2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第02講平面向量基本定理及坐標(biāo)表示(含新定義解答題)(分層精練)(學(xué)生版+解析)

第02講平面向量基本定理及坐標(biāo)表示(分層精練）A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習(xí)）若向量，則（

）A．1 B． C． D．42．（23-24高一下·安徽合肥·階段練習(xí)）已知，用，表示，則等于（

）A． B．C． D．3．（2024·四川廣安·二模）已知，分別為的邊，的中點(diǎn)，若，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．4．（23-24高一下·山東棗莊·階段練習(xí)）若向量，則（

）A． B． C． D．5．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習(xí)）在銳角中，為邊上的高，，，則的值為（

）A． B． C． D．6．（23-24高一下·山東·階段練習(xí)）在中，為的重心，滿足，則（

）A． B． C．0 D．7．（2024·福建漳州·模擬預(yù)測）在中，是邊上一點(diǎn)，且是的中點(diǎn)，記，則（

）A． B． C． D．(1)用分別表示向量，;(2)求證:B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線.14．（23-24高一下·天津靜?！るA段練習(xí)）已知向量，．(1)求的值；(2)求及向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)；(3)若，且、、三點(diǎn)共線，求的值．15．（23-24高一下·遼寧撫順·開學(xué)考試）在第六章平面向量初步中我們學(xué)習(xí)了向量的加法、減法和數(shù)乘向量三種運(yùn)算，以及由它們組合成的線性運(yùn)算.那向量乘法該怎樣運(yùn)算呢？數(shù)學(xué)中向量的乘法有兩種：數(shù)量積和矢量積.這些我們還都沒學(xué)到.現(xiàn)在我們重新定義一種向量的乘法運(yùn)算：若，，則.請(qǐng)按這種運(yùn)算，解答如下兩道題.(1)已知，，求.(2)已知，，求.B能力提升1．（2024·四川宜賓·二模）已知向量，向量滿足，，則（）A． B． C． D．2．（23-24高一下·重慶萬州·階段練習(xí)）在三角形中，點(diǎn)是在邊上且邊上存在點(diǎn)滿足，直線和直線交于點(diǎn)，若，則的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．53．（22-23高三上·全國·階段練習(xí)）在平行四邊形中，，，若，則（

）A．1 B．2 C．4 D．84．（2024·云南紅河·二模）如圖，在棱長均相等的斜三棱柱中，，，若存在，使成立，則的最小值為.5．（23-24高一下·遼寧撫順·階段練習(xí)）如圖，正方形中，分別為線段上的點(diǎn)，滿足，連接交于點(diǎn)．

(1)求證：；(2)設(shè)，求的最大值和的最大值.C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）1．（22-23高一下·北京·期中）對(duì)平面向量，定義.(1)設(shè)，求；(2)設(shè)，，，，，點(diǎn)是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，其中是整數(shù).（?。┯洠?，，，的最大值為，直接寫出的最小值及當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo).（ⅱ）記.求的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo).第02講平面向量基本定理及坐標(biāo)表示(分層精練）A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習(xí)）若向量，則（

）A．1 B． C． D．4【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用共線向量的坐標(biāo)表示求解即得.【詳解】向量，所以，即.故選：C2．（23-24高一下·安徽合肥·階段練習(xí)）已知，用，表示，則等于（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量減法，將用表示，然后整理可得.【詳解】因?yàn)?，所以，整理?故選：C3．（2024·四川廣安·二模）已知，分別為的邊，的中點(diǎn)，若，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量的數(shù)乘運(yùn)算，向量坐標(biāo)與終點(diǎn)、始點(diǎn)的關(guān)系可解.【詳解】因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以，設(shè)，又，所以即，解得.故選：A

4．（23-24高一下·山東棗莊·階段練習(xí)）若向量，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量的運(yùn)算法則，即可求解.【詳解】由向量，可得.故選：C.5．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習(xí)）在銳角中，為邊上的高，，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)及得到，即可得到，再由平面向量線性運(yùn)算法則及平面向量基本定理求出、，即可得解.【詳解】如圖在銳角中，為邊上的高，所以，，又，所以，所以，則，所以，又，所以，所以.故選：C

6．（23-24高一下·山東·階段練習(xí)）在中，為的重心，滿足，則（

）A． B． C．0 D．【答案】C【分析】由題意作圖，根據(jù)重心的幾何性質(zhì)，得到線段的比例關(guān)系，利用平面向量的運(yùn)算，可得答案.【詳解】設(shè)相交于點(diǎn)，為的重心，

可得為中點(diǎn)，，，所以，所以.故選：C.7．（2024·福建漳州·模擬預(yù)測）在中，是邊上一點(diǎn)，且是的中點(diǎn)，記，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可.【詳解】，故選：D．

8．（23-24高一下·重慶渝中·階段練習(xí)）鍵線式可以直觀地描述有機(jī)物的結(jié)構(gòu)，在有機(jī)化學(xué)中廣泛使用．有機(jī)物“萘”可以用下左圖所示的鍵線式表示，其結(jié)構(gòu)簡式可以抽象為下右圖所示的圖形．已知與為全等的正六邊形．若點(diǎn)為右邊正六邊形的邊界（包括頂點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，且向量，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由“等和線定理”結(jié)合圖形分析得解.【詳解】由平面向量共線定理可得，，，則三點(diǎn)共線的充要條件是.下面先證明“等和線定理”，如圖，設(shè)，，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以存在，使得.，，，則.由“等和線定理”結(jié)合圖形可知：當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，易得，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，易得，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，易得，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，易得，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，易得，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，易得，綜上，可得.故選：C．二、多選題9．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習(xí)）已知向量，不共線，且，，，若，，三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】AC【分析】首先表示出、，依題意可得，根據(jù)平面向量共線定理得到，從而得到關(guān)于、的方程組，解得即可.【詳解】因?yàn)?，，，所以，，又向量，不共線，，，三點(diǎn)共線，所以，則，即，所以，解得或.故選：AC10．（23-24高二上·廣東東莞·階段練習(xí)）若三點(diǎn)共線，則m的值為（

