2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第02講同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式(知識(shí)+真題+4類高頻考點(diǎn))(精講)(學(xué)生版+解析)

第02講同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基礎(chǔ)知識(shí) 1第二部分：高考真題回顧 2第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過 2高頻考點(diǎn)一：①②③三劍客 2高頻考點(diǎn)二：商數(shù)關(guān)系（與分式或多項(xiàng)式求值） 4高頻考點(diǎn)三：誘導(dǎo)公式的計(jì)算與應(yīng)用 5高頻考點(diǎn)四：同角關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用 7第四部分：典型易錯(cuò)題型 9備注：與分式或多項(xiàng)式求值時(shí)注意分子與分母要同時(shí)除以同一個(gè)不為“0”的數(shù) 9第五部分：新定義題 9第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)1、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：．(2)商數(shù)關(guān)系：2、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式一誘導(dǎo)公式二誘導(dǎo)公式三誘導(dǎo)公式四誘導(dǎo)公式五誘導(dǎo)公式六誘導(dǎo)公式七誘導(dǎo)公式八3、常用結(jié)論（1）同角三角函數(shù)關(guān)系式的常用變形（2）誘導(dǎo)公式的記憶口訣“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，其中的奇、偶是指的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變化.（3）在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時(shí)，若開方，要特別注意判斷符號(hào).第二部分：高考真題回顧1．（2021·全國(guó)·甲卷理）若，則（

）A． B． C． D．2．（2021·全國(guó)·新高考Ⅰ卷）若，則（

）A． B． C． D．第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過高頻考點(diǎn)一：①②③三劍客典型例題例題1．（23-24高一上·安徽馬鞍山·期末）已知，則（

）A． B． C． D．例題2．（23-24高一下·山東臨沂·開學(xué)考試）若則（

）A． B． C． D．例題3．（多選）（23-24高一上·山西呂梁·期末）已知，，則下列選項(xiàng)中正確的有（

）A． B．C． D．例題4．（23-24高一下·遼寧盤錦·階段練習(xí)）已知(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．練透核心考點(diǎn)1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，，則（

）A． B． C． D．或2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）函數(shù)y＝sinx－cosx＋sinxcosx，x∈[0，π]的值域?yàn)椋?．（23-24高一上·山東臨沂·期末）已知，且，則．4．（23-24高一下·上?！るA段練習(xí)）（1）已知，且，求的值；（2）已知，求的值.高頻考點(diǎn)二：商數(shù)關(guān)系（與分式或多項(xiàng)式求值）典型例題例題1．（23-24高三下·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）已知，則（

）A． B．2 C．1 D．例題2．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）若，，則（

）A．4 B．2 C． D．例題3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，求的值．例題4．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習(xí)）已知．(1)求及的值；(2)若，，，求．練透核心考點(diǎn)1．（23-24高一下·陜西渭南·階段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．2．（23-24高一下·四川德陽(yáng)·階段練習(xí)）已知角的終邊經(jīng)過，(1)求的值；(2)求的值；3．（23-24高一下·陜西渭南·階段練習(xí)）已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn).(1)求的值；(2)求的值.4．（23-24高一下·四川成都·階段練習(xí)）已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過點(diǎn).(1)求的值.(2)求的值.高頻考點(diǎn)三：誘導(dǎo)公式的計(jì)算與應(yīng)用典型例題例題1．（23-24高一下·上海閔行·階段練習(xí)）化簡(jiǎn)：.例題2．（23-24高一下·黑龍江齊齊哈爾·階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)求的值；(2)若，求的值．3．（23-24高一下·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖所示，以軸非負(fù)半軸為始邊作角，它的終邊與單位圓相交于點(diǎn)，已知點(diǎn)坐標(biāo)為．(1)求，的值；(2)求的值．高頻考點(diǎn)四：同角關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用典型例題例題1．（23-24高一下·上?！るA段練習(xí)）已知，．(1)求的值；(2)求的值．例題2．（23-24高一下·海南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）如圖，在平面坐標(biāo)系中，第二象限角的終邊與單位圓交于點(diǎn)A，且點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為.

