3平面一般力系

山西建筑職業(yè)技術(shù)學院建筑工程系建筑力學教研室建筑力學第二章平面力系的合成與平衡第三節(jié)平面一般力系和平面平行力系在平面力系中，如果各力的作用線不全匯交于一點，也不全相互平行，這樣的力系就是平面一般力系。前面提到的平面桁架、水壩、擋土墻等，它們的受力都屬于平面一般力系。

平面平行力系各力的作用線互相平行，是一般力系的特殊情況。平面一般力系是工程中最常見的力系，本節(jié)將討論其簡化和平衡問題。平面一般力系簡化的理論基礎(chǔ)是力的平移定理。山西建筑職業(yè)技術(shù)學院建筑工程系建筑力學教研室建筑力學一、力的平移定理力對物體的作用效果，取決于它的三要素。如果將一個力平行移動，就改變了其中的一個要素，也就改變了對物體的作用效果，如圖所示。那么，如果不改變力的作用效果而把力平移，需要附加什么條件呢？F’FdABF’’dABFF’F’’dABFM=Fd

由此可見：作用于物體上的力，可以平移到該物體上的任一點，但必須附加一個力偶，其力偶矩等于原力對新作用點的矩。這就是力的平移定理。山西建筑職業(yè)技術(shù)學院建筑工程系建筑力學教研室建筑力學

力的平移定理是將一個力轉(zhuǎn)化為一個力和一個力偶。只是需確定兩力作用線間的距離，以及這個力平移的方向。具體用下式計算：OBAFMOF'd=|M|

Fdd反過來，一個力和一個力偶也可轉(zhuǎn)化為一個合力。山西建筑職業(yè)技術(shù)學院建筑工程系建筑力學教研室建筑力學在實際工程中，應用力的平移定理，可以更清楚地表明力的作用效應。AOeFOF’M=Fe可以看出：力F’

使柱子受壓，而附加力偶M使柱子彎曲。山西建筑職業(yè)技術(shù)學院建筑工程系建筑力學教研室建筑力學二、平面一般力系的簡化1.簡化的方法——運用力的平移定理，向作用面內(nèi)任一點簡化F2F1FnOOF2'F1'Fn'M1M2MnOFR'MO各附加力偶則組成一個平面力偶系(M1、M2、…、Mn)，可進一步合成為對簡化中心O的合力偶MO，MO稱為原力系的主矩。平移后的各力組成匯交于O點的平面匯交力系(F1'、F2'、…、Fn')，可進一步合成為作用于O點的一個合力FR'，F(xiàn)R'稱為原力系的主矢。山西建筑職業(yè)技術(shù)學院建筑工程系建筑力學教研室建筑力學二、平面一般力系的簡化1.簡化的方法2.簡化的結(jié)果——主矢FR'和

主矩MO的計算主矢FR'的計算:yxOFR'MOa主矢FR'的大小和方向可由平面匯交力系的合成方法求得。由于力的投影在平移前后是相等的，所以各力不必平移后再投影。FR'=tanα=式中，α為主矢FR'與x軸所夾的銳角。山西建筑職業(yè)技術(shù)學院建筑工程系建筑力學教研室建筑力學二、平面一般力系的簡化2.簡化的結(jié)果——主矢FR'和主矩MO的計算主矩MO的計算:可由平面力偶系的合成方法求得。MO=M1+M2+……+Mn

