專題244垂徑定理及其推論（舉一反三）（滬科版）

專題24.4垂徑定理及其推論【十大題型】【滬科版】 TOC\o"13"\h\u【題型1由垂徑定理及其推論判斷正誤】 1【題型2根據(jù)垂徑定理與勾股定理綜合求值】 3【題型3根據(jù)垂徑定理與全等三角形綜合求值】 8【題型4在坐標(biāo)系中利用垂徑定理求值或坐標(biāo)】 14【題型5利用垂徑定理求平行弦問題】 19【題型6利用垂徑定理求同心圓問題】 23【題型7垂徑定理的實際應(yīng)用】 27【題型8垂徑定理在格點中的運用】 33【題型9利用垂徑定理求整點】 38【題型10利用垂徑定理求最值或取值范圍】 41【知識點1垂徑定理及其推論】（1）垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?/p>

（2）垂徑定理的推論

推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?/p>

推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧．

推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條?。绢}型1由垂徑定理及其推論判斷正誤】【例1】（2023春·九年級單元測試）如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點E，連接BC、BD，下列結(jié)論中不一定正確的是（A．AE=BE B．AD=BD C．【答案】C【分析】根據(jù)垂徑定理判斷即可；【詳解】∵直徑CD垂直于弦AB于點E，則由垂徑定理可得，AE=BE，AD=BD，AC=BC，故選項A，B，故選C．【點睛】本題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用，準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵．【變式11】（2023春·北京海淀·九年級人大附中?？茧A段練習(xí)）在學(xué)習(xí)了《圓》這一章節(jié)之后,甲、乙兩位同學(xué)分別整理了一個命題:甲:相等的弦所對的圓心角相等;乙:平分弦的直徑垂直于這條弦.下面對這兩個命題的判斷,正確的是A．甲對乙錯 B．甲錯乙對 C．甲乙都對 D．甲乙都錯【答案】D【分析】根據(jù)在同圓或等圓中,如果兩個圓心角以及它們對應(yīng)的兩條弧、兩條弦中有一組量相等,則另外兩組量也相等，可判斷甲命題；由垂徑定理可得判斷乙命題.【詳解】(1)在同圓或等圓中,相等的弦所對的弧對應(yīng)相等,故甲命題錯誤;(2)平分弦的直徑垂直于不是直徑的弦;故乙命題項錯誤;故選D.【點睛】本題主要考查同圓或等圓中，弧、弦、圓心角的關(guān)系及垂徑定理.【變式12】（2023春·全國·九年級專題練習(xí)）下列命題正確的是（

）A．垂直于弦的直徑平分弦所對的兩條弧 B．弦的垂直平分線經(jīng)過圓心C．平分弦的直徑垂直于弦 D．平分弦所對的兩條弧的直線垂直于弦【答案】ABD【分析】根據(jù)垂徑定理及其推論進行判斷即可．【詳解】A、垂直于弦的直徑平分弦所對的兩條弧，正確；B、弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，正確；C、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故錯誤；D、平分弦所對的兩條弧的直線垂直于弦，正確；故選ABD．【點睛】本題考查了垂徑定理：熟練掌握垂徑定理及其推論是解決問題的關(guān)鍵．【變式13】（2023·福建三明·泰安模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，則下列結(jié)論正確的是（）A．DE=BE B．BCC．△BOC是等邊三角形 D．四邊形ODBC是菱形【答案】B【詳解】試題分析：∵AB⊥CD，AB過O，∴DE=CE，BC=根據(jù)已知不能推出DE=BE，△BOC是等邊三角形，四邊形ODBC是菱形．故選B．【考點】垂徑定理．【題型2根據(jù)垂徑定理與勾股定理綜合求值】【例2】（2023·貴州遵義·統(tǒng)考三模）在半徑為r的圓中，弦BC垂直平分OA，若BC=6，則r的值是（

A．3 B．33 C．23 D【答案】C【分析】設(shè)BC、OA交于D，根據(jù)題意和垂徑定理得到OD=12【詳解】解：設(shè)BC、OA交于∵弦BC垂直平分OA，BC=6∴OD=在Rt△OBD中，由勾股定理得∴r2解得r=2故選C．

