人教版2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)專題12.5全等三角形中輔助線的添法(三大模型)(壓軸題專項(xiàng)講練)專題特訓(xùn)(學(xué)生版+解析)

專題12.5全等三角形中輔助線的添法（三大模型）【模型一：倍長(zhǎng)中線模型】1．（23-24八年級(jí)上·江蘇·期末）如圖，在△ABC中．AD是BC邊上的中線，交BC于點(diǎn)D．（1）如下圖，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，連接BE．求證：△ACD≌△EBD．（2）如下圖，若∠BAC=90°，試探究AD與BC有何數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）如下圖，若CE是邊AB上的中線，且CE交AD于點(diǎn)O．請(qǐng)你猜想線段AO與OD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

2．（23-24八年級(jí)上·廣西北?！て谀┌四昙?jí)數(shù)學(xué)課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：如圖1，△ABC中，若AB=9，AC=5，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小紅在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，請(qǐng)根據(jù)小紅的方法思考作答：（1）由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB的理由是______；A．SSS

B．SAS

C．AAS

D．HL（2）求得AD的取值范圍是______；A．5<AD<9

B．5≤AD≤9

C．2<AD<7

D．2≤AD≤7（3）歸納總結(jié)：題目中出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等條件，可考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中．完成上題之后，小紅善于探究，她又提出了如下的問題，請(qǐng)你解答．如圖2，在△ABC中，點(diǎn)E在BC上，且DE=DC，過E作EF∥AB，且EF=AC．求證：AD平分∠BAC3．（23-24八年級(jí)上·安徽安慶·期末）（1）如圖①，在△ABC中，若AB=6，AC=4，AD為BC邊上的中線，求AD的取值范圍；（2）如圖②，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DE⊥DF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系并證明；（3）如圖③，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AF與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是∠BAF的角平分線．試探究線段AB，AF，4．（23-24八年級(jí)上·江蘇南通·期中）課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：如圖1，△ABC中，若AB=6,AC=4，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：如圖1所示，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，連接BE．請(qǐng)根據(jù)小明的思路繼續(xù)思考：（1）由已知和作圖能證得△ADC≌△EDB，得到BE=AC，在△ABE中求得2AD的取值范圍，從而求得AD的取值范圍是______________．方法總結(jié)：上述方法我們稱為“倍長(zhǎng)中線法”．“倍長(zhǎng)中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系；（2）如圖2，AD是△ABC的中線，AB=AE,AC=AF,∠BAE+∠CAF=180°，試判斷線段AD與EF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；（3）如圖3，在△ABC中，D,E是BC的三等分點(diǎn)．求證：AB+AC>AD+AE．5．（23-24七年級(jí)下·廣東佛山·期中）【閱讀理解】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：如圖，△ABC中，AB=8，AC=6，求BC邊上的中線AD的取值范圍，經(jīng)過組內(nèi)合作交流．小明得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：

（1）求得AD的取值范圍是___________；【問題解決】請(qǐng)利用上述方法（倍長(zhǎng)中線）解決下列三個(gè)問題如圖，已知∠BAC+∠CDE=180°，AB=AC，DC=DE，P為BE的中點(diǎn)．

