數(shù)學史融入數(shù)學教學的詮釋學模式探索

［摘要］在現(xiàn)有研究成果的基礎上，聯(lián)系數(shù)學史融入數(shù)學教學實際，對現(xiàn)行雙循環(huán)詮釋學模式進行分析和探索，并結合教科書、數(shù)學史、學生實際水平、教學現(xiàn)實條件四個因素，提出了一種數(shù)學史融入數(shù)學教學的多向循環(huán)詮釋學模式。這種詮釋學模式比較全面地考慮了數(shù)學教學各環(huán)節(jié)要素之間的相互聯(lián)系，能夠更好地探索數(shù)學史融入數(shù)學教學的恰當角度和方式，在實踐中更好地指導數(shù)學教學，充分發(fā)揮數(shù)學史的教育價值。［關鍵詞］

數(shù)學史；數(shù)學教學；詮釋學模式；探索一、前言第八屆全國數(shù)學史與數(shù)學教育（HPM）學術研討會，于2019年5月10—12日在上海交通大學閔行校區(qū)舉行，該屆HPM學術研討會暨第十屆中國數(shù)學會數(shù)學史分會學術年會同期舉行，該屆HPM學術研討會的報告內容涉及張奠宙先生紀念、HPM理論探討、HPM教學實踐、教育取向的歷史研究、HPM與大學數(shù)學教育、數(shù)學文化與數(shù)學教育6個主題，顯示了現(xiàn)階段國內HPM研究的特點：數(shù)學史與數(shù)學教育的實踐案例增多；數(shù)學史與數(shù)學教育的研究范圍拓廣；數(shù)學史與數(shù)學教育研究學段廣泛[1]。該屆HPM學術研討會的報告匯集國內研究的最新成果，集中反映了當前研究的特點，具有一定的參考價值，為未來的HPM研究提供了啟示和方向。1972年HPM成立以后，數(shù)學史融入數(shù)學教學的研究是HPM研究的重要領域，其中教育取向的數(shù)學史研究、基于歷史發(fā)生原理的教學法研究和數(shù)學史融入課堂的教學實驗研究一直是HPM研究的熱門話題。2000年以來，數(shù)學史融入數(shù)學教學一直是歷屆HPM大會的主題之一，研究者不僅在經驗層面描述數(shù)學史的融入，更多地在理論層面和應用理論指導教學實踐層面研究有關的歷史模塊，課堂設計、教學案例和課堂實驗，研究成果對數(shù)學教學實踐有了更強的指導性和適用性[2]。但是，對數(shù)學教師而言，數(shù)學史融入數(shù)學教學的方式并不是一個很容易解決的問題。縱觀歷史上重要數(shù)學思想、理論及其方法等產生和發(fā)展過程有著自己的特殊歷史背景和規(guī)律，有啟發(fā)的思想并不能幫助教師解決如何有效地構造教學環(huán)節(jié)中的實踐問題[3]。事實上，縱觀數(shù)學的發(fā)展歷史，數(shù)學始終是知識不斷交替更新、總結歸納、來源于實踐并應用于實踐及其服務于人類社會發(fā)展的系統(tǒng)化動態(tài)過程，并一直持續(xù)著，不斷前進。在數(shù)學教學中，若要體現(xiàn)數(shù)學史的積極促進作用，需要把數(shù)學史融入數(shù)學教育的整體框架之中，綜合考慮數(shù)學史與諸多教育要素之間的關系，恰當?shù)貙?shù)學史融入數(shù)學教育中的各個教學環(huán)節(jié)。在這樣的背景下，數(shù)學史融入數(shù)學教學的有效方式、途徑及其策略，將是首先急需解決的一個問題，數(shù)學史融入數(shù)學教學模式的研究就成為一個特別值得關注的課題。二、數(shù)學史融入數(shù)學教學的研究現(xiàn)狀盡管不少研究者和數(shù)學教育組織對數(shù)學史融入數(shù)學教學給予了充分的肯定，也有一些研究者對此提出一些理論和實踐上的質疑[4]。（一）從理論上對數(shù)學史融入數(shù)學教學的質疑針對數(shù)學史融入數(shù)學教學，Radford[5]，Ungurn[6]和Fried[7]等學者指出，現(xiàn)代的數(shù)學教育與已經發(fā)生的數(shù)學史及其產生的歷史方法等之間，對數(shù)學教學的方法和理念等有可能產生不協(xié)調。