專題23直線的交點坐標(biāo)與距離公式8種常見考法歸類（125題）

專題2.3直線的交點坐標(biāo)與距離公式8種常見考法歸類（125題）題型一兩條直線的交點問題（一）求直線交點坐標(biāo)（二）由方程組解的個數(shù)判斷直線的位置關(guān)系（三）由方程組解的個數(shù)求參數(shù)（四）由直線的相交關(guān)系求參數(shù)（五）由直線的交點位置求參數(shù)（六）求過交點的直線方程題型二三線圍成三角形問題題型三兩點間的距離公式（一）求兩點間的距離（二）由兩點間的距離求參數(shù)（三）距離公式求最值（四）判斷三角形、四邊形的形狀（五）求三角形、四邊形的周長、面積題型四點到直線的距離（一）求點到直線的距離（二）已知點到直線的距離求參數(shù)（三）與點到直線的距離有關(guān)的最值問題（四）求到兩點距離相等的直線方程題型五兩平行線間的距離（一）求平行線間的距離（二）由兩平行線間的距離求參數(shù)（三）由距離求直線的平行線（四）與兩平行直線間的距離有關(guān)的最值問題題型六距離的綜合應(yīng)用題型七直線的對稱問題（一）求點關(guān)于點的對稱點（二）求點關(guān)于直線的對稱點（三）求兩點的對稱軸（四）求直線關(guān)于點的對稱直線（五）求直線關(guān)于直線的對稱直線（六）反射光線問題題型八將軍飲馬問題知識點1兩條直線的交點坐標(biāo)1．兩條直線的交點坐標(biāo)(1)兩條直線的交點坐標(biāo)

一般地，將兩條直線的方程聯(lián)立，得方程組若方程組有唯一解，則兩條直線相交，此解就是交點的坐標(biāo)；若方程組無解，則兩條直線無公共點，此時兩條直線平行；若方程組有無窮多解，則兩條直線重合.(2)兩條直線的位置關(guān)系與方程組的解的關(guān)系設(shè)兩直線,直線.方程組的解一組無數(shù)組無解直線l1和l2的公共點個數(shù)一個無數(shù)個零個直線l1和l2的位置關(guān)系相交重合平行2．兩條直線相交的條件(1)將兩個直線方程聯(lián)立解方程組，依據(jù)解的個數(shù)判斷兩條直線是否相交．當(dāng)方程組只有一解時，兩條直線相交．(2)設(shè)l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則l1與l2相交的條件是A1B2－A2B1≠0或eq\f(A1,A2)≠eq\f(B1,B2)(A2，B2≠0)．(3)設(shè)兩條直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，則l1與l2相交?k1≠k2.3．過兩條直線交點的直線系方程過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0交點的直線方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ為參數(shù)，不包含l2)．題型一兩條直線的交點問題（一）求直線交點坐標(biāo)1.（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）直線與直線的交點坐標(biāo)是（

）A．(2,0) B．(2,1)C．(0,2) D．(1,2)【答案】C【詳解】解方程組得，即直線與直線的交點坐標(biāo)是(0,2)．故選：C.2.（2324高二下·上?！るA段練習(xí)）兩直線和的交點為．【答案】【分析】聯(lián)立兩條直線的方程可得交點.【詳解】由題意可得，解得，交點坐標(biāo)為.故答案為：3.（2324高二上·重慶渝中·期中）已知直線2x+y+5=0與直線kx+2y=0互相垂直，則它們的交點坐標(biāo)為()A．?1,?3 B．?2,?1C．?12,?1【解題思路】先根據(jù)垂直關(guān)系求解出k的值，然后聯(lián)立直線方程可求交點坐標(biāo).【解答過程】因為2x+y+5=0與kx+2y=0互相垂直，所以2k+2=0，所以k=?1，所以2x+y+5=0x?2y=0，解得x=?2所以交點坐標(biāo)為?2,?1，故選：B.4．（2024·高二課時練習(xí)）已知的頂點，其垂心為，求頂點A的坐標(biāo)．【答案】．【分析】根據(jù)給定條件，求出直線的方程，再解方程組即可作答.【詳解】依題意，直線的斜率，而，則直線的方程為，即，直線的斜率，而，則直線的方程為，即，由，解得，所以頂點A的坐標(biāo)是.（二）由方程組解的個數(shù)判斷直線的位置關(guān)系解題策略：判斷兩條直線關(guān)系的方法(1)利用方程組解的個數(shù)，將“形”的問題轉(zhuǎn)化成“數(shù)”的問題．(2)利用斜截式方程中斜率和截距的關(guān)系．(3)利用一般式中系數(shù)的關(guān)系5．（2024·高二課時練習(xí)）分別判斷下列直線與是否相交．如果相交，求出交點的坐標(biāo)．(1)，；(2)，；(3)，．【答案】(1)相交，交點坐標(biāo)為(2)不相交(3)不相交【分析】分別聯(lián)立方程組，解方程求解即可判斷.【詳解】（1）解方程組，得，所以與相交，交點坐標(biāo)為．（2）解方程組，方程組無解，所以與無公共點，即與不相交．（3）解方程組，因為方程可化為，所以方程組有無數(shù)組解，所以與有無數(shù)個公共點，即與不相交．6.（2024·高二課時練習(xí)）判斷下列各對直線的位置關(guān)系．如果相交，求出交點坐標(biāo)．(1)直線；(2)直線．【答案】(1)相交，交點是(2)答案見解析【詳解】（1）聯(lián)立，解得，所以兩直線相交，交點坐標(biāo)為.（2）當(dāng)時，，，聯(lián)立，方程組有無數(shù)組解，故兩直線重合，當(dāng)時，，，聯(lián)立，方程組無解，故兩直線平行，當(dāng)，聯(lián)立，解得，所以兩直線相交，交點坐標(biāo)為.綜上所述：當(dāng)時，兩直線重合；當(dāng)時，兩直線平行；當(dāng)時，兩直線相交，交點坐標(biāo)為.（三）由方程組解的個數(shù)求參數(shù)7.（2024·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）若關(guān)于、的方程組無解，則實數(shù)________【答案】【詳解】由題意關(guān)于、的方程組無解，即直線和直線平行，故，所以，此時直線即，確實與平行，故滿足題意，所以實數(shù).故答案為：2.8.（2024·高二校聯(lián)考課時練習(xí)）若關(guān)于，的方程組有唯一解，則實數(shù)滿足的條件是________.【答案】/【詳解】由，可得，由關(guān)于，的方程組有唯一解，可得方程有唯一解，則故答案為：9.（2024·高二課時練習(xí)）關(guān)于?的二元一次方程組有無窮多組解，則與的積是_____.【答案】35【詳解】因為x?y的二元一次方程組有無窮多組解，所以直線與直線重合，所以，解得，所以，故答案為：3510.（2324高二上·安徽蕪湖·期中）已知直線l1:mx?y+m?1=0與射線l2:x?y?2=0(x≥0)恒有公共點，則A．(?∞,?1]∪(1,+∞) B．(?∞,?1]∪[1,+∞)C．[?1,1) D．[?1,1]【解題思路】根據(jù)題意聯(lián)立方程得x=?m?1m?1，再解不等式【解答過程】聯(lián)立{mx?y+m?1=0x?y?2=0，得∵直線l1:mx?y+m?1=0與射線∴x=?m?1解得?1≤m<1.∴m的取值范圍是[?1,1).故選：C.11.（2324高二上·安徽·階段練習(xí)）已知三條直線2x+y?4=0,kx?y+3=0,x?y?2=0交于一點，則實數(shù)k=（

