所以.練透核心考點(diǎn)1．（23-24高一下·上?！て谀┰跀?shù)列中，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；【答案】(1)；【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用、裂項(xiàng)相消法求和、構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)【分析】（1）依題意得，而，則數(shù)列為等差數(shù)列，即可求解；【詳解】（1）解：由，得，得，而，則數(shù)列為等差數(shù)列，其首項(xiàng)為1，公差為1，則，故的通項(xiàng)公式為：，2．（2024·陜西咸陽(yáng)·三模）數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列通項(xiàng)公式；【答案】(1)；【知識(shí)點(diǎn)】利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式、分組（并項(xiàng)）法求和、構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)【分析】（1）變形給定等式，利用等差數(shù)列求出通項(xiàng)即得.【詳解】（1）數(shù)列an中，，，顯然，則，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，，所以數(shù)列an通項(xiàng)公式是.高頻考點(diǎn)八：數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用（角度1：數(shù)列的周期性）典型例題例題1．（23-24高二上·云南昆明·階段練習(xí)）數(shù)列中，，則的值為（

）A． B． C．5 D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)數(shù)列遞推公式寫出數(shù)列的項(xiàng)、數(shù)列周期性的應(yīng)用【分析】根據(jù)題意，得到數(shù)列an的周期性，結(jié)合，即可求解.【詳解】由數(shù)列an中，，可得，可得數(shù)列an是以三項(xiàng)為周期的周期性循環(huán)出現(xiàn)，所以.故選：A.例題2．（23-24高二下·河南信陽(yáng)·期末）意大利數(shù)學(xué)家斐波那契提出了一個(gè)著名的兔子問題，得到了斐波那契數(shù)列.數(shù)列滿足，.現(xiàn)從數(shù)列的前2023項(xiàng)中隨機(jī)抽取1項(xiàng)，能被3除余1的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】計(jì)算古典概型問題的概率、數(shù)列周期性的應(yīng)用【分析】求出數(shù)列各項(xiàng)的余數(shù)，得到余數(shù)數(shù)列為周期數(shù)列，周期為8，從而得到前2023項(xiàng)中被3除余1的有項(xiàng)，得到概率.【詳解】根據(jù)斐波那契數(shù)列的定義知，，被3除的余數(shù)依次為1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，…，余數(shù)數(shù)列為周期數(shù)列，周期為8，，所以數(shù)列的前2023項(xiàng)中被3除余1的有項(xiàng)，故所求概率為.故選：D.練透核心考點(diǎn)1．（23-24高二下·四川成都·期中）已知數(shù)列滿足，（），則（

）A．2 B． C． D．2023【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列周期性的應(yīng)用、根據(jù)數(shù)列遞推公式寫出數(shù)列的項(xiàng)【分析】由題意確定數(shù)列為周期數(shù)列，然后求解即可.【詳解】由,可推得,所以數(shù)列是以3為周期的一個(gè)周期數(shù)列,所以.故選：B.2．（23-24高二下·河南焦作·期中）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，若且，則.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】由遞推數(shù)列研究數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)、數(shù)列周期性的應(yīng)用【分析】計(jì)算數(shù)列的前幾項(xiàng)，推得數(shù)列是最小正周期為4的數(shù)列，由，可得首項(xiàng)為2，進(jìn)而得到所求和．【詳解】若，即，設(shè)，，，，，可得數(shù)列是最小正周期為4的數(shù)列，則，即有，，，，可得，則．故答案為：．高頻考點(diǎn)九：數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用（角度2：數(shù)列的單調(diào)性）方法總結(jié)：求數(shù)列最值的常用方法(1)利用數(shù)列的單調(diào)性:根據(jù)單調(diào)性求數(shù)列的最值.(2)通過建立不等式組求解:若設(shè)第()項(xiàng)最大,則有解該不等式組確定的值即得數(shù)列的最大值（注意）.(3)通過建立不等式組求解:若設(shè)第()項(xiàng)最大,則有解該不等式組確定的值即得數(shù)列的最小值（注意）.典型例題例題1．（24-25高三上·廣東汕頭·開學(xué)考試）已知數(shù)列，則數(shù)列的前100項(xiàng)中的最小項(xiàng)和最大項(xiàng)分別是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】確定數(shù)列中的最大（?。╉?xiàng)【分析】先化簡(jiǎn)，再借助函數(shù)的單調(diào)性分析得解.【詳解】，因?yàn)?，所以時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增，且；時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增，且.∴在數(shù)列的前100項(xiàng)中最小項(xiàng)和最大項(xiàng)分別是.故選：B.例題2．（23-24高二下·北京房山·期末）設(shè)無窮數(shù)列的通項(xiàng)公式為.若是單調(diào)遞減數(shù)列，則的一個(gè)取值為.【答案】（答案不唯一，即可）【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求參數(shù)、數(shù)列不等式恒成立問題【分析】根據(jù)數(shù)列的函數(shù)特性，可得，解不等式可得的取值范圍.【詳解】由可得，又是單調(diào)遞減數(shù)列，可得，即，整理得恒成立，即恒成立，∴，又因?yàn)椋裕慈≈捣秶鸀?，故答案為：（答案不唯一，即可）練透核心考點(diǎn)1．（23-24高一下·天津）已知，則數(shù)列的最大項(xiàng)（

）A． B． C．或 D．不存在【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】判斷數(shù)列的增減性、確定數(shù)列中的最大（小）項(xiàng)、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）【分析】令，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)遞增和單調(diào)遞減區(qū)間，求出取得極大值時(shí)的值，求出數(shù)列的最大項(xiàng).【詳解】令，所以，所以在上遞增，在上遞減，所以時(shí)，函數(shù)取得極大值即最大值，因?yàn)椋?，所以?shù)列的最大項(xiàng)為或.故選：C.2．（23-24高二上·江蘇南京·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，且數(shù)列是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求參數(shù)【分析】由數(shù)列的單調(diào)性求解．【詳解】由題意，解得.故選：C.第四部分：新定義題1．（多選）（山東省青島市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期初調(diào)研檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）設(shè)數(shù)列an和bn的項(xiàng)數(shù)均為，稱為數(shù)列an和bn的距離．記滿足的所有數(shù)列an構(gòu)成的集合為．已知數(shù)列和為中的兩個(gè)元素，項(xiàng)數(shù)均為，下列正確的有（

）A．?dāng)?shù)列和數(shù)列的距離為B．若，則C．若，則D．若，，數(shù)列和的距離小于，則的最大值為【答案】ABD【知識(shí)點(diǎn)】由遞推數(shù)列研究數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)、分組（并項(xiàng)）法求和、數(shù)列新定義【分析】根