（2）如圖1，若A，C，D共線，求證：AP平分∠BAC；（3）如圖2，若A，C，D不共線，求證：AP⊥DP；（4）如圖3，若點(diǎn)C在BE上，記銳角∠BAC=x，且AB=AC=CD=DE，則∠PDC的度數(shù)是___________（用含x的代數(shù)式表示）．【模型二：旋轉(zhuǎn)模型（截長(zhǎng)補(bǔ)短）】6．（23-24八年級(jí)上·湖北武漢·期末）如圖，在五邊形ABCDE中，∠B=∠E=90°，∠CAD=12∠BAE，AB=AE，且CD=3，AE=4，則五邊形ABCDEA．6 B．8 C．10 D．127．（23-24八年級(jí)上·上?！て谥校┤鐖D所示，已知AC平分∠BAD，∠B+∠D=180°，CE⊥AB于點(diǎn)E，判斷AB、AD與BE之間有怎樣的等量關(guān)系，并證明．8．（23-24八年級(jí)上·山東臨沂·期中）【基本模型】（1）如圖1，ABCD是正方形，∠EAF=45°，當(dāng)E在BC邊上，F(xiàn)在CD邊上時(shí)，請(qǐng)你探究BE、DF與EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【模型運(yùn)用】（2）如圖2，ABCD是正方形，∠EAF=45°，當(dāng)E在BC的延長(zhǎng)線上，F(xiàn)在CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)你探究BE、DF與EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．9．（23-24八年級(jí)上·湖北武漢·周測(cè)）（1）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=12∠BAD（2）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分別是邊BC、CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且∠EAF=110．（23-24八年級(jí)上·貴州黔東南·期末）【初步探索】（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，∠BAD=120°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=60°，探究圖中BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系．小芮同學(xué)探究此問題的方法是：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，先證明：△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；【靈活運(yùn)用】（2）如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=∠180°，∠BAD=120°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=60°，（1）中的結(jié)論是否仍然成立，說(shuō)明理由．【拓展延伸】（3）如圖3，在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在CD的延長(zhǎng)線上，滿足EF=BE+FD，請(qǐng)判斷∠EAF與∠DAB的數(shù)量關(guān)系．并證明你的結(jié)論．【模型三：“K子”型（一線三垂直）】11．（23-24八年級(jí)上·廣東江門·階段練習(xí)）已知，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m過點(diǎn)A，且BD⊥m于D，CE⊥m于E，當(dāng)直線m繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至圖1位置時(shí)，我們可以發(fā)現(xiàn)DE=BD+CE．（1）當(dāng)直線m繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至圖2位置時(shí)，問：BD與DE、CE的關(guān)系如何？請(qǐng)予證明；（2）直線m在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周的過程中，BD、DE、CE存在哪幾種不同的數(shù)量關(guān)系？（直接寫出，不必證明）12．（23-24八年級(jí)上·貴州銅仁·階段練習(xí)）（1）如圖1，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A,BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D,E．求證：DE=BD+CE．（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC,D,A,E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC．請(qǐng)寫出DE,BD,CE三條線段的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．13．（23-24八年級(jí)上·山西大同·階段練習(xí)）某學(xué)習(xí)小組在探究三角形全等時(shí)，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形．（1）如圖1．已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線l經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線l，CE⊥直線l，垂足分別為點(diǎn)D、E．證明：DE=BD+CE．（2）組員小明對(duì)圖2進(jìn)行了探究，若∠BAC=90°，AB=AC，直線l經(jīng)過點(diǎn)A．BD⊥直線l，CE⊥直線l，垂足分別為點(diǎn)D、E．他發(fā)現(xiàn)線段DE、BD、CE之間也存在著一定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你直接寫出段DE、BD、CE之間的數(shù)量關(guān)系，（3）數(shù)學(xué)老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵(lì)他們運(yùn)用這個(gè)知識(shí)來(lái)解決問題：如圖3，過△ABC的邊AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG（正方形的4條邊都相等，4個(gè)角都是直角），AH是BC邊上的高，延長(zhǎng)HA交EG于點(diǎn)I，若BH=3，CH=7，求AI的長(zhǎng)．14．（23-24八年級(jí)上·河北石家莊·階段練習(xí)）通過對(duì)如圖數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：

