浙江省寧波市余姚中學2025屆高二數學第一學期期末聯(lián)考試題含解析

浙江省寧波市余姚中學2025屆高二數學第一學期期末聯(lián)考試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．學校為了解學生在課外讀物方面的支出情況，抽取了n位同學進行調查，結果顯示這些同學的支出都在（單位：元）內，其中支出在（單位：元）內的同學有67人，其頻率分布直方圖如圖所示，則n的值為（）A.100 B.120C.130 D.3902．某考點配備的信號檢測設備的監(jiān)測范圍是半徑為100米的圓形區(qū)域，一名工作人員持手機以每分鐘50米的速度從設備正東方向米的處出發(fā)，沿處西北方向走向位于設備正北方向的處，則這名工作人員被持續(xù)監(jiān)測的時長為（）A.1分鐘 B.分鐘C.2分鐘 D.分鐘3．如圖是拋物線拱形橋，當水面在時，拱頂離水面，水面寬，若水面上升，則水面寬是（）（結果精確到）（參考數值：）A B.C. D.4．已知雙曲線C：（，）的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，的C的離心率為（）A. B.C.2 D.5．已知等差數列，，則公差d等于（）A. B.C.3 D.-36．已知函數是區(qū)間上的可導函數，且導函數為，則“對任意的，”是“在上為增函數”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7．已知圓的方程為，直線：恒過定點，若一條光線從點射出，經直線上一點反射后到達圓上的一點，則的最小值是（）A.3 B.4C.5 D.68．函數的圖像在點處的切線方程為（）A. B.C. D.9．已知點為直線上任意一點，為坐標原點．則以為直徑的圓除過定點外還過定點（）A. B.C. D.10．已知數列滿足，，.設，若對于，都有恒成立，則最大值為A.3 B.4C.7 D.911．若方程表示圓，則實數m的取值范圍為（）A B.C. D.12．已知角的終邊經過點，則，的值分別為A.， B.，C.， D.，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．點P(8，1)平分橢圓x2+4y2＝4的一條弦，則這條弦所在直線的方程是_______.14．方程的曲線的一條對稱軸是_______，的取值范圍是______.15．雙曲線的離心率為__________16．直線的一個法向量________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知分別是橢圓的左、右焦點，點是橢圓上的一點，且的面積為1.（1）求橢圓的短軸長；（2）過原點的直線與橢圓交于兩點，點是橢圓上的一點，若為等邊三角形，求的取值范圍.18．（12分）設數列的前項和為，為等比數列，且，（1）求數列和的通項公式；（2）設，求數列的前項和19．（12分）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，，.（1）求角B；（2）求a，c的值及的面積.20．（12分）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，且，，.（1）求證：平面PAC；（2）已知點M是線段PD上的一點，且，當三棱錐的體積為1時，求實數的值.21．（12分）自疫情爆發(fā)以來，由于黨和國家對抗疫工作高度重視，在人民群眾的不懈努力下，我國抗疫工作取得階段性成功，國家經濟很快得到復蘇.在餐飲業(yè)恢復營業(yè)后，某快餐店統(tǒng)計了近天內每日接待的顧客人數，將前天的數據進行整理得到頻率分布表和頻率分布直方圖.組別分組頻數頻率第組第組第組第組第組合計（1）求、、的值，并估計該快餐店在前天內每日接待的顧客人數的平均數；（2）已知該快餐店在前50天內每日接待的顧客人數的方差為，在后天內每日接待的顧客人數的平均數為、方差為，估計這家快餐店這天內每日接待的顧客人數的平均數和方差.（）22．（10分）數字人民幣是由央行發(fā)行的法定數字貨幣，它由指定運營機構參與運營并向公眾兌換，與紙鈔和硬幣等價.截至2021年6月30日，數字人民幣試點場景已超132萬個，覆蓋生活繳費、餐飲服務、交通出行、購物消費、政務服務等領域.