3平面一般力系

山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)第二章平面力系的合成與平衡第三節(jié)平面一般力系和平面平行力系在平面力系中，如果各力的作用線不全匯交于一點(diǎn)，也不全相互平行，這樣的力系就是平面一般力系。前面提到的平面桁架、水壩、擋土墻等，它們的受力都屬于平面一般力系。

平面平行力系各力的作用線互相平行，是一般力系的特殊情況。平面一般力系是工程中最常見(jiàn)的力系，本節(jié)將討論其簡(jiǎn)化和平衡問(wèn)題。平面一般力系簡(jiǎn)化的理論基礎(chǔ)是力的平移定理。山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)一、力的平移定理力對(duì)物體的作用效果，取決于它的三要素。如果將一個(gè)力平行移動(dòng)，就改變了其中的一個(gè)要素，也就改變了對(duì)物體的作用效果，如圖所示。那么，如果不改變力的作用效果而把力平移，需要附加什么條件呢？F’FdABF’’dABFF’F’’dABFM=Fd

由此可見(jiàn)：作用于物體上的力，可以平移到該物體上的任一點(diǎn)，但必須附加一個(gè)力偶，其力偶矩等于原力對(duì)新作用點(diǎn)的矩。這就是力的平移定理。山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)

力的平移定理是將一個(gè)力轉(zhuǎn)化為一個(gè)力和一個(gè)力偶。只是需確定兩力作用線間的距離，以及這個(gè)力平移的方向。具體用下式計(jì)算：OBAFMOF'd=|M|

Fdd反過(guò)來(lái)，一個(gè)力和一個(gè)力偶也可轉(zhuǎn)化為一個(gè)合力。山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)在實(shí)際工程中，應(yīng)用力的平移定理，可以更清楚地表明力的作用效應(yīng)。AOeFOF’M=Fe可以看出：力F’

使柱子受壓，而附加力偶M使柱子彎曲。山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)二、平面一般力系的簡(jiǎn)化1.簡(jiǎn)化的方法——運(yùn)用力的平移定理，向作用面內(nèi)任一點(diǎn)簡(jiǎn)化F2F1FnOOF2'F1'Fn'M1M2MnOFR'MO各附加力偶則組成一個(gè)平面力偶系(M1、M2、…、Mn)，可進(jìn)一步合成為對(duì)簡(jiǎn)化中心O的合力偶MO，MO稱(chēng)為原力系的主矩。平移后的各力組成匯交于O點(diǎn)的平面匯交力系(F1'、F2'、…、Fn')，可進(jìn)一步合成為作用于O點(diǎn)的一個(gè)合力FR'，F(xiàn)R'稱(chēng)為原力系的主矢。山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)二、平面一般力系的簡(jiǎn)化1.簡(jiǎn)化的方法2.簡(jiǎn)化的結(jié)果——主矢FR'和

主矩MO的計(jì)算主矢FR'的計(jì)算:yxOFR'MOa主矢FR'的大小和方向可由平面匯交力系的合成方法求得。由于力的投影在平移前后是相等的，所以各力不必平移后再投影。FR'=tanα=式中，α為主矢FR'與x軸所夾的銳角。山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)二、平面一般力系的簡(jiǎn)化2.簡(jiǎn)化的結(jié)果——主矢FR'和主矩MO的計(jì)算主矩MO的計(jì)算:可由平面力偶系的合成方法求得。MO=M1+M2+……+Mn