(1)求的值；(2)求的值.練透核心考點(diǎn)1．（23-24高一下·廣東廣州·階段練習(xí)）（1）已知是第三象限角，且①求的值；②求的值．（2）化簡(jiǎn)：．2．（23-24高一下·北京延慶·階段練習(xí)）已知，(1)當(dāng)，求的值；(2)求的值．第四部分：典型易錯(cuò)題型備注：與分式或多項(xiàng)式求值時(shí)注意分子與分母要同時(shí)除以同一個(gè)不為“0”的數(shù)1．（23-24高一下·上?！るA段練習(xí)）已知，則．2．（23-24高一下·上?！るA段練習(xí)）已知，求下列各式的值(1)；(2).第五部分：新定義題1．（22-23高一下·山東青島·期中）對(duì)于函數(shù)，若存在非零常數(shù)M，使得對(duì)任意的，都有成立，我們稱函數(shù)為“M函數(shù)”；對(duì)于函數(shù)，若存在非零常數(shù)M，使得對(duì)任意的，都有成立，我們稱函數(shù)為“嚴(yán)格M函數(shù)”.(1)求證：，是“M函數(shù)”；(2)若函數(shù)，是“函數(shù)”，求k的取值范圍；(3)對(duì)于定義域?yàn)镽的函數(shù)對(duì)任意的正實(shí)數(shù)M，均是“嚴(yán)格M函數(shù)”，若，求實(shí)數(shù)a的最小值.第02講同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基礎(chǔ)知識(shí) 1第二部分：高考真題回顧 2第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過 3高頻考點(diǎn)一：①②③三劍客 3高頻考點(diǎn)二：商數(shù)關(guān)系（與分式或多項(xiàng)式求值） 7高頻考點(diǎn)三：誘導(dǎo)公式的計(jì)算與應(yīng)用 11高頻考點(diǎn)四：同角關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用 16第四部分：典型易錯(cuò)題型 19備注：與分式或多項(xiàng)式求值時(shí)注意分子與分母要同時(shí)除以同一個(gè)不為“0”的數(shù) 19第五部分：新定義題 20第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)1、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：．(2)商數(shù)關(guān)系：2、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式一誘導(dǎo)公式二誘導(dǎo)公式三誘導(dǎo)公式四誘導(dǎo)公式五誘導(dǎo)公式六誘導(dǎo)公式七誘導(dǎo)公式八3、常用結(jié)論（1）同角三角函數(shù)關(guān)系式的常用變形（2）誘導(dǎo)公式的記憶口訣“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，其中的奇、偶是指的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變化.（3）在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時(shí)，若開方，要特別注意判斷符號(hào).第二部分：高考真題回顧1．（2021·全國(guó)·甲卷理）若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由二倍角公式可得，再結(jié)合已知可求得，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解.【詳解】，，，，解得，，.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)問題，解題的關(guān)鍵是利用二倍角公式化簡(jiǎn)求出.2．（2021·全國(guó)·新高考Ⅰ卷）若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將式子先利用二倍角公式和平方關(guān)系配方化簡(jiǎn)，然后增添分母()，進(jìn)行齊次化處理，化為正切的表達(dá)式，代入即可得到結(jié)果．【詳解】將式子進(jìn)行齊次化處理得：．故選：C．【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題如果利用，求出的值，可能還需要分象限討論其正負(fù)，通過齊次化處理，可以避開了這一討論．第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過高頻考點(diǎn)一：①②③三劍客典型例題例題1．（23-24高一上·安徽馬鞍山·期末）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，求出，再利用二倍角的余弦公式計(jì)算即得.【詳解】由兩邊平方得：，而，，則，因此，所以.故選：D例題2．（23-24高一下·山東臨沂·開學(xué)考試）若則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由得到，再利用平方關(guān)系求解.【詳解】因?yàn)樗?，又所以，故選：D例題3．（多選）（23-24高一上·山西呂梁·期末）已知，，則下列選項(xiàng)中正確的有（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】結(jié)合同角三角關(guān)系將平方即可求解即可判斷A，再利用平方關(guān)系求解判斷B，化切為弦通分即可求解判斷C，解方程即可求解判斷D.【詳解】由，得，所以，故選項(xiàng)A正確；因?yàn)?，，所以，，又因?yàn)椋?，故選項(xiàng)B正確；因?yàn)椋蔬x項(xiàng)C錯(cuò)誤；由，，所以，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：AB例題4．（23-24高一下·遼寧盤錦·階段練習(xí)）已知(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．【答案】(1)16(2)(3)【分析】（1）兩邊平方，結(jié)合平方關(guān)系得由此即可進(jìn)一步求解.（2）首先得，進(jìn)一步由即可求解.（3）首先分別求得，然后由商數(shù)關(guān)系即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以所以；?）因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)椋?；?）由，可得．所以．練透核心考點(diǎn)1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，，則（

