湖南省衡陽市名校聯(lián)考聯(lián)合體高三高考考前仿真聯(lián)考一數(shù)學(xué)試題

2024年高考考前仿真聯(lián)考一數(shù)學(xué)注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法解集合A，結(jié)合交集的概念與運算即可求解.【詳解】因為，又，所以.故選：B.2.已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位的共軛復(fù)數(shù)為，則“為純虛數(shù)”的充分必要條件為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算化簡復(fù)數(shù)，再由共軛復(fù)數(shù)和純虛數(shù)的定義即可求解.【詳解】因為，由為純虛數(shù)，即且，即且.故選：D.3.已知非零向量滿足，若，則實數(shù)的值為（）A.1或 B.2或 C.1或2 D.或2【答案】A【解析】【分析】由平面向量數(shù)量積的運算和垂直表示計算可得結(jié)果.【詳解】由，故選：A.4.已知函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】令函數(shù)，該函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時，要使在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，且時，，故，解得.故選：D5.已知是兩條不同的直線，是三個不同的平面.下列說法中正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】D【解析】【分析】由線線，線面，面面之間的關(guān)系逐項判斷即可.【詳解】對于選項：若，則與平行或相交，故A不正確；對于選項B：若，則與可平行?異面或相交，故B不正確；對于選項C：若，則或，故C不正確；對于選項D：若，則，又，則，即D正確.故選：D.6.已知橢圓的左?右焦點為是橢圓上一動點，直線經(jīng)過的定點為，則的最大值為（）A B.2 C. D.6【答案】B【解析】【分析】由直線經(jīng)過定點，結(jié)合橢圓的定義由求解.【詳解】由橢圓得，因為點為橢圓上的點，則，直線經(jīng)過定點，則，當(dāng)且僅當(dāng)在線段上時取等號，所以的最大值為2.故選：B.7.將6本相同的數(shù)學(xué)書和2本相同的語文書隨機排成一排，2本語文書不相鄰的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先計算6本相同的數(shù)學(xué)書和2本相同的語文書擺放的種數(shù)，再用插空法計算2本語文書不相鄰的擺放種數(shù)，用古典概型概率的計算公式計算即可.【詳解】依題意，將6本相同的數(shù)學(xué)書和2本相同的語文書隨機排成一排，即從8個空位中選2個位置放語文書，剩余6個位置放數(shù)學(xué)書，擺放種數(shù)為：種；利用插空法，6本數(shù)學(xué)書之間共有7個位置可以放2本語文書，擺放種數(shù)為：種，由古典概型概率的計算公式得：.故選：A.8.如圖，已知是圓上一點，，則的正切值的最大值為（）A.1 B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圓心角與圓周角的關(guān)系可得最大，則最大，即可利用兩圓外切時，求解圓心，利用三點共線，即可求解角度.【詳解】設(shè)過三點的圓的圓心為，且，由于，故最大，則最大，只需要圓與圓相切于點時，最大，則有或（舍去），，所以,易知此時四點共線，此時進而，故，故選：A.二?多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.中國雪鄉(xiāng)哈爾濱的看雪最佳時間在11月中旬到次年的2月上旬，某旅游公司設(shè)計了一款冰雪文創(chuàng)產(chǎn)品.試營銷以來，這款冰雪文創(chuàng)產(chǎn)品定價（單位：元）與銷量（單位：萬件）的數(shù)據(jù)如下表所示：產(chǎn)品定價（單位：元）99.51010.511銷量（單位：萬件）1110865則下列結(jié)論正確的是（）參考公式：.參考數(shù)據(jù)：，，，.A.產(chǎn)品定價的平均值是10元B.產(chǎn)品定價與銷量存在正相關(guān)關(guān)系C.產(chǎn)品定價與銷量滿足一元線性回歸模型D.產(chǎn)品定價與銷量的相關(guān)系數(shù)【答案】ACD【解析】【分析】計算出可得A；計算出后可得B、C、D.【詳解】由題可得，故A正確；而.由于與的相關(guān)系數(shù)近似為，故與的線性相關(guān)性很強，從而可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，同時，與為負相關(guān)，故B錯誤，C、D正確.故選：ACD.10.已知拋物線過點，其焦點為，過點作兩條互相垂直的直線，直線與拋物線相交于兩點，直線與相交于兩點（如圖所示），則下列結(jié)論正確的是（）A.拋物線的方程為B.拋物線的準(zhǔn)線方程為C.和面積之和最小值為7D.和面積之和的最小值為8【答案】AD【解析】【分析】由題意求得拋物線的方程為，即可判斷AB；設(shè)、和直線的方程，聯(lián)立拋物線方程，利用韋達定理與兩直線的位置關(guān)系可得、，進而表示兩個三角形面積之和，結(jié)合基本不等式計算即可求解.