簡單地說，一方面，不同層次的數(shù)學課程（含中小學、大學、高職和民族預科等）的課程目標為今后的數(shù)學進一步學習打好基礎。當使用數(shù)學史來輔助實現(xiàn)數(shù)學課程目標及價值定位，并制定數(shù)學教學實踐和過程，就不可避免產生一種“時空錯置”現(xiàn)象；另一方面，數(shù)學史學家致力于挖掘古代數(shù)學家事跡和數(shù)學理論方法的特征及其產生的數(shù)學思想和理論方法對于哲學和文化情景的依賴。可見，數(shù)學教育與數(shù)學史研究之間的目標和方法都不完全相同，認為在數(shù)學教學中，引導學生進入數(shù)學發(fā)展的深邃歷史情景和過程中，來感知現(xiàn)在學習的數(shù)學內容，這一教學設計理念在付諸實施時似乎感覺有點困難，甚至浪費時間。（二）從實踐上對數(shù)學史融入數(shù)學教學的質疑針對數(shù)學史融入數(shù)學教學，Tzanakis和Arcavi[8]等研究學者認為，現(xiàn)階段的數(shù)學教學實際上還不完全滿足引入數(shù)學史的條件。主要表現(xiàn)在以下四點：第一，缺乏時間。數(shù)學教師都感受到在開展數(shù)學教學過程中，抽取一定的時間（即使占用全部教學時間比例很低）來完成教學活動，以達到良好的教學效果的目的，還存在一定的困難。第二，缺乏資源。在數(shù)學教學中，數(shù)學教師并沒有完整、豐富和系統(tǒng)的數(shù)學史書籍及其參考資料給予使用。第三，缺乏學習和培訓。沒有長期、中期或者短期安排、計劃和規(guī)劃，對數(shù)學教師進行充分的系統(tǒng)性和科學性的數(shù)學史知識體系學習和培訓及其對教學經驗的交流和學術研討。第四，缺乏良好的教學現(xiàn)實條件，包括缺乏與數(shù)學氛圍相適應的教學環(huán)境，全方位呈現(xiàn)數(shù)學教學素材和各個環(huán)節(jié)要素的教學設施，客觀科學的數(shù)學教學評價體系等。除此之外，對不同層次數(shù)學課程（含中小學、大學、高職和民族預科等）進行教學，應根據(jù)各自規(guī)定的課程教學大綱、課程教學目標和課程規(guī)劃等，要求必須在規(guī)定的教學時間內和相應的教學條件下完成相應的教學任務。從實際的教學實踐和教學經驗中，還可以認識到，教師要完成數(shù)學課程所規(guī)定的教學任務，不能一味地填鴨式逐一講解全部的知識點?？陀^上，應用數(shù)學各種史料，可以對數(shù)學中的概念、定義、相關理論和方法等，能夠提供一定的歷史背景、文化環(huán)境等，對數(shù)學教學有一定的促進作用，具有極高的教育價值。數(shù)學從來不是某個人、某個文明、某個國家和地區(qū)的專利，不同文化都對數(shù)學的發(fā)展產生過影響，數(shù)學在不同時空的歷史演進，也是數(shù)學學習的目標[9]。這與數(shù)學課程目標的實現(xiàn)并無根本上的沖突，兩種應該是相得益彰、互相促進的。但是在數(shù)學教學中，不能忽略這樣一類問題：數(shù)學史的內容與數(shù)學課程的教學內容在教學時間上如何分配，數(shù)學史融入數(shù)學教學的模式怎樣處理，等等，這在實際開展數(shù)學教學活動時將是難以選擇的。首先，數(shù)學史能夠發(fā)揮積極教育價值，占用比較多的教學時間是不可取的。其次，同樣在數(shù)學教學中，完全不使用數(shù)學史或者象征性粗糙式使用數(shù)學史，僅僅在數(shù)學教學中對數(shù)學史料的使用流于形式，會導致數(shù)學史對教學的積極教育價值得不到充分發(fā)揮。在客觀上，數(shù)學史與數(shù)學教育建立和制定的理論體系、實施方案及其所依據(jù)的理念、形式和方式，都存在一定的差異性。將數(shù)學史與數(shù)學教學之間進行相互融合并不容易，可能存在一定的距離。數(shù)學史融入數(shù)學教學的運用還存在一些因素的制約，主要包含教師對數(shù)學史內涵理解上的局限性，教師可支配的數(shù)學史素材不全面、不系統(tǒng)，教師在數(shù)學教學中使用數(shù)學史料會受到學生實際水平和數(shù)學教學現(xiàn)實條件限制，等等。