專題45角中的四種常見(jiàn)思想方法（滬科版）（原卷版）

專題4.5角中的四種常見(jiàn)思想方法【滬科版】考卷信息：本套訓(xùn)練卷共30題，題型針對(duì)性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強(qiáng)學(xué)生對(duì)角中的四種常見(jiàn)思想方法的理解！【題型1數(shù)形結(jié)合思想】1．（2023下·湖南婁底·七年級(jí)統(tǒng)考期中）入射光線和平面鏡的夾角為40°，轉(zhuǎn)動(dòng)平面鏡，使入射角減小20°，反射光線與入射光線的夾角和原來(lái)相比較將（）A．減小40° B．增大40° C．減小20° D．不變2．（2023上·吉林·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，OA表示北偏東41°方向，OB表示南偏東54°方向，則∠AOB＝度．3．（2023·江蘇泰州·七年級(jí)泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)?？计谀┢吣昙?jí)上冊(cè)《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊(cè)》中有“三角尺拼角”的問(wèn)題．將一副三角尺如圖這樣放置，就可畫(huà)出∠AOB(1)請(qǐng)你借助三角尺完成以下操作，并在所畫(huà)圖形上標(biāo)注所使用三角尺的相應(yīng)角度；①設(shè)計(jì)用一副三角尺畫(huà)出105°角的畫(huà)圖方案，并畫(huà)出相應(yīng)的幾何圖形；②用一副三角尺能畫(huà)出145°的角嗎？__________．（填“能”或“不能”）．(2)利用一副三角尺在圖中畫(huà)出∠MON的角平分線OP(3)如圖，現(xiàn)有19°、23°、29°角的三種模板，∠ABC=19°，小冬想出了一個(gè)方案，利用19°角模板畫(huà)出1°角，動(dòng)手操作：如圖，M、O、N三點(diǎn)在一條直線上，將∠ABC的頂點(diǎn)B與點(diǎn)O重合，BC邊與射線ON重合，如圖所示，將∠ABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)19°，得∠A1B1C1，再將∠A1B1C1繞點(diǎn)請(qǐng)從23°或29°角模板中選一個(gè)你認(rèn)為能畫(huà)出1°角的模板，設(shè)計(jì)一個(gè)方案，并說(shuō)明理由．(4)對(duì)于任意一個(gè)n°（n為正整數(shù)）角的模板，只用此模板是否一定能畫(huà)出1°4．（2023上·江蘇鹽城·七年級(jí)階段練習(xí)）探究實(shí)驗(yàn)：《鐘面上的數(shù)字》實(shí)驗(yàn)?zāi)康模毫私忡娒嫔蠒r(shí)針與分針在轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)會(huì)用一元一次方程解決鐘面上的有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題，體會(huì)數(shù)學(xué)建模思想．實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備：機(jī)械鐘（手表）一只實(shí)驗(yàn)內(nèi)容與步驟：觀察與思考：（1）時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)__°，分針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)__°．（2）若時(shí)間為8：30，則鐘面角為_(kāi)_°，（鐘面角是時(shí)針與分針?biāo)傻慕牵┎僮髋c探究：（1）轉(zhuǎn)動(dòng)鐘面上的時(shí)針與分針，使時(shí)針與分針重合在12點(diǎn)處．再次轉(zhuǎn)動(dòng)鐘面上的時(shí)針與分針，算一算，什么時(shí)刻時(shí)針與分針再次重合？一天24小時(shí)中，時(shí)針與分針重合多少次？（一天中起始時(shí)刻和結(jié)束時(shí)刻時(shí)針與分針重合次數(shù)只算一次，下同）（2）轉(zhuǎn)動(dòng)鐘面上的時(shí)針與分針，使時(shí)針與分針重合在12點(diǎn)處，再次轉(zhuǎn)動(dòng)鐘面上的時(shí)針與分針，算一算，什么時(shí)刻鐘面角第一次為90°？一天24小時(shí)中，鐘面角為90°多少次？拓展延伸：一天24小時(shí)中，鐘面角為180°__次，鐘面角為n°（0＜n＜180）____次．（直接寫(xiě)出結(jié)果）5．