）A．?1 B．1C．?32 【解題思路】聯(lián)立不含參直線求出交點坐標(biāo)，再代入含參直線方程求參數(shù)即可.【解答過程】由2x+y?4=0x?y?2=0?x=2代入kx?y+3=0得：2k?0+3=0?k=?3故選：C.12.（2024·江蘇·高二專題練習(xí)）若三條直線，與共有兩個交點，則實數(shù)的值為（

）A．1 B．2 C．1或2 D．1【答案】C【詳解】由題意可得三條直線中，有兩條直線互相平行，∵直線和直線不平行，∴直線和直線平行或直線和直線平行，∵直線的斜率為1，直線的斜率為，直線的斜率為，∴或.故選：C.（四）由直線的相交關(guān)系求參數(shù)13．（2024·高二課時練習(xí)）直線與直線相交，則m的取值范圍為__________．【答案】【分析】根據(jù)兩直線相交的條件即可求解.【詳解】因為直線與直線，即相交，所以，解得.所以m的取值范圍為.故答案為：14.（2024秋·廣東廣州·高二廣州市第一一三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）直線與直線相交，則實數(shù)的值為（

）A．或 B．或 C．或 D．且【答案】D【詳解】因直線與直線相交，則，即，解得且，所以實數(shù)k的值為且.故選：D（五）由直線的交點位置求參數(shù)15.（2324高二上·全國·課后作業(yè)）已知兩直線和，相交于點，則的值分別是（

）A．7，1 B．1，7C． D．【答案】B【分析】將點分別代入兩直線方程即可解得，.【詳解】將點代入直線的方程可得，解得；將代入直線的方程可得，解得；故選：B16.（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）兩直線和的交點在軸上，則的值是（

）A．24 B．6 C．±6 D．24【答案】C【詳解】因為兩條直線和的交點在軸上，所以設(shè)交點為，所以，消去，可得．故選：．17.（2023·高二課時練習(xí)）若直線與直線的交點在第一象限，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【詳解】由題意，直線，令，可得；令，可得，即，如圖所示，當(dāng)直線過點，可得；當(dāng)直線過點，可得，要使得直線與直線的交點在第一象限，則，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.18.（2024·高二課時練習(xí)）若直線與直線的交點位于第一象限，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．或 B． C． D．【答案】D【詳解】聯(lián)立得，因為直線與直線的交點位于第一象限，所以，解得.故選：D19．（2024·高二課時練習(xí)）若直線與直線的交點在第四象限，則m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】聯(lián)立方程組求得兩直線的交點為，根據(jù)題意列出不等式組，即可求解.【詳解】由方程組，解得，即兩直線的交點坐標(biāo)為，因為兩直線的交點位于第四象限，可得且，解得，即實數(shù)的取值范圍為.故選：D.20.（2023·高二課時練習(xí)）若直線與直線相交且交點在第二象限內(nèi)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】若直線與直線平行或重合，則，解得，若直線與直線相交，可得且，則有：聯(lián)立方程，解得，即交點坐標(biāo)，由題意可得：，解得；綜上所述：k的取值范圍為.故選：C.21.（2324高二上·北京朝陽·階段練習(xí)）若直線l：y=kx?3與直線2x+3y?6=0的交點位于第一象限，則直線l的傾斜角的取值范圍是（

A．π6,πC．π3,π【解題思路】聯(lián)立兩直線方程得到交點坐標(biāo)，然后根據(jù)交點位于第一象限得到6+332+3k>0【解答過程】聯(lián)立y=kx?32x+3y?6=0得x=6+332+3k所以直線l的傾斜角的范圍為π6故選：B.22．（2024·高二課時練習(xí)）若直線與互相垂直，垂足為，則的值為（

）A．20 B．4 C．12 D．4【答案】A【分析】根據(jù)兩直線垂直，列出方程求得的值，再由兩種的交點為，列出方程組求得的值，即可求解.【詳解】由兩直線與垂直，可得，即，又由兩直線的交點坐標(biāo)是，可得，解得，所以.故選：A.（六）求過交點的直線方程解題策略：過兩條直線交點的直線方程的求法(1)常規(guī)解法(方程組法)：一般是先解方程組求出交點坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程．(2)特殊解法(直線系法)：運用過兩直線交點的直線系方程：若兩直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交點，則過l1與l2交點的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ為待定常數(shù)，不包括直線l2)，設(shè)出方程后再利用其他條件求解．23.（2024秋·高二課時練習(xí)）過兩直線和的交點和原點的直線方程為（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】設(shè)過兩直線交點的直線系方程為，代入原點坐標(biāo)，得，解得，故所求直線方程為，即.故選：D.24.（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）設(shè)直線經(jīng)過和的交點，且與兩坐標(biāo)軸圍成等腰直角三角形，則直線的方程為___________.【答案】或【詳解】方法一：由，得，所以兩條直線的交點坐標(biāo)為（14，10）,由題意可得直線的斜率為1或1，所以直線的方程為或，即或.方法二：設(shè)直線的方程為，整理得，由題意，得，解得或，所以直線的方程為或.故答案為：或.25．（2024·高二課時練習(xí)）已知直線過直線和直線的交點，且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，則直線的方程為（）A．B．或C．或D．或【答案】C【分析】先求得兩直線的交點坐標(biāo)，根據(jù)題意，分直線與兩坐標(biāo)軸的截距不為和直線在兩坐標(biāo)軸的截距等于，兩種情況討論，即可求解.【詳解】由方程組，解得，所以兩直線的交點坐標(biāo)為，因為直線在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，當(dāng)直線與兩坐標(biāo)軸的截距不為時，可設(shè)直線的方程為，因為直線過兩直線的交點，代入可得，所以直線的方程為；當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸的截距等于時，設(shè)直線的方程為，因為直線過兩直線的交點，代入可得，即直線的方程為，綜上可得，直線的方程為或.故選：C.26.（2324高二上·山東聊城·期中）經(jīng)過兩條直線l1:x+y=2，l2:2x?y=1的交點，且直線的一個方向向量A．2x?y?1=0 B．2x+y?3=0C．3x?2y?5=0 D．2x+3y?5=0【解題思路】求出交點，由方向向量可得斜率，然后由點斜式可得方程.【解答過程】聯(lián)立x+y=22x?y=1，解得：x=1即直線l1:x+y=2,l又直線的一個方向向量v=?6,4，所以直線的斜率為故該直線方程為：y?1=?23故選：D.27.（2024·高二課時練習(xí)）已知兩直線和的交點為．求：(1)過點與的直線方程；(2)過點且與直線平行的直線方程．【答案】(1)(2)（1）設(shè)過直線和交點的直線方程為，即．①把點代入方程①，化簡得，解得，所以過點P與Q的直線方程為，即．（2）由兩直線平行，得，得，所以所求直線的方程為，即．28.（2024·天津·高二校聯(lián)考期末）過直線和的交點，且與直線垂直的直線方程是（