（1）如圖1，∠BAD=90°，AB=AD，過點(diǎn)B作BC⊥AC于點(diǎn)C，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E．由∠1+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D．又∠ACB=∠AED=90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．進(jìn)而得到AC=________，BC=AE．我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱為“K字”模型或“一線三等角”模型；（2）如圖2，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，連接BC,DE，且BC⊥AF于點(diǎn)F，DE與直線AF交于點(diǎn)G．求證：點(diǎn)G是DE的中點(diǎn)；（3）如圖3，已知四邊形ABCD和DEGF為正方形，△AFD的面積為S1，△DCE的面積為S2，S115．（23-24七年級(jí)下·廣東深圳·期末）【材料閱讀】小明在學(xué)習(xí)完全等三角形后，為了進(jìn)一步探究，他嘗試用三種不同方式擺放一副三角板（在△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB；△DEF中，∠DEF=90°，∠EDF=30°），并提出了相應(yīng)的問題．【發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，將兩個(gè)三角板互不重疊地?cái)[放在一起，當(dāng)頂點(diǎn)B擺放在線段DF上時(shí)，過點(diǎn)A作AM⊥DF，垂足為點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CN⊥DF，垂足為點(diǎn)N，①請(qǐng)?jiān)趫D1找出一對(duì)全等三角形，在橫線上填出推理所得結(jié)論；∵∠ABC=90°，∴∠ABM+∠CBN=90°，∵AM⊥DF，CN⊥DF，∴∠AMB=90°，∠CNB=90°，∴∠ABM+∠BAM=90∴∠BAM=∠CBN，∵∠BAM=∠CBN∠AMB=∠CNB=AB=BC，__________；②AM=2，CN=7，則MN=__________；【類比】（2）如圖2，將兩個(gè)三角板疊放在一起，當(dāng)頂點(diǎn)B在線段DE上且頂點(diǎn)A在線段EF上時(shí)，過點(diǎn)C作CP⊥DE，垂足為點(diǎn)P，猜想AE，PE，CP的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；【拓展】（3）如圖3，將兩個(gè)三角板疊放在一起，當(dāng)頂點(diǎn)A在線段DE上且頂點(diǎn)B在線段EF上時(shí)，若AE=5，BE=1，連接CE，則△ACE的面積為__________．專題12.5全等三角形中輔助線的添法（三大模型）【模型一：倍長(zhǎng)中線模型】1．（23-24八年級(jí)上·江蘇·期末）如圖，在△ABC中．AD是BC邊上的中線，交BC于點(diǎn)D．（1）如下圖，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，連接BE．求證：△ACD≌△EBD．（2）如下圖，若∠BAC=90°，試探究AD與BC有何數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）如下圖，若CE是邊AB上的中線，且CE交AD于點(diǎn)O．請(qǐng)你猜想線段AO與OD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）利用SAS可得△ACD≌△EBD；（2）延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，連接BE，先根據(jù)△ACD≌△EBD證得∠C=∠CBE，AC=BE，進(jìn)而得到AC∥EB，AD=1（3）延長(zhǎng)OE到點(diǎn)M，使EM=OE，連接AM．延長(zhǎng)OD到點(diǎn)N，使DN=OD，連接BM，BN，BO，證得△MOB≌△NBOASA可得MB=NO，進(jìn)而得到AO=2OD本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的中線，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．【解題過程】（1）證明：在△ACD和△EBD中，DA=DE∴△ACD≌△EBDSAS（2）解：AD=1延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，連接BE，如圖由（1）得△ACD≌△EBD，∴∠C=∠CBE，AC=BE∴AC∥EB，∴∠BAC+∠ABE=180°，∵∠BAC=90°，∴∠ABE=90°，∴∠BAC=∠ABE在△ABC和△BAE中AC=BE∴△ABC≌△BAE∴BC=AE，∴AD=1（3）AO=2OD，理由如下：延長(zhǎng)OE到點(diǎn)M，使EM=OE，連接AM．延長(zhǎng)OD到點(diǎn)N，使DN=OD，連接BM，BN，BO，如圖，由（1）得△AOE≌△BME，△ODC≌△NDB，∴∠AOE=∠BME，∠OCD=∠NBD，AO=BM，∴AO∥BM，∴∠MBO=∠BON，∠MOB=∠NBO在△MOB和△NBO中，∠MBO=∠BONOB=OB∴△MOB≌△NBO∴MB=NO，∴AO=2OD．2．（23-24八年級(jí)上·廣西北海·期末）八年級(jí)數(shù)學(xué)課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：如圖1，△ABC中，若AB=9，AC=5，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小紅在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，請(qǐng)根據(jù)小紅的方法思考作答：（1）由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB的理由是______；A．SSS