=MO(F1)+MO(F2)+……+MO(Fn)=∑MO(F)山西建筑職業(yè)技術(shù)學院建筑工程系建筑力學教研室建筑力學綜上所述可知，平面一般力系簡化的結(jié)果是主矢和主矩。主矢作用在簡化中心，等于這個力系中各力的矢量和；主矩等于各力對簡化中心之矩的代數(shù)和。主矢描述原力系對物體的平移作用，主矩描述原力系對物體繞簡化中心的轉(zhuǎn)動作用。二者組合才能代表原力系對物體的作用。因此，單獨的主矢FR'不是原力系的合力；單獨的主矩MO也不是原力系的合力偶矩，只有FR'與MO兩者相結(jié)合才與原力系等效。主矢與簡化中心的位置無關(guān)。而主矩一般與簡化中心的位置有關(guān)。這是因為各力對不同的簡化中心之矩是不同的，力矩改變，其代數(shù)和一般也隨之而變。山西建筑職業(yè)技術(shù)學院建筑工程系建筑力學教研室建筑力學工程實際中的懸臂梁，一端嵌入墻體，另一端自由。墻體對梁的約束是固定端約束，其計算簡圖如圖a所示。可以認為，嵌入墻體的部分受到了平面一般力系的作用，如圖b所示。將力系向A點簡化，可得一主矢FA和一主矩MA，如圖c所示。因FA的大小、方向均未確定，也可用兩個未知分力FAx和FAy來代替，它們的指向都是假定的。如圖d所示。AF(b)AF(a)AFFAyFAxMA(d)AFFAMA(c)所以，前面述及的固定端支座的反力為兩個約束反力FAx、FAy和一個約束反力偶為MA，實質(zhì)上是平面一般力系簡化的結(jié)果。山西建筑職業(yè)技術(shù)學院建筑工程系建筑力學教研室建筑力學二、平面一般力系的簡化OFR'MO3.簡化結(jié)果的討論上述的簡化結(jié)果還可以進一步合成，得到最簡形式?，F(xiàn)根據(jù)主矢與主矩是否為零，對可能出現(xiàn)的四種情況進行討論：(1)FR'≠0，MO≠0根據(jù)力的平移定理的逆過程，可以進一步合成為一個合力FR，合力FR的大小和方向與原力系的主矢FR'相同，合力作用線至簡化中心的距離d=|

MO|

FR'FRd合力FR在O點的哪一側(cè)，由主矩MO的轉(zhuǎn)向來確定。山西建筑職業(yè)技術(shù)學院建筑工程系建筑力學教研室建筑力學二、平面一般力系的簡化3.簡化結(jié)果的討論(2)FR'≠0，MO=0OFR'MOFRd(1)FR'≠0，MO≠0說明原力系合成為一個與主矢FR'相同的合力，合力即主矢，主矢即合力。合力的作用線通過簡化中心。OFRMO(3)FR'=0，MO≠0說明原力系合成為一個與主矩MO相同的合力偶，合力偶即主矩，主矩即合力偶。合力偶的力偶矩等于原力系各力對簡化中心之矩的代數(shù)和。即MO=∑MO(F)由于力偶對其平面內(nèi)任意一點的矩都相同。因此當力系合成為一個力偶時，主矩與簡化中心的位置無關(guān)。山西建筑職業(yè)技術(shù)學院建筑工程系建筑力學教研室建筑力學二、平面一般力系的簡化3.簡化結(jié)果的討論(2)FR'≠0，MO=0OFR'MOFRd(1)FR'≠0，MO≠0OFRMO(3)FR'=0，MO≠0說明力系平衡，接下來將詳細討論這種情形。(4)FR'=0，MO=0綜上所述，不平衡的平面一般力系，其簡化的結(jié)果只能是一個力，或是一個力偶。一個力一個力一個力偶山西建筑職業(yè)技術(shù)學院建筑工程系建筑力學教研室建筑力學例2-14

已知擋土墻自重W1=240kN，W2=360kN，水壓力FS=200kN，土壓力FT=400kN，各力的方向及作用線位置如圖所示。試將各力向底面中心O點簡化，并求簡化的最后結(jié)果。解xy4m4m1m4m2.5m1mOW1W230oFTFS(1)以底面中心O為簡化中心，建立坐標系如圖所示。(2)計算主矢FR'∑X=

200

-

400×0.866=-

146.4kN∑Y=-240-360-

400×0.5=-800kNFR'===

813.3

kNtanα==α=80o=5.464FR'指向第三象限。山西建筑職業(yè)技術(shù)學院建筑工程系建筑力學教研室建筑力學xyO813.380oMO=∑MO(F)=(3)計算主矩MO240×3-