【點睛】本題主要考查了勾股定理和垂徑定理，利用方程的思想求解是解題的關(guān)鍵．【變式21】（2023春·浙江·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，已知⊙O的半徑為5，弦AB=8，點E在AB上運動，連結(jié)OE，過點E作EF⊥OE交⊙O于點F，當(dāng)EF最大時，OE+EF的值為．【答案】7【分析】當(dāng)OE⊥AB，EF最大，即點F與點B重合，過O作OE⊥AB于E，連接OB，根據(jù)垂徑定理得到BE=4，根據(jù)勾股定理得到OE=OB【詳解】解：當(dāng)OE⊥AB，EF最大，即點F與點B重合，過O作OE⊥AB于E，連接OB，∵AB=8，∴BE=4，∵OB=5，∴OE=OB2∴OE+EF=OE+OB=7，故答案為7．【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.【變式22】（2023·湖北孝感·校聯(lián)考一模）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，OC⊥OB，OD⊥AB于D交AC于E點，已知⊙O的半徑為1，則AE2+CA．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】連接BE，根據(jù)垂徑定理得到AD=DB，得到EA=EB，∠EAO=∠EBO=∠ACO，根據(jù)勾股定理計算即可．【詳解】解：連接BE，如圖，∵OD⊥AB，∴AD=DB，∴EA=EB，∠EAO=∠EBO=∠ACO，∵∠ECB+∠EBC=∠ECO+45°+∠EBC=∠OBE+45°+∠EBC=90°，∴∠BEC=90°，在直角△BEC中，BE2+CE2=BC2，∵OC⊥OB，且OC=OB=OA∴BC2=2OA2=2，∴BE2+CE2=2，即AE2+CE2=2．故選：B．【變式23】（2023春·江蘇泰州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在⊙O中，AB是直徑，P為AB上一點，過點P作弦MN，∠NPB=45°．（1）若AP=2，BP=6，求MN的長；（2）若MP=3，NP=5，求AB的長；（3）當(dāng)P在AB上運動時（∠NPB=45°不變），PM【答案】（1）214；（2）217；（3【分析】（1）作OH⊥MN于H，連接ON，先計算出OA=4，OP=2，在Rt△POH中，由于∠OPH=45°，則OH=22OP=2，再在Rt△OHN中，利用勾股定理計算出NH=14，然后根據(jù)垂徑定理由OH⊥MN得到HM=HN，所以MN=2NH=214（2）作OH⊥MN于H，連接ON，先計算出HM=HN=4，PH=1，在Rt△POH中，由∠OPH=45°得到OH=1，再在Rt△OHN中利用勾股定理可計算出ON=17，所AB=2ON=217；(3)作OH⊥MN于H，連接ON，根據(jù)垂定理得HM=HN，設(shè)圓的半徑為R，在Rt△OHN中，利用勾股定理得到OH2+NH2=ON2=R2，在Rt△POH中，由∠OPH=45°得OH=PH，則PH2+NH2=R2，然后變形PM2+PN2可得到2（PH2+NH2），所以PM2+PN2的值為2R2，又AB=2R，代入計算即可求出答案．【詳解】解：（1）作OH⊥MN于H，連接ON，∵AP=2，BP=6，∴AB=8，∴OA=4，OP=2，在Rt△POH中，∵∠OPH=45°，∴OH=22OP=2在Rt△OHN中，∵ON=4，OH=2，∴NH=NO2－OH∵OH⊥MN，∴HM=HN，∴MN=2NH=214；（2）作OH⊥MN于H，連接ON，則HM=HN，∵MP=3，NP=5，∴MN=8，∴HM=HN=4，∴PH=1，在Rt△POH中，∵∠OPH=45°，∴OH=1，在Rt△OHN中，∵HN=4，OH=1，∴ON=OH2+∴AB=2ON=217；（3）PM2+作OH⊥MN于H，連接ON，則HM=HN，設(shè)圓的半徑為R，在Rt△OHN中，OH2+NH2=ON2=R2，在Rt△POH中，∵∠OPH=45°，∴OH=PH，∴PH2+NH2=R2，∵PM2+PN2=（HMPH）2+（NH+PH）2=（NHPH）2+（NH+PH）2=2（PH2+NH2）=2R2．又AB2=4R2，∴PM2+P∴PM2+【點睛】本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。部疾榱斯垂啥ɡ恚绢}型3根據(jù)垂徑定理與全等三角形綜合求值】【例3】（2023春·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，⊙O的弦AB垂直于CD，點E為垂足，連接OE．若AE＝1，AB

