專題08不等式及不等式組（原卷版）

主題二方程與不等式專題08不等式及不等式組目錄一覽知識目標（新課程標準提煉）中考解密（分析中考考察方向，厘清命題趨勢，精準把握重難點）考點回歸（梳理基礎考點，清晰明了，便于識記）重點考向（以真題為例，探究中考命題方向）?考向一不等式的性質?考向二不等式的解集?考向三在數(shù)軸上表示不等式的解集?考向四解一元一次不等式?考向五一元一次不等式的整數(shù)解?考向六一元一次不等式的應用?考向七解一元一次不等式組?考向八一元一次不等式組的整數(shù)解?考向九一元一次不等式組的應用最新真題薈萃（精選最新典型真題，強化知識運用，優(yōu)化解題技巧）1.結合具體問題，了解不等式的意義，探索不等式的基本性質；2.能解數(shù)字系數(shù)的一元一次不等式，并能在數(shù)軸上表示出解集；3.會用數(shù)軸確定由兩個一元一次不等式組成的不等式組的解集；4.能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關系，列出一元一次不等式，解決簡單的問題.本考點內容以考查依據(jù)題意列不等式并解決問題、不等式組表示取值范圍為主，體現(xiàn)了不等式的工具性，年年考查,是廣大考生的得分點，分值為610分左右。預計2024年各地中考還將繼續(xù)考查這兩個知識點，重要題型有解不等式（組）、不等式含參、不等式相關的應用題以及不等式的性質，為避免丟分，學生應扎實掌握。不等式一般地，用符號“<”（或“≤”）、“>”(或“≥”)連接的式子叫做不等式．能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解．不等式的基本性質1.不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變，即：若a＞b，那么a±m(xù)＞b±m(xù)；2.不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變，即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞；3.不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變，即：若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜；在數(shù)軸上表示不等式的解集用數(shù)軸表示不等式的解集時，要注意“兩定”：一是定界點，一般在數(shù)軸上只標出原點和界點即可．定邊界點時要注意，點是實心還是空心，若邊界點含于解集為實心點，不含于解集即為空心點；二是定方向，定方向的原則是：“小于向左，大于向右”．一元一次不等式1.定義：含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式，叫做一元一次不等式．2.概念解析：一方面：它與一元一次方程相似，即都含一個未知數(shù)且未知項的次數(shù)都是一次，但也有不同，即它是用不等號連接，而一元一次方程是用等號連接．另一方面：它與不等式有區(qū)別，不等式中可含、可不含未知數(shù)，而一元一次不等式必含未知數(shù)．但兩者也有聯(lián)系，即一元一次不等是屬于不等式．解一元一次不等式1.根據(jù)不等式的性質解一元一次不等式2.基本操作方法與解一元一次方程基本相同，都有如下步驟：①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤化系數(shù)為1．以上步驟中，只有①去分母和⑤化系數(shù)為1可能用到性質3，即可能變不等號方向，其他都不會改變不等號方向．注意：符號“≥”和“≤”分別比“＞”和“＜”各多了一層相等的含義，它們是不等號與等號合寫形式．一元一次不等式組一般地，關于同一未知數(shù)的幾個一元一次不等式合在一起，組成一元一次不等式組．一元一次不等式組的解集幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組成的不等式組的解集．解不等式組求不等式組的解集的過程叫解不等式組．解集的規(guī)律：同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到．一元一次不等式組的解法解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集．方法與步驟：①求不等式組中每個不等式的解集；②利用數(shù)軸求公共部分．幾種常見的不等式組的解集設，，是常數(shù)，關于的不等式組的解集的四種情況如下表所示（等號取不到時在數(shù)軸上用空心圓點表示）：不等式組（其中）數(shù)軸表示解集口訣同大取大同小取小大小、小大中間找無解大大、小小取不了一元一次不等式（組）的應用1.由實際問題中的不等關系列出不等式，建立解決問題的數(shù)學模型，通過解不等式可以得到實際問題的答案．2.列不等式解應用題需要以“至少”、“最多”、“不超過”、“不低于”等詞來體現(xiàn)問題中的不等關系．因此，建立不等式要善于從“關鍵詞”中挖掘其內涵．