諸如此類因素，很大程度上限制了教師在數(shù)學教學中高水平的發(fā)揮。余慶純和汪曉勤采用德爾菲法、文本分析法開展質性研究，對2012—2018年20個高中HPM課例分析發(fā)現(xiàn)，在HPM視角下的數(shù)學教學中，數(shù)學史的教育價值功能仍體現(xiàn)不足[10]，探究其原因，存在上述因素制約了數(shù)學史融入數(shù)學教學中教育價值的發(fā)揮。三、雙循環(huán)詮釋學模式1994年，德國教授H.N.Jahnke在第18屆PME大會報告中指出：數(shù)學是一種文化，回歸源頭能使我們獲得對思想過程的重要認識，更加清晰地理解現(xiàn)在問題[11]。Jahnk的報告內容主要闡述了下列觀念：（1）數(shù)學史融入數(shù)學教學的重要性不僅僅是為了激發(fā)學習動機和學習興趣等外在目標，而應該是把數(shù)學發(fā)展過程中同時期和不同時期數(shù)學文化聯(lián)系起來，使數(shù)學史成為支持數(shù)學教育中教與學的必要組成部分。（2）同時期的數(shù)學史包含數(shù)學課程教學對話和教學活動的自然情景，對相應的數(shù)學概念、定義等能夠產生一定的共鳴，不同時期的數(shù)學史可以展現(xiàn)數(shù)學的發(fā)展歷程，能夠感受到由簡單到復雜、由直觀到抽象及其數(shù)學來源于實踐并最終應用于實踐等變化方程。（3）在數(shù)學教學中，通過對數(shù)學假設、理論、特征的理解、詮釋和融入，讓學生在數(shù)學學習中，在一定的社會文化背景下掌握數(shù)學知識的建構意義、思維模式及其發(fā)生發(fā)展形式，不僅實現(xiàn)了數(shù)學認知的發(fā)展，還實現(xiàn)了更重要的元數(shù)學認識的發(fā)展[2]?；谶@種對數(shù)學教育的認知觀念，形成了數(shù)學史融入數(shù)學教學的一種模式，稱之為雙循環(huán)詮釋學模式[12]，如圖1所示?！鰣D1雙循環(huán)的詮釋學模式這種詮釋學模式不僅要考慮數(shù)學史，還需要考慮其他數(shù)學教學要素，比如教學內容、教科書、課程標準、教學理論和教學方式等。首先，在數(shù)學教學準備開展之前，可以反復向自己提出類似這樣的問題：有沒有必要引入數(shù)學史？數(shù)學史和教學內容的內在聯(lián)系在哪里？數(shù)學史對數(shù)學學習的貢獻和價值是什么？等等。對于這類問題，數(shù)學教師在實施數(shù)學教學活動之前的準備階段需作出詮釋，即教師對數(shù)學史及其與數(shù)學教學的聯(lián)系的理解和思考。其次，教師帶著自己的詮釋必須經過兩個循環(huán)過程，即C1循環(huán)過程和C2循環(huán)過程，尋找C1循環(huán)過程與C2循環(huán)過程之間的聯(lián)系，著眼于評估數(shù)學史在此教學過程中能否發(fā)揮積極作用、如何發(fā)揮作用及其作用發(fā)揮的程度怎么樣，來決定是否有必要將數(shù)學史融入此數(shù)學教學過程。若有必要，需要制定出數(shù)學史與具體的教學內容結合的方式及其數(shù)學史呈現(xiàn)的形式，并對教學效果進行預期的評估。C1循環(huán)過程：主要包含教師對教材編寫者的意圖、課程標準、教學目標和教科書知識等進行一定程度的理解和分析，再結合課程目標、教學任務和教學環(huán)境等，教師反復思考此教學內容是否有必要融入數(shù)學史來開展數(shù)學教學過程。C2循環(huán)過程：主要包含教師對古代數(shù)學家事跡及其歷史背景、相對應的數(shù)學理論、數(shù)學思想和數(shù)學內容等進行一定程度的認識和理解，反復思考和挖掘與相應的數(shù)學教學內容密切相關的具體數(shù)學史內容，比如數(shù)學史實、數(shù)學趣事及其歷史上數(shù)學理論和方法的產生過程等，可以融入數(shù)學教學中。