為了進一步了解普通大眾對數字人民幣的感知以及接受情況，某機構進行了一次問卷調查，結果如下：學歷小學及以下初中高中大學?？拼髮W本科碩士研究生及以上不了解數字人民幣35358055646了解數字人民幣406015011014025（1）如果將高中及高中以下的學歷稱為“低學歷”，大學?？萍耙陨蠈W歷稱為“高學歷”，根據所給數據，完成列聯(lián)表.低學歷高學歷合計不了解數字人民幣了解數字人民幣合計（2）若從低學歷的被調查者中隨機抽取2人進行進一步調查，求被選中的2人中至少有1人對數字人民幣不了解的概率：（3）根據列聯(lián)表，判斷是否有的把握認為“是否了解數字人民幣”與“學歷高低”有關？0.0500.0100.001k3.8416.63510.828附：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據小矩形的面積之和，算出位于10～30的2組數的頻率之和為0.33,從而得到位于30～50的數據的頻率之和為1-0.33=0.67，再由頻率計算公式即可算出樣本容量的值.【詳解】位于10～20、20～30的小矩形的面積分別為位于10～20、20～30的據的頻率分別為0.1、0.23可得位于10～30的前3組數的頻率之和為0.1+0.23=0.33由此可得位于30～50數據的頻率之和為1-0.33=0.67∵支出在[30,50)的同學有67人,即位于30～50的頻數為67，∴根據頻率計算公式，可得解之得.故選：A2、C【解析】以設備的位置為坐標原點，其正東方向為軸正方向，正北方向為軸正方向建立平面直角坐標系，求得直線和圓的方程，利用點到直線的距離公式和圓的弦長公式，求得的長，進而求得持續(xù)監(jiān)測的時長.【詳解】以設備的位置為坐標原點，其正東方向為軸正方向，正北方向為軸正方向建立平面直角坐標系，如圖所示，則，，可得，圓記從處開始被監(jiān)測，到處監(jiān)測結束，因為到的距離為米，所以米，故監(jiān)測時長為分鐘故選：C.3、C【解析】先建立直角坐標系，設拋物線方程為x2＝my，將點坐標代入拋物線方程求出m，從而可得拋物線方程，再令y＝代入拋物線方程求出x，即可得到答案【詳解】解：如圖建立直角坐標系，設拋物線方程為x2＝my，由題意，將代入x2＝my，得m＝，所以拋物線的方程為x2＝，令y＝，解得，所以水面寬度為2.24×817.9m故選：C4、C【解析】由雙曲線的方程可得漸近線的直線方程，根據直線和圓相交弦長可得圓心到直線的距離，進而可得，結合，可得離心率.【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為，即，被圓所截得的弦長為2，所以圓心到直線的距離為，，解得，故選：C【點睛】本題考查了雙曲線的漸近線和離心率、直線和圓的相交弦、點到直線距離等基本知識，考查了運算求解能力和邏輯推理能力，轉化的數學思想，屬于一般題目.5、B【解析】根據題意，利用公式，即可求解.【詳解】由題意，等差數列，，可得等差數列的公差.故選：B.6、A【解析】根據充分條件與必要條件的概念，由導函數的正負與函數單調性之間關系，即可得出結果.【詳解】因為函數是區(qū)間上的可導函數，且導函數為，若“對任意的，”，則在上為增函數；若在上為增函數，則對任意的恒成立，即由“對任意的，”能推出“在上為增函數”；由“在上為增函數”不能推出“對任意的，”，因此“對任意的，”是“在上為增函數”的充分不必要條件.故選：A7、B【解析】求得定點，然后得到關于直線對稱點為，然后可得，計算即可.【詳解】直線可化為，令解得所以點的坐標為.設點關于直線的對稱點為，則由,解得,所以點坐標為.由線段垂直平分線的性質可知，，所以（當且僅當，，，四點共線時等號成立），所以的最小值為4.故選:B.8、B【解析】求得函數的導數，計算出和的值，可得出所求切線的點斜式方程，化簡即可.詳解】，，，，因此，所求切線的方程為，即.故選：B.【點睛】本題考查利用導數求解函圖象的切線方程，考查計算能力，屬于基礎題9、D【解析】設垂直于直線，可知圓恒過垂足；兩條直線方程聯(lián)立可求得點坐標.【詳解】設垂直于直線，垂足為，則直線方程為：，由圓的性質可知：以為直徑的圓恒過點，由得：，以為直徑的圓恒過定點.故選：D.10、A【解析】整理數列的通項公式有：，結合可得數列是首項為，公比為的等比數列，則，，原問題即：恒成立，當時，，即>3，綜上可得：的最大值為3.