）．A． B．C． D．【答案】B【詳解】聯(lián)立方程，解得，所以交點坐標(biāo)為；直線的斜率為，所以所求直線方程的斜率為，由點斜式直線方程得：所求直線方程為，即；故選：B.29.（2324高二上·河北石家莊·階段練習(xí)）經(jīng)過直線l1:y=?2x?1和l2:y=2x+3的交點，且傾斜角是直線A．2x+y+1=0 B．x?4y+3=0 C．4x+3y+1=0 D．3x+4y?1=0【解題思路】求出兩直線的交點坐標(biāo)，再利用二倍角的正切公式求出直線的斜率即可求解.【解答過程】由y=?2x?1y=2x+3，解得x=?1y=1，即所求方程的直線過點令直線l2:y=2x+3的傾斜角為α，則tanα=2因此所求方程的直線斜率k=tan所以所求的直線方程為y?1=?43(x+1)故選：C.30．（2024·高二課時練習(xí)）若點是直線和的公共點，則相異兩點和所確定的直線方程是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)點與直線的位置關(guān)系即可求解.【詳解】因為是直線和的公共點，所以，且，所以兩點和都在同一條直線上，故兩點和所確定的直線方程是，故選:A.31．（福建省連江第一中學(xué)20232024學(xué)年高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知直線的方程為，若直線在軸上的截距為，且．(1)求直線和的交點坐標(biāo)；(2)已知直線經(jīng)過與的交點，且與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形的面積為，求直線的方程．【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）由，可得直線的斜率，從而可得，聯(lián)立方程組即可求得交點；（2）由題意知的斜率k存在，設(shè)，求得與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，再結(jié)合面積公式即可求解.【詳解】（1）（1）因為，又直線的斜率,所以直線的斜率,則.由所以直線和的交點坐標(biāo)為.（2）由題意知的斜率k存在，設(shè)令得，令得，因為直線與兩坐標(biāo)軸的正半軸相交，所以，解得，，解得或，即或.題型二三線圍成三角形問題解題策略：已知三條直線相交于同一點，求直線方程中的參數(shù)，只需求出其中兩條直線的交點，利用該點也在第三條直線上即可求解.若已知三條直線有三個不同的交點,則需滿足其中兩條直線的交點不在第三條直線上且三條直線的斜率不同，32.（2024·高二課時練習(xí)）使三條直線不能圍成三角形的實數(shù)的值最多有幾個（

）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【答案】B【詳解】要使三條直線不能圍成三角形，存在兩條直線平行或三條直線交于一點，若平行，則，即；若平行，則，即無解；若平行，則，即；若三條直線交于一點，，可得或；經(jīng)檢驗知：均滿足三條直線不能圍成三角形，故m最多有4個.故選：B33.（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）若三條直線，，能構(gòu)成三角形，求應(yīng)滿足的條件．

【答案】且【詳解】為使三條直線能構(gòu)成三角形，需三條直線兩兩相交且不共點．①若，則由，得；②若，則由，得；③若，則由，得，當(dāng)時，與三線重合，當(dāng)時，平行．④若三條直線交于一點，由，解得，將的交點的坐標(biāo)代入的方程，解得(舍去)，或，所以要使三條直線能構(gòu)成三角形，需且．34.【多選】（2023·全國·高二專題練習(xí)）三條直線，，構(gòu)成三角形，則的值不能為（

）A． B．C． D．－2【答案】AC【詳解】直線與都經(jīng)過原點，而無論為何值，直線總不經(jīng)過原點，因此，要滿足三條直線構(gòu)成三角形，只需直線與另兩條直線不平行，所以．故選：AC.35.（2024·浙江寧波·高二期末）若三條直線與能圍成一個直角三角形，則__________．【答案】或1【詳解】顯然，3xy+1=0，x+y+3=0有交點，若與垂直，則；若與垂直，則．所以或1．故答案為：或136.（2024·高二校聯(lián)考課時練習(xí)）已知三條直線，，.（1）若直線，，交于一點，求實數(shù)的值；（2）若直線，，不能圍成三角形，求實數(shù)的值.【答案】（1）或；（2）或或4或.【詳解】（1）∵直線，，交于一點，∴與不平行，∴，由，得，即與的交點為，代入的方程，得，解得或.（2）若，，交于一點，則或；若，則；若，則；若，則不存在滿足條件的實數(shù).綜上，可得或或4或.知識點2兩點間的距離1.兩點間的距離平面上任意兩點，間的距離公式為特別地，原點與任一點的距離.2.對兩點間距離公式的理解(1)此公式與兩點的先后順序無關(guān)，也就是說公式也可寫成|P1P2|＝eq\r((x1－x2)2＋(y1－y2)2).(2)當(dāng)直線P1P2平行于x軸時，|P1P2|＝|x2－x1|；當(dāng)直線P1P2平行于y軸時，|P1P2|＝|y2－y1|.3．點到幾種特殊直線的距離(1)點P(x0，y0)到x軸的距離d＝|y0|；(2)點P(x0，y0)到y(tǒng)軸的距離d＝|x0|；(3)點P(x0，y0)到與x軸平行的直線y＝b(b≠0)的距離d＝|y0－b|；(4)點P(x0，y0)到與y軸平行的直線x＝a(a≠0)的距離d＝|x0－a|.題型三兩點間的距離公式（一）求兩點間的距離37．（2024·高二課時練習(xí)）已知三頂點坐標(biāo)，試求邊上的中線的長．【答案】【分析】設(shè)點的坐標(biāo)為，由為的中點，可求出點的坐標(biāo)，再利用兩點間的距離公式可求出的長．【詳解】設(shè)點的坐標(biāo)為，因為點為的中點，所以，即點的坐標(biāo)為．由兩點間的距離公式得，所以邊上的中線的長為．38．（2024·高二課時練習(xí)）點關(guān)于點對稱，則________．【答案】【分析】由中點坐標(biāo)公式得出，再有距離公式求解即可.【詳解】由已知得，解得，即，故答案為：39．（2024·高二課時練習(xí)）直線和直線分別過定點和，則|________．【答案】【分析】求出直線、所過定點的坐標(biāo)，再利用平面內(nèi)兩點間的距離公式可求得的值.【詳解】將直線的方程變形為，由，可得，即點，將直線的方程變形為，由，可得，即點，所以，.故答案為：.40．（2024·高二課時練習(xí)）設(shè)點A在x軸上，點B在y軸上，AB的中點是，則A與B坐標(biāo)分別為________，________．【答案】，【分析】設(shè)，，利用中點坐標(biāo)公式得到，進(jìn)而得到A，B的坐標(biāo)，再利用兩點間的距離公式求解即可.【詳解】設(shè)，，因為AB中點，所以，即，，所以，，所以，故答案為：，；.41.（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知，兩點分別在兩條互相垂直的直線和上，且線段的中點為，則線段的長為（

）A．11 B．10 C．9 D．8【答案】B【詳解】因為直線和互相垂直，所以，解得，所以線段AB的中點為，所以設(shè)，則，解得，所以，所以，故選：C42.（2324高三下·浙江麗水·開學(xué)考試）設(shè)點A,B在曲線y=log2x上．若AB的中點坐標(biāo)為(5,2)，則|AB|=A．6 B．210 C．43 【解題思路】設(shè)A(x1,【解答過程】設(shè)A(x因為AB的中點坐標(biāo)為(5,2)，可得x1整理得x1+x2=10,不妨設(shè)A(2,1),B(8,3)，所以AB=故選：B.（二）由兩點間的距離求參數(shù)解題策略：解決兩點間距離公式逆用問題的思路已知所求點的相關(guān)信息及該點到某點的距離滿足某些條件時，設(shè)出所求點的坐標(biāo)，利用兩點間距離公式建立關(guān)于所求點坐標(biāo)的方程或方程組求解43．（2024·高二課時練習(xí)）已知點與點間的距離為，則________．【答案】9或【分析】根據(jù)兩點間的距離公式列方程求解即可.【詳解】由，得，即，解得或．故答案為：9或.44.（2024·高二課時練習(xí)）已知，點在軸上，且，則點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為點C在x軸上，設(shè)點，則，所以，化簡可得：，所以.故選：D.45．（2024·高二課時練習(xí)）在直線上求一點P，使它到點的距離為5，并求直線PM的方程.【答案】或，對應(yīng)直線PM的方程為或.【分析】利用點在直線上和兩點距離建立方程組求解點的坐標(biāo)，求出斜率，代入點斜式求解直線方程.【詳解】設(shè)，由題意，解得或，所以或，當(dāng)時，直線PM的斜率，因此直線PM方程為，即；當(dāng)時，直線PM的斜率，因此直線PM方程為，即.（三）距離公式求最值46.（2024秋·甘肅嘉峪關(guān)·高二?？计谥校┖瘮?shù)的最小值是_____________.【答案】5【詳解】解：因為，設(shè)，，，則表示點到點，兩點的距離之和，即，點是軸上的點，則點關(guān)于軸的對稱點為，則，所以，所以的最小值是.故答案為：47．（2024·高二課時練習(xí)）著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休．”事實上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為點到點的距離，則的最小值為（