B．SAS

C．AAS

D．HL（2）求得AD的取值范圍是______；A．5<AD<9

B．5≤AD≤9

C．2<AD<7

D．2≤AD≤7（3）歸納總結(jié)：題目中出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等條件，可考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中．完成上題之后，小紅善于探究，她又提出了如下的問題，請(qǐng)你解答．如圖2，在△ABC中，點(diǎn)E在BC上，且DE=DC，過E作EF∥AB，且EF=AC．求證：AD平分∠BAC【思路點(diǎn)撥】本題是三角形綜合題，考查了倍長(zhǎng)中線法解題，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握倍長(zhǎng)中線法，靈活進(jìn)行三角形全等的證明，是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角形全等的判定定理去選擇即可；（2）根據(jù)三角形全等的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系定理計(jì)算即可；（3）由“SAS”可證△EFD≌△CMD，可得EF=DM，∠EFD=∠M，由平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可證∠M=∠BAD=∠CAM，可得AD平分∠BAC．【解題過程】（1）解：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，∵BD=CD，在△ADC和△EDB中，CD=BD∠ADC=∠BDE∴△ADC≌△EDB(SAS故選：B．（2）解：∵△ADC≌△EDB，∴AC=EB，∵AB=9，AC=5，AB?BE<AE<AB+BE，∴4<2AD<14，∴2<AD<7，故選：C；（3）證明：如圖，延長(zhǎng)AD至M，使DM=DF，連接CM，∵DE=DC，∠EDF=∠CDM，DF=DM，∴△EFD≌△CMD(SAS∴EF=DM，∠EFD=∠M，∴EF∥CM，∵EF∥AB，∴CM∥AB，∴∠BAD=∠M，∵EF=AC，∴EF=DM=AC，∴∠CAM=∠M，∴∠BAD=∠CAM，∴AD平分∠BAC．3．（23-24八年級(jí)上·安徽安慶·期末）（1）如圖①，在△ABC中，若AB=6，AC=4，AD為BC邊上的中線，求AD的取值范圍；（2）如圖②，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DE⊥DF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系并證明；（3）如圖③，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AF與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是∠BAF的角平分線．試探究線段AB，AF，【思路點(diǎn)撥】（1）由已知得出AB?BE<AE<AB+BE，即6?4<AE<6+4，AD為（2）延長(zhǎng)FD至點(diǎn)M，使DM=DF，連接BM，EM，可得△BMD≌△CFD，得出BM=CF，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出EM=EF，在△BME中，由三角形的三邊關(guān)系得出（3）延長(zhǎng)AE，DF交于點(diǎn)G，根據(jù)平行和角平分線可證AF=FG，也可證得△ABE≌△GCE，從而可得【解題過程】解：（1）如圖①，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，連接BE，∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD=CD，∵∠ADC=∠BDE，∴△ACD≌△EBDSAS∴BE=AC=4，在△ABE中，AB?BE<AE<AB+BE，∴6?4<AE<6+4，∴2<AE<10，∴1<AD<5，故答案為：1<AD<5；（2）BE+CF>EF，理由如下：延長(zhǎng)FD至點(diǎn)M，使DM=DF，連接BM、EM，如圖②所示．同（1）得：△BMD≌△CFDSAS∴BM=CF，∵DE⊥DF，∴EM=EF，在△BME中，由三角形的三邊關(guān)系得：BE+BM>EM，∴BE+CF>EF；（3）AF+CF=AB，理由如下：如圖③，延長(zhǎng)AE，DF交于點(diǎn)∵AB∥CD，∴∠BAG=∠G，在△ABE和△GCE中，CE=BE，∴△ABE≌△GECAAS∴CG=AB，∵AE是∠BAF的平分線，∴∠BAG=∠GAF∴∠FAG=∠G，∴AF=GF，∵FG+CF=CG，∴AF+CF=AB．4．（23-24八年級(jí)上·江蘇南通·期中）課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：如圖1，△ABC中，若AB=6,AC=4，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：如圖1所示，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，連接BE．請(qǐng)根據(jù)小明的思路繼續(xù)思考：（1）由已知和作圖能證得△ADC≌△EDB，得到BE=AC，在△ABE中求得2AD的取值范圍，從而求得AD的取值范圍是______________．方法總結(jié)：上述方法我們稱為“倍長(zhǎng)中線法”．“倍長(zhǎng)中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系；（2）如圖2，AD是△ABC的中線，AB=AE,AC=AF,∠BAE+∠CAF=180°，試判斷線段AD與EF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；（3）如圖3，在△ABC中，D,E是BC的三等分點(diǎn)．求證：AB+AC>AD+AE．【思路點(diǎn)撥】本題考查了三角形三邊關(guān)系，三角形全等的性質(zhì)與判定，利用倍長(zhǎng)中線輔助線方法是解題的關(guān)鍵．（1）延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，連接BE，根據(jù)題意證明△MDB≌△ADC，可知BM=AC，在△ABM中，根據(jù)AB?BM<AM<AB+BM，即可；（2）延長(zhǎng)AD到M，使得DM=AD，連接BM，由（1）的結(jié)論以及已知條件證明△ABM≌△EAF，進(jìn)而可得AM=2AD，由AM=EF，即可求得AD與EF的數(shù)量關(guān)系；（3），取DE中點(diǎn)H，連接AH并延長(zhǎng)至Q點(diǎn)，使得AH=QH，連接QE和QC，通過“倍長(zhǎng)中線”思想全等證明，進(jìn)而得到AB=CQ，AD=EQ,然后結(jié)合三角形的三邊關(guān)系建立不等式證明即可得出結(jié)論．【解題過程】（1）解：如圖1所示，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，連接BE．∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD，在△MDB和△ADC中，BD=CD∠BDM=∠CDA∴△MDB≌△ADC(SAS∴BM=AC=4，在△ABM中，AB?BM<AM<AB+BM，∴6?4<AM<6+4，即2<AM<10，∴1<AD<5，故答案為：1<AD<5．（2）EF=2AD，理由：如圖2，延長(zhǎng)AD到M，使得DM=AD，連接BM，由（1）知，△BDM≌△CDA(SAS∴BM=AC，∠M=∠MAC∵AC=AF，∴BM=AF，∵∠MBA+∠M+∠BAM=180°，即∠MBA+∠BAC=180°，又∵∠BAE+∠CAF=180°，∴∠EAF+∠BAC=180°，∴∠EAF=∠MBA，又∵AB=EA，∴△ABM≌△EAF(SAS∴AM=EF，∵AD=DM，∴AM=2AD，∵AM=EF，∴EF=2AD．（3）證明：如圖所示，取DE中點(diǎn)H，連接AH并延長(zhǎng)至Q點(diǎn)，使得AH=QH，連接QE和QC，∵H為DE中點(diǎn)，D、E為BC三等分點(diǎn)，∴DH=EH,BD=DE=CE，∴DH=CH，在△ABH和△QCH中，BH=CH∠BHA=∠CHQ∴△ABH≌△QCH(SAS同理可得:△ADH≌△QEH,∴AB=CQ,AD=EQ，此時(shí),延長(zhǎng)AE交CQ于K點(diǎn)，∵AC+CQ=AC+CK+QK,AC+CK>AK，∴AC+CQ>AK+QK，∵AK+QK=AE+EK+QK>QE,EK+QK>QE，∴AK+QK>AE+QE，∴AC+CQ>AK+QK>AE+QE，∵AB=CQ,AD=EQ，∴AB+AC>AD+AE．5．（23-24七年級(jí)下·廣東佛山·期中）【閱讀理解】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：如圖，△ABC中，AB=8，AC=6，求BC邊上的中線AD的取值范圍，經(jīng)過組內(nèi)合作交流．小明得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：