A．22 B．32 C．42【答案】A【分析】如圖所示，過O點作OH⊥AB于H點，OF⊥CD于F點，連接OB、OC，根據(jù)垂徑定理可求出EH的值，再證【詳解】解：如圖所示，過O點作OH⊥AB于H點，OF⊥CD于

∴根據(jù)垂徑定理得，DF=CF=∵AE=1∴EH=在Rt△OBH和OB=∴Rt△∴OH=∵CD⊥∴∠HEF∵∠OHE∴四邊形OHEF為正方形，OE是正方形的對角線，∴OE=故選：A．【點睛】本題考查圓與三角形的綜合，掌握圓的基礎(chǔ)值，垂徑定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)等知識的綜合運用是解題的關(guān)鍵．【變式31】（2023春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，AB為圓O直徑，F(xiàn)點在圓上，E點為AF中點，連接EO，作CO⊥EO交圓O于點C，作CD⊥AB于點D，已知直徑為10，OE＝4，求OD的長度．【答案】3【分析】根據(jù)垂徑定理的逆定理得到OE⊥AF，由CO⊥EO，得到OC∥AF，即可得到∠OAE＝∠COD，然后通過證得△AEO≌△ODC，證得CD＝OE＝4，然后根據(jù)勾股定理即可求得OD．【詳解】解：∵E點為AF中點，∴OE⊥AF，∵CO⊥EO，∴OC∥AF，∴∠OAE＝∠COD，∵CD⊥AB，∴∠AEO＝∠ODC，在△AEO和△ODC中，∠OAE∴△AEO≌△ODC（AAS），∴CD＝OE＝4，∵OC＝5，∴OD＝OC2-CD2【點睛】本題考查垂徑定理的逆定理、平行線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握垂徑定理和全等三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵【變式32】（2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）已知：在圓O內(nèi)，弦AD與弦BC交于點G,AD=CB,M,（1）求證：OG⊥（2）聯(lián)結(jié)AC,AM,CN，當(dāng)【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）連結(jié)OM,ON，由M、N分別是CB和AD的中點，可得OM⊥BC，ON⊥AD，由AB=CD，可得OM=ON，可證（2）設(shè)OG交MN于E，由RtΔEOP≌RtΔFOP，可得MG=NG，可得∠CMN=∠ANM，CM=12CB=12AD=AN，可證△CMN≌△ANM可得【詳解】證明：（1）連結(jié)OM,∵M、N分別是CB和AD的中點，∴OM，ON為弦心距，∴OM⊥BC，ON⊥AD，∴∠GMO在⊙O中，AB=∴OM在Rt△OMG和Rt△ONG中，OM=∴RtΔGOM∴MG=∴OG（2）設(shè)OG交MN于E，∵RtΔGOM∴MG=∴∠GMN=∠GNM∵CM在△CMN和△ANM中CM=∴△CMN∴AM∵CN∥OG，∴∠CNM∴∠AMN∴∠AM∴AM∥CN，∴ACNM∵∠AMN∴四邊形ACNM是矩形．【點睛】本題考查垂徑定理，三角形全等判定與性質(zhì)，等腰三角形判定與性質(zhì)，平行線判定與性質(zhì)，矩形的判定，掌握垂徑定理，三角形全等判定與性質(zhì)，等腰三角形判定與性質(zhì)，平行線判定與性質(zhì)，矩形的判定是解題關(guān)鍵．【變式33】（2023春·江西贛州·九年級統(tǒng)考期末）按要求作圖(1)如圖1，已知AB是⊙O的直徑，四邊形ACDE為平行四邊形，請你用無刻度的直尺作出∠AOD的角平分線(2)如圖2，已知AB是⊙O的直徑，點C是BD的中點，AB∥CD，請你用無刻度的直尺在射線DC上找一點P【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）連接AD，EC交于點F，作射線OF交⊙O于點P，OP（2）連接DB，OC交于點E，作射線AE交DC于點P，四邊形ABPD即為所求．【詳解】（1）解：如圖1，連接AD，EC交于點F，作射線OF交⊙O于點P，OP∵四邊形ACDE為平行四邊形，∴AF∵OA∴OP是∠AOD（2）如圖2，連接OD，連接DB，OC交于點E，作射線AE交射線DC于點P，四邊形ABPD即為所求；∵點C是BD的中點，∴OC∵OD∴DE∵AB∴∠ABE在△ABE與△∠ABE∴△ABE∴AB∵AB∥∴四邊形ABPD是平行四邊形．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，垂徑定理，三線合一，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【題型4在坐標(biāo)系中利用垂徑定理求值或坐標(biāo)】【例4】（2023春·九年級單元測試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙P的圓心坐標(biāo)是(3,a)(a>3)，半徑為3，函數(shù)y=x的圖像被⊙A．4 B．3+2 C．