第13節(jié) 任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)（解析版）

第13節(jié)任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)要夯實(shí)1.角的概念的推廣(1)定義：角可以看成平面內(nèi)的一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形.(2)分類eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角.,按終邊位置不同分為象限角和軸線角.))(3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.2.弧度制的定義和公式(1)定義：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad.(2)公式角α的弧度數(shù)公式|α|＝(弧長(zhǎng)用l表示)角度與弧度的換算1°＝rad；1rad＝°弧長(zhǎng)公式弧長(zhǎng)l＝|α|r扇形面積公式S＝lr＝|α|r23.任意角的三角函數(shù)(1)定義：設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝(x≠0).(2)幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示，正弦線的起點(diǎn)都在x軸上，余弦線的起點(diǎn)都是原點(diǎn)，正切線的起點(diǎn)都是(1，0).如圖中有向線段MP，OM，AT分別叫做角α的正弦線，余弦線和正切線.1.三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.2.若α∈，則tanα>α>sinα.3.角度制與弧度制可利用180°＝πrad進(jìn)行互化，在同一個(gè)式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用.4.象限角的集合核心素養(yǎng)要做實(shí)考點(diǎn)一角的概念及其集合表示【例1】(1)已知與角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，則是（）A．第二或第四象限角B．第一或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角【答案】A【解析】由與角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，可得，∴，取可確定終邊在第二或第四象限．（2）集合，，則有（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，．∵是偶數(shù)，為整數(shù)，∴，故選C．【方法技巧】1.利用終邊相同的角的集合求適合某些條件的角：先寫(xiě)出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合，然后通過(guò)對(duì)集合中的參數(shù)k賦值來(lái)求得所需的角.2.若要確定一個(gè)絕對(duì)值較大的角所在的象限，一般是先將角化為2kπ＋α(0≤α<2π)(k∈Z)的形式，然后再根據(jù)α所在的象限予以判斷.【跟蹤訓(xùn)練】(1)將化為的形式是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】(2)若角的終邊在函數(shù)的圖象上，試寫(xiě)出角的集合為．【答案】【解析】解法一：函數(shù)的圖象是第二、四象限的平分線，可以先在～范圍內(nèi)找出滿足條件的角，再進(jìn)一步寫(xiě)出滿足條件的所有角，并注意化簡(jiǎn)．解法二：結(jié)合圖形，與相差的整數(shù)倍，由此寫(xiě)出集合．考點(diǎn)二弧度制及其應(yīng)用【例2】（1）(經(jīng)典母題)設(shè)扇形的周長(zhǎng)為6，面積為2，則扇形的圓心角是（單位：弧度）（）A．1 B．4C． D．1或4【答案】D【解析】設(shè)扇形的半徑為，所以弧長(zhǎng)為，扇形的圓心角為，因?yàn)樯刃蔚拿娣e為2，所以，解得或，所以扇形的圓心角為1或4．（2）在半徑為10cm的圓中，的圓心角所對(duì)弧長(zhǎng)為（）A．cm B．cmC．cm D．cm【答案】A【解析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式，得（cm）．（3）圓的半徑是6cm，則的圓心角與圓弧圍成的扇形面積是（）A．cm2 B．cm2C．cm2 D．cm2【答案】B【解析】根據(jù)扇形面積公式，得（cm2）．【方法技巧】1.應(yīng)用弧度制解決問(wèn)題的方法：(1)利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度；(2)求扇形面積最大值的問(wèn)題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題，利用配方法使問(wèn)題得到解決.2.求扇形面積的關(guān)鍵是求扇形的圓心角、半徑、弧長(zhǎng)三個(gè)量中的任意兩個(gè)量.【跟蹤訓(xùn)練】1.一圓內(nèi)切于中心角為、半徑為的扇形，則該圓的面積與該扇形的面積之比為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】一圓內(nèi)切于扇形是指該圓與扇形的兩條半徑和弧都相切，如圖：由圓半徑，得，∴．考點(diǎn)三三角函數(shù)的概念【例3】(1)(2022·合肥質(zhì)檢)已知角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】．(2)若三角形的兩內(nèi)角滿足，則此三角形必為（）A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．直角三角形 D．以上三種情況都可能【答案】B【解析】∵，，∴，，∴為鈍角．規(guī)律方法1.三角函數(shù)定義的應(yīng)用(1)直接利用三角函數(shù)的定義，找到給定角的終邊上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，及這點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，確定這個(gè)角的三角函數(shù)值.(2)已知角的某一個(gè)三角函數(shù)值，可以通過(guò)三角函數(shù)的定義列出含參數(shù)的方程，求參數(shù)的值.2.三角函數(shù)線的應(yīng)用問(wèn)題的求解思路確定單位圓與角的終邊的交點(diǎn)，作出所需要的三角函數(shù)線，然后求解.【訓(xùn)練3】(1)(2022·西安一中月考)已知角的終邊在直線上，求的值．【解析】在直線上任取一點(diǎn)，則．（1）當(dāng)時(shí)，，故，，所以；（2）當(dāng)時(shí)，，故，，所以．故等于或．(2)的值等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】．故選A．達(dá)標(biāo)檢測(cè)要扎實(shí)一、單選題1．下列轉(zhuǎn)化結(jié)果正確的是（

