第4周：無窮小階的比較、連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)概念1

1.求初等函數(shù)在時的極限，如果把代入函數(shù)有意義，則函數(shù)值就是極限值。2.分母趨于零時：求極限的常用方法：回顧上一周所學(xué)內(nèi)容⑴分子趨于非零常數(shù)，所求極限不存在，為.

⑵分子也趨于零（型）①多項式相除，因式分解約去零因子后求解。②含有三角函數(shù)，常用第一個重要極限求解。若存在且，則注意與的區(qū)別。特點：(a)sin后形式和分母相同;(b)角度趨向于零。3.型，設(shè)法消去分子分母中無限增大的因素，如：同除x的最高次冪。兩多項式相除時也可直接使用以下結(jié)論：角度趨向于無窮4.碰到根式，先進(jìn)行有理化再求解。5.對型極限，先通分化簡再求解。6.利用“無窮小×有界函數(shù)”仍為無窮小的性質(zhì)。注意與的區(qū)別。特點：（1＋）無窮小7.碰到冪指函數(shù)，用第二個重要極限求解(湊指數(shù))。

8.用等價無窮小代換求極限（乘除運(yùn)算中等價無窮小可以相互代換）。有限次方（今天學(xué)習(xí)）§1.8無窮小的階回憶：其實是比較分子、分母趨于無窮大的速度快慢。當(dāng)x

0時，2x，3x，x2都是無窮小。一、無窮小階的比較x10.50.10.010.001……

02x210.20.020.002……

03x31.50.30.030.003……

0x210.250.010.00010.000001……

0但它們趨于0的速度卻不一樣。觀察：例：當(dāng)時，與比較是（）無窮小。與等價無窮小，記為：與同階無窮小比低階無窮小比高階無窮小1.定義：設(shè)，是在同一變化過程中的無窮小量:當(dāng)C=1時，稱,記為：高階例：當(dāng)時，無窮小量，的關(guān)系是（）A.高階B.低階C.同階但不等價D.等價C二、利用等價無窮小代換求極限1.定理：設(shè)是無窮小量，且，則有：例：同理：注：在乘除運(yùn)算中，等價無窮小可相互代換。時時例：例：注：等價無窮小代換，僅限于乘除運(yùn)算。（對加減項的無窮小不適用）如：注：常用的等價無窮小()：例：注：常用的等價無窮小()：例：§1.9-1.10函數(shù)的連續(xù)性

在現(xiàn)實生活中，我們碰到的許多量無非兩種情況，一種是連續(xù)變化的情況，例如氣溫的變化,植物的生長,物體運(yùn)動的路程，另一種是間斷的或跳躍的。連續(xù)變化的例子溫度計連續(xù)變化：指取值連續(xù)不變；圖形連續(xù)不斷開。計費(fèi)單位資費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)20克及20克以下4.4020克以上至100克10.40100克以上至250克20.80250克以上至500克39.80500克以上至1000克75.701000克以上至2000克123.0020100250x克y元4.410.420.8國際郵件(信函）資費(fèi)(單位:元)間斷的或跳躍的例子一、函數(shù)連續(xù)的概念：ox0xy如圖：從直觀上看，我們說函數(shù)在一點x=x0處連續(xù)是指的圖象在x=x0處沒有中斷。此時函數(shù)一定滿足以下三個條件：⑴在有定義;⑵存在；⑶.函數(shù)在x0無定義函數(shù)在x0的函數(shù)值與極限值不相等函數(shù)在x0的函數(shù)值與極限值相等函數(shù)在x0有定義ababa、無極限1.定義：如果函數(shù)滿足：⑴在有定義;

⑵存在；

⑶則稱在處連續(xù)；反之，稱在處間斷，并把叫做間斷點。思考：如果要使函數(shù)在x0點與左（右）邊的圖形連在一起，函數(shù)要滿足什么條件？2.定義：如果,稱函數(shù)在x0左連續(xù)。如果,稱函數(shù)在x0右連續(xù)。3.函數(shù)在x＝x0連續(xù)的充要條件是函數(shù)在x＝x0既是左連續(xù)又是右連續(xù)。例1：判斷在x=1的連續(xù)性。

例2：設(shè)

在x=0連續(xù)，求a,b.

2.若

連續(xù)，求k.