=MO(F1)+MO(F2)+……+MO(Fn)=∑MO(F)山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)綜上所述可知，平面一般力系簡(jiǎn)化的結(jié)果是主矢和主矩。主矢作用在簡(jiǎn)化中心，等于這個(gè)力系中各力的矢量和；主矩等于各力對(duì)簡(jiǎn)化中心之矩的代數(shù)和。主矢描述原力系對(duì)物體的平移作用，主矩描述原力系對(duì)物體繞簡(jiǎn)化中心的轉(zhuǎn)動(dòng)作用。二者組合才能代表原力系對(duì)物體的作用。因此，單獨(dú)的主矢FR'不是原力系的合力；單獨(dú)的主矩MO也不是原力系的合力偶矩，只有FR'與MO兩者相結(jié)合才與原力系等效。主矢與簡(jiǎn)化中心的位置無(wú)關(guān)。而主矩一般與簡(jiǎn)化中心的位置有關(guān)。這是因?yàn)楦髁?duì)不同的簡(jiǎn)化中心之矩是不同的，力矩改變，其代數(shù)和一般也隨之而變。山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)工程實(shí)際中的懸臂梁，一端嵌入墻體，另一端自由。墻體對(duì)梁的約束是固定端約束，其計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖a所示。可以認(rèn)為，嵌入墻體的部分受到了平面一般力系的作用，如圖b所示。將力系向A點(diǎn)簡(jiǎn)化，可得一主矢FA和一主矩MA，如圖c所示。因FA的大小、方向均未確定，也可用兩個(gè)未知分力FAx和FAy來(lái)代替，它們的指向都是假定的。如圖d所示。AF(b)AF(a)AFFAyFAxMA(d)AFFAMA(c)所以，前面述及的固定端支座的反力為兩個(gè)約束反力FAx、FAy和一個(gè)約束反力偶為MA，實(shí)質(zhì)上是平面一般力系簡(jiǎn)化的結(jié)果。山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)二、平面一般力系的簡(jiǎn)化OFR'MO3.簡(jiǎn)化結(jié)果的討論上述的簡(jiǎn)化結(jié)果還可以進(jìn)一步合成，得到最簡(jiǎn)形式?，F(xiàn)根據(jù)主矢與主矩是否為零，對(duì)可能出現(xiàn)的四種情況進(jìn)行討論：(1)FR'≠0，MO≠0根據(jù)力的平移定理的逆過(guò)程，可以進(jìn)一步合成為一個(gè)合力FR，合力FR的大小和方向與原力系的主矢FR'相同，合力作用線至簡(jiǎn)化中心的距離d=|

MO|

FR'FRd合力FR在O點(diǎn)的哪一側(cè)，由主矩MO的轉(zhuǎn)向來(lái)確定。山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)二、平面一般力系的簡(jiǎn)化3.簡(jiǎn)化結(jié)果的討論(2)FR'≠0，MO=0OFR'MOFRd(1)FR'≠0，MO≠0說(shuō)明原力系合成為一個(gè)與主矢FR'相同的合力，合力即主矢，主矢即合力。合力的作用線通過(guò)簡(jiǎn)化中心。OFRMO(3)FR'=0，MO≠0說(shuō)明原力系合成為一個(gè)與主矩MO相同的合力偶，合力偶即主矩，主矩即合力偶。合力偶的力偶矩等于原力系各力對(duì)簡(jiǎn)化中心之矩的代數(shù)和。即MO=∑MO(F)由于力偶對(duì)其平面內(nèi)任意一點(diǎn)的矩都相同。因此當(dāng)力系合成為一個(gè)力偶時(shí)，主矩與簡(jiǎn)化中心的位置無(wú)關(guān)。山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)二、平面一般力系的簡(jiǎn)化3.簡(jiǎn)化結(jié)果的討論(2)FR'≠0，MO=0OFR'MOFRd(1)FR'≠0，MO≠0OFRMO(3)FR'=0，MO≠0說(shuō)明力系平衡，接下來(lái)將詳細(xì)討論這種情形。(4)FR'=0，MO=0綜上所述，不平衡的平面一般力系，其簡(jiǎn)化的結(jié)果只能是一個(gè)力，或是一個(gè)力偶。一個(gè)力一個(gè)力一個(gè)力偶山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)例2-14

已知擋土墻自重W1=240kN，W2=360kN，水壓力FS=200kN，土壓力FT=400kN，各力的方向及作用線位置如圖所示。試將各力向底面中心O點(diǎn)簡(jiǎn)化，并求簡(jiǎn)化的最后結(jié)果。解xy4m4m1m4m2.5m1mOW1W230oFTFS(1)以底面中心O為簡(jiǎn)化中心，建立坐標(biāo)系如圖所示。(2)計(jì)算主矢FR'∑X=

200

-

400×0.866=-

146.4kN∑Y=-240-360-

400×0.5=-800kNFR'===

813.3

kNtanα==α=80o=5.464FR'指向第三象限。山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)xyO813.380oMO=∑MO(F)=(3)計(jì)算主矩MO240×3-