）A． B． C． D．或【答案】B【分析】借助可得，結(jié)合所處象限可得，即可得，即可得解.【詳解】由，，即，，為鈍角，，，，，則，，，則.故選：B.2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）函數(shù)y＝sinx－cosx＋sinxcosx，x∈[0，π]的值域?yàn)椋敬鸢浮縖－1，1]【詳解】設(shè)t＝sinx－cosx，則t2＝sin2x＋cos2x－2sinxcosx，即sinxcosx＝，且－1≤t≤，所以y＝－＋t＋＝－（t－1）2＋1.當(dāng)t＝1時(shí)，ymax＝1；當(dāng)t＝－1時(shí)，ymin＝－1，所以函數(shù)的值域?yàn)閇－1，1].3．（23-24高一上·山東臨沂·期末）已知，且，則．【答案】/【分析】利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】由可知，又，即，則，所以，故.故答案為：.4．（23-24高一下·上?！るA段練習(xí)）（1）已知，且，求的值；（2）已知，求的值.【答案】（1）7；（2）【分析】（1）利用同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系可求得，再由兩角差的正切公式可得結(jié)果；（2）根據(jù)與的關(guān)系式判斷出，即可得結(jié)果.【詳解】（1），且，可得所以（2）由兩邊平方可得：即，所以，則，因此.高頻考點(diǎn)二：商數(shù)關(guān)系（與分式或多項(xiàng)式求值）典型例題例題1．（23-24高三下·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）已知，則（

）A． B．2 C．1 D．【答案】D【分析】根據(jù)正弦二倍角公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可得結(jié)果.【詳解】由題意知，所以，故選：D．例題2．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）若，，則（

