專題284銳角三角函數(shù)（全章分層練習(xí)）（培優(yōu)練）-2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊全章復(fù)習(xí)與專題突破講與練（人教版）

專題28.4銳角三角函數(shù)（全章分層練習(xí)）（培優(yōu)練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2021上·河北石家莊·九年級石家莊市第十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在邊長相同的小正方形網(wǎng)格中，點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上，相交于點P，則的值為（

）

A．3 B． C．1 D．22．（2023上·安徽六安·九年級統(tǒng)考期中）如圖，是的對角線，，，點E是的中點，點F、P分別是線段、上的動點，若，且是等腰三角形，則的長為（

）

A．或B．或 C．或 D．或3．（2023上·吉林長春·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在邊長相同的小正方形網(wǎng)格中，點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上，與相交于點P，則的正弦值為（

）A． B． C． D．4．（2023上·安徽合肥·九年級合肥市第四十二中學(xué)校考期中）如圖，在矩形中，，，將沿射線平移a個單位長度（）得到，連接，，則當(dāng)是直角三角形時，a的值為（

）A．或 B．2或 C．或 D．或35．（2023上·陜西西安·九年級?？计谥校┤鐖D，菱形中，，，，垂足分別為B，D，若，則的長是（）cmA． B．6 C． D．6．（2023下·河南南陽·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，且，，點在軸的負(fù)半軸上，現(xiàn)將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點B的坐標(biāo)為（

）A．B． C． D．7．（2023下·重慶沙坪壩·九年級重慶八中?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，連結(jié)并延長至，連結(jié)，若滿足，，則點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．8．（2022·湖北咸寧·?？寄M預(yù)測）如圖，菱形邊在x軸的正半軸上，且點B的縱坐標(biāo)為4，點P從點O開始向點A運動，至點A停止，過P點與x軸垂直的直線與菱形另一邊交點為M，記，的面積為S，且S與x的函數(shù)關(guān)系圖象如右圖，則的值為（

）

A． B． C． D．9．（2022·河北衡水·校考模擬預(yù)測）如圖，已知在紙上有一點．按下列尺規(guī)作圖的步驟進(jìn)行：①以點為圓心，以任意長為半徑，畫半圓，直徑為；②分別以點，為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點，，作直線，交半圓于點；③連接，以點為圓心，以長為半徑作弧，交半圓于點，連接，．下列結(jié)論不正確的是（

）

A．四邊形是菱形 B．四邊形的面積為 C． D．是的中點10．（2023·四川南充·統(tǒng)考一模）在△ABC中，，，則△ABC的面積是（

）A． B．12 C．14 D．21填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2023·廣東深圳·深圳外國語學(xué)校?？寄M預(yù)測）如圖，一個高為米的長方體木箱沿坡比為的斜面下滑，當(dāng)木箱滑至如圖位置時，米，則木箱端點距地面的高度為米．12．（2023上·黑龍江綏化·九年級綏化市第八中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在中，，，，則．13．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，直線AB經(jīng)過點P（1，2），且與x軸相交于點A，與y軸相交于點B．若sin∠BAO=，則點B的坐標(biāo)為．14．（2023上·山東濰坊·九年級校考階段練習(xí)）如圖，在每個邊長均為1的正方形網(wǎng)格中，點A、B、C均在網(wǎng)格的交點上，則．

15．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級校聯(lián)考期中）如圖，正方形，，，，求的長．

16．（2023上·湖北武漢·九年級校聯(lián)考期中）如圖，中，，是邊上的一點，，，，則．17．（2023·廣東東莞·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足為D，P為線段AD上的一動點，連接PB、PC．則PA+2PB的最小值為．18．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校校考開學(xué)考試）如圖，三角形中，于，以為邊作菱形，使點落在邊上，點在上，交于點，若，，則的長為．