200×2.5-

400×0.5×1+

400×0.866×4=1405.6kN?m1405.6計(jì)算結(jié)果為正，表示MO

是為逆時(shí)針轉(zhuǎn)向。xy4m4m1m4m2.5m1mO24036030o400200主矢FR'=813.3

kNα=80oFR'指向第三象限。山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)xyO813.380o1405.6(4)繼續(xù)簡(jiǎn)化到最后結(jié)果由于主矢FR'≠0，MO≠0。所以原力系還可進(jìn)一步合成為一個(gè)合力FR。FR的大小、方向與主矢FR'相同，它的作用線與O點(diǎn)的距離為d=|MO|/FR'

=1405.6/813.3=1.73(m)813.31.73xy4m4m1m4m2.5m1mO24036030o400200根據(jù)主矩MO的轉(zhuǎn)向，合力

FR應(yīng)在O點(diǎn)左側(cè)，如圖所示。山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)二、平面一般力系的簡(jiǎn)化4.平面力系的合力矩定理OFR'MOFRd由前面討論可知，當(dāng)FR'≠0，MO≠0時(shí)，平面力系可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化為一個(gè)合力FR，合力FR對(duì)O點(diǎn)的矩是MO(FR)=FR?d=∑MO(F)=MO

MO(FR)=∑MO(F)由于簡(jiǎn)化中心O是任意選取的，故上式有普遍意義。上式表明：平面一般力系的合力對(duì)作用面內(nèi)任一點(diǎn)的矩，等于力系中各力對(duì)同一點(diǎn)的矩的代數(shù)和。這就是平面力系的合力矩定理。運(yùn)用這一定理可以簡(jiǎn)化力矩的計(jì)算，還可以確定平面一般力系合力作用線的位置。山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)例2-15

鋼筋混凝土構(gòu)件如圖所示。已知各部分的重量為W1=2kN，W2=6kN，W3=8kN，W4=4kN。試求這些重力的合力。W1W3W2W40.4m1m1m20xyO解這實(shí)際上是一個(gè)確定復(fù)雜物體重心的問(wèn)題。(1)以W3的作用點(diǎn)O為簡(jiǎn)化中心，建立坐標(biāo)系如圖所示。(2)計(jì)算主矢W’∑X=0∑Y=方向?yàn)樨Q直向下-2-6-8-4=-20(kN)=W’20山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)2kN8kN6kN4kN0.4m1m1m0.24mxyO204.8(3)計(jì)算主矩MOMO=∑MO(W)=2×1.4+6×1-4×1=4.8kN?m計(jì)算結(jié)果為正，表示MO

是為逆時(shí)針轉(zhuǎn)向。(4)繼續(xù)簡(jiǎn)化到最后結(jié)果原力系還可進(jìn)一步合成為一個(gè)合力W。W的大小、方向與主矢W’相同，它的作用線與O點(diǎn)的距離為d=|MO|/W’=4.8/20=0.24(m)根據(jù)主矩MO

的轉(zhuǎn)向，合力W應(yīng)在O點(diǎn)左側(cè)，如圖所示。山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)

板的自重即為面均布荷載，單位為

kN/m2

。

梁的自重即為線均布荷載，單位為kN/m

。線均布荷載的計(jì)算：6mq=5kN/m30kN3m3mqq稱(chēng)為線均布荷載的集度，表明各點(diǎn)線荷載的大小。山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)三角形分布的線荷載，其合力的大小為ql/2，方向同q的指向，作用線位于分布范圍的三分之一處，如圖所示。ql/32l/3lql/2山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)第三節(jié)平面一般力系和平面平行力系三、平面一般力系的平衡條件平面一般力系簡(jiǎn)化得到主矢和主矩。當(dāng)FR'=0，MO=0時(shí)，力系平衡；反過(guò)來(lái)，若力系平衡，則FR'=0，MO=0。所以，平面一般力系平衡的必要和充分條件是:FR'=0，MO=01.平衡方程的基本形式由于FR'==0MO=∑MO(F)=0由此可得∑X=0∑Y=0∑MO(F)=0上式又稱(chēng)為平面一般力系平衡方程。山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)平面一般力系平衡的條件也可以表述為：∑X=0∑Y=0∑MO(F)=0力系中所有各力在兩個(gè)坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和都等于零，且力系中所有各力對(duì)任一點(diǎn)力矩的代數(shù)和也等于零。前兩式為投影方程，可以理解為：物體在力系作用下沿x軸和y軸方向都不能移動(dòng)；第三式為力矩方程(也可簡(jiǎn)寫(xiě)作∑MO=0)，可以理解為：物體在力系作用下繞任一矩心都不能轉(zhuǎn)動(dòng)。這是三個(gè)獨(dú)立的平衡方程，可求解三個(gè)未知量。山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)例2-16