）A．－2 B．－13 C．2 D．13【答案】CD【分析】利用平面向量共線的坐標(biāo)表示計(jì)算即可.【詳解】由題意可知，因?yàn)槿c(diǎn)共線，則共線，不妨設(shè)，則或13.故選：CD三、填空題11．（23-24高一下·福建莆田·階段練習(xí)）在三角形ABC中，D是BC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，E為AD中點(diǎn)，若則.【答案】【分析】根據(jù)向量基本定理得到答案.【詳解】因?yàn)镋為AD中點(diǎn)，所以，因?yàn)镈是BC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，所以，所以.故答案為：12．（23-24高一下·天津?yàn)I海新·階段練習(xí)）已知：點(diǎn)和向量，若，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是．【答案】【分析】設(shè)，利用向量共線的關(guān)系，列出方程求解即可.【詳解】設(shè)，則，所以，解得：.所以點(diǎn)B的坐標(biāo)是.故答案為：.四、解答題13．（23-24高一下·遼寧撫順·開學(xué)考試）如圖，在中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)，，，.(1)用分別表示向量，;(2)求證:B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線.【答案】(1)，；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合幾何圖形用基底表示向量即得.（2）由（1）的信息，利用共線向量的定理推理即可.【詳解】（1）在中，由D是BC的中點(diǎn)，得，而，于是又F是AC的中點(diǎn)，所以.（2）由（1）知，，因此，即，而有公共點(diǎn)，所以B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線.14．（23-24高一下·天津靜?！るA段練習(xí)）已知向量，．(1)求的值；(2)求及向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)；(3)若，且、、三點(diǎn)共線，求的值．【答案】(1)(2)，，(3)【分析】（1）首先求出的坐標(biāo)，再由坐標(biāo)法求出向量的模；（2）由坐標(biāo)法求出、，再根據(jù)投影向量的定義計(jì)算可得；（3）首先求出、的坐標(biāo)，依題意，根據(jù)平面向量共線的坐標(biāo)表示得到方程，解得即可.【詳解】（1）∵，，∴，∴；（2），，∴，；向量在向量上的投影向量為.（3）、、三點(diǎn)共線，，，，.15．（23-24高一下·遼寧撫順·開學(xué)考試）在第六章平面向量初步中我們學(xué)習(xí)了向量的加法、減法和數(shù)乘向量三種運(yùn)算，以及由它們組合成的線性運(yùn)算.那向量乘法該怎樣運(yùn)算呢？數(shù)學(xué)中向量的乘法有兩種：數(shù)量積和矢量積.這些我們還都沒學(xué)到.現(xiàn)在我們重新定義一種向量的乘法運(yùn)算：若，，則.請(qǐng)按這種運(yùn)算，解答如下兩道題.(1)已知，，求.(2)已知，，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）直接利用新定義計(jì)算即可；（2）設(shè)，利用新定義計(jì)算，列方程組求解.【詳解】（1）因?yàn)椋?，，所以；?）設(shè)，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，解，得，?B能力提升1．（2024·四川宜賓·二模）已知向量，向量滿足，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)出，根據(jù)題意利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算列式運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)，則，由，得，又，得，即，聯(lián)立，解得..故選：C.2．（23-24高一下·重慶萬州·階段練習(xí)）在三角形中，點(diǎn)是在邊上且邊上存在點(diǎn)滿足，直線和直線交于點(diǎn)，若，則的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】將和都用和表示出來，然后利用列式計(jì)算即可.【詳解】由題意，，則，同理可得：，因?yàn)橹本€和直線交于點(diǎn),所以存在使，即，兩式作商得解得.故選：C.3．（22-23高三上·全國·階段練習(xí)）在平行四邊形中，，，若，則（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】D【分析】根據(jù)向量的加減運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算可得，從而得解.【詳解】，，，，，，，．故選：D．4．（2024·云南紅河·二模）如圖，在棱長均相等的斜三棱柱中，，，若存在，使成立，則的最小值為.【答案】(1)證明見解析(2)的最大值為1；的最大值為【分析】（1）建立平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量證明垂直關(guān)系；（2）根據(jù)三點(diǎn)共線可得，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得，進(jìn)而結(jié)合基本不等式求最值.【詳解】（1）如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，

不妨設(shè)，則，可得，因?yàn)?，可知，所?（2）因?yàn)槿c(diǎn)共線，且，可知，由（1）可知，則，又因?yàn)?，則，可得，則，若，則；若，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；綜上所述：的最大值為1；又因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；所以的最大值為.C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）1．（22-23高一下·北京·期中）對(duì)平面向量，定義.(1)設(shè)，求；(2)設(shè)，，，，，點(diǎn)是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，其中是整數(shù).（?。┯?，，，，的最大值為，直接寫出的最小值及當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo).（ⅱ）記.求的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)5(2)（i）的最小值為，；（ii）的最小值為13，【分析】（1）根據(jù)題意直接求解即可；（2）（i）先證明充分性，設(shè)，其中，從而由絕對(duì)值不等式性質(zhì)得到，此時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，再說明必要性；（ii）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，表達(dá)出，，，分別求出和的最小值，進(jìn)而得到的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，；（2）（i）的最小值為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.一方面，