200×2.5-

400×0.5×1+

400×0.866×4=1405.6kN?m1405.6計算結(jié)果為正，表示MO

是為逆時針轉(zhuǎn)向。xy4m4m1m4m2.5m1mO24036030o400200主矢FR'=813.3

kNα=80oFR'指向第三象限。山西建筑職業(yè)技術(shù)學院建筑工程系建筑力學教研室建筑力學xyO813.380o1405.6(4)繼續(xù)簡化到最后結(jié)果由于主矢FR'≠0，MO≠0。所以原力系還可進一步合成為一個合力FR。FR的大小、方向與主矢FR'相同，它的作用線與O點的距離為d=|MO|/FR'

=1405.6/813.3=1.73(m)813.31.73xy4m4m1m4m2.5m1mO24036030o400200根據(jù)主矩MO的轉(zhuǎn)向，合力

FR應在O點左側(cè)，如圖所示。山西建筑職業(yè)技術(shù)學院建筑工程系建筑力學教研室建筑力學二、平面一般力系的簡化4.平面力系的合力矩定理OFR'MOFRd由前面討論可知，當FR'≠0，MO≠0時，平面力系可以進一步簡化為一個合力FR，合力FR對O點的矩是MO(FR)=FR?d=∑MO(F)=MO

MO(FR)=∑MO(F)由于簡化中心O是任意選取的，故上式有普遍意義。上式表明：平面一般力系的合力對作用面內(nèi)任一點的矩，等于力系中各力對同一點的矩的代數(shù)和。這就是平面力系的合力矩定理。運用這一定理可以簡化力矩的計算，還可以確定平面一般力系合力作用線的位置。山西建筑職業(yè)技術(shù)學院建筑工程系建筑力學教研室建筑力學例2-15

鋼筋混凝土構(gòu)件如圖所示。已知各部分的重量為W1=2kN，W2=6kN，W3=8kN，W4=4kN。試求這些重力的合力。W1W3W2W40.4m1m1m20xyO解這實際上是一個確定復雜物體重心的問題。(1)以W3的作用點O為簡化中心，建立坐標系如圖所示。(2)計算主矢W’∑X=0∑Y=方向為豎直向下-2-6-8-4=-20(kN)=W’20山西建筑職業(yè)技術(shù)學院建筑工程系建筑力學教研室建筑力學2kN8kN6kN4kN0.4m1m1m0.24mxyO204.8(3)計算主矩MOMO=∑MO(W)=2×1.4+6×1-4×1=4.8kN?m計算結(jié)果為正，表示MO

是為逆時針轉(zhuǎn)向。(4)繼續(xù)簡化到最后結(jié)果原力系還可進一步合成為一個合力W。W的大小、方向與主矢W’相同，它的作用線與O點的距離為d=|MO|/W’=4.8/20=0.24(m)根據(jù)主矩MO

的轉(zhuǎn)向，合力W應在O點左側(cè)，如圖所示。山西建筑職業(yè)技術(shù)學院建筑工程系建筑力學教研室建筑力學

板的自重即為面均布荷載，單位為

kN/m2

。

梁的自重即為線均布荷載，單位為kN/m

。線均布荷載的計算：6mq=5kN/m30kN3m3mqq稱為線均布荷載的集度，表明各點線荷載的大小。山西建筑職業(yè)技術(shù)學院建筑工程系建筑力學教研室建筑力學三角形分布的線荷載，其合力的大小為ql/2，方向同q的指向，作用線位于分布范圍的三分之一處，如圖所示。ql/32l/3lql/2山西建筑職業(yè)技術(shù)學院建筑工程系建筑力學教研室建筑力學第三節(jié)平面一般力系和平面平行力系三、平面一般力系的平衡條件平面一般力系簡化得到主矢和主矩。當FR'=0，MO=0時，力系平衡；反過來，若力系平衡，則FR'=0，MO=0。所以，平面一般力系平衡的必要和充分條件是:FR'=0，MO=01.平衡方程的基本形式由于FR'==0MO=∑MO(F)=0由此可得∑X=0∑Y=0∑MO(F)=0上式又稱為平面一般力系平衡方程。山西建筑職業(yè)技術(shù)學院建筑工程系建筑力學教研室建筑力學平面一般力系平衡的條件也可以表述為：∑X=0∑Y=0∑MO(F)=0力系中所有各力在兩個坐標軸上投影的代數(shù)和都等于零，且力系中所有各力對任一點力矩的代數(shù)和也等于零。前兩式為投影方程，可以理解為：物體在力系作用下沿x軸和y軸方向都不能移動；第三式為力矩方程(也可簡寫作∑MO=0)，可以理解為：物體在力系作用下繞任一矩心都不能轉(zhuǎn)動。這是三個獨立的平衡方程，可求解三個未知量。山西建筑職業(yè)技術(shù)學院建筑工程系建筑力學教研室建筑力學例2-16