三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2023上·江西景德鎮(zhèn)·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，分別平分，且E、F分別在邊上，．（1）求證：四邊形是菱形；（2）若，的面積等于，求平行線與間的距離．20．（8分）（遼寧省部分學(xué)校20222023學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）計算下列的三角函數(shù)值（寫出計算過程，保留計算結(jié)果）：．21．（10分）（2022·四川達(dá)州·四川省渠縣中學(xué)校考一模）（1）（2）若關(guān)于x的分式方程有增根，試求代數(shù)式的值．22．（10分）（2023上·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，點F在邊上且，E為上一點，且，．求．23．（10分）（2023上·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期中）如圖，直線與軸交于點，與反比例函數(shù)，過作軸于點，且．（1）求反比例函數(shù)表達(dá)式；（2）點是反比例函數(shù)圖象上的點，在軸上是否存在點，使得最??？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）將直線向下平移個單位后與反比例函數(shù)的圖象交于一點，求的值．24．（12分）（2023上·廣東深圳·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，，．過原點作直線，使它經(jīng)過第一、三象限，直線與軸的正半軸所成角設(shè)為，將四邊形的直角沿直線折疊，點落在點處，我們把這個操作過程記為．（1）若點與點重合，則（度），的值為；（2）若，點落在點處，若點在四邊形的邊上，求點的坐標(biāo)；（3）作直線交軸于點，交直線于點，使得與是一對相似的等腰三角形，直接寫出的值．參考答案：1．D【分析】首先連接，由題意易得，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，易得，即可得，在中，即可求得的值，繼而求得答案．解：如圖，連接，

∵四邊形是正方形，∴，∴，根據(jù)題意得：，∴，∴，∴，∴，在中，，∵，∴．故選：D．【點撥】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)的定義．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，注意轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．2．C【分析】分三種情況進(jìn)行討論，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，分別畫出圖形求出結(jié)果即可．解：∵四邊形為平行四邊形，∴，，，，∵點E是的中點，∴，∵是的對角線，，，∴是直角三角形，，∴，∴，，當(dāng)時，如圖①，過點P作于點G，

則．∵，∴，∴，，，又∵，∴，∴；當(dāng)時，如圖②，

則，∴；當(dāng)時，點P與點B重合，不存在．綜上所述，的長為或．故選：A．【點撥】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，直角三角形的性質(zhì)，三角形相似的性質(zhì)，等腰三角形的定義，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，畫出圖形，并進(jìn)行分類討論．3．D【分析】取格點，連接、，設(shè)網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1，先證得，求得，再根據(jù)題意證得即可求解．解：取格點，連接、，設(shè)網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1，則，，，∵，，∴，∴，在中，，由題意知，，∴，∴，∴，故選：【點撥】本題考查了網(wǎng)格問題中解直角三角形，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．4．A【分析】分兩種情況：①如圖1，，②如圖2，，分別作輔助線，構(gòu)建相似三角形，證明三角形相似列比例式可得對應(yīng)的值．解：分兩種情況：①如圖1，，延長交于，過點作，交的延長線于，，四邊形是矩形，，，，即，設(shè)，，，由平移得：，，，，，，，，，，即，，；②如圖2，，延長交于，則，，由平移得：，同理設(shè)，，則，，，，，，，，即，，；綜上，的值是或．故選：A．【點撥】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、平移的性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)、三角形相似的性質(zhì)和判定、直角三角形的性質(zhì)等知識點；解題關(guān)鍵是畫出兩種情況的圖形，依題意進(jìn)行分類討論．5．C【分析】連接，與交于點G，根據(jù)，得到，根據(jù)三角函數(shù)，求得；利用三角函數(shù)，菱形性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)計算即可．解：連接，與交于點G，∵菱形，，∴，，是等邊三角形，∴；∵，∴，∴；∴；∴；故選C．【點撥】本題考查菱形的基本性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和以及解直角三角形，能夠做出輔助線是解題關(guān)鍵．6．A【分析】過點作軸于點．證明，利用相似三角形的性質(zhì)求出點的坐標(biāo)可得結(jié)論．解：過點作軸于點．

，，，，∴，，，，，，，，，．將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第一次旋轉(zhuǎn)后點B的橫坐標(biāo)為：，縱坐標(biāo)為，即，第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，因為6次應(yīng)該循環(huán)，，與的坐標(biāo)相同，坐標(biāo)為．故選：A．【點撥】本題考查坐標(biāo)與圖形變化旋轉(zhuǎn)，規(guī)律型：點的坐標(biāo)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，靈活運用所學(xué)知識解決問題．7．C【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)得出，進(jìn)而得出，利用，得出，利用勾股定理解得OB，從而可知OA的長，進(jìn)而可知的值，由，設(shè)，根據(jù)的值列出關(guān)于m的方程，解得m的值，則可得點C的坐標(biāo)．解：即由勾股定理可得即如圖，過點C作CD軸于點D設(shè)解得經(jīng)檢驗，是原方程的解點C的坐標(biāo)為故選：C．【點撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理在計算中的應(yīng)用及解分式方程等知識點，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理并數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．8．A【分析】根據(jù)題意得，，，，，在中，，，，利用勾股定理求得，據(jù)此求解即可．解：作于點D，作于點E，