）．A．3 B． C． D．【答案】D【分析】把目標(biāo)式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，看作動點到兩個定點距離和的最值，利用對稱性可得答案.【詳解】,可以看作點到點的距離之和，作點關(guān)于軸的對稱點，顯然當(dāng)三點共線時，取到最小值，最小值為間的距離.故選：D.48.（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）某同學(xué)在研究函數(shù)的性質(zhì)時，聯(lián)想到兩點間的距離公式，從而將函數(shù)變形為，求得的最小值為________．【答案】【詳解】由變形所得函數(shù)知：表示x軸上的動點到兩定點的距離之和，∴當(dāng)且僅當(dāng)與重合時，有最小值為.故答案為：49．（四川省德陽市第五中學(xué)20232024學(xué)年高二下學(xué)期5月月考理科數(shù)學(xué)試題）設(shè)，過定點的動直線與過定點的動直線交于點，則的最大值是______．【答案】10【分析】根據(jù)直線過定點可得的坐標(biāo)，進(jìn)而利用兩直線垂直可得勾股定理，結(jié)合不等式即可求解最值.【詳解】由得，故,由得,由于直線與直線互相垂直，所以,故所以,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故的最大值是10故答案為：10（四）判斷三角形、四邊形的形狀解題策略：判斷四邊形與三角形形狀的方法（1）利用兩點間距離公式判定三角形形狀的方法已知三個頂點的坐標(biāo)判斷三角形的形狀時，利用兩點間的距離公式求三邊長，從邊長間的關(guān)系入手如果邊長相等,則可能是等腰或等邊三角形;如果滿足勾股定理,則是直角三角形.(2)判斷四邊形形狀的方法是：若兩組對邊均平行，則是平行四邊形，進(jìn)而再判斷是否是矩形、菱形或正方形；若一組對邊平行，進(jìn)而再判斷是否是等腰梯形或直角梯形；若兩組對邊均不平行，則為一般四邊形．(3)利用兩點間距離公式求出線段的長度，再根據(jù)各邊長度判斷三角形或四邊形形狀是常見題型．解題時要注意方程思想和分類討論思想的應(yīng)用．50．（江蘇省鎮(zhèn)江市20232024學(xué)年高二下學(xué)期4月期中數(shù)學(xué)試題）已知，，，則是（

）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【答案】A【分析】根據(jù)兩點間的距離公式計算出，，的長度即可判斷【詳解】，，，，，，，是直角三角形．故選：A．51．（2024·高二課時練習(xí)）已知點，判斷的類型.【答案】等腰三角形【分析】根據(jù)兩點間距離公式求出，再求出可得答案.【詳解】∵，，，∴，且三邊不滿足勾股定理，∵，∴，∴三點不共線，∴是等腰三角形．52．（2024·高二課時練習(xí)）已知四邊形ABCD的四個頂點的坐標(biāo)分別為A（1，2），B（3，4），C（3，2），D（1，1），則四邊形ABCD是（

）A．梯形 B．平行四邊形 C．矩形 D．正方形【答案】A【分析】利用斜率判斷直線是否平行，利用兩點間距離公式判斷線段是否相等.【詳解】由A（1，2），B（3，4），C（3，2），D（1，1），有，，則，，，，所以四邊形ABCD是梯形.故選：A.（五）求三角形、四邊形的周長、面積53．（重慶實驗外國語學(xué)校20232024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，．(1)求的面積；(2)判斷四點是否在同一個圓上？并說明理由．【答案】(1)(2)四點不在同一圓上，理由詳見解析【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式求得的面積.（2）先判斷過三點的圓的直徑，再根據(jù)的大小確定正確答案.【詳解】（1），所以，所以，所以的面積為.（2）四點不在同一圓上，理由如下：由于，所以過三點的圓（設(shè)為圓）的直徑是，由（1）知是等腰直角三角形，且，所以不是圓的圓周角，所以四點不在同一圓上.54．（遼寧省協(xié)作校20232024學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題）已知正方形的中心為坐標(biāo)原點，點的坐標(biāo)為（2，1），點在第四象限.(1)求正方形的面積;(2)求直線和的方程.【答案】(1)(2)直線AB的方程為，直線的方程為【分析】（1）由兩點間距離公式與正方形面積公式求解，（2）由垂直關(guān)系與待定系數(shù)法得點坐標(biāo)，再求解點斜式方程，【詳解】（1）由題意知，所以正方形ABCD的邊長為，所以正方形ABCD的面積．（2）因為AC所在直線的方程為，且，所以BD所在直線的方程為．設(shè)點B的坐標(biāo)為，，因為，所以，解得，所以點B的坐標(biāo)為，所以直線AB的方程為，即，因為，所以直線的方程為，即．55．（2024·高二課時練習(xí)）已知直線l過點，且分別與x，y軸正半軸交于A，B兩點.O為坐標(biāo)原點.(1)當(dāng)面積最小時，求直線l的方程；(2)當(dāng)值最小時，求直線l的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)直線l，分別令得出坐標(biāo)，然后得到面積表達(dá)式，利用基本不等式求得最值，即可得到此時斜率，即得到直線方程.（2）計算出，得到表達(dá)式，利用基本不等式得到最值，即可得到此時斜率，即得到直線方程.【詳解】（1）由題意得斜率設(shè)l，令，則，令，，則，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即（因故正值舍去）時等號成立.故直線l的方程為，即.（2），因為當(dāng)且僅當(dāng)，即1時等號成立.又，故故直線l的方程為即知識點3點到直線的距離1.點到直線的距離平面上任意一點到直線：的距離.2.應(yīng)用點到直線的距離公式應(yīng)注意的問題(1)直線方程應(yīng)為一般式，若給出其他形式，應(yīng)先化成一般式再用公式．例如求P(x0，y0)到直線y＝kx＋b的距離，應(yīng)先把直線方程化為kx－y＋b＝0，得d＝eq\f(|kx0－y0＋b|,\r(k2＋1)).(2)點P在直線l上時，點到直線的距離為零，公式仍然適用，故應(yīng)用公式時不必判定點P與直線l的位置關(guān)系．題型三點到直線的距離解題策略：點到直線的距離的求解方法(1)求點到直線的距離時，只需把直線方程化為一般式，直接應(yīng)用點到直線的距離公式求解即可．(2)對于與坐標(biāo)軸平行(或重合)的直線x＝a或y＝b，求點P(x0，y0)到它們的距離時，既可以用點到直線的距離公式，也可以直接寫成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|.(3)若已知點到直線的距離求參數(shù)時，只需根據(jù)點到直線的距離公式列方程求解參數(shù)即可．（一）求點到直線的距離56.（2023·重慶·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）點(1,1)到直線的距離是（

）A．1 B．2 C．D.3【答案】A【詳解】，故選：A57．（上海市青浦區(qū)20232024學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）點到直線的距離為__________．【答案】【分析】根據(jù)題意，利用點到直線的距離公式，即可求解.【詳解】由點到直線的距離公式，可得點到直線的距離為.故答案為：.58.（2324高一下·江蘇泰州·期中）已知點，則點到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出直線的方程，利用點到直線距離公式求解.【詳解】根據(jù)題意，，所以直線的方程為，即，點到直線的距離為.故選：C.（二）已知點到直線的距離求參數(shù)59.（2024·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）已知點到直線的距離為1，則的值為（

