2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章集合與函數(shù)概念1.2.2第2課時(shí)分段函數(shù)與映射學(xué)案含解析新人教A版必修1

PAGE第2課時(shí)分段函數(shù)與映射內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.通過詳細(xì)實(shí)例，了解簡潔的分段函數(shù)，并能簡潔應(yīng)用．2．了解映射的概念.應(yīng)用直觀想象提升數(shù)學(xué)運(yùn)算發(fā)展邏輯推理授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第19頁[基礎(chǔ)相識]學(xué)問點(diǎn)一分段函數(shù)eq\a\vs4\al(預(yù)習(xí)教材P21－22，思索并完成以下問題)某市空調(diào)公共汽車的票價(jià)按下列規(guī)則判定：①5千米以內(nèi)，票價(jià)2元；②5千米以上，每增加5千米，票價(jià)增加1元(不足5千米的按5千米計(jì)算)．已知兩個(gè)相鄰的公共汽車站間相距1千米，沿途(包括起點(diǎn)站和終點(diǎn)站)有11個(gè)汽車站．(1)從起點(diǎn)站動身，公共汽車的行程x(千米)與票價(jià)y(元)有函數(shù)關(guān)系嗎？提示：有函數(shù)關(guān)系．(2)函數(shù)的表達(dá)式是什么？提示：y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，0＜x≤5，3，5＜x≤10.))學(xué)問梳理假如函數(shù)y＝f(x)，x∈A，依據(jù)自變量x在A中不同的取值范圍，有著不同的對應(yīng)關(guān)系，則稱這樣的函數(shù)為分段函數(shù)．思索：分段函數(shù)對于自變量x的不同取值區(qū)間對應(yīng)關(guān)系不同，那么分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)還是幾個(gè)函數(shù)？分段函數(shù)的定義域和值域分別是什么？提示：分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)，各段定義域的并集即為分段函數(shù)的定義域，各段值域的并集即為分段函數(shù)的值域．學(xué)問點(diǎn)二映射eq\a\vs4\al(預(yù)習(xí)教材P22－23，思索并完成以下問題)A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是圓}．對應(yīng)關(guān)系：每一個(gè)三角形都對應(yīng)它的外接圓．(1)從集合A到集合B能構(gòu)成函數(shù)嗎？提示：不能．(2)從集合A到集合B的對應(yīng)有什么特點(diǎn)？提示：對于集合A中的任何一個(gè)三角形，在集合B中都有唯一的外接圓與之對應(yīng)．學(xué)問梳理設(shè)A，B是兩個(gè)非空的集合，假如按某一個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的隨意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)映射．思索：映射與函數(shù)是什么關(guān)系？提示：函數(shù)是特殊的映射，其是建立在兩個(gè)非空數(shù)集上的對應(yīng)關(guān)系，而映射不肯定是函數(shù)．[自我檢測]1．已知映射f：A→B，對隨意x∈A，則B中與x對應(yīng)的元素有()A．0個(gè) B．1個(gè)C．2個(gè) D．多數(shù)個(gè)解析：依據(jù)映射的定義，對于A中任何一個(gè)元素，在集合B中都有唯一的元素與之對應(yīng)，故選B.答案：B2．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x＞0，0，x＝0，x－1，x＜0，))則它的定義域是__________．解析：∵{x|x＞0}∪{0}∪{x|＜0}＝R，∴函數(shù)f(x)的定義域是實(shí)數(shù)集R.答案：R3．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x≤0，0，x＞0，))則f(－2)＝__________.解析：f(－2)＝(－2)2＝4.答案：4授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第20頁探究一分段函數(shù)求值[例1](1)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≤1\f(2,x)，x>1))則f(f(3))＝()A.eq\f(1,5) B．3C.eq\f(2,3) D.eq\f(13,9)(2)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤11－x2，x>1))，若f(x)＝－3，則x＝__________.[解析](1)由題意f(3)＝eq\f(2,3)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＋1＝eq\f(13,9)，所以f(f(3))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝eq\f(13,9).(2)若x≤1，由x＋1＝－3得x＝－4.若x>1，由1－x2＝－3得x2＝4，解得x＝2，x＝－2(舍去)．綜上可得所求x的值為－4或2.[答案](1)D(2)－4或2方法技巧1.求分段函數(shù)函數(shù)值的方法(1)先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間．(2)然后代入該段的解析式求值，直到求出值為止．當(dāng)出現(xiàn)f(f(x0))的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值．2．已知函數(shù)值求字母取值的步驟(1)先對字母的取值范圍分類探討．(2)然后代入到不同的解析式中．(3)通過解方程求出字母的值．(4)檢驗(yàn)所求的值是否在所探討的區(qū)間內(nèi)．跟蹤探究1.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋2，x<1x2＋ax，x≥1))，若f[f(0)]＝4a，則實(shí)數(shù)a＝__________.解析：由題意可知，f(0)＝2，f(2)＝4＋2a.又f[f(0)]＝f(2)＝4＋2a＝4a，所以a＝2.