（1）求得AD的取值范圍是___________；【問題解決】請(qǐng)利用上述方法（倍長(zhǎng)中線）解決下列三個(gè)問題如圖，已知∠BAC+∠CDE=180°，AB=AC，DC=DE，P為BE的中點(diǎn)．

（2）如圖1，若A，C，D共線，求證：AP平分∠BAC；（3）如圖2，若A，C，D不共線，求證：AP⊥DP；（4）如圖3，若點(diǎn)C在BE上，記銳角∠BAC=x，且AB=AC=CD=DE，則∠PDC的度數(shù)是___________（用含x的代數(shù)式表示）．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，即可進(jìn)行解答；（2）延長(zhǎng)DP交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，證△APF≌△APD即可；（3）延長(zhǎng)DP至點(diǎn)F，使得PF=PD，連接BF、AF、AD，證△APF≌△APD即可；（4）過點(diǎn)C作CM⊥BC交AP于點(diǎn)M，由（3）可得∠APD=90°，證△ACM≌△DCP，用含x的代數(shù)式表示出∠PDC即可．【解題過程】（1）∵AD為BC邊上的中線，∴BD=CD，在△ADC和△EDB中

BD=CD∴△ADC≌△EDBSAS∴BE=AC=6，∵AB=8，∴8?6<AE<8+6，即2<AE<14，∵DE=AD，∴AD=1∴1<AD<7，故答案為：1<AD<7（2）如下圖，DP交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F

∠BAC+∠CDE=180°，∴AF∥∴∠PFB=∠PDE，∠PBF=∠PED，∵P為BE的中點(diǎn)∴BP=PE，∴△BPF≌△EPDAAS∴BF=DE=DC，PD=PF，又∵AB∴AB+BF=AC+DC，即AF=AD，在△APF和△APD中PF=PD∴△APF≌△APD(SSS∴∠PAF=∠PAD（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等），即AP平分∠BAC（3）延長(zhǎng)DP至點(diǎn)F，使得PF=PD，連接BF、AF、AD

由（1）同理易知△DPE≌△∴BF=DE=CD，∠E=∠FBP，∵∠BAC+∠CDE=180°，且∠BAC+∠CAD+∠ADC+∠CDE+∠E=360°，∠CAD+∠C+∠ADC=180°，∴∠ABF=∠ACD，AB=AC，∴△ABF≌△ACD(SAS∴AF=AD，∴△APF≌△APD(SSS∴∠APD=∠APF=180°÷2=90°，∴AP⊥DP（4）過點(diǎn)C作CM⊥BC交AP于點(diǎn)M，由（3）可得∠APD=90°，∠BAC=x，∠BAC+∠CDE=180°，AB=AC=CD=DE，

∴∠ACB=180°?x∴∠DCE=90°?∠CDE∴∠ACB和∠DCE互余，∠ACD=∠MCP=∠APD=90°，∴∠ACM=∠DCP=x2∴△ACM≌△DCP(ASA)，∴MC=PC，∴∠BPA=45°，又∵∠ACB=90°?x∴∠PDC=∠PAC=∠ACB?∠APB=45°?x故答案為：45°?【模型二：旋轉(zhuǎn)模型（截長(zhǎng)補(bǔ)短）】6．（23-24八年級(jí)上·湖北武漢·期末）如圖，在五邊形ABCDE中，∠B=∠E=90°，∠CAD=12∠BAE，AB=AE，且CD=3，AE=4，則五邊形ABCDEA．6 B．8 C．10 D．12【思路點(diǎn)撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三點(diǎn)共線，解題的關(guān)鍵是利用全等的性質(zhì)將面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化．將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△AEF，首先證明點(diǎn)D，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，證明△ACD≌△AFD(SAS)，得到CD=DF=3，S△ACD【解題過程】解：如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△AEF，∵AB=AE，則AF=AC，∠B=∠AED=∠AEF=90°，∴∠DEF=180°，即點(diǎn)D，E，∵∠CAD=1∠BAC+∠DAE=∠DAE+∠EAF=∠CAD，即∠FAD=∠CAD，在△ACD和△AFD中AC=AF∠CAD=∠FAD∴△ACD≌△AFD(∴CD=DF，S∵CD=3，∴DF=3，五邊形ABCDE的面積為：S=S=2×1=2×=12．故選：D．7．（23-24八年級(jí)上·上海·期中）如圖所示，已知AC平分∠BAD，∠B+∠D=180°，CE⊥AB于點(diǎn)E，判斷AB、AD與BE之間有怎樣的等量關(guān)系，并證明．【思路點(diǎn)撥】在AB上截取EF，使EF=BE，聯(lián)結(jié)CF．證明△BCE≌△ECF(SAS)，得到∠B=∠BFC，又證明△AFC≌△ADC，得到AF=AD，最后結(jié)論可證了．【解題過程】證明：在AB上截取EF，使EF=BE，聯(lián)結(jié)CF．