）A或 B．或15C．5或 D．5或15【答案】D【詳解】因為點到直線的距離為1，所以,解得或5.故選:D.60.（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知點到直線的距離為，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：由題意得．解得或．，．故選：C.61.（2324高一下·北京順義·階段練習(xí)）在直線上求一點，使它到直線的距離等于原點到l的距離，則此點的坐標(biāo)為.【答案】或【分析】設(shè)直線上的點為，再根據(jù)點到直線的距離公式求解即可.【詳解】設(shè)直線上的點為，點直線的距離為，原點到l的距離為，所以，解得或，所以此點的坐標(biāo)為或.故答案為：或.62.（2023春·湖南長沙·高二瀏陽一中?？奸_學(xué)考試）已知兩點到直線的距離相等，則（

）A．2 B． C．2或 D．2或【答案】D【詳解】（1）若在的同側(cè)，則，所以，，（2）若在的異側(cè)，則的中點在直線上，所以解得,故選:D.（三）與點到直線的距離有關(guān)的最值問題63.（2023春·上海浦東新·高二統(tǒng)考期中）已知動點在直線上，則的最小值為_________.【答案】2【詳解】因為表示動點到坐標(biāo)原點，所以的最小值為到線的距離.故答案為：2.64.（2023春·貴州黔東南·高二?？茧A段練習(xí)）點在直線上，為原點，則的最小值是（

）A．1 B．2 C． D．【答案】A【詳解】原點到直線的距離為，根據(jù)垂線段的性質(zhì)可知的最小值是，故選：A65．（2024·高二課時練習(xí)）直線過定點___________，原點到直線l的距離的最大值為___________.【答案】【分析】將化為可得直線所過定點；由第一空答案結(jié)合圖形，可得原點到直線l的距離的最大值.【詳解】由可得，則，得，故l過定點；如圖，設(shè)定點為A，當(dāng)時，原點到直線l的距離的最大.理由如下：設(shè)為過A點的除l外的一條直線，其到原點距離如圖為，因為直角三角形，則.故當(dāng)且僅當(dāng)時，原點到直線l的距離的最大.此時最大距離為.故答案為：；.66．（2024·高二課時練習(xí)）已知點，點B在直線上運動，當(dāng)線段AB最短時，點B的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)點的坐標(biāo)是，則線段AB垂直直線時，線段AB最短，根據(jù)兩直線垂直的斜率關(guān)系即可求解.【詳解】因為點在直線上運動，所以可設(shè)點的坐標(biāo)是，當(dāng)線段AB垂直直線時，線段AB最短，由直線得其斜率為1，則，得，所以的坐標(biāo)是.故選：A67．（重慶市第十一中學(xué)校20232024學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知直線：過定點，則點到直線：距離的最大值是（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】本題首先求出，然后發(fā)現(xiàn)直線：恒過定點，由圖可得點到直線：距離的最大值可轉(zhuǎn)化為點與點的距離.【詳解】由題意知，直線：恒過定點，直線：恒過定點，如圖所示，過作的垂線段，垂足為，那么必有，當(dāng)且僅當(dāng)與重合時取等號，從而的最大值為，即點到直線：距離的最大值是.故選：D.

68.（2324高二上·廣東廣州·期末）若點在直線上，則的最小值為.【答案】/0.8【分析】轉(zhuǎn)化為求直線上點到定點距離的平方的最小值，由點到直線距離可得解.【詳解】表示點到點距離的平方，又點在直線上，問題轉(zhuǎn)化為求直線上點到定點距離的平方的最小值，，所以得最小值為.故答案為：.69．（山東省臨沂市平邑縣第一中學(xué)20232024學(xué)年高二10月月考數(shù)學(xué)試題）已知兩點，動點在線段AB上運動，則的范圍是________，的范圍是________.【答案】【分析】畫出圖象，結(jié)合斜率以及兩點間的距離公式、點到直線的距離公式求得正確答案.【詳解】，表示線段上的點與點連線的斜率（），，結(jié)合圖象知：的取值范圍是.表示線段上的點與點連線的距離的平方，，直線的方程為則，到直線的距離為所以的范圍是.故答案為：；（四）求到兩點距離相等的直線方程70．（2024·高二課時練習(xí)）過點且和的距離相等的直線方程是_________．【答案】或【分析】當(dāng)斜率不存在時，驗證不滿足條件；當(dāng)若斜率存在時，設(shè)直線方程為，利用點到直線的距離公式，列出方程求得的值，即可求解.【詳解】若斜率不存在時，過點的直線為，此時不滿足條件；若斜率存在時，設(shè)過點的直線，即．根據(jù)題意，可得，解得或，當(dāng)時，直線方程為，當(dāng)時，直線方程為綜上可得，直線方程為或．故答案為：或71.（2023·高三課時練習(xí)）已知點，若直線過點，且、到直線的距離相等，則直線的方程為______.【答案】或【詳解】依題意，到直線的距離相等.的中點為，當(dāng)過以及時，直線的方程為.直線的斜率為，當(dāng)直線過并與平行時，直線的方程為.綜上所述，直線的方程為或.故答案為：或72.（2023·高二課時練習(xí)）已知點，到直線的距離都等于2，求直線的方程．【答案】或，，．【詳解】①當(dāng)時，因為直線的方程為，所以可設(shè)直線l的方程為．由或，即直線l的方程為或．②當(dāng)l過線段的中點時，設(shè)l的方程為，即．點到l的距離，即．又當(dāng)軸時，斜率不存在，此時也符合題意．綜上直線的方程為：或，，．知識點4兩條平行線間的距離1.兩條平行線間的距離一般地，兩條平行直線：（）和：（）間的距離.2.對兩條平行直線間的距離公式的理解(1)求兩條平行直線間的距離可以轉(zhuǎn)化為求點到直線的距離，也可以利用公式．(2)利用公式求平行直線間的距離時，兩條直線的方程必須是一般式，且x，y的系數(shù)對應(yīng)相等．(3)當(dāng)兩條直線都與x軸(或y軸)垂直時，可利用數(shù)形結(jié)合來解決．①兩條直線都與x軸垂直時，若l1：x＝x1，l2：x＝x2，則d＝|x2－x1|；②兩條直線都與y軸垂直時，若l1：y＝y(tǒng)1，l2：y＝y(tǒng)2，則d＝|y2－y1|.題型四兩平行線間的距離解題策略：求兩條平行直線間距離的兩種思路(1)利用“化歸”法將兩條平行直線間的距離轉(zhuǎn)化為求一條直線上任意一點到另一條直線的距離．(2)直接利用兩條平行直線間的距離公式，當(dāng)直線l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2時，d＝eq\f(|b1－b2|,\r(k2＋1))；當(dāng)直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2時，d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))，必須注意兩條直線方程中x，y的系數(shù)對應(yīng)相等．（一）求平行線間的距離73.（2024·高二課時練習(xí)）兩條平行直線與間的距離為（

）A． B．2 C．14 D．【答案】D【詳解】由距離公式可知，所求距離為.故選：D74.（2023春·河南洛陽·高二校考階段練習(xí)）兩條平行線，間的距離等于（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】依題意，將直線變?yōu)?，又，所以兩平行線間的距離為.故選：A.75．（2024·高二課時練習(xí)）已知直線與直線平行，則它們之間的距離是（

）．A．1 B．2 C． D．4【答案】B【分析】根據(jù)兩直線平行求出參數(shù)的值，再將直線方程化為、對應(yīng)系數(shù)一致，最后利用距離公式計算可得.【詳解】因為直線與直線平行，所以，解得，所以直線，即，即，所以兩平行線之間的距離.故選：B76．（2024·高二課時練習(xí)）已知直線，且∥．(1)求的值；(2)求兩平行線與之間的距離．【答案】(1)1(2)【分析】（1）由兩直線平行，可得，從而可求出的值；（2）先將直線變形后，再利用兩平行線間的距離公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）因為直線，且∥，所以，解得（2）由（1）知的方程為，即，所以與之間的距離為．（二）由兩平行線間的距離求參數(shù)77.（2023春·河南南陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若平面內(nèi)兩條平行線：，：間的距離為，則實數(shù)（

