上海市曹陽二中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末考試模擬試題含解析_第1頁
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文檔簡介

上海市曹陽二中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末考試模擬試題注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若關(guān)于x的方程有解,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B.C. D.2.已知橢圓的短軸長為8,且一個(gè)焦點(diǎn)是圓的圓心,則該橢圓的左頂點(diǎn)為()A B.C. D.3.等差數(shù)列前項(xiàng)和,已知,,則的值是().A. B.C. D.4.已知直線,,點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn),則點(diǎn)到直線和的距離之和的最小值為()A.2 B.C.3 D.5.已知數(shù)列是等比數(shù)列,,是函數(shù)的兩個(gè)不同零點(diǎn),則等于()A. B.C.14 D.166.命題“,都有”的否定為()A.,使得 B.,使得C.,使得 D.,使得7.已知三棱錐O—ABC,點(diǎn)M,N分別為線段AB,OC的中點(diǎn),且,,,用,,表示,則等于()A. B.C. D.8.下列直線中,傾斜角為銳角的是()A. B.C. D.9.已知數(shù)列中,,(),則等于()A. B.C. D.210.已知公差不為0的等差數(shù)列中,(m,),則mn的最大值為()A.6 B.12C.36 D.4811.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{},=5,=10,則=A. B.7C.6 D.12.在矩形中,,在該矩形內(nèi)任取一點(diǎn)M,則事件“”發(fā)生的概率為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別為棱AA1,BB1的中點(diǎn),G為棱A1B1上的一點(diǎn),且A1G=(0<<2),則點(diǎn)G到平面D1EF的距離為____.14.在平面上給定相異兩點(diǎn)A,B,點(diǎn)P滿足,則當(dāng)且時(shí),P點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓,我們稱這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓.已知橢圓的離心率,A,B為橢圓的長軸端點(diǎn),C,D為橢圓的短軸端點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足,若的面積的最大值為3,則面積的最小值為___________.15.直線與圓相交于A,B兩點(diǎn),則的最小值為__________.16.關(guān)于曲線,則以下結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有______個(gè)①曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;②曲線C中,;③曲線C是不封閉圖形,且它與圓無公共點(diǎn);④曲線C與曲線有4個(gè)交點(diǎn),這4點(diǎn)構(gòu)成正方形三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)長方體中,,點(diǎn)分別在上,且.(1)求證:平面;(2)求平面與平面所成角的余弦值.18.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線C的參數(shù)方程為,(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)寫出曲線C的極坐標(biāo)方程;(2)已知直線與曲線C相交于A,B兩點(diǎn),求.19.(12分)從某居民區(qū)隨機(jī)抽取2021年的10個(gè)家庭,獲得第個(gè)家庭的月收入(單位:千元)與月儲(chǔ)蓄(單位:千元)的數(shù)據(jù)資料,計(jì)算得,,,(1)求家庭的月儲(chǔ)蓄對(duì)月收入的線性回歸方程;(2)判斷變量與之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān);(3)利用(1)中的回歸方程,分析2021年該地區(qū)居民月收入與月儲(chǔ)蓄之間的變化情況,并預(yù)測(cè)當(dāng)該居民區(qū)某家庭月收入為7千元,該家庭的月儲(chǔ)蓄額.附:線性回歸方程系數(shù)公式中,,,其中,為樣本平均值20.(12分)如圖所示,圓錐的高,底面圓的半徑為,延長直徑到點(diǎn),使得,分別過點(diǎn)、作底面圓的切線,兩切線相交于點(diǎn),點(diǎn)是切線與圓的切點(diǎn)(1)證明:平面;(2)若平面與平面所成銳二面角的余弦值為,求該圓錐的體積21.(12分)已知橢圓過點(diǎn),且離心率.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若動(dòng)點(diǎn)在橢圓上,且在第一象限內(nèi),點(diǎn)分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),直線分別與橢圓C交于點(diǎn),過作直線的平行線與橢圓交于點(diǎn),問直線是否過定點(diǎn),若經(jīng)過定點(diǎn),求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);若不經(jīng)過定點(diǎn),請(qǐng)說明理由.22.(10分)某公司舉辦捐步公益活動(dòng),參與者通過捐贈(zèng)每天運(yùn)動(dòng)步數(shù)獲得公司提供的牛奶,再將牛奶捐贈(zèng)給留守兒童.此活動(dòng)不但為公益事業(yè)作出了較大的貢獻(xiàn),還為公司獲得了相應(yīng)的廣告效益,據(jù)測(cè)算,首日參與活動(dòng)人數(shù)為5000人,以后每天人數(shù)比前一天都增加15%,30天后捐步人數(shù)穩(wěn)定在第30天的水平,假設(shè)此項(xiàng)活動(dòng)的啟動(dòng)資金為20萬元,每位捐步者每天可以使公司收益0.05元(以下人數(shù)精確到1人,收益精確到1元)(1)求活動(dòng)開始后第5天的捐步人數(shù),及前5天公司的捐步總收益;(2)活動(dòng)開始第幾天以后公司的捐步總收益可以收回啟動(dòng)資金并有盈余?