練習(xí)：1.判斷在的連續(xù)性。

間斷k＝2二、連續(xù)的等價定義

1.函數(shù)的改變量（增量）：如果變量u從

u1變到u2，則稱為變量

u的改變量（增量）。例：求適合下列條件的改變量（1）x從1變到1.5（2）x從1變到0.5對函數(shù)y=f(x)來說，自變量有增量時，函數(shù)y=f(x)的增量：（3）x從x0變到即：時，.0間斷圖形連續(xù)圖形連續(xù)的意思是：很小時，也很小。2.等價定義：對函數(shù)y=f(x)，如果x在x0處有改變量,則函數(shù)相應(yīng)的改變量，若：,則f(x)稱在x=x0處連續(xù)。例：用等價定義判斷在x=1處的連續(xù)性。

2.等價定義：對函數(shù)y=f(x)，如果x在x0處有改變量,則函數(shù)相應(yīng)的改變量，若：,則f(x)稱在x=x0處連續(xù)。1.定義：如果一個函數(shù)在某個區(qū)間上的每一點都連續(xù)，則稱這個函數(shù)為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，并把相應(yīng)區(qū)間稱為函數(shù)的連續(xù)區(qū)間。（如區(qū)間包括端點，在端點只要求單側(cè)連續(xù)）三、連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間2.定理：基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)。右連續(xù)左連續(xù)四、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則1.定理：連續(xù)函數(shù)的有限次四則運(yùn)算（相除時分母不為零）和復(fù)合得到的函數(shù)仍然連續(xù)。2.定理：初等函數(shù)在其定義區(qū)間連續(xù)。（在無定義的點當(dāng)然間斷）例：求的連續(xù)區(qū)間。注：一般而言，初等函數(shù)的連續(xù)區(qū)間相當(dāng)于它的定義域，間斷點其實是使函數(shù)沒意義的點。例：求的連續(xù)區(qū)間。注：討論分段函數(shù)的連續(xù)性一般只須討論分段點的連續(xù)性。五、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

1.最值性定理：如果在閉區(qū)間內(nèi)連續(xù)，則在內(nèi)必有最大、最小值。4.零點定理：如果f(x)在閉區(qū)間內(nèi)連續(xù)，且f(a)與f(b)異號，則在內(nèi)至少存在一點，使得:(零點定理常用于判斷方程根的存在性)2.有界性定理：如果在閉區(qū)間內(nèi)連續(xù)，則在內(nèi)有界。3.介值性定理：如果在閉區(qū)間內(nèi)連續(xù)，則其一定能取得介于最大值和最小值中間的任意值。例：證明方程在內(nèi)至少有一個根。注：由說明對于連續(xù)函數(shù)，極限符號與函數(shù)符號可以交換。例：例：回顧中學(xué)學(xué)過的一個關(guān)于對數(shù)的公式所以，若注：冪指函數(shù)也是初等函數(shù)。，則例：例：課本42頁2（5）題練習(xí)：第二章導(dǎo)數(shù)與微分§2.1導(dǎo)數(shù)的概念一、引出導(dǎo)數(shù)概念的例題

例1：變速直線運(yùn)動s=s(t)從t0到t的平均速度：運(yùn)動時間間隔愈?。╰越接近t0

），愈接近于時刻t0的瞬時速度v(t0)：函數(shù)改變量與自變量改變量比值的極限如何求在時刻t0的瞬時速度v(t0)呢？

反映了s隨t變化的快慢程度(變化率)例2：已知曲線y=f(x)和其上一點M0(x0,y0)，求曲線經(jīng)過M0的切線M0T的方程。

割線斜率：切線斜率：切線定義.swf切線生成.gsp例1、例2都是求函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比在自變量的改變量趨于零時的極限。函數(shù)改變量與自變量改變量比值的極限我們把這種特定的極限叫做函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。反映了y變化的快慢程度(變化率)二、導(dǎo)數(shù)的概念

1.定義：已知函數(shù)y=f(x)在x=x0及其旁邊有定義，若極限存在，就說函數(shù)f(x)在x=x0處可導(dǎo)，并把極限值叫y=f(x)在x=x0的導(dǎo)數(shù)，記為:如果上述極限不存在，則稱函數(shù)f(x)在x=x0處不可導(dǎo)。

2.導(dǎo)數(shù)的其他記號：

、、

1.導(dǎo)數(shù)定義：例：判斷函數(shù)y=f(x)=x2在x=2是否可導(dǎo)，如可導(dǎo)，求其導(dǎo)數(shù)值。

3.左、右導(dǎo)數(shù)：定理：函數(shù)y=f(x)在點x0可導(dǎo)的充要條件是：函數(shù)y=f(x)在點x0處的左、右導(dǎo)數(shù)都存在且相等。1.導(dǎo)數(shù)定義：例：求函數(shù)在x=0處的導(dǎo)數(shù)。