列不等式（組）解應用題的基本步驟列不等式（組）解應用題的基本步驟如下：第1步：審題。認真讀題，分析題中各個量之間的關系。第2步：設未知數(shù)。根據(jù)題意及各個量的關系設未知數(shù)。第3步：列不等式(組)。根據(jù)題中各個量的關系列不等式(組)。第4步：解不等式(組)，找出滿足題意的解(集)。第5步：檢驗并寫出答案。?考向一不等式的性質解題技巧/易錯易混/特別提醒1．應用不等式的性質應注意的問題：在不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數(shù)時，一定要改變不等號的方向；當不等式的兩邊要乘以（或除以）含有字母的數(shù)時，一定要對字母是否大于0進行分類討論．2．不等式的傳遞性：若a＞b，b＞c，則a＞c．1．（2023?北京）已知a﹣1＞0，則下列結論正確的是（）A．﹣1＜﹣a＜a＜1 B．﹣a＜﹣1＜1＜a C．﹣a＜﹣1＜a＜1 D．﹣1＜﹣a＜1＜a2．（2022?杭州）已知a，b，c，d是實數(shù)，若a＞b，c＝d，則（）A．a+c＞b+d B．a+b＞c+d C．a+c＞b﹣d D．a+b＞c﹣d3．（2022?泰州）已知a＝2m2﹣mn，b＝mn﹣2n2，c＝m2﹣n2（m≠n），用“＜”表示a、b、c的大小關系為．?考向二不等式的解集解題技巧/易錯易混/特別提醒不等式解集的驗證方法：某不等式求得的解集為x＞a，其驗證方法可以先將a代入原不等式，則兩邊相等，其次在x＞a的范圍內取一個數(shù)代入原不等式，則原不等式成立．4．（2021?包頭）定義新運算“?”，規(guī)定：a?b＝a﹣2b．若關于x的不等式x?m＞3的解集為x＞﹣1，則m的值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．25．（2020?株洲）下列哪個數(shù)是不等式2（x﹣1）+3＜0的一個解？（）A．﹣3 B．﹣ C． D．2?考向三在數(shù)軸上表示不等式的解集解題技巧/易錯易混/特別提醒1.利用數(shù)軸確定不等式組的解（整數(shù)解）．解決此類問題的關鍵在于正確解得不等式組或不等式的解集，然后再根據(jù)題目中對于解集的限制得到下一步所需要的條件，再根據(jù)得到的條件進而求得不等式組的整數(shù)解．2.已知解集（整數(shù)解）求字母的取值．一般思路為：先把題目中除未知數(shù)外的字母當做常數(shù)看待解不等式組或方程組等，然后再根據(jù)題目中對結果的限制的條件得到有關字母的代數(shù)式，最后解代數(shù)式即可得到答案．6．（2023?沈陽）不等式x≥1的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．7．（2022?梧州）不等式組的解集在數(shù)軸上表示為（）A． B． C． D．8．（2022?棗莊）在下面給出的三個不等式中，請你任選兩個組成一個不等式組，解這個不等式組，并把解集表示在數(shù)軸上．①2x﹣1＜7；②5x﹣2＞3（x+1）；③x+3≥1﹣x．?考向四解一元一次不等式9．（2023?攀枝花）下列各數(shù)是不等式x﹣1≥0的解的是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．110．（2023?宜昌）解不等式＞x﹣1，下列在數(shù)軸上表示的解集正確的是（）A． B． C． D．11．（2022?溫州）（1）計算：+（﹣3）2+3﹣2﹣|﹣|．解不等式9x﹣2≤7x+3，并把解集表示在數(shù)軸上．?考向五一元一次不等式的整數(shù)解解題技巧/易錯易混/特別提醒1.一元一次不等式的整數(shù)解:解決此類問題的關鍵在于正確解得不等式的解集，然后再根據(jù)題目中對于解集的限制得到下一步所需要的條件，再根據(jù)得到的條件進而求得不等式的整數(shù)解．可以借助數(shù)軸進行數(shù)形結合，得到需要的值，進而非常容易的解決問題．2.一元一次不等式（組）的解法及其解集表示的考查形式如下：（1）一元一次不等式（組）的解法及其解集在數(shù)軸上的表示；（2）利用一次函數(shù)圖象解一元一次不等式；（3）求一元一次不等式組的最小整數(shù)解；（4）求一元一次不等式組的所有整數(shù)解的和．12．（2023?宿遷）不等式x﹣2≤1的最大整數(shù)解是．13．（2022?陜西）求不等式﹣1＜的正整數(shù)解．?考向六一元一次不等式的應用解題技巧/易錯易混/特別提醒列不等式（組）解決實際問題常與一元一次方程、一次函數(shù)等綜合考查，涉及的題型常與方案設計型問題相聯(lián)系，如最大利潤、最優(yōu)方案等．列不等式時，要抓住關鍵詞，如不大于、不超過、至多用“≤”連接，不少于、不低于、至少用“≥”連接．14．（2023?西寧）象征吉祥富貴的丁香花是西寧市市花．為美化丁香大道，園林局準備購買某種規(guī)格的丁香花，若每棵6元，總費用不超過5000元，則最多可以購買棵．15．（2023?廣東）某商品進價4元，標價5元出售，商家準備打折銷售，但其利潤率不能少于10%，則最多可打折．16．（2023?湖北）創(chuàng)建文明城市，構建美好家園．