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】將對(duì)數(shù)方程化為指數(shù)方程,用x表示出a,利用基本不等式即可求a的范圍【詳解】,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),故故選:C2、D【解析】根據(jù)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是圓的圓心,求得c,再根據(jù)橢圓的短軸長為8求得b即可.【詳解】圓的圓心是,所以橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是,即c=3,又橢圓的短軸長為8,即b=4,所以橢圓長半軸長為,所以橢圓的左頂點(diǎn)為,故選:D3、C【解析】由題意,設(shè)等差數(shù)列的公差為,則,故,故,故選4、C【解析】由拋物線的定義可知點(diǎn)到直線和的距離之和的最小值即為焦點(diǎn)到直線的距離.【詳解】解:由題意,拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,所以根據(jù)拋物線的定義可得點(diǎn)到直線的距離等于,所以點(diǎn)到直線和的距離之和的最小值即為焦點(diǎn)到直線的距離,故選:C.5、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求得正確答案.【詳解】是函數(shù)的兩個(gè)不同零點(diǎn),所以,由于數(shù)列是等比數(shù)列,所以.故選:C6、A【解析】根據(jù)命題的否定的定義判斷【詳解】全稱命題的否定是特稱命題,命題“,都有”的否定為:,使得故選:A7、A【解析】利用空間向量基本定理進(jìn)行計(jì)算.【詳解】.故選:A8、A【解析】先由直線方程找到直線的斜率,再推導(dǎo)出直線的傾斜角即可.【詳解】選項(xiàng)A:直線的斜率,則直線傾斜角為,是銳角,判斷正確;選項(xiàng)B:直線的斜率,則直線傾斜角為鈍角,判斷錯(cuò)誤;選項(xiàng)C:直線的斜率,則直線傾斜角為0,不是銳角,判斷錯(cuò)誤;選項(xiàng)D:直線沒有斜率,傾斜角為直角,不是銳角,判斷錯(cuò)誤.故選:A9、D【解析】由已知條件可得,,…,即是周期為3的數(shù)列,即可求.【詳解】由題設(shè),知:,,,…,∴是周期為3的數(shù)列,而的余數(shù)為1,∴.故選:D.10、C【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得,再應(yīng)用基本不等式求mn的最大值,注意等號(hào)成立條件.【詳解】由題設(shè)及等差數(shù)列的性質(zhì)知:,又m,,所以,即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以mn的最大值為.故選:C11、A【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)知,a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9成等比數(shù)列,所以a4a5a6=故答案為考點(diǎn):等比數(shù)列的性質(zhì)、指數(shù)冪的運(yùn)算、根式與指數(shù)式的互化等知識(shí),轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想12、D【解析】利用幾何概型的概率公式,轉(zhuǎn)化為面積比直接求解.【詳解】以AB為直徑作圓,當(dāng)點(diǎn)M在圓外時(shí),.所以事件“”發(fā)生的概率為.故選:D二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】先證明A1B1∥平面D1EF,進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)A1到平面D1EF的距離,然后建立空間直角坐標(biāo)系,通過空間向量的運(yùn)算求得答案.【詳解】由題意得A1B1∥EF,A1B1?平面D1EF,EF?平面D1EF,所以A1B1∥平面D1EF,則點(diǎn)G到平面D1EF的距離等于點(diǎn)A1到平面D1EF的距離.以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,則D1(0,0,2),E(2,0,1),F(xiàn)(2,2,1),A1(2,0,2),所以,,.設(shè)平面D1EF的法向量為,則,令x=1,則y=0,z=2,所以平面D1EF的一個(gè)法向量.點(diǎn)A1到平面D1EF的距離==,即點(diǎn)G到平面D1EF的距離為.故答案為:.14、【解析】先根據(jù)求出圓的方程,再由的面積的最大值結(jié)合離心率求出和的值,進(jìn)而求出面積的最小值.【詳解】解:由題意,設(shè),,因?yàn)榧磧蛇吰椒秸淼茫核詧A心為,半徑因?yàn)榈拿娣e的最大值為3所以,解得:因?yàn)闄E圓離心率即,所以由得:所以面積的最小值為:故答案為:.