本題選擇A選項點睛：數列的遞推關系是給出數列的一種方法，根據給出的初始值和遞推關系可以依次寫出這個數列的各項，由遞推關系求數列的通項公式，常用的方法有：①求出數列的前幾項，再歸納猜想出數列的一個通項公式；②將已知遞推關系式整理、變形，變成等差、等比數列，或用累加法、累乘法、迭代法求通項11、D【解析】根據，解不等式即可求解.【詳解】由方程表示圓，則，解得.所以實數m的取值范圍為.故選：D12、C【解析】利用任意角的三角函數的定義：，，，代入計算即可得到答案【詳解】由于角的終邊經過點，則,，（為坐標原點），所以由任意角的三角函數的定義：，.故答案選C【點睛】本題考查任意角的三角函數的定義，解決此類問題的關鍵是掌握牢記三角函數定義并能夠熟練應用，屬于基礎題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】結合點差法求得正確答案.【詳解】橢圓方程可化為，設是橢圓上的點，是弦的中點，則，兩式相減并化簡得，即，所以弦所在直線方程為，即.故答案為：14、①.x軸或直線②.【解析】根據給定條件分析方程的性質即可求得對稱軸及x的取值范圍作答.【詳解】方程中，因，則曲線關于x軸對稱，又，解得，此時曲線與都關于直線對稱，曲線的對稱軸是x軸或直線，的取值范圍是.故答案為：x軸或直線；15、【解析】∵雙曲線的方程為∴，∴∴故答案為16、（答案不唯一）【解析】根據給定直線方程求出其方向向量，再由法向量意義求解作答.【詳解】直線的方向向量為，而，所以直線的一個法向量.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）2（2）【解析】（1）根據題意表示出的面積，即可求得結果；（2）分類討論直線斜率情況，然后根據是等邊三角形，得到，聯(lián)立直線和橢圓方程，用點的坐標表示上述關系式，化簡即可得答案.【小問1詳解】因為，所以，又因為，所以，，所以，則橢圓的短軸長為2.【小問2詳解】若為等邊三角形，應有，即.當直線的斜率不存在時，直線的方程為，且，此時若為等邊三角形，則點應為長軸頂點，且，即.當直線的斜率為0時，直線的方程為，且，此時若為等邊二角形，則點應為短軸頂點，此時,不為等邊三角形.當直線的斜率存在且不為0時，設其方程為，則直線的方程為.由得,同理.因為，所以，解得.因為，所以，則，即.綜上，的取值范圍是.18、（1），；（2）【解析】（1）由已知利用遞推公式，可得，代入分別可求數列的首項，公比，從而可求.（2）由（1）可得，利用乘“公比”錯位相減法求和【詳解】解：(1)當時，，當時，滿足上式，故的通項式為設的公比為，由已知條件知，，，所以，，即(2)，兩式相減得：【點睛】本題考查等差數列、等比數列的求法，錯位相減法求數列通項，屬于中檔題.19、（1）（2），，【解析】（1）利用正弦定理化簡已知條件，求得，進而求得.（2）利用余弦定理求得和，由此求得三角形的面積.【小問1詳解】由于，∴.又∵，∴.∴.【小問2詳解】∵，且，，，∴，解得或（舍）.∴，.∴.20、（1）證明見解析（2）3【解析】（1）證明出，且，從而證明出線面垂直；（2）先用椎體體積公式求出，利用體積之比得到線段之比，從而得到的值.【小問1詳解】證明：∵平面ABCD，且平面ABCD，∴.又因為，且，∴四邊形ABCD為直角梯形.又因為，，易得，，∴，∴.又因為AC，PA是平面PAC的兩條相交直線，∴平面PAC.【小問2詳解】由（1）知且，∴.又∵平面ABCD，.又∵，∴，∴點M到平面ABC的距離為，∴，∴.21、（1），，，平均數為；（2）平均數為，方差為.【解析】（1）計算出第組的頻數，可求得的值，利用頻數、頻率和總數的關系可求出的值，求出第組的頻率，除以組距可得的值，利用平均數公式可求得該快餐店在前天內每日接待的顧客人數的平均數；（2）設前天接待的顧客人數分別為、、、，后天接待的顧客人數分別為、、、，利用平均數公式和方差公式可求得結果.【小問1詳解】解：由表可知第組的頻數為，所以，，，第組的頻率為，，前天內每日接待的顧客人數的平均數為：.【小問2詳解】解：設前天接待的顧客人數分別為、、、，后天接待的顧客人數分別為、、、，則由（1）知前天的平均數，方差，后天的平均數，方差，故這天的平均數為，，同理，這天的方差，由以上三式可得.22、（1）列聯(lián)表答案見解析；（2）；（3）沒有的把握認為“是否了解數字人民幣”與“學歷高低”有關.【解析】(1)根據給定表中數據列出列聯(lián)表作答.(2