為提高垃圾分類意識，幸福社區(qū)決定采購A，B兩種型號的新型垃圾桶．若購買3個A型垃圾桶和4個B型垃圾桶共需要580元，購買6個A型垃圾桶和5個B型垃圾桶共需要860元．（1）求兩種型號垃圾桶的單價；（2）若需購買A，B兩種型號的垃圾桶共200個，總費用不超過15000元，至少需購買A型垃圾桶多少個？?考向七解一元一次不等式組17．（2023?廣州）不等式組的解集在數(shù)軸上表示為（）A． B． C． D．18．（2023?湖州）解一元一次不等式組．（2023?甘孜州）（1）計算：；解不等式組：．?考向八一元一次不等式組的整數(shù)解20．（2023?宜賓）若關于x的不等式組所有整數(shù)解的和為14，則整數(shù)a的值為．21．（2023?涼山州）不等式組的所有整數(shù)解的和是．22．（2023?大慶）若關于x的不等式組有三個整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍為?考向九一元一次不等式組的應用23．（2023?懷化）某中學組織學生研學，原計劃租用可坐乘客45人的A種客車若干輛，則有30人沒有座位；若租用可坐乘客60人的B種客車，則可少租6輛，且恰好坐滿．（1）求原計劃租用A種客車多少輛？這次研學去了多少人？（2）若該校計劃租用A、B兩種客車共25輛，要求B種客車不超過7輛，且每人都有座位，則有哪幾種租車方案？（3）在（2）的條件下，若A種客車租金為每輛220元，B種客車租金每輛300元，應該怎樣租車才最合算？24．（2022?瀘州）某經銷商計劃購進A，B兩種農產品．已知購進A種農產品2件，B種農產品3件，共需690元；購進A種農產品1件，B種農產品4件，共需720元．（1）A，B兩種農產品每件的價格分別是多少元？（2）該經銷商計劃用不超過5400元購進A，B兩種農產品共40件，且A種農產品的件數(shù)不超過B種農產品件數(shù)的3倍．如果該經銷商將購進的農產品按照A種每件160元，B種每件200元的價格全部售出，那么購進A，B兩種農產品各多少件時獲利最多？1．（2023?德陽）如果a＞b，那么下列運算正確的是（）A．a﹣3＜b﹣3 B．a+3＜b+3 C．3a＜3b D．＜2．（2022?包頭）若m＞n，則下列不等式中正確的是（）A．m﹣2＜n﹣2 B．﹣m＞﹣n C．n﹣m＞0 D．1﹣2m＜1﹣2n3．（2023?內江）在函數(shù)y＝中，自變量x的取值范圍在數(shù)軸上表示為（）A． B． C． D．4．（2023?內蒙古）關于x的一元一次不等式x﹣1≤m的解集在數(shù)軸上的表示如圖所示，則m的值為（）A．3 B．2 C．1 D．05．（2023?臺州）不等式x+1≥2的解集在數(shù)軸上表示為（）A． B． C． D．6．（2023?婁底）不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．7．（2023?眉山）關于x的不等式組的整數(shù)解僅有4個，則m的取值范圍是（）A．﹣5≤m＜﹣4 B．﹣5＜m≤﹣4 C．﹣4≤m＜﹣3 D．﹣4＜m≤﹣38．（2023?黃石）若實數(shù)a使關于x的不等式組的解集為﹣1＜x＜4，則實數(shù)a的取值范圍為．9．（2023?樂山）不等式x﹣1＞0的解集是．10．（2023?聊城）若不等式組的解集為x≥m，則m的取值范圍是．11．（2023?黑龍江）關于x的不等式組有3個整數(shù)解，則實數(shù)m的取值范圍是．12．（2022?宜昌）解不等式≥+1，并在數(shù)軸上表示解集．13．（2022?河北）整式3（﹣m）的值為P．（1）當m＝2時，求P的值；（2）若P的取值范圍如圖所示，求m的負整數(shù)值．14．（2023?淄博）某古鎮(zhèn)為發(fā)展旅游產業(yè)，吸引更多的游客前往游覽，助力鄉(xiāng)村振興，決定在“五一”期間對團隊*旅游實行門票特價優(yōu)惠活動，價格如下表：購票人數(shù)m（人）10≤m≤5051≤m≤100m＞100每人門票價（元）605040*題中的團隊人數(shù)均不少于10人．現(xiàn)有甲、乙兩個團隊共102人，計劃利用“五一”假期到該古鎮(zhèn)旅游，其中甲團隊不足50人，乙團隊多于50人．（1）如果兩個團隊分別購票，一共應付5580元，問甲、乙團隊各有多少人？（2）如果兩個團隊聯(lián)合起來作為一個“大團隊”購票，比兩個團隊各自購票節(jié)省的費用不少于1200元，問甲團隊最少多少人？15．（2023?眉山）習近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然正氣．”某校為提高學生的閱讀品味，現(xiàn)決定購買獲得茅盾文學獎的甲，乙兩種書共100本，已知購買2本甲種書和1本乙種書共需100元；購買3本甲種書和2本乙種書共需165元．（1）求甲，乙兩種書的單價分別為多少元；（2）若學校決定購買以上兩種書的總費用不超過3200元，那么該校最多可以購買甲種書多少本？16．（2023?哈爾濱）佳衣服裝廠給某中學用同樣的布料生產A，B兩種不同款式的服裝，每套A款服裝所用布料的米數(shù)相同，每套B款服裝所用布料的米數(shù)相同．若1套A款服裝和2套B款服裝需用布料5米，3套A款服