32 D【答案】B【分析】作PC⊥x軸于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，連接PB，求出D點坐標(biāo)為(3,3)，可得△OCD為等腰直角三角形，從而△PED也為等腰直角三角形．根據(jù)垂徑定理得AE=【詳解】解：作PC⊥x軸于C，交AB于D，作PE⊥AB于∵⊙P的圓心坐標(biāo)是(3,∴OC=3,把x=3代入y=x∴D點坐標(biāo)為(3,3)，∴CD=3∴△OCD∴∠PDE∵PE⊥∴△PED為等腰直角三角形，AE在Rt△PBE中，∴PE=∴PD=∴a=3+故選B．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，以及垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。_作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．【變式41】（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)是(10,0)，點B的坐標(biāo)是(8,0)，點C，D在以O(shè)A為直徑的半圓M上，且四邊形OCDB是平行四邊形，求點C的坐標(biāo)．【答案】點C的坐標(biāo)為(1,3)【分析】連接CM，作MN⊥CD于N，CH⊥OA于H，根據(jù)題意得CD=OB=8，CN=MH，CH=MN，根據(jù)垂徑定理得出CN=DN=12【詳解】解：如圖，連接CM，作MN⊥CD于N，CH⊥∵四邊形OCDB為平行四邊形，B點的坐標(biāo)是(8,0)，∴CD=OB=8，又∵MN∴CN=DN=∵點A的坐標(biāo)是(10,0)，∴OA∴MO在Rt△MNC中，MN=CM2-C∴CH=3．又∴點C的坐標(biāo)為(1,3)．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，垂徑定理，勾股定理，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．【變式42】（2023·江蘇南京·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一個圓與兩坐標(biāo)軸分別交于A、B、C、D四點．已知A（6，0），B（﹣2，0），C（0，3），則點D的坐標(biāo)為．【答案】(0,-4)【詳解】設(shè)圓心為P，過點P作PE⊥AB于點E，PF⊥CD于點F，先根據(jù)垂徑定理可得EA＝EB＝4，F(xiàn)C＝FD，進而可求出OE＝2，再設(shè)P（2，m），即可利用勾股定理表示出PC2，PA2，最后利用PA＝PA列方程即可求出m值，進而可得點D坐標(biāo)．【解答】解：設(shè)圓心為P，過點P作PE⊥AB于點E，PF⊥CD于點F，則EA＝EB＝AB2＝4，F(xiàn)C＝FD∴OE＝EB﹣OB＝4﹣2＝2，∴E（2，0），設(shè)P（2，m），則F（0，m），連接PC、PA，在Rt△CPF中，PC2＝（3﹣m）2+22，在Rt△APE中，PA2＝m2+42，∵PA＝PC，∴（3﹣m）2+22＝m2+42，∴m＝±1∴F（0，-1∴CF＝DF＝3-(-12)∴OD＝OF+DF＝12+7∴D（0，﹣4），故答案為：（0，﹣4）．【點睛】本題考查垂徑定理，涉及到平面直角坐標(biāo)系，勾股定理等，解題關(guān)鍵是利用半徑相等列方程．【變式43】（2023春·湖北鄂州·九年級校聯(lián)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙O經(jīng)過點0,10，直線y=kx+2k-4與⊙O交于A．62 B．103 C．8【答案】C【分析】易知直線y=kx+2k-4過定點D(-2,-4)，運用勾股定理可求出OD，由⊙O經(jīng)過點【詳解】解：對于直線y=當(dāng)x=-2時，y故直線y=kx+2k-由于過圓內(nèi)定點D的所有弦中，與OD垂直的弦最短，即當(dāng)OD⊥BC時，連接OB，如圖所示，∵D(-2,-4)∴OD=∵⊙O經(jīng)過點0,10∴OB=10∴BD=∵OB⊥∴BC=2∴弦BC的最小值是85故選：C．【點睛】本題主要考查了直線上點的坐標(biāo)特征、垂徑定理、勾股定理等知識，發(fā)現(xiàn)直線恒經(jīng)過點(-2,-4)以及運用“過圓內(nèi)定點D的所有弦中，與OD垂直的弦最短”這個經(jīng)驗是解決該題的關(guān)鍵．【題型5利用垂徑定理求平行弦問題】【例5】（2023·全國·九年級專題練習(xí)）在半徑為10的⊙O中，弦AB=12，弦CD=16，且AB∥CD，則AB【答案】2或14【分析】由于弦AB與CD的具體位置不能確定，故應(yīng)分兩種情況進行討論：①弦AB與CD在圓心同側(cè)；②弦AB與CD在圓心異側(cè)；作出半徑和弦心距，利用勾股定理和垂徑定理求解即可．【詳解】解：①當(dāng)弦AB與CD在圓心同側(cè)時，如圖①，