（2023上·寧夏銀川·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，點(diǎn)O是彈力墻MN上一點(diǎn)，魔法棒從OM的位置開(kāi)始繞點(diǎn)O向ON的位置順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)轉(zhuǎn)到ON位置時(shí)，則從ON位置彈回，繼續(xù)向OM位置旋轉(zhuǎn)；當(dāng)轉(zhuǎn)到OM位置時(shí)，再?gòu)腛M的位置彈回，繼續(xù)轉(zhuǎn)向ON位置，…，如此反復(fù)．按照這種方式將魔法棒進(jìn)行如下步驟的旋轉(zhuǎn)：第1步，從OA0（OA0在OM上）開(kāi)始旋轉(zhuǎn)α至OA1；第2步，從OA1開(kāi)始繼續(xù)旋轉(zhuǎn)2α至OA2；第3例如：當(dāng)α=30°時(shí)，OA1，OA2，OA3，OA4的位置如圖2所示，其中OA3恰好落在ON上，∠A3OA4=120°；當(dāng)α=20°時(shí)，OA1，(1)若α=35°，在圖4中借助量角器畫(huà)出，OA2，OA3，其中(2)若α＜30°，且OA4所在的射線平分∠A2OA3，在如圖5中畫(huà)出O(3)若α＜36°，且∠A2OA6．（2023上·湖南長(zhǎng)沙·七年級(jí)長(zhǎng)沙麓山國(guó)際實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期末）如圖1，大課間的廣播操展讓我們充分體會(huì)到了一種整體的圖形之美，歡歡和樂(lè)樂(lè)想從數(shù)學(xué)角度分析下如何能讓班級(jí)同學(xué)們的廣播操做得更好，他們搜集了標(biāo)準(zhǔn)廣播操圖片進(jìn)行討論，如圖2，為了方便研究，定義兩手手心位置分別為A，B兩點(diǎn)，兩腳腳跟位置分別為C，D兩點(diǎn)，定義A，B，C，D平面內(nèi)O為定點(diǎn)，將手腳運(yùn)動(dòng)看作繞點(diǎn)O進(jìn)行旋轉(zhuǎn)：(1)填空：如圖2，A，O，B三點(diǎn)共線，且∠AOC=∠BOC(2)第三節(jié)腿部運(yùn)動(dòng)中，如圖3，歡歡發(fā)現(xiàn)，雖然A，O，B三點(diǎn)共線，卻不在水平方向上，且∠AOD:∠BOC(3)第四節(jié)體側(cè)運(yùn)動(dòng)中，樂(lè)樂(lè)發(fā)現(xiàn)，兩腿左右等距張開(kāi)且∠COD=30°，開(kāi)始運(yùn)動(dòng)前A、O、B三點(diǎn)在同一水平線上，OA、OB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，OA旋轉(zhuǎn)速度為50°/s，OB旋轉(zhuǎn)速度為25°/s，當(dāng)OB①運(yùn)動(dòng)停止時(shí)，直接寫(xiě)出∠AOD=②請(qǐng)幫助樂(lè)樂(lè)求解運(yùn)動(dòng)過(guò)程中∠AOC與∠7．（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，點(diǎn)C是位于直線AB上方的一點(diǎn)，且∠BOC=20°，將一個(gè)含60°三角板（∠POQ=60°）頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊OP與射線OA重合，點(diǎn)Q在直線AB的上方．（1）∠QOC=°（2）如圖2，現(xiàn)將圖1位置中三角板△OPQ繞點(diǎn)O沿順時(shí)針?lè)较蛎棵朕D(zhuǎn)動(dòng)8°，射線OC繞點(diǎn)O沿逆時(shí)針?lè)较蛎棵朕D(zhuǎn)動(dòng)12°，設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)點(diǎn)Q、點(diǎn)C有一點(diǎn)位于直線AB上時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)停止．①當(dāng)線段OQ與射線OC重合時(shí)，求t的值；②當(dāng)t=時(shí)，OP⊥OC．【題型2分類討論思想】1．（2023下·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知∠AOC

(1)試說(shuō)明：∠AOB(2)若OC平分∠BOE，∠AOB=16°，∠(3)在（2）的條件下，作射線OF，OG，當(dāng)∠BOF=∠DOF，∠2．（2023上·湖南永州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，在直線AB同側(cè)任作射線OC,OD，使得

(1)如圖一，過(guò)點(diǎn)O作射線OE，使OE為∠AOD的角平分線，若∠COE=25°時(shí)，則∠DOE=________°(2)如圖二，過(guò)點(diǎn)O作射線OE，當(dāng)OE恰好為∠AOC的角平分線時(shí)，另作射線OF，使得OF平分∠①若∠AOC=50°，求②若∠AOC=α0°<α(3)過(guò)點(diǎn)O作射線OE，當(dāng)OC恰好為∠AOE的角平分線時(shí)，另作射線OF，使得OF平分∠COD，當(dāng)∠EOF=10°時(shí)，則3．（2023下·上海長(zhǎng)寧·七年級(jí)校聯(lián)考期末）定義：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，在角的內(nèi)部引兩條射線，如果這兩條射線所成的角等于這個(gè)角的一半，那么這兩條射線所成的角叫做這個(gè)角的內(nèi)半角，如圖1，若∠COD=12∠