答案：2探究二分段函數(shù)的圖象及應(yīng)用[閱讀教材P21例5]畫出函數(shù)y＝|x|的圖象．題型：分段函數(shù)圖象[例2]若f(x)的解析式為f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋5，x≤0，x＋5，0＜x≤1，－2x＋8，x＞1.))(1)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)))，f(－1)的值；(2)畫出這個(gè)函數(shù)的圖象；(3)求f(x)的最大值．[解析](1)∵eq\f(3,2)＞1，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝－2×eq\f(3,2)＋8＝5.∵0＜eq\f(1,π)＜1，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)))＝eq\f(1,π)＋5＝eq\f(5π＋1,π).∵－1＜0，∴f(－1)＝－3＋5＝2.(2)如圖所示：在函數(shù)y＝3x＋5的圖象上截取x≤0的部分，在函數(shù)y＝x＋5的圖象上截取0＜x≤1的部分，在函數(shù)y＝－2x＋8的圖象上截取x＞1的部分．圖中實(shí)線組成的圖形就是函數(shù)f(x)的圖象．(3)由函數(shù)圖象可知，當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取最大值，最大值為6.方法技巧分段函數(shù)圖象的畫法(1)對含有肯定值的函數(shù)，要作出其圖象，首先應(yīng)依據(jù)肯定值的意義去掉肯定值符號，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，然后分段作出函數(shù)圖象．(2)作分段函數(shù)的圖象時(shí)，分別作出各段的圖象，在作每一段圖象時(shí)，先不管定義域的限制，作出其圖象，再保留定義域內(nèi)的一段圖象即可，作圖時(shí)要特殊留意接點(diǎn)處點(diǎn)的虛實(shí)，保證不重不漏．跟蹤探究2.已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，－1≤x≤1，1，x＞1或x＜－1，))(1)畫出f(x)的圖象；(2)求f(x)的定義域和值域．解析：(1)利用描點(diǎn)法，作出f(x)的圖象，如圖所示：(2)由條件知，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.由圖象知，當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，f(x)＝x2的值域?yàn)閇0,1]，當(dāng)x＞1或x＜－1時(shí)，f(x)＝1，所以f(x)的值域?yàn)閇0,1]．探究三映射的概念及應(yīng)用[閱讀教材P22例7]題型：映射的概念[例3]推斷下列對應(yīng)是不是從集合A到集合B的映射，若是，是不是集合A到集合B的函數(shù)．(1)A＝N*，B＝N*，對應(yīng)關(guān)系f：x→|x－3|；(2)A＝{平面內(nèi)的圓}，B＝{平面內(nèi)的矩形}，對應(yīng)關(guān)系f：“作圓的內(nèi)接矩形”；(3)A＝{北京奧運(yùn)會金牌}，B＝{北京奧運(yùn)會金牌獲得者}，對應(yīng)關(guān)系f：每枚金牌對應(yīng)當(dāng)項(xiàng)獲得者．(4)A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤6}，對應(yīng)關(guān)系f：x→y＝eq\f(1,2)x.[解析](1)由于A中元素3在對應(yīng)關(guān)系f作用下其與3的差的肯定值為0，而0?B，故不是映射．(2)因?yàn)橐粋€(gè)圓有多數(shù)個(gè)內(nèi)接矩形，即集合A中任何一個(gè)元素在集合B中有多數(shù)個(gè)元素與之對應(yīng)，故不是映射．(3)對于A中的每枚金牌，都對應(yīng)B中的一個(gè)獲得者，故是映射，A、B不是數(shù)集．不是函數(shù)關(guān)系．(4)是映射，因?yàn)锳中每一個(gè)元素在f：x→y＝eq\f(1,2)x作用下對應(yīng)的元素構(gòu)成的集合C＝{y|0≤y≤1}?B，符合映射定義．是函數(shù)，符合函數(shù)定義．方法技巧推斷一個(gè)對應(yīng)是否為映射的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)對于A中的隨意一個(gè)元素，在B中是否有元素對應(yīng)；(2)B中的對應(yīng)元素是否是唯一的．留意：“一對一”或“多對一”的對應(yīng)都是映射．跟蹤探究3.設(shè)M＝{x|0≤x≤3}，N＝{y|0≤y≤3}，給出4個(gè)圖形，其中能表示從集合M到集合N的映射關(guān)系的有()A．0個(gè) B．1個(gè)C．2個(gè) D．3個(gè)解析：①、②滿意映射定義；③中當(dāng)x∈(2,3]時(shí)，找不到圖象；④中x∈(0,1]時(shí)，與之對應(yīng)的數(shù)不唯一，故③、④構(gòu)不成映射關(guān)系．答案：C授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第21頁[課后小結(jié)]1．本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了分段函數(shù)及映射的有關(guān)概念，明確了分段函數(shù)的特點(diǎn)及映射與函數(shù)的區(qū)分．2．分段函數(shù)求值要先找準(zhǔn)自變量所在的區(qū)間；分段函數(shù)的定義域、值域分別是各段函數(shù)的定義域、值域的并集．3．映射的推斷應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵詞：“隨意性”“唯一確定”及“非空集合”．[素養(yǎng)培優(yōu)]分段函數(shù)求值問題已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x－1|－2，|x|≤1，\f(1,1＋x2)，|x|>1，))若f(a)＝eq\f(1,5)，則a的值為__________．易錯分析：錯誤的根本緣由是忽視了每一段解析式所對應(yīng)的自變量的取值范圍，實(shí)際在本題中，求出a的值后應(yīng)留意檢驗(yàn)．自我訂正：因?yàn)閒(a)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co