雖然教師結合現(xiàn)有的數(shù)學理論和數(shù)學史知識體系，可以在一定程度上獨立去詮釋C1循環(huán)過程和C2循環(huán)過程，形成一定的教學方式。但事實上，在數(shù)學教學展開之前必須思考一個關鍵性問題：在C1循環(huán)過程和C2循環(huán)過程之間，如何去探索一個恰當?shù)慕Y合程度？四、多向循環(huán)詮釋學模式（一）詮釋學模式的探索利用雙循環(huán)詮釋學模式，在開展數(shù)學教學時，經過C1循環(huán)和C2循環(huán)過程后，教師只能根據(jù)教材的編寫、課程標準、教學內容和教學目標，對數(shù)學思想和方法產生和發(fā)展的歷史過程及其特征等進行詮釋，進而挖掘可以在教學中使用的數(shù)學史知識內容，尋找數(shù)學史與教學內容恰當?shù)慕Y合角度。但是，并沒有考慮學生的實際情況和現(xiàn)有的知識水平及其數(shù)學教學現(xiàn)實條件（數(shù)學氛圍、教學環(huán)境、教學設施、教學評價體系等）等與數(shù)學教學相關的因素。數(shù)學教學活動應該是以學生為中心展開的，在探索數(shù)學史融入數(shù)學教學模式時，更應該把有利于教學和學生學習放在衡量教學優(yōu)劣的主體地位，故應對學生的實際情況、知識水平和結構引起重視。除此之外，還應該考察數(shù)學教學現(xiàn)實條件，包括數(shù)學氛圍、教學環(huán)境、教學設施和教學評價體系等，和其他有益于數(shù)學教學中使用數(shù)學史的方式和途徑。（二）多向循環(huán)詮釋學模式的實踐為了數(shù)學史融入數(shù)學教學能夠取得較好的教學效果，有必要對雙循環(huán)詮釋學模式適當?shù)剡M行改進，使之更好地在實踐上指導數(shù)學教學。現(xiàn)在針對數(shù)學史融入數(shù)學教學的模式，提出一種新的多向循環(huán)詮釋學模式，如圖2所示。■圖2多向循環(huán)的詮釋學模式多向循環(huán)詮釋學模式描述如下：1.此多向循環(huán)詮釋學模式并不局限于滿足雙循環(huán)詮釋學模式中C1和C2兩個循環(huán)過程，即針對數(shù)學教科書和數(shù)學史兩方面，增加了關于學生實際水平和教學現(xiàn)實條件兩個循環(huán)。在此改進的詮釋學模式中，只要是將數(shù)學史融入數(shù)學教學，有利于提高教學和學習效率的方式和途徑，都可以加入循環(huán)中去，這樣就可以把影響數(shù)學教學效果的若干要素盡量充分地予以考慮，綜合衡量，探索數(shù)學史與數(shù)學教學內容的最佳結合角度，這樣的結合角度更加符合客觀實際，形成恰當和相適應的方式，使數(shù)學史融入數(shù)學教學的方式更符合學生的認知水平，凸顯教師的教學效果，充分發(fā)揮數(shù)學史的教育價值。2.多向循環(huán)詮釋學模式強調開展數(shù)學教學之前的準備階段，必須考慮學生的認知水平和知識結構，也要考查學生目前所掌握的有關數(shù)學史知識水平，評估對新知識及相應的數(shù)學史是否感興趣或感興趣的程度如何及接受數(shù)學史的方式，和學生可能面臨的問題等，并嘗試結合目前的學習特點對效果作一個預期的評估，并及時進行修正。上述問題如何去做才能更好地解決？可以在教學活動開展之前，進行一個與教學活動相關的調查問卷，了解學生目前的狀況及對新知識的前期反應情況。除了調查問卷，教師可以通過對不同層次的學生進行訪談等方式了解學生目前的實際情況。3.多向循環(huán)詮釋學模式也重視對數(shù)學現(xiàn)實條件這一因素的思考。客觀上，數(shù)學現(xiàn)實條件能夠對數(shù)學教學活動的開展產生不可估量的影響，同時為學生的學習提供了一個先決條件，營造了良好的學習氛圍，故在某種程度上可以直接影響教師的教學效果和學生的學習效果。這里考慮的教學現(xiàn)實條件包含數(shù)學氛圍、教學環(huán)境、教學設施、教學評價體系等，在客觀上是不可否認的。這些教學現(xiàn)實條件現(xiàn)有的狀況