(1)如圖1，∠AOB=70°，∠AOC=15°，∠COD是(2)如圖2，已知∠AOB=120°，將∠AOB繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)角度α0°<α<60°得∠COD(3)已知∠AOB=30°，把一塊含有30°角的三角板如圖3疊放，將三角板繞頂點(diǎn)O以5度/秒的速度按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（如圖4），問(wèn)：在旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，射線OA、OB、OC、4．（2023上·湖北十堰·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知∠AOB與∠COD互補(bǔ)，將∠COD(1)若∠①如圖1，當(dāng)∠COB=30°時(shí)，∠AOD②將∠COD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至∠AOC=3∠BOD，求(2)將∠COD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°(0<α5．（2023上·江蘇南通·七年級(jí)校聯(lián)考期末）定義：從∠MPN的頂點(diǎn)P引一條射線PQ（不與PM重合），若∠QPN+∠MPN=180°，則稱射線PQ

(1)下列說(shuō)法：①一個(gè)角關(guān)于某邊的補(bǔ)線一定在這個(gè)角的外部；②一個(gè)角關(guān)于某邊的補(bǔ)線一定有2條；③一個(gè)角關(guān)于某邊的補(bǔ)線有1條或2條，其中正確的是；（填序號(hào)）(2)如圖，O是直線AB上一點(diǎn)，射線OC，OD在AB同側(cè)，OD是∠BOC的平分線，則OC是∠AOD關(guān)于邊(3)已知射線OC為∠AOB關(guān)于邊OB的補(bǔ)線，OP是∠BOC的平分線．若∠AOB=6．（2023下·廣東廣州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，在直線AB同側(cè)任作射線OC，OD，使得∠COD(1)如圖1，過(guò)點(diǎn)O作射線OE，當(dāng)OE恰好為∠AOC的角平分線時(shí)，另作射線OF，使得OF平分∠BOD，則∠EOC(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)O作射線OG，當(dāng)OG恰好為∠AOD的角平分線時(shí)，求出∠BOD與(3)過(guò)點(diǎn)O作射線OH，當(dāng)OC恰好為∠AOH的角平分線時(shí)，另作射線OK，使得OK平分∠COD，若∠HOC7．（2023·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，兩條直線AB，CD相交于點(diǎn)O，且∠AOC＝∠AOD，射線OM從OB開(kāi)始繞O點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，速度為15°/s，射線ON同時(shí)從OD開(kāi)始繞O點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，速度為12°/s，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜12，本題出現(xiàn)的角均小于平角）（1）圖中一定有個(gè)直角；當(dāng)t＝2時(shí)，∠MON的度數(shù)為，∠BON的度數(shù)為；（2）若OE平分∠COM，OF平分∠NOD，當(dāng)∠EOF為直角時(shí)，請(qǐng)求出t的值；（3）當(dāng)射線OM在∠COB內(nèi)部，且7∠COM+2∠BON8．（2023下·重慶沙坪壩·七年級(jí)重慶南開(kāi)中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）平面上順時(shí)針排列射線OA,OB,OC,OD，∠BOC=30°，∠COD(1)如圖1，若∠AOD=10°，則∠AOM=___________(2)如圖2，探究∠MON與∠(3)在（2）的條件下，若∠BON=5°，將∠AOB繞點(diǎn)O以每秒2°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)將∠COD繞點(diǎn)O以每秒3°逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，若旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒0<t【題型3方程思想】1．