）A．化成弧度是 B．化成角度是C．化成弧度是 D．化成角度是【答案】D【解析】由得，對(duì)于A選項(xiàng)：化成弧度是，故A不正確；對(duì)于B選項(xiàng)：化成角度是，故B不正確；對(duì)于C選項(xiàng)：化成弧度是，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)：化成角度是，故D正確，故選：D.2．已知是第四象限角，是角終邊上的一個(gè)點(diǎn)，若，則（

）A．4 B．-4 C． D．不確定【答案】B【解析】依題意是第四象限角，所以，.故選：B3．若角的終邊在軸的負(fù)半軸上，則角的終邊在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．軸的正半軸上 D．軸的負(fù)半軸上【答案】B【解析】終邊在軸負(fù)半軸上

終邊位于第二象限本題正確選項(xiàng)：4．已知，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，.故選：A.5．如圖所示的復(fù)古時(shí)鐘顯示的時(shí)刻為，將時(shí)針與分針視為兩條線段，則該時(shí)刻的時(shí)針與分針?biāo)鶌A的鈍角為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】表有個(gè)刻度，相鄰兩個(gè)刻度所對(duì)的圓心角為；當(dāng)時(shí)針指向，分針指向時(shí)，時(shí)針與分針夾角為；但當(dāng)分針指向時(shí)，時(shí)針由向移動(dòng)了；該時(shí)刻的時(shí)針與分針?biāo)鶌A鈍角為.故選：B.6．下列說(shuō)法正確的是（

）A．長(zhǎng)度等于半徑的弦所對(duì)的圓心角為1弧度B．若，則C．若角的終邊過(guò)點(diǎn)，則D．當(dāng)時(shí)，【答案】D【解析】對(duì)于A，長(zhǎng)度等于半徑的弦所對(duì)的圓心角為弧度，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若角的終邊過(guò)點(diǎn)，則，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，D正確.故選D.7．已知是第四象限角，化簡(jiǎn)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵為第四象限角，∴.故選：B8．在平面直角坐標(biāo)系中，角以x軸的非負(fù)半軸為始邊，且點(diǎn)在角的終邊上，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以由角的余弦值的定義可得，故選：A.9．若角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴.故選：B.10．已知為三角形的內(nèi)角，且，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】計(jì)算得，所以，，從而可計(jì)算的，，,選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)BCD錯(cuò)誤.故選：A.11．若α為第四象限角，則（

）A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0【答案】D【解析】方法一：由α為第四象限角，可得，所以此時(shí)的終邊落在第三、四象限及軸的非正半軸上，所以故選：D.方法二：當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由在第四象限可得：，則，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確；故選：D.12．已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，點(diǎn)在角的終邊上，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意得，，所以.故選：D．二、填空題13．若角α的終邊落在直線y＝－x上，則的值等于________.【答案】0【解析】因?yàn)榻铅恋慕K邊落在直線y＝－x上，所以α＝2kπ＋或2kπ＋，k∈Z，當(dāng)α＝2kπ＋，,即角α的終邊在第二象限時(shí)，sinα＞0，cosα＜0；所以當(dāng)α＝2kπ＋，,即角α的終邊在第四象限時(shí)，sinα＜0，cosα＞0.所以綜合得的值等于0.故答案為：014．若，為第二象限的角，則__________.【答案】【解析】為第二象限的角，，，，故答案為：.15．已知，，則等于________．【答案】【解析】，，因此，．故答案為：．16．如圖所示，終邊在陰影區(qū)域內(nèi)（含邊界）的角的集合為_(kāi)_____．【答案】【解析】終邊在直線OM上的角的集合為：．同理可得終邊在直線ON上的角的集合為，所以終邊在陰影區(qū)域內(nèi)（含邊界）的角的集合為．故答案為：三、解答題17．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)巨著，其中《方田》章給出了“弧田”，“弦”和“矢”的定義，“弧田”(如圖陰影部分所示)是由圓弧和弦圍成，“弦”指圓弧所對(duì)的弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差.（1）當(dāng)圓心角為，矢為2的弧田，求：弧田(如圖陰影部分所示)的面積；（2）已知如圖該扇形圓心角是，半徑為，若該扇形周長(zhǎng)是一定值當(dāng)為多少弧度時(shí)，該扇形面積最大？【解析】（1）由題意，如下圖示，令圓弧的半徑為，，∴，即，得，∴弧田面積，而，∴.（2）由題意知：弧長(zhǎng)為，即該扇形周長(zhǎng)，而扇形面積，∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.∴當(dāng)時(shí)，該扇形面積最大.18．若角是第二象限角，試確定的終邊所在位置．【解析】∵角是第二象限角，∴，（1），∴角2α的終邊在第三象限或第四象限或軸的負(fù)半軸上．（2），當(dāng)時(shí)，∴，∴的終邊在第一象限．當(dāng)時(shí)，∴，∴的終邊在第三象限．綜上所述，的終邊在第一象限或第三象限．19．化簡(jiǎn)下列各式：（1）；（2）．【解析】（1）原式；（2）原式．2