）A．2 B．－2或1 C．－1 D．－1或2【答案】A【詳解】因為兩直線：，：平行，可得且，解得或，當(dāng)時，，，即，可兩平行線間的距離為，符合題意；當(dāng)時，，，即，可兩平行線間的距離為，不符合題意，舍去.故選：A.78.（2024·高一單元測試）若兩條平行直線與之間的距離是，則__________．【答案】3【詳解】因為直線與平行，所以，解得且，所以直線為，直線化為，因為兩平行線間的距離為，所以，得，因為所以，得，所以，故答案為：379．（2024·高二課時練習(xí)）已知兩條直線，，且，當(dāng)兩平行線距離最大時，（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】求出恒過的定點，故，距離的最大值為，所以，求解即得出答案.【詳解】，由，解得，故過定點．，由，解得，故過定點，故，距離的最大值為．此時，，則，，解得，故．故選：C．80．（2024·高二課時練習(xí)）若兩條平行直線與之間的距離是，則__________．【答案】3【分析】由兩直線平行列方程求出，再由兩平行線間的距離公式列方程可求出的值，從而可求出結(jié)果.【詳解】因為直線與平行，所以，解得且，所以直線為，直線化為，因為兩平行線間的距離為，所以，得，因為所以，得，所以，故答案為：3（三）由距離求直線的平行線81.（2324高二上·湖北十堰·階段練習(xí)）到直線3x?4y?11=0的距離為1的直線方程為（

）A．3x?4y?1=0 B．3x?4y?6=0或3x?4y?16=0C．3x?4y+1=0或3x?4y?1=0 D．3x?4y+16=0或3x?4y?3=0【解題思路】設(shè)所求的直線方程為3x?4y+C=0，根據(jù)平行線間距離公式列方程即可求出C，得出答案.【解答過程】設(shè)所求的直線方程為3x?4y+C=0，由題意得C??1132+(?4)所以所求直線方程為3x?4y?6=0或3x?4y?16=0.故選：B.82．（2024·高二課時練習(xí)）已知直線l到兩條平行直線與的距離相等，則直線l的方程為__________．【答案】【分析】由平行直線系設(shè)直線的方程，由平行線間的距離公式列式求解即可．【詳解】解：依題意設(shè)直線的方程為，，則，即，解得，所以直線的方程為．故答案為：83．【多選】（2024·高二課時練習(xí)）與直線平行且到的距離等于的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】利用平行線間的距離公式即可求解.【詳解】設(shè)所求直線方程為，由題意得，解得：或，故所求直線方程為：或.故選：AB.84．（2024·高二課時練習(xí)）已知直線l經(jīng)過點，且被兩平行直線和截得的線段之長為5．則直線l的方程為_________．【答案】或【分析】設(shè)出直線與直線的交點坐標(biāo)，根據(jù)給定條件列式探求兩個交點坐標(biāo)間的關(guān)系，求出直線方程作答.【詳解】設(shè)直線與直線分別交于點，則，兩式相減得：，而，即，解得或，由，即，軸，得直線方程為，經(jīng)驗證符合題意，由，即，軸，得直線方程為，經(jīng)驗證符合題意，所以直線l的方程為或.故答案為：或

85．（上海財經(jīng)大學(xué)附屬中學(xué)20232024學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）若直線被兩平行線與所截得的線段的長為2，則直線的傾斜角為______．【答案】或【分析】根據(jù)兩平行線間的距離與2的比較可得直線和兩平行線的夾角為60°，再根據(jù)傾斜角的關(guān)系求解即可．【詳解】設(shè)直線與兩平行線的交點分別為，過點作的垂線，垂足為，如圖，兩平行線間的距離，則，又，所以直線與兩平行線的夾角滿足，則，因為兩平行線斜率為，所以傾斜角為，所以直線的傾斜角為或．故答案為：或．（四）與兩平行直線間的距離有關(guān)的最值問題86.（2324高二上·天津和平·期末）設(shè)點P，Q分別為直線3x+4y?7=0與直線6x+8y+3=0上的任意一點，則PQ的最小值為（

）A．1 B．2 C．1710 D．【解題思路】因為直線3x+4y?7=0與直線6x+8y+3=0平行，所以PQ的最小值為直線6x+8y?14=0與直線6x+8y+3=0距離，求解即可.【解答過程】由直線3x+4y?7=0可得6x+8y?14=0，所以直線3x+4y?7=0與直線6x+8y+3=0平行，所以PQ的最小值為直線6x+8y?14=0與直線6x+8y+3=0距離，所以d=3?故選：C.87．（2024·高二課時練習(xí)）若動點，分別在直線和直線上移動，求線段的中點到原點的距離的最小值為________．【答案】【分析】由題意線段的中點的集合為與直線和直線距離相等的直線，記為，則到原點距離最小值為原點到的距離，結(jié)合點到直線的距離公式可求．【詳解】由題意線段的中點的集合為與直線和直線距離相等的直線，記為，則到原點距離最小值為原點到的距離，設(shè)直線，則，解得，所以，根據(jù)點到直線的距離公式可得，到原點的距離的最小值為．故答案為：．題型五距離的綜合應(yīng)用解題策略：兩種距離公式在解析幾何中的應(yīng)用(1)點到直線的距離公式及兩平行線間的距離公式是解析幾何的基本公式之一，在解析幾何中具有重要的作用．(2)在使用距離公式時要首先把直線方程化為一般式．88．（上海市上海中學(xué)20232024學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）過點作一條直線，它夾在兩條直線：和：之間的線段恰被點平分，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】當(dāng)斜率不存在時，不符合題意，當(dāng)斜率存在時，設(shè)所求直線方程為，進(jìn)而得出交點，根據(jù)點為兩交點的中點建立等式，求出的值，從而即可解決問題.【詳解】如果直線斜率不存在時，直線方程為：，不符合題意；所以直線斜率存在設(shè)為，則直線方程為，聯(lián)立直線得：，聯(lián)立直線得：，，所以直線與直線，直線的交點為：，又直線夾在兩條直線和之間的線段恰被點平分，所以，解得：，所以直線的方程為：，故選：B.89．（上海師范大學(xué)附屬中學(xué)20232024學(xué)年高二下學(xué)期3月第二次月考數(shù)學(xué)試題）已知點分別在直線與直線上，且，點，，則的最小值為______.【答案】【分析】作出圖象，易知，則然后易求得當(dāng)時，此時可過作直線與垂直，易知得的方程，然后在上，直線，之間找點，使得到的距離等于點到的距離，此時最小距離和即為，由此求解．【詳解】易知，作出圖象如下，過點作直線，則，直線，過作直線，與直線交于點，易知四邊形為平行四邊形，故，且到直線的距離等于到的距離，設(shè)，則，解得或（舍，所以，而，且（定值），故只需求出的最小值即可，顯然，故的最小值為．故答案為：．90．（山東省菏澤市鄆城縣鄆城第一中學(xué)20232024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知三條直線；，，：，且原點到直線的距離是．(1)求a的值；(2)若，能否找到一點，使同時滿足下列三個條件：①點在第一象限；②點到的距離是點到的距離的2倍；③點到的距離與點到的距離之比是，若能，求點的坐標(biāo)；若不能，說明理由．【答案】(1)(2)存在理由見詳解.【分析】（1）利用原點到直線的距離是求解即可；（2）假設(shè)存在滿足三個條件的點，然后根據(jù)三個條件聯(lián)立解出即可.【詳解】（1）因為原點到直線的距離是，即所以（2）若，由（1）得，所以設(shè)存在點滿足題意，則：點到的距離是點到的距離的2倍有即