（2023上·全國(guó)·七年級(jí)期末）已知∠AOB=120°，∠COD=40°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD(圖中的角均大于0°且小于180°)(1)如圖1，求∠MON的度數(shù)；(2)若OD與OB重合，OC從圖2中的位置出發(fā)繞點(diǎn)O逆時(shí)針以每秒10°的速度旋轉(zhuǎn)，同時(shí)OD從OB的位置出發(fā)繞點(diǎn)O順時(shí)針以每秒5°的速度旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒①當(dāng)8<t<24時(shí)，試確定∠BOM與②當(dāng)0<t<26且t≠282．（2023下·湖南長(zhǎng)沙·七年級(jí)統(tǒng)考期末）綜合題如圖1，O為直線AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作射線OC，∠AOC=30°，將一直角三角板（∠D=30°）的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊OE在射線OA上，另一邊OD與（1）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O以每秒5°的速度沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，如圖2，經(jīng)過(guò)t秒后，OD恰好平分∠BOC①此時(shí)t的值為_(kāi)_____；（直接填空）②此時(shí)OE是否平分∠AOC（2）在（1）問(wèn)的基礎(chǔ)上，若三角板在轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)，射線OC也繞O點(diǎn)以每秒8°的速度沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，如圖3，那么經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間OC平分∠DOE（3）在（2）問(wèn)的基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間OC平分∠DOB3．（2023上·江蘇·七年級(jí)期末）如圖，兩條直線AB，CD相交于點(diǎn)O，且∠AOC＝∠AOD，射線OM從OB開(kāi)始繞O點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，速度為15°/s，射線ON同時(shí)從OD開(kāi)始繞O點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，速度為12°/s，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜12，本題出現(xiàn)的角均小于平角）（1）圖中一定有個(gè)直角；當(dāng)t＝2時(shí)，∠MON的度數(shù)為，∠BON的度數(shù)為；（2）若OE平分∠COM，OF平分∠NOD，當(dāng)∠EOF為直角時(shí)，請(qǐng)求出t的值；（3）當(dāng)射線OM在∠COB內(nèi)部，且7∠COM+2∠BON4．（2023下·湖北黃岡·七年級(jí)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，已知O為直線AB上一點(diǎn)，射線OD，OC，OE位于直線AB上方，OD在OE的左側(cè)，∠AOC=120°，∠DOE=80°.(1)當(dāng)OD平分∠AOC時(shí)，求∠EOB的度數(shù)；(2)點(diǎn)F在射線OB上，若射線OF繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°（0<n<180且n≠60），∠FOA=3∠AOD，請(qǐng)判斷∠FOE和∠EOC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)點(diǎn)F在射線OB上，若射線OF繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°（0<n<180），∠FOA=2∠AOD，OH平分∠EOC.當(dāng)∠FOH=∠AOC時(shí)，n=．5．（2023上·浙江紹興·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：如圖1，點(diǎn)A、O、B依次在直線MN上，現(xiàn)將射線OA繞點(diǎn)O沿順時(shí)針?lè)较蛞悦棵?°的速度旋轉(zhuǎn)，同時(shí)射線OB繞點(diǎn)O沿逆時(shí)針?lè)较蛞悦棵?°的速度旋轉(zhuǎn)，如圖2，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t（0秒≤t≤90秒）．