根據(jù)題意得，，，，，∴，，在中，，，，∴，解得，即，，∴，故選：A．【點撥】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．9．B【分析】連接，，設(shè)交于點，根據(jù)已知條件可證和為等邊三角形，結(jié)合菱形的判定定理可判斷A選項；在中，可求出的長，進(jìn)而可得四邊形的面積；根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，即可判斷C選項；由可得，即可判斷D選項．解：連接，，設(shè)交于點，

由題意可知，為線段的垂直平分線，，，為等邊三角形，，由尺規(guī)作圖可知，，，即為等邊三角形，，，，，四邊形為平行四邊形，，四邊形為菱形，故A選項正確，不符合題意；在中，，，四邊形的面積為，故B選項錯誤，符合題意；由菱形的性質(zhì)可知，，故C選項正確，不符合題意；，，是的中點，故D選項正確；不符合題意．故選：B．【點撥】本題考查尺規(guī)作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點是解答本題的關(guān)鍵．10．A【分析】根據(jù)已知作出三角形的高線AD，進(jìn)而得出AD，BD，CD的長，即可得出三角形的面積．解：如圖，作AD⊥BC于點D，∵，，∴BD=×=3，由勾股定理得，AD=；又∵，∴AC=3÷=5，∴由勾股定理得，CD=，∴BC=3+4=7，∴△ABC的面積=.故選：A．【點撥】此題主要考查了解直角三角形的知識，作出AD⊥BC，進(jìn)而得出相關(guān)線段的長度是解決問題的關(guān)鍵．11．3【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)值，求出相關(guān)角度，從而進(jìn)行求解即可.解：設(shè)、交于點，∵斜坡的坡比為，∴，∴，∴，∴，在中，，∴，解得，（米），∴（米），∴（米），在中，，∴（米），∴（米），故答案為：3．【點撥】本題主要考查銳角三角函數(shù)，掌握銳角三角函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．12．或【分析】本題主要考查了解直角三角形，勾股定理等知識，分類討論：當(dāng)點A在處時，過點作于點M，利用面積求出，進(jìn)而可得，則有，此時問題得解；當(dāng)點A在處時，過點作于點M，同理作答即可．解：如圖，當(dāng)點A在處時，過點作于點M，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；當(dāng)點A在處時，過點作于點M，同理可得，∴，∴，∴，故答案為：或．13．（0，）【分析】根據(jù)題意作出合適的輔助線，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求得點B的坐標(biāo)．解：作PC⊥OA于點C，∵點P（1，2），sin∠BAO=，∴PC=2，，tan∠BAO=，∴AP=2，∴AC=，∴OA=1+4=5，∴，解得，OB=，∴點B的坐標(biāo)為（0，），故答案為：（0，）．【點撥】本題考查解直角三角形、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．14．1【分析】取格點D，連接，根據(jù)勾股定理的逆定理得到是直角三角形，根據(jù)，得到．解：如圖所示，取格點D，連接，∵，，，，∴是直角三角形，，∵，∴．故答案：1．

【點撥】本題主要考查了勾股定理的逆定理，銳角三角函數(shù)等，添加輔助線，熟練掌握勾股定理解直角三角形，勾股定理的逆定理判定直角三角形，正切的定義，是解決問題的關(guān)鍵．15．12【分析】先根據(jù)解直角三角形的知識，求出，過F點作于點P，根據(jù)正方形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)，可得，結(jié)合，可得，即，進(jìn)而有，再利用，問題得解．解：如圖，在中，平分，，且，，即有：，設(shè)，，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理有：，∴結(jié)合，有，∴，∴，根據(jù)三角形的面積有：，∴，∴，∵在中，，∴，解得：，（，舍去），∴，∴，∴，∴當(dāng)時，，∵，，∴，如圖，過F點作于點P，