懸臂梁AB承受荷載如圖所示，梁的自重不計(jì)。求支座A的反力。解(1)取梁AB為研究對(duì)象，畫(huà)出其受力圖。45oAB2m10kN/m14.14kN45oAB2m10kN/m14.14kNFAFAxMA今后，在不做特殊說(shuō)明時(shí)，坐標(biāo)軸均為x軸水平向右，y軸垂直向上?！芚=0∑Y=0∑MA=0(2)列出平面一般力系的平衡方程，并求解未知量。FAx-14.14×0.707=0FAy-10×2-14.14×0.707=0MA-10×2×1-14.14×0.707×2=0解得FAx=10kNFAy=30kNMA=40kN?m山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)例2-17

簡(jiǎn)支剛架承受荷載如圖所示，剛架自重不計(jì)。求A、B支座的反力。解(1)以剛架為研究對(duì)象，畫(huà)出其受力圖。12kN4m4mAB32kNm12kN4m4mAB32kNmFAxFAyFB(2)列平衡方程并求解?！芚=0∑Y=0∑MA=0力偶在投影時(shí)需注意：力偶在任一軸上的投影恒為零；力偶在求矩時(shí)需注意：力偶對(duì)其作用平面內(nèi)任一點(diǎn)之矩都恒等于力偶矩，與矩心位置無(wú)關(guān)。以上都是力偶的性質(zhì)。FAx+12=0FAy+

FB=0FB-12×4-32=0解得FAx=-12kNFAy=-20kNFB=20kN山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)12kN4m4mAB32kNmFAxFAyFB計(jì)算結(jié)果中有負(fù)值，說(shuō)明反力的實(shí)際指向與假設(shè)相反。FAx=-12kNFAy=-20kNFB=20kN在求解出未知量以后，為了保證其正確性，可列出未曾使用的另一力矩方程來(lái)加以校核，也僅能用來(lái)校核。這是因?yàn)楫?dāng)力系滿(mǎn)足三個(gè)平衡方程時(shí)就已經(jīng)平衡，任何的第四個(gè)平衡方程都是力系平衡的必然結(jié)果，而不再是獨(dú)立的。校核計(jì)算結(jié)果，也是十分必要的。(3)校核?？闪谐觥芃B，檢查其是否等于零。∑MB==-80-12×4-32=0-

FAy×4-(-20)×4說(shuō)明計(jì)算無(wú)誤。山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)1.平衡方程的基本形式∑X=0∑Y=0∑MO=02.平衡方程的其他形式平面一般力系在保證三個(gè)獨(dú)立平衡方程的前提下，還可以轉(zhuǎn)變?yōu)槎厥交蛉厥?。二力矩式的平衡方程∑X=0∑MA=0∑MB=0式中x軸不可與A、B兩點(diǎn)的連線垂直。xABF山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)FACB三力矩式的平衡方程式中A、B、C三點(diǎn)不可共線?！芃A=0∑MB=0∑MC=0平衡方程的二力矩式和三力矩式之所以有附加條件，是因?yàn)樗鼈冎皇蔷S持了三個(gè)獨(dú)立平衡方程的數(shù)量，是基本形式的推論，可能存在“漏洞”。只有附加條件，必須補(bǔ)上這一“漏洞”?？傊趯?shí)際計(jì)算列平衡方程時(shí)，我們不必拘泥于一定要列二力矩式或三力矩式。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，平衡方程可以一個(gè)一個(gè)地列出，每個(gè)平衡方程最好只包含一個(gè)未知