（1）用含t的代數(shù)式表示∠MOA的度數(shù)．（2）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)∠AOB第二次達(dá)到60°時(shí)，求t的值．（3）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中是否存在這樣的t，使得射線OB是由射線OM、射線OA、射線ON中的其中兩條組成的角（指大于0°而不超過(guò)180°的角）的平分線？如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．6．（2023上·湖北武漢·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知∠AOB、∠COD共頂點(diǎn)O，OM平分∠AOD，ON

(1)如圖1，當(dāng)OB與OD重合時(shí)，若∠AOB=120°，∠COD(2)將∠COD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角α至圖2所示位置，設(shè)∠AOC＝β，求∠MON(3)在（1）條件下，將∠COD從圖1所示位置逆時(shí)針以每秒2°的速度旋轉(zhuǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0<t<100），當(dāng)∠AOC+∠MON＝2∠7．（2023下·湖北武漢·七年級(jí)校考階段練習(xí)）已知∠AOD=120°，射線OB、OC(1)如圖1，若OB、OC為∠AOD的三等分線，則∠BOD＝(2)如圖2，若∠BOC=60°，OM平分∠AOC，ON(3)射線OB以每秒10°的速度順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，射線OC以每秒8°的速度順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，射線OM始終平分∠AOC，兩條射線同時(shí)從圖1的位置出發(fā)，當(dāng)其中一條射線到達(dá)OA的位置時(shí)兩條射線同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，∠8．（2023下·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）已知O為直線AB上一點(diǎn)，射線OD、OC、OE位于直線AB上方，OD在OE的左側(cè)，∠AOC=120°，(1)如圖，當(dāng)OD平分∠AOC時(shí)，求∠(2)點(diǎn)F在射線OB上．①若射線OF繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°（0<n<180且n≠60），∠FOA②若射線OF繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°0<n<180，∠FOA=2∠AOD，OH平分【題型4整體思想】1．（2023上·湖北襄陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，OB在∠AOC內(nèi)部，且∠BOC=3∠AOB，OD是∠AOB的平分線，∠BOC=3∠COE，則下列結(jié)論：①∠EOC=13

2．（2023上·安徽宣城·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：將一副三角板如圖1擺放，∠AOB=60°，∠COD=45°，OM平分∠AOD（1）將圖1中的三角板OCD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，則∠MON的度數(shù)是（2）將圖1中的三角板OCD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到圖3的位置，則∠MON的度數(shù)是3．（2023·湖南婁底·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，已知∠AOB內(nèi)部有三條射線，其中OE平分角∠BOC，OF平分∠AOC．（1）如圖1，若∠AOB=120°，∠AOC=30°，求∠EOF的度數(shù)？（2）如圖2，若∠AOB=α，求∠EOF的度數(shù)，（用含α的式子表示）（3）若將題中的“平分”的條件改為“∠EOB=13∠COB，∠COF=23∠COA，且∠AOB=α，求∠EOF的度數(shù)．（用含4．（2023上·山西·七年級(jí)校聯(lián)考期末）數(shù)學(xué)課上，李老師出示了如下題目．將一副三角板按如圖1所示方式擺放，分別作出∠AOC，∠BOD的平分線OM，ON，然后提出問(wèn)題：求小明與同桌小麗討論后，進(jìn)行了如下解答：特殊情況，探索思路將三角板分別按圖2，圖3所示的方式擺放，OM和ON仍然是∠AOC和∠BOD的平分線，其中，按圖2方式擺放時(shí)，可以看成是ON，OD，OB在同一直線上．按圖3方式擺放