∵CE⊥AB∴∠BEC=∠FEC=90°在△BCE和△ECF

{

∴△BCE≌△ECF(SAS)

∴∠B=∠BFC

∵∠B+∠D=180°又∵∠BFC+∠AFC=180°∴∠D=∠AFC∵AC平分∠BAD∴∠FAC=∠DAC在△AFC和△ADC中{∴△AFC≌△ADC(AAS)∴AF=AD∵AB=AF+BE+EF∴AB=AD+2BE8．（23-24八年級(jí)上·山東臨沂·期中）【基本模型】（1）如圖1，ABCD是正方形，∠EAF=45°，當(dāng)E在BC邊上，F(xiàn)在CD邊上時(shí)，請(qǐng)你探究BE、DF與EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【模型運(yùn)用】（2）如圖2，ABCD是正方形，∠EAF=45°，當(dāng)E在BC的延長(zhǎng)線上，F(xiàn)在CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)你探究BE、DF與EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【思路點(diǎn)撥】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)．本題蘊(yùn)含半角模型，遇到半角經(jīng)常要通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形．（1）結(jié)論：EF=BE+DF．將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AD與AB重合，得到△ABF'，然后求出∠EAF'=∠EAF=45°，利用“邊角邊”證明△AEF（2）結(jié)論：EF=BE?DF，證明方法同法（1）．【解題過程】解：（1）結(jié)論：EF=BE+DF．理由：如圖1，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AD與AB重合，得到△ABF

則：∠F'AB=∠DAF,∠ABF'∴∠ABF'+∠ABC=180°∵∠EAF=45°，∴∠DAF+∠BAE=90°?∠EAF=45°，∴∠BAF∴∠EAF在△AEF和△AEFAF=AF∴△AEF≌△EAF(SAS∴EF=EF又EF∴EF=BE+DF．（2）結(jié)論：EF=BE?DF．理由：如圖2，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AD與AB重合，得到△ABF