過點O作OF⊥AB，垂足為F，交CD于點E，連接∵AB∥∴OE⊥∵AB=12∴CE=8∵OA=∴由勾股定理得：EO=102∴EF=②當(dāng)弦AB與CD在圓心異側(cè)時，如圖，

過點O作OE⊥CD于點E，反向延長OE交AB于點F，連接同理EO=102EF=所以AB與CD之間的距離是2或14．故答案為：2或14．【點睛】本題考查了勾股定理和垂徑定理，解答此題時要注意進行分類討論，不要漏解．【變式51】（2023春·浙江杭州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，矩形ABCD與圓心在AB上的☉O交于點G，B，F(xiàn)，E，GB=5，EF=4，那么AD=．【答案】3【分析】連接OF，過點O作OH⊥EF，垂足為H，根據(jù)垂徑定理，在△OHF中，勾股定理計算．【詳解】如圖，連接OF，過點O作OH⊥EF，垂足為H，則EH=FH=12EF=2∵GB=5，∴OF=OB=52在△OHF中，勾股定理，得OH=(5∵四邊形ABCD是矩形，∴四邊形OADH也是矩形，∴AD=OH=32故答案為：32【點睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理，熟練掌握兩個定理是解題的關(guān)鍵．【變式52】（2023春·九年級課時練習(xí)）如圖，AB，CD是半徑為15的⊙O的兩條弦，AB＝24，CD＝18，MN是直徑，AB⊥MN于點E，CD⊥MN于點F，P為EF上任意一點，則PA＋PC的最小值為．【答案】21【分析】由于A、B兩點關(guān)于MN對稱，因而PA＋PC＝PB＋PC，即當(dāng)B、C、P在一條直線上時，PA＋PC的值最小，即BC的值就是PA＋PC的最小值．【詳解】解：連接BC，OB，OC，作CH垂直于AB于H．∵AB＝24，CD＝18，MN是直徑，AB⊥MN于點E，CD⊥MN于點F，∴BE＝12AB＝12，CF＝12CD＝∴OE=OB∴CH＝OE＋OF＝9＋12＝21，BH＝BE＋EH＝BE＋CF＝12＋9＝21，在Rt△BCH中，根據(jù)勾股定理得：BC=即PA＋PC的最小值為212故答案為：212【點睛】本題考查垂徑定理以及最短路徑問題，靈活根據(jù)垂徑定理確定最短路徑是解題關(guān)鍵．【變式53】（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，A，B，C，D在⊙O上，AB//CD經(jīng)過圓心O的線段EF⊥AB于點F，與CD交于點E（1）若AB=6，CD=8，求（2）若CD=46，且EF=【答案】（1）7；（2）8【分析】（1）連接AO和DO，由垂徑定理得AF=12AB=3，再由勾股定理求出OF（2）連接BO和DO，先由垂徑定理和勾股定理求出OE的長，設(shè)EF=BF=x，在Rt△OBF中，利用勾股定理列式求出【詳解】解：（1）連接AO和DO，∵EF⊥AB，且∴AF=∵AO=5∴OF=∵AB//∴EF⊥同理DE=OE=∴EF=（2）如圖，連接BO和DO，∵CD=4∴DE=2∴OE=設(shè)EF=BF=在Rt△OBF中，x-12+x∴BF=4∴AB=2【點睛】本題考查垂徑定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理，并能夠結(jié)合勾股定理進行運用求解．