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:本題先根據(jù)已知的比例關(guān)系求出阿波羅尼斯圓的方程,再利用已知面積和離心率求出橢圓的方程,進(jìn)而求得面積的最值.15、【解析】直線過定點(diǎn),圓心,當(dāng)時(shí),取得最小值,再由勾股定理即可求解.【詳解】由,得,由,得直線過定點(diǎn),且在圓的內(nèi)部,由圓可得圓心,半徑,當(dāng)時(shí),取得最小值,圓心與定點(diǎn)的距離為,則的最小值為.故答案為:.16、2【解析】根據(jù)曲線的方程,以及曲線的對(duì)稱性、范圍,結(jié)合每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析,即可判斷.【詳解】①將方程中的分別換為,方程不變,故該曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故正確;②因?yàn)椋獾没?,故,同理可得:,故錯(cuò)誤;③根據(jù)②可知,該曲線不是封閉圖形;聯(lián)立與,可得:,將其視作關(guān)于的一元二次方程,故,所以方程無根,故曲線與沒有交點(diǎn);綜上所述,③正確;④假設(shè)曲線C與曲線有4個(gè)交點(diǎn)且交點(diǎn)構(gòu)成正方形,根據(jù)對(duì)稱性,第一象限的交點(diǎn)必在上,聯(lián)立與可得:,故交點(diǎn)為,而此點(diǎn)坐標(biāo)不滿足,所以這樣的正方形不存在,故錯(cuò)誤;綜上所述,正確的是①③.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考察曲線與方程中利用曲線方程研究曲線性質(zhì),處理問題的關(guān)鍵是把握由曲線方程如何研究對(duì)稱性以及范圍問題,屬困難題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析.(2)【解析】(1)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和判定可得證;(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),分以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,由面面角的空間向量求解方法可得答案.【小問1詳解】證明:長方體中,平面,又平面,又平面,又平面同理可證,而平面,平面【小問2詳解】解:以為坐標(biāo)原點(diǎn),分以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.從而,,,由(1)知,為平面的一個(gè)法向量,設(shè)平面的法向量為,則,,則,從而,令,則,得平面的一個(gè)法向量為由圖示得平面與平面所成的角為銳角,平面與平面所成的角的余弦值為18、(1);(2).【解析】(1)首先將圓的參數(shù)方程華為普通方程,再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程即可.(2)首先聯(lián)立得到,再求的長度即可.【詳解】(1)將曲線C的參數(shù)方程,(為參數(shù))化為普通方程,得,極坐標(biāo)方程為.(2)聯(lián)立方程組,消去得,設(shè)點(diǎn)A,B對(duì)應(yīng)的極徑分別為,,則,,所以.19、(1)=0.3x-0.4(2)正相關(guān)(3)1.7千元【解析】(1)由題意得到n=10,求得,進(jìn)而求得,寫出回歸方程;.(2)由判斷;(3)將x=7代入回歸方程求解.【小問1詳解】由題意知n=10,,則,所以所求回歸方程為=0.3x-0.4.【小問2詳解】因?yàn)椋宰兞縴的值隨x的值增加而增加,故x與y之間是正相關(guān).【小問3詳解】將x=7代入回歸方程可以預(yù)測(cè)該家庭的月儲(chǔ)蓄為=0.3×7-0.4=1.7(千元).20、(1)證明見解析;(2).【解析】(1)由線面垂直、切線的性質(zhì)可得、,再根據(jù)線面垂直的判定即可證結(jié)論.(2)若,構(gòu)建為原點(diǎn),、、為x、y、z軸的空間直角坐標(biāo)系,求面、面的法向量,利用空間向量夾角的坐標(biāo)表示及其對(duì)應(yīng)的余弦值求R,最后由圓錐的體積公式求體積.【小問1詳解】由題設(shè),底面圓,又是切線與圓的切點(diǎn),∴底面圓,則,且,而,∴平面.【小問2詳解】由題設(shè),若,可構(gòu)建為原點(diǎn),、、為x、y、z軸的空間直角坐標(biāo)系,又,可得,∴,,,有,,若是面的一個(gè)法向量,則,令,則,又面的一個(gè)法向量為,∴,可得,∴該圓錐的體積21、(1)(2)過定點(diǎn),【解析】(1)根據(jù)橢圓上的點(diǎn)及離心率求出a,b即可;(2)設(shè)點(diǎn),設(shè)直線的方程為,聯(lián)立方程,得到根與系數(shù)的關(guān)系,利用條件化簡,結(jié)合橢圓方程,求出即可得解.【小問1詳解】由,有,又,所以,橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】設(shè)點(diǎn),設(shè)直線的方程為.如圖,聯(lián)立,消有:,韋達(dá)定理有:由,所以,又,所以又

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