則：BF同法（1）可得：△AEF≌△AEF∴EF=EF又EF∴EF=BE?DF．9．（23-24八年級(jí)上·湖北武漢·周測(cè)）（1）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=12∠BAD（2）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分別是邊BC、CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且∠EAF=1【思路點(diǎn)撥】（1）延長(zhǎng)CB至M，使BM＝DF，連接AM．先證明△ABM≌△ADF，得到AF＝AM，∠2＝∠3，再證明△AME≌△AFE，得到EF＝ME，進(jìn)行線段代換，問題得證；（2）在BE上截取BG，使BG＝DF，連接AG．先證明△ABG≌△ADF，得到AG＝AF，再證明△AEG≌△AEF，得到EG＝EF，進(jìn)行線段代換即可證明EF＝BE﹣FD．【解題過程】解：（1）證明：如圖，延長(zhǎng)CB至M，使BM＝DF，連接AM．∵∠ABC+∠D＝180°，∠1+∠ABC＝180°，∴∠1＝∠D，在△ABM與△ADF中，AB=AD∠1=∠D∴△ABM≌△ADF（SAS）．∴AF＝AM，∠2＝∠3．∵∠EAF=12∠∴∠2+∠4=12∠BAD＝∠∴∠3+∠4＝∠EAF，即∠MAE＝∠EAF．在△AME與△AFE中，AM=AF∠MAE=∠EAF∴△AME≌△AFE（SAS）．∴EF＝ME，即EF＝BE+BM，∴EF＝BE+DF；（2）結(jié)論EF＝BE+FD不成立，應(yīng)當(dāng)是EF＝BE﹣FD．證明：如圖，在BE上截取BG，使BG＝DF，連接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．∵在△ABG與△ADF中，AB=AD∠ABG=∠ADF∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF=12∠∴∠GAE＝∠EAF．在△AGE與△AFE中，AG=AF∠GAE=∠EAF∴△AEG≌△AEF，∴EG＝EF，∵EG＝BE﹣BG，∴EF＝BE﹣FD．10．（23-24八年級(jí)上·貴州黔東南·期末）【初步探索】（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，∠BAD=120°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=60°，探究圖中BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系．小芮同學(xué)探究此問題的方法是：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，先證明：△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；【靈活運(yùn)用】（2）如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=∠180°，∠BAD=120°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=60°，（1）中的結(jié)論是否仍然成立，說(shuō)明理由．【拓展延伸】（3）如圖3，在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在CD的延長(zhǎng)線上，滿足EF=BE+FD，請(qǐng)判斷∠EAF與∠DAB的數(shù)量關(guān)系．并證明你的結(jié)論．【思路點(diǎn)撥】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等進(jìn)行推導(dǎo)變形．解題時(shí)注意：同角的補(bǔ)角相等．（1）根據(jù)SAS可判定△ABE≌△ADG，進(jìn)而得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再根據(jù)SAS判定△AEF≌△AGF，可得出EF=GF=DG+DF=BE+DF，據(jù)此得出結(jié)論；（2）延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，先根據(jù)SAS判定△ABE≌△ADG，進(jìn)而得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再根據(jù)SAS判定△AEF≌△AGF，可得出EF=GF=DG+DF=BE+DF；（3）在DC延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)G，使得DG=BE，連接AG，先根據(jù)SAS判定△ADG≌△ABE，再根據(jù)SAS判定△AEF≌△AGF，得出∠FAE=∠FAG，最后根據(jù)∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，推導(dǎo)得到2∠FAE+∠DAB=360°，即可得出結(jié)論．【解題過程】解：（1）BE+FD=EF．理由如下：如圖1，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，∵∠ADC=90°，∴∠ADG=180°?∠ADC=90°，又∵∠B=90°，∴∠B=∠ADG，在△ABE與△ADG中，AB=AD∠B=∠ADG∴△ABE≌△ADG(SAS∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，∵∠BAD=120°，∠EAF=60°，∴∠BAE+∠DAF=∠BAD?∠EAF=60°，∴∠DAG+∠DAF=60°，即∠GAF=60°，∴∠GAF=∠EAF；在△AEF與△AGF中，AE=AG∠EAF=∠GAF∴△AEF≌△AGF(SAS∴EF=GF，∵GF=DG+DF，∴EF=BE+DF，故答案為：BE+FD=EF；（2）（1）中的結(jié)論仍成立，理由如下：如圖2，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，∠B+∠ADF=180°，∠ADG+∠ADF=180°，∴∠B=∠ADG，又∵AB=AD，∴△ABE≌△ADG(SAS∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，∵∠BAD=120°120°，∠EAF=60°，∴∠BAE+∠DAF=60°，∴∠DAG+∠DAF=60°，∴∠GAF=∠EAF=60°，又∵AF=AF，∴△AEF≌△AGF(SAS∴EF=FG=DG+DF=BE+DF；（3）∠EAF=180°?1證明：如圖3，延長(zhǎng)DC到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°，∴∠ADC=∠ABE，在△ABE與△ADG中，AB=AD∠B=∠ADG∴△ADG≌△ABE(SAS∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，∵EF=BE+FD，∴EF=DG+FD，∴EF=GF，在△AEF與△AGF中，AE=AGEF=GF∴△AEF≌△AGF(SSS∴∠FAE=∠FAG，∵∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，∴2∠FAE+(∠GAB+∠BAE)=360°，∴2∠FAE+(∠GAB+∠DAG)=360°，即2∠FAE+∠DAB=360°，∴∠EAF=180°?1【模型三：“K子”型（一線三垂直）】11．（23-24八年級(jí)上·廣東江門·階段練習(xí)）已知，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m過點(diǎn)A，且BD⊥m于D，CE⊥m于E，當(dāng)直線m繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至圖1位置時(shí)，我們可以發(fā)現(xiàn)DE=BD+CE．（1）當(dāng)直線m繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至圖2位置時(shí)，問：BD與DE、CE的關(guān)系如何？請(qǐng)予證明；（2）直線m在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周的過程中，BD、DE、CE存在哪幾種不同的數(shù)量關(guān)系？