【題型6利用垂徑定理求同心圓問題】【例6】（2023春·湖北孝感·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，兩個圓都是以O(shè)為圓心．（1）求證：AC=（2）若AB=10，BD=2，小圓的半徑為5，求大圓的半徑【答案】（1）見解析；（2）41【分析】（1）作OE⊥AB，由垂徑定理得AE=BE，CE=DE，即可得到（2）連接OB，OD，由AB=10，則BE=5，由勾股定理，得OE2=OD2【詳解】解：（1）如圖：作OE⊥AB于由垂徑定理，得：AE=BE，∴BE-即AC=（2）如圖，連接OD，OB，∵AB=10，∴BE=AE=5，DE=52=3，在Rt△OBE和Rt△ODE中，由勾股定理，得：OE2=∴OD2-即52解得：OB=∴大圓的半徑為41.【點睛】本題考查了垂徑定理，以及勾股定理，熟練掌握垂徑定理和勾股定理進行計算是解題的關(guān)鍵.【變式61】（2023春·浙江臺州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，一人口的弧形臺階，從上往下看是一組同心圓被一條直線所截得的一組圓弧．已知每個臺階寬度為32cm（即相鄰兩弧半徑相差32cm），測得AB=200cm，AC=BD=40cm，則弧AB所在的圓的半徑為cm【答案】134【分析】由于所有的環(huán)形是同心圓，畫出同心圓圓心，設(shè)弧AB所在的圓的半徑為r，利用勾股定理列出方程即可解答．【詳解】解：設(shè)弧AB所在的圓的半徑為r，如圖．作OE⊥AB于E，連接OA，OC，則OA=r，OC=r+32，∵OE⊥AB，∴AE=EB=100cm，在RT△OAE中OE在RT△OCE中，OE則r2解得：r=134．故答案為：134．【點睛】本題考查垂徑定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．【變式62】（2023春·九年級課時練習(xí)）將一盛有不足半杯水的圓柱形玻璃水杯擰緊杯蓋后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如圖所示，已知水杯內(nèi)徑（圖中小圓的直徑）是8cm，水的最大深度是2cm，則杯底有水面AB的寬度是（）cm.A．6 B．42 C．43 D【答案】C【分析】作OD⊥AB于C，交小圓于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO為半徑，則OA=OD=4；然后運用勾股定理即可求得AC的長，即可求得AB的長.【詳解】解：作OD⊥AB于C，交小圓于D，則CD=2，AC=BC，∵OA=OD=4，CD=2，∴OC=2，∴AC=OA∴AB=2AC=43故答案為C.【點睛】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用及勾股定理，作出輔助線、構(gòu)造出直角三角形是