）A．4 B．2 C． D．【答案】B【分析】由二倍角的正弦和余弦公式化簡(jiǎn)已知式可得，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可得出答案.【詳解】由可得，則，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所?故選：B.例題3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，求的值．【答案】1【分析】將所求式中的“1”替換成，得到正弦、余弦的齊次式，構(gòu)造分母，分?jǐn)?shù)上下同除以，即可化成關(guān)于的表達(dá)式,代入計(jì)算即得.【詳解】∵，，∴原式．即．例題4．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習(xí)）已知．(1)求及的值；(2)若，，，求．【答案】(1)，(2)【分析】（1）將弦化切，即可求出，再由二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得；（2）首先求出、、，再由兩角差的正弦公式計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，解得，所以?（2）因?yàn)?，，所以，又，解得或（舍去），又，，所以，所?練透核心考點(diǎn)1．（23-24高一下·陜西渭南·階段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由商數(shù)關(guān)系求，再將所求式由商數(shù)關(guān)系化成關(guān)于的齊次式即可求解.【詳解】由可得，.故選：D.2．（23-24高一下·四川德陽(yáng)·階段練習(xí)）已知角的終邊經(jīng)過，(1)求的值；(2)求的值；【答案】(1)(2)【分析】（1）由三角函數(shù)的定義求解；（2）分子分母同時(shí)除以求解.【詳解】（1）解：因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過，所以；（2）因?yàn)?，所?3．（23-24高一下·陜西渭南·階段練習(xí)）已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn).(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由三角函數(shù)定義得，進(jìn)一步結(jié)合誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值即可；（2）由商數(shù)關(guān)系化成關(guān)于的齊次式即可求解.【詳解】（1）由條件知，；（2）.4．（23-24高一下·四川成都·階段練習(xí)）已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過點(diǎn).(1)求的值.(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由條件計(jì)算出的值，利用齊次式化簡(jiǎn)代入計(jì)算可得；（2）誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，利用齊次式化簡(jiǎn)代入計(jì)算即可【詳解】（1）由已知有；；（2）.高頻考點(diǎn)三：誘導(dǎo)公式的計(jì)算與應(yīng)用典型例題例題1．（23-24高一下·上海閔行·階段練習(xí)）化簡(jiǎn)：.【答案】【分析】利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】.故答案為：例題2．（23-24高一下·黑龍江齊齊哈爾·階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)求的值；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）先由誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再由商數(shù)關(guān)系求值即可.（2）求出，再化為齊次式，化弦為切，代入求值.【詳解】（1），所以.（2）因?yàn)?，原?.例題3．（23-24高一下·河南駐馬店·階段練習(xí)）已知.(1)化簡(jiǎn)；(2)若是第三象限角，且，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）直接利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)得到答案.（2）計(jì)算，從而可得，從而可求解.【詳解】（1）..（2）由誘導(dǎo)公式可知，即，又因?yàn)槭堑谌笙藿牵?，所?練透核心考點(diǎn)1．（23-24高一下·四川涼山·階段練習(xí)）已知．(1)若，求的值；(2)若，且，，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后利用弦化切進(jìn)行求值即可．（2）由兩角和差的三角公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】（1），由已知，，得，所以．（2），，得，由，得，則，，，．．．．而，．．．2．（23-24高二下·遼寧·開學(xué)考試）已知．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)結(jié)合誘導(dǎo)公式求解即可；（2）先根據(jù)商數(shù)關(guān)系及二倍角公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)誘導(dǎo)公式及二倍角公式將所求角化為已知角，進(jìn)而可得出答案.【詳解】（1）；（2）.3．（23-24高一下·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖所示，以軸非負(fù)半軸為始邊作角，它的終邊與單位圓相交于點(diǎn)，已知點(diǎn)坐標(biāo)為．(1)求，的值；(2)求的值．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）利用點(diǎn)在圓上以及三角函數(shù)的定義計(jì)算即可；（2）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，然后轉(zhuǎn)化為用表示，代入的值計(jì)算即可.【詳解】（1）在單位圓上，且點(diǎn)在第二象限，解得．由三角函數(shù)定義可知，（2）高頻考點(diǎn)四：同角關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用典型例題例題1．（23-24高一下·上?！るA段練習(xí)）已知，．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用同角三角函數(shù)關(guān)系求出的值，再利用誘導(dǎo)公式，結(jié)合正余弦的齊次式法即可得解；（2）利用誘導(dǎo)公式與兩角和的余弦公式，結(jié)合二倍角公式與正余弦的齊次式法即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，則，所以；（2）.例題2．（23-24高一下·海南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）如圖，在平面坐標(biāo)系中，第二象限角的終邊與單位圓交于點(diǎn)A，且點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為.

(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)角的終邊與單位圓相交的三角函數(shù)定義可得，再利用同角的三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求得；（2）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)所求式，得弦的齊次式，化弦為切即得.【詳解】（1）依題意得：，因是第二象限角，故，于是（2）由，由（1）得：，故所求式為，即的值為.練透核心考點(diǎn)【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解；（2）根據(jù)誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解即可.【詳解】（1）