①點到的距離與點到的距離之比是

②

③聯(lián)立①②③解的：故存在滿足上述三個條件的點91．（上海市青浦區(qū)2023屆高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標(biāo)系中，若動點到兩直線和的距離之和為，則的最大值為___________.【答案】8【分析】由已知可知兩直線，取在的右側(cè)時，分別過作兩直線的垂線，結(jié)合幾何性質(zhì)確定點軌跡，即可求得的最大值,其他位置同理可得．【詳解】若動點到兩直線和的距離之和為，交點為的斜率分別為，則，在的右側(cè)時，過分別向引垂線，垂足分別為，那么，過作軸的平行線，與交點為如圖，則，所以，其它位置同理，那么點軌跡為正方形，當(dāng)在時，取得最大值，即取得最大值8.故答案為：8．92．（河北省邢臺市第二中學(xué)20232024學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題）過定點A的直線與過定點的直線交于點與不重合），則面積的最大值為（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【分析】根據(jù)方程可得定點A、B，并且可判斷兩直線垂直，然后利用基本不等式可得.【詳解】動直線化為，可知定點，動直線化為，可知定點，又所以直線與直線垂直，為交點，.則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.即面積的最大值為2.故選：C.93.（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知直線l：kx?y+1+2k=0(k∈R)，P3,?1，Q(1)若P、Q兩點到直線l的距離相等，求此時直線l的直線方程.(2)當(dāng)k為何值時，原點到直線l的距離最大(3)當(dāng)k=1時，求直線l上的動點M到原點距離的最小值，并求此時M點的坐標(biāo)【解題思路】（1）分直線l過PQ的中點，直線l與PQ平行兩種情況討論，分別計算可得；（2）首先求出直線過定點N?2,1，當(dāng)直線l與ON垂直時，原點到直線l的距離最大，即可求出k（3）首先求出直線l的方程，設(shè)Mx,x+3，根據(jù)兩點的距離公式及二次函數(shù)的性質(zhì)求出OM的最小值，即可求出M【解答過程】（1）解：因為P3,?1，Q?3,3，所以PQ的中點為0,1，若直線l：kx?y+1+2k=0(k∈R)過PQ的中點為0,1，則?1+1+2k=0，解得k=0，此時直線l為又kPQ=?1?33??3=?23，所以當(dāng)k=kPQ=?23時直線l綜上可得：直線l的方程為y=1或2x+3y+1=0；（2）解：由kx?y+1+2k=0，得k(x+2)+(?y+1)=0，聯(lián)立x+2=01?y=0，解得x=?2y=1，則直線l:kx?y+1+2k=0過定點由kx?y+1+2k=0，得y=kx+1+2k，當(dāng)直線l與ON垂直時，原點到直線l的距離最大，最大值為ON=因為kON=?12，所以k=2，即當(dāng)（3）解：當(dāng)k=1時，直線l：x?y+3=0，設(shè)Mx,x+3，則OM=x2+x+32即直線l上的動點M到原點距離的最小值為322，此時M點的坐標(biāo)為知識點5對稱問題1.對稱問題(1)中心對稱①點關(guān)于點的對稱．若點M(x1，y1)及N(x，y)關(guān)于P(a，b)對稱，則由中點坐標(biāo)公式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2a－x1，,y＝2b－y1.))②直線關(guān)于點的對稱，其主要方法是：在已知直線上取兩點，利用中點坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點對稱的兩點坐標(biāo)，再由兩點坐標(biāo)求出直線方程．(2)軸對稱①點(x1，y1)關(guān)于直線l：Ax＋By＋C＝0對稱的對稱點(x2，y2)可由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y2－y1,x2－x1)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1(AB≠0)，,A·\f(x1＋x2,2)＋B·\f(y1＋y2,2)＋C＝0))得出．對稱點坐標(biāo)x2＝x1－2A·eq\f(Ax1＋By1＋C,A2＋B2)，y2＝y(tǒng)1－2B·eq\f(Ax1＋By1＋C,A2＋B2)注：②直線關(guān)于直線對稱求直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0關(guān)于l：Ax＋By＋C＝0對稱的直線l2的方程的方法：轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線對稱．在l1上任取兩點P1和P2，求出P1，P2關(guān)于l的對稱點，再用兩點坐標(biāo)求出l2的方程．另一種方法如下：注：對稱問題(1)光線的入射、反射的問題以及在某定直線取點，使它與兩定點距離之和最小這類問題均屬于點關(guān)于直線對稱的問題．(2)常用對稱的特例①A(a，b)關(guān)于x軸的對稱點為A′(a，－b)；②B(a，b)關(guān)于y軸的對稱點為B′(－a，b)；③C(a，b)關(guān)于直線y＝x的對稱點為C′(b，a)；④D(a，b)關(guān)于直線y＝－x的對稱點為D′(－b，－a)；⑤P(a，b)關(guān)于直線x＝m的對稱點為P′(2m－a，b)；⑥Q(a，b)關(guān)于直線y＝n的對稱點為Q′(a，2n－b)．2.求直線上一點到兩定點的距離之差的最大值的方法3.求直線上一點到兩定點的距離之和的最小值的方法題型六直線的對稱問題（一）求點關(guān)于點的對稱點解題策略：求點關(guān)于點的對稱點由：94.（2324高二上·四川遂寧·期中）若A(4，0)與B點關(guān)于點(2，1)對稱，則B點坐標(biāo)為（

）A．(0,4) B．(0,2) C．(?2,4) D．(4,?2)【分析】根據(jù)中點坐標(biāo)公式即可求解.【詳解】解：設(shè)Ba,b，由題知，點A和點B的中點為2,14+a2=20+b2所以B點的坐標(biāo)為0,2故選：B.95.（2324高二·全國·課堂例題）已知不同的兩點Pa,?b與Qb+1,a?1關(guān)于點3,4對稱，則ab=（A．?5 B．14 C．?14 D．5【分析】根據(jù)中點公式，列出方程，求得a,b的值，進(jìn)而求得ab的值.【詳解】因為兩點Pa,?b與Qb+1,a?1關(guān)于點可得a+b+12=3a?b?12=4所以ab=7×?2故選：C.96.（2024高二·江蘇·專題練習(xí)）點A(1,2)關(guān)于點P(3,4)對稱的點的坐標(biāo)為．【分析】由中點坐標(biāo)公式求解即可【詳解】設(shè)點A(1,2)關(guān)于點P(3,4)對稱的點為B(x,y)，則點P為AB的中點．∴3=解得x=5y=6∴點A(1,2)關(guān)于點P(3,4)對稱的點的坐標(biāo)為(5,6)．故答案為：(5,6)．（二）求點關(guān)于直線的對稱點解題策略：求點關(guān)于直線：的對稱點①設(shè)中點為利用中點坐標(biāo)公式得，將代入直線：中；②整理得：97.（2024·四川遂寧·高二統(tǒng)考期末）已知點與點關(guān)于直線對稱，則點的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】設(shè)，因點A與點B關(guān)于直線對稱，則AB中點在直線上且直線AB與直線垂直，則，即點A坐標(biāo)為.故選：C98.（2024·上海長寧·高二上海市延安中學(xué)校考期末）已知，兩點關(guān)于直線對稱，則點的坐標(biāo)為______.【答案】【詳解】解：設(shè)點，因為直線的斜率為，則有，解得：，所以點的坐標(biāo)為.故答案為：99．（2024·高二課時練習(xí)）設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則點的坐標(biāo)為_____________，過點且與直線垂直的直線方程為_______________.【答案】【分析】先利用對稱的性質(zhì)得到關(guān)于的坐標(biāo)的方程組，解之即可求得點的坐標(biāo)；再利用直線垂直的性質(zhì)，結(jié)合待定系數(shù)法即可得解.【詳解】依題意，設(shè)，則，解得，即點Q的坐標(biāo)為，設(shè)與直線垂直的直線方程為，將代入該式，得，故，所以所求直線方程為.故答案為：；.100.（2023·全國·高三對口高考）點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)為_________．【答案】【詳解】設(shè)點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)為，則，解得，即點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)為.故答案為：.101．（2024·高二課時練習(xí)）若點關(guān)于直線對稱，則_________；__________．【答案】42【分析】根據(jù)給定條件，利用軸對稱的性質(zhì)列出方程組，解方程組即可作答.【詳解】依題意，直線的斜率為，線段的中點，于是，整理得，解得，所以.故答案為：4；2102.（2023·高二課時練習(xí)）若點關(guān)于直線對稱的點是，求、的值．【答案】，.【詳解】因為點關(guān)于直線對稱的點是，所以有，解得，.103．（江西省八所重點中學(xué)2023屆高三下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，點為直線上一動點，則的最小值是（