∵四邊形是正方形，∴，，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，即，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點撥】本題考查了正方形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，解一元二次方程等知識，求出，是解答本題的關(guān)鍵．16．【分析】過點C作交于點G，過點B作交的延長線于點E，取得中點F，連接，證明，列比例式計算即可．本題考查了特殊角的三角函數(shù)，三角形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．解：過點C作交于點G，∵，，，∴，，；過點B作交的延長線于點E，取得中點F，連接，∴，∵，∴，，，∴，∴是等邊三角形，∴，，，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，，∴，∴，∴，整理，得,解得，（舍去），∴，故答案為：．17．4【分析】在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此時PA+2PB＝2＝＝2BF，通過解直角三角形ABF，進(jìn)一步求得結(jié)果．解：如圖，在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此時PA+2PB最小，∴∠AFB＝90°∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD＝，∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，∴PF＝，∴PA+2PB＝2＝＝2BF，在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°，∴BF＝AB?sin45°＝4，∴（PA+2PB）最大＝2BF＝，故答案為：．【點撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解直角直角三角形，解題的關(guān)鍵是作輔助線．18．6【分析】菱形的性質(zhì)得到，推出，外角的性質(zhì)，得到，進(jìn)而得到，過點作于點，推出，利用銳角三角函數(shù)和勾股定理求出的長即可．解：∵四邊形為菱形，∴，∴，∵，∴，過點作于點，設(shè)交于點，則，

∵，且，∴，∵，∴，∵，∴，在中，，設(shè)，則：，∴，∴；故答案為：．【點撥】本題考查解直角三角形，菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的性質(zhì)，添加輔助線，構(gòu)造直角三角形．本題的綜合性較強，屬于填空題中的壓軸題．19．（1）見分析；（2）平行線與間的距離是【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，再根據(jù)角平分線的定義和等量代換可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，即，則，進(jìn)而得到四邊形是平行四邊形，最后結(jié)合即可證明結(jié)論；（2）如圖：連接，先證是等邊三角形，即，再結(jié)合的面積等于可得然后求得，即；再根據(jù)四邊形是菱形可得，即；然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得，即，即；最后根據(jù)平行線間的距離和勾股定理即可解答解：（1）證明：∵，∴，，∵分別是的平分線，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形；（2）解：連接，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∵的面積等于，∴,即，∴，即，∵四邊形是菱形，∴，∴，∵是的一個外角，∴，∴，∴，即，由勾股定理得，∴平行線與間的距離是．

【點撥】本題主要考查了菱形的判定、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識點，靈活運用相關(guān)知識是解答本題的關(guān)鍵20．【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計算即可求解．解：【點撥】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值的混合運算，掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．21．（1）；（2）0【分析】（1）根據(jù)零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、分母有理化和特殊角的三角函數(shù)值計算即可；（1）由分式方程有增根，得到x2=0或x+2=0，即x=2或x=2，分別代入整式方程計算即可求出m的值；再對分式先化簡，再把合適的m值代入化簡后的式子進(jìn)行計算即可解答．解：（1）=++1+=+1+1+=；（2）分式方程去分母得：x+2+mx=x2，由分式方程有增根，得到x2=0或x+2=0，即x=2或x=2，把x=2代入整式方程得：m=2；把x=2代入整式方程得：m=2；，∵m0，m1，m2，∴當(dāng)m=2時，原式=．【點撥】本題考查了二次根式的運算，特殊角的三角函數(shù)值，分式方程的增根，分式的化簡求值．注意：增根確定后可按如下步驟進(jìn)行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．22．【分析】過點C作交的延長線于H，根據(jù)，設(shè)，則,利用，平行線分線段成比例定理，正切函數(shù)的定義計算即可．解：C作交的延長線于H，如圖，

∵，設(shè)，則,∵，，∴，，∴，，，∵，∴，，∴，，解得，∴．【點撥】本題考查了三角函數(shù)，平行線分線段成比例定理，平行線的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角函數(shù)的定義，三角形相似的判定和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．23．（1）；（2）存在，點坐標(biāo)為（，）；（3）【分析】（1）根據(jù)直線求點的坐標(biāo)，得的長度，然后由三角函數(shù)的定義求的長度，得出點的坐標(biāo)，最后將點的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中即可求解；（2）根據(jù)反比例函數(shù)的解析式可求點的坐標(biāo)，過點