（直接寫出，不必證明）【思路點(diǎn)撥】（1）利用條件證明△ABD≌（2）根據(jù)圖，可得BD、DE、CE存在3種不同的數(shù)量關(guān)系；【解題過程】（1）證明：如圖2，∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠BDA=∠CEA=90°，∴∠ABD+∠DAB=90°．∵∠BAC=90°，∴∠DAB+∠CAE=90°，∴∠ABD=∠CAE．在△ABD和△CAE中，∠BDA=∠CBA∠ABD=∠CAB∴△ABD≌∴AD=CE，BD=AE∵DE=AE?AD，∴DE=BD?CE．（2）直線m在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周的過程中，BD、DE、CE存在3種不同的數(shù)量關(guān)系：DE=BD+CE，DE=BD?CE，DE=CE?BD．如圖1時(shí)，DE=BD+CE，如圖2時(shí)，DE=BD?CE，如圖3時(shí)，DE=CE?BD，（證明同理）12．（23-24八年級(jí)上·貴州銅仁·階段練習(xí)）（1）如圖1，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A,BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D,E．求證：DE=BD+CE．（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC,D,A,E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC．請(qǐng)寫出DE,BD,CE三條線段的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，進(jìn)而利用AAS得出則△ABD≌△CAE，即可得出DE=BD+CE；（2）根據(jù)∠BDA=∠AEC=∠BAC，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，根據(jù)AAS證出△ADB≌△CEA，從而得出AE=BD，AD=CE，即可證出DE=BD+CE；【解題過程】（1）DE=BD+CE．理由如下：∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠BDA=∠AEC=90°又∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD在△ABD和△CAE中，∠ABD＝∴△ABD≌△CAE（AAS）∴BD=AE，AD=CE，∵DE=AD+AE，∴DE=CE+BD；（2）DE=BD+CE，理由如下：∵∠BDA=∠AEC=∠BAC，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE，∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，∠ABD＝∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴BD+CE=AE+AD=DE．13．（23-24八年級(jí)上·山西大同·階段練習(xí)）某學(xué)習(xí)小組在探究三角形全等時(shí)，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形．（1）如圖1．已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線l經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線l，CE⊥直線l，垂足分別為點(diǎn)D、E．證明：DE=BD+CE．（2）組員小明對(duì)圖2進(jìn)行了探究，若∠BAC=90°，AB=AC，直線l經(jīng)過點(diǎn)A．BD⊥直線l，CE⊥直線l，垂足分別為點(diǎn)D、E．他發(fā)現(xiàn)線段DE、BD、CE之間也存在著一定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你直接寫出段DE、BD、CE之間的數(shù)量關(guān)系，（3）數(shù)學(xué)老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵(lì)他們運(yùn)用這個(gè)知識(shí)來(lái)解決問題：如圖3，過△ABC的邊AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG（正方形的4條邊都相等，4個(gè)角都是直角），AH是BC邊上的高，延長(zhǎng)HA交EG于點(diǎn)I，若BH=3，CH=7，求AI的長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)BD⊥直線l，CE⊥直線l，∠BAC=90°，可得∠CAE=∠ABD，利用AAS可證明△ADB≌△CEA，根據(jù)DE=AE+AD即可得到DE=BD+CE；（2）同（1）利用AAS可證明△ADB≌△CEA，根據(jù)DE=AE?AD即可得到DE=BD?CE；（3）過E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延長(zhǎng)線于N，可構(gòu)造兩組一線三直角全等模型，即：△ABH≌△EAM，△AHC≌△GNA，從而可以得到EM=GN，MN=4，再根據(jù)△EMI≌△CNI可得MI=NI=2，即可確定AI的長(zhǎng)度；【解題過程】（1）證明：∵BD⊥直線l，CE⊥直線l，∴∠BDA=∠CEA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，∠ABD=∠CAE∠BDA=∠CEA∴△ADB≌△CEA∴BD=AE，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE；（2）∵BD⊥直線l，CE⊥直線l，∴∠BDA=∠CEA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，∠ABD=∠CAE∠BDA=∠CEA∴△ADB≌△CEA∴BD=AE，AD=CE，∴DE=AE?AD=BD?CE；（3）如圖，過E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延長(zhǎng)線于N，∴∠EMI=∠GNI=90°∵∠BAH+∠EAM=90°，∠BAH+∠ABH=90°，∴∠EAM=∠ABH在△ABH和△EAM中，∠AHB=∠EMA∠ABH=∠EAM∴△ABH≌△EAM(∴BH=AM=3，AH=EM，同理可得：△AHC≌△GNA∴CH=AN=7，AH=GN，即：EM=GN，MN=AN?AM=7?3=4，在△EMI和△CNI中，∠EMI=∠CNI∠EIM=∠CIN∴△EMI≌△CNI(AAS∴MI=NI=1∴AI=AM+MI=3+2=5．14．（23-24八年級(jí)上·河北石家莊·階段練習(xí)）通過對(duì)如圖數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：

（1）如圖1，∠BAD=90°，AB=AD，過點(diǎn)B作BC⊥AC于點(diǎn)C，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E．由∠1+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D．又∠ACB=∠AED=90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．進(jìn)而得到AC=________，BC=AE．我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱為“K字”模型或“一線三等角”模型；（2）如圖2，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，連接BC,DE，且BC⊥AF于點(diǎn)F，DE與直線AF交于點(diǎn)G．求證：點(diǎn)G是DE的中點(diǎn)；（3）如圖3，已知四邊形ABCD和DEGF為正方形，△AFD的面積為S1，△DCE的面積為S2，S1【思路點(diǎn)撥】（1）由△ABC≌△DAE即可求解；（2）作DM⊥AF,EN⊥AF，利用“K字模型”的結(jié)論可得△ABF≌△DAM,△ACF≌△EAN，故可推出DM=EN，再證△DMG≌△ENG即可；（3）作PQ⊥CE,AM⊥PQ,FN⊥PQ，利用“K字模型”的結(jié)論可得△ADM≌△DCP,△DFN≌△EDP，進(jìn)一步可證△AMQ≌△FNQ，即可求解．【解題過程】（