懸臂梁AB承受荷載如圖所示，梁的自重不計。求支座A的反力。解(1)取梁AB為研究對象，畫出其受力圖。45oAB2m10kN/m14.14kN45oAB2m10kN/m14.14kNFAFAxMA今后，在不做特殊說明時，坐標軸均為x軸水平向右，y軸垂直向上?！芚=0∑Y=0∑MA=0(2)列出平面一般力系的平衡方程，并求解未知量。FAx-14.14×0.707=0FAy-10×2-14.14×0.707=0MA-10×2×1-14.14×0.707×2=0解得FAx=10kNFAy=30kNMA=40kN?m山西建筑職業(yè)技術(shù)學院建筑工程系建筑力學教研室建筑力學例2-17

簡支剛架承受荷載如圖所示，剛架自重不計。求A、B支座的反力。解(1)以剛架為研究對象，畫出其受力圖。12kN4m4mAB32kNm12kN4m4mAB32kNmFAxFAyFB(2)列平衡方程并求解?！芚=0∑Y=0∑MA=0力偶在投影時需注意：力偶在任一軸上的投影恒為零；力偶在求矩時需注意：力偶對其作用平面內(nèi)任一點之矩都恒等于力偶矩，與矩心位置無關(guān)。以上都是力偶的性質(zhì)。FAx+12=0FAy+

FB=0FB-12×4-32=0解得FAx=-12kNFAy=-20kNFB=20kN山西建筑職業(yè)技術(shù)學院建筑工程系建筑力學教研室建筑力學12kN4m4mAB32kNmFAxFAyFB計算結(jié)果中有負值，說明反力的實際指向與假設(shè)相反。FAx=-12kNFAy=-20kNFB=20kN在求解出未知量以后，為了保證其正確性，可列出未曾使用的另一力矩方程來加以校核，也僅能用來校核。這是因為當力系滿足三個平衡方程時就已經(jīng)平衡，任何的第四個平衡方程都是力系平衡的必然結(jié)果，而不再是獨立的。校核計算結(jié)果，也是十分必要的。(3)校核。可列出∑MB，檢查其是否等于零?！芃B==-80-12×4-32=0-

FAy×4-(-20)×4說明計算無誤。山西建筑職業(yè)技術(shù)學院建筑工程系建筑力學教研室建筑力學1.平衡方程的基本形式∑X=0∑Y=0∑MO=02.平衡方程的其他形式平面一般力系在保證三個獨立平衡方程的前提下，還可以轉(zhuǎn)變?yōu)槎厥交蛉厥健６厥降钠胶夥匠獭芚=0∑MA=0∑MB=0式中x軸不可與A、B兩點的連線垂直。xABF山西建筑職業(yè)技術(shù)學院建筑工程系建筑力學教研室建筑力學FACB三力矩式的平衡方程式中A、B、C三點不可共線。∑MA=0∑MB=0∑MC=0平衡方程的二力矩式和三力矩式之所以有附加條件，是因為它們只是維持了三個獨立平衡方程的數(shù)量，是基本形式的推論，可能存在“漏洞”。只有附加條件，必須補上這一“漏洞”?？傊?，在實際計算列平衡方程時，我們不必拘泥于一定要列二力矩式或三力矩式。為了簡化計算，平衡方程可以一個一個地列出，每個平衡方程最好只包含一個未知