）A． B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】求點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)，由此可得，結(jié)合結(jié)論兩點之間線段最短可求的最小值.【詳解】設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)點為線段與直線的交點時等號成立，所以的最小值是4，故選：B.（三）求兩點的對稱軸104.（2324高二·全國·課后作業(yè)）將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使點3,2與點1,4重合，則折痕所在直線的一般式方程為.【分析】利用折痕所在直線與兩點連線垂直可得所求直線斜率，利用中點在折痕所在直線上可得所求直線方程.【詳解】∵點3,2與點1,4連線斜率k=2?43?1=?1，∴又點3,2與點1,4的中點為2,3，∴折痕所在直線方程為：y?3=x?2，即x?y+1=0.故答案為：x?y+1=0.105.（2324高二上·四川內(nèi)江·期中）已知點A1,2關(guān)于直線l對稱的點為B3,1，則直線l的方程為（A．4x+2y?5=0 B．x?2y?5=0 C．x+2y?5=0 D．4x?2y?5=0【分析】由題意直線l為線段AB的中垂線，先求出直線AB的斜率及AB中點坐標(biāo)，再根據(jù)兩直線垂直的性質(zhì)得到直線l的斜率，最后利用點斜式求出方程，化簡即可得出.【詳解】因為點A1,2關(guān)于直線l對稱的點為B3,1，所以直線l為線段因為A1,2，B3,1中點為2,3所以直線l的斜率為k=2，所以直線l的方程為y?32=2故選：D.106.（2324高一下·河北保定·期末）若點Aa?1,a+1，Ba,a關(guān)于直線l對稱，則A．x?y+1=0 B．x+y?1=0C．2x?2y+1=0 D．2x+y?2=0【分析】根據(jù)A，B關(guān)于直線l對稱，直線l經(jīng)過AB中點且直線l和AB垂直，可得l的方程.【詳解】由題意可知AB中點坐標(biāo)是2a?12kAB因為A，B關(guān)于直線l對稱，所以直線l經(jīng)過AB中點且直線l和AB垂直，所以直線l的斜率為kl所以直線l的方程為y?2a+1即x?y+1=0，故選：A.求直線關(guān)于點的對稱直線解題策略：方法一：在直線上找一點，求點關(guān)于點對稱的點，根據(jù)，再由點斜式求解；方法二：由，設(shè)出的直線方程，由點到兩直線的距離相等求參數(shù).方法三：在直線任意一點，求該點關(guān)于點對稱的點，則該點在直線上.107.（2023·高二課時練習(xí)）關(guān)于原點對稱的直線是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：對于直線，將換為，換為得到，即，所以直線關(guān)于原點對稱的直線是.故選：C108.（2023·全國·高三專題練習(xí)）直線關(guān)于點對稱的直線方程為（

）A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0【答案】B【詳解】設(shè)直線關(guān)于點對稱的直線上任意一點，則關(guān)于對稱點為，又因為在上，所以，即。故選：B109.（上海財經(jīng)大學(xué)附屬中學(xué)20232024學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）直線關(guān)于點對稱的直線的一般式方程為______．【答案】【分析】由直線關(guān)于點對稱的直線與已知直線平行，設(shè)出所求直線方程，再根據(jù)點到兩條直線的距離相等可解出答案.【詳解】設(shè)對稱直線為，根據(jù)點到兩條直線的距離相等，則有，即，解得（舍）或.所以對稱直線的方程為.故答案為：.110.（2324高二上·全國·期末）點P1,2在直線l上，直線l1與l關(guān)于點0,1對稱，則一定在直線l1A．12,32 B．?1,3【分析】根據(jù)兩直線關(guān)于點對稱，利用中點坐標(biāo)公式即可求直線l上P1,2的對稱點，且該點在直線l【詳解】由題設(shè)P1,2關(guān)于0,1對稱的點為(x,y)，若該點必在l∴1+x2=02+y2=1，解得x=?1故選：C.111.（2324高二上·江蘇常州·期中）已知直線x+2y?3=0與直線ax+4y+b=0關(guān)于點A(1,0)對稱，則實數(shù)b的值為（

）A．2 B．6 C．?2 D．?6【分析】根據(jù)線關(guān)于點對稱即可得兩直線平行，進(jìn)而根據(jù)點的對稱代入求解即可.【詳解】由于直線x+2y?3=0與直線ax+4y+b=0關(guān)于點A(1,0)對稱，所以兩直線平行，故2a=4，則a=2，由于點(3,0)在直線x+2y?3=0上，(3,0)關(guān)于點A(1,0)的對稱點為(?1,0)，故(?1,0)在ax+4y+b=0上，代入可得?a+b=0，故b=a=2，故選：A.（五）求直線關(guān)于直線的對稱直線解題策略：1.直線：（）和：（）相交,求關(guān)于直線的對稱直線①求出與的交點②在上任意取一點(非點），求出關(guān)于直線的對稱點③根據(jù)，兩點求出直線2.直線：（）和：（）平行,求關(guān)于直線的對稱直線①②在直線上任取一點，求點關(guān)于直線的對稱點，利用點斜式求直線.112.（2023·高二課時練習(xí)）如果直線與直線關(guān)于軸對稱，那么直線的方程是______．【答案】【詳解】解：∵直線的斜率為1，且與y軸交于（0，1）點，又∵直線l與直線關(guān)于y軸對稱，∴直線l的斜率為1，且過（0，1）點，則直線l的方程為，故答案為：113.（2023·全國·高三專題練習(xí)）兩直線方程為，，則關(guān)于對稱的直線方程為（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】設(shè)所求直線上任一點，關(guān)于直線的對稱點，，則，解出點在直線上，將式代入，得，化簡得，即為關(guān)于對稱的直線方程．故選：C114．（2024·高二課時練習(xí)）試求直線關(guān)于直線對稱的直線l的方程．【答案】.【分析】求出直線的交點坐標(biāo)，再在直線取點，并求出該點關(guān)于直線對稱點坐標(biāo)即可求解作答.【詳解】由，解得，即直線交于點，顯然點在直線上，在直線上取點，設(shè)該點關(guān)于直線對稱點，則，解得，點在直線上，因此直線的斜率，所以直線的方程為，即.

115.（2023·全國·高三專題練習(xí)）直線關(guān)于直線對稱的直線方程是________.【答案】【詳解】設(shè)所求直線上任意一點，點P關(guān)于的對稱點為,如圖所示：則有，得∵點P′(x0，y0)在直線2x－y＋3＝0上，∴2(y－2)－(x＋2