【詳解】A：將點代入，得，解得，所以拋物線的方程為，故A正確；B：由知，拋物線的準(zhǔn)線方程為，故B錯誤；C：易知兩直線斜率均存在且不為0，設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立即①，所以，設(shè)，由已知直線的斜率為，代入①中，得，所以和面積之和為，當(dāng)且僅當(dāng)，且時等號成立，所以和面積之和的最小值為8，故C正確；D：由選項C的分析知，和面積之和的最小值為8，故D正確.故選：AD.11.已知定義在實數(shù)集上的函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，函數(shù)，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)分別是，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱B.的圖象關(guān)于點對稱C.若，則D.【答案】ACD【解析】【分析】選項A，驗證等式是否成立即可；選項B，驗證等式是否成立即可；選項C，由等式出發(fā)，證明成立即可；選項D，構(gòu)造函數(shù)，借助其單調(diào)性證明不等式即可.【詳解】對于選項A，因為函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，所以，兩邊求導(dǎo)數(shù)得：，成立，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.故選項A正確；對于選項B，因為函數(shù)，則，用替換，得：，故的圖象關(guān)于直線對稱，故選項B錯誤；對于選項C，接上個選項解析中，兩邊求導(dǎo)得：則，即，將代入，得：，故選項C正確；對于選項D，因為的圖象關(guān)于直線對稱，所以，設(shè)，則，又設(shè)，則有，從而在上單調(diào)遞增，則，即在上單調(diào)遞增，，故有恒成立，則，又因在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增，又，故，即：，故選項D正確.故選：ACD.【點睛】本題考查抽象函數(shù)的對稱性以及應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式，注意賦值法的使用，屬于難題.抽象函數(shù)的對稱性主要有兩種形式：（1）若成立，函數(shù)的對稱軸為；（2）若成立，函數(shù)的對稱中心為.三?填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知函數(shù)圖象過點，則__________；若函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，則__________.【答案】①.②.【解析】【分析】由可得，對稱中心，即可求得，從而知函數(shù)的解析式.【詳解】因為點在的圖象上，所以，又，所以.因為圖象的一個對稱中心是，所以，則.又，所以，故.故答案為：；13.如圖，由直三棱柱和四棱錐構(gòu)成的幾何體中，，則該幾何體的體積為__________.【答案】##【解析】【分析】如圖，根據(jù)面面垂直的判定定理可得平面平面，由面面垂直的性質(zhì)可得平面，結(jié)合棱柱與棱錐的體積公式計算即可求解.【詳解】設(shè)分別為的中點，連接，因為，所以，且，又平面，所以平面，由平面，得平面平面，由，所以，設(shè)中點為，連接，則，又平面平面，平面，所以平面.又，所以.故幾何體的體積為.故答案為：14.已知數(shù)列的前項和為，且.若，則的最小值為__________.【答案】7【解析】【分析】降次作差得，構(gòu)造數(shù)列，求出，則得到，作差構(gòu)造新數(shù)列，再證明其單調(diào)性即可得到答案.【詳解】因為，兩式相減得：，即.兩邊同除以可得，又，得，滿足，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，故，即，所以，因為，令，則，所以數(shù)列單調(diào)遞增，因為，所以當(dāng)時，，即；當(dāng)7時，，即.所以最小值為7.故答案為：7.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵首先是作差得到，然后是構(gòu)造等差數(shù)列，從而得到，最后作差并結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性即可.四?解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）15.在三角形中，角所對的邊長分別為，且.（1）證明：；（2）若，，求三角形的面積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式可得，再由正弦定理計算可得；（2）首先求出、，再由余弦定理求出，最后由面積公式計算可得.【小問1詳解】因為，因為，則，所以，由正弦定理得；【小問2詳解】由（1）有，又，可得，又，由余弦定理可得，又，所以，所以的面積.16.如圖，在圓錐中，是圓錐頂點，是圓錐底面圓的圓心，是圓錐底面圓的直徑，等邊三角形是圓錐底面圓的內(nèi)接三角形，是圓錐母線的中點，.（1）求證：平面平面；（2）設(shè)點在線段上，且，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）借助圓錐的性質(zhì)及面面垂直的判定定理計算即可得；（2）建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量計算即可得.【小問1詳解】如圖，設(shè)交于點，連接，在圓錐中，底面圓，所以，又等邊三角形是圓錐底面圓的內(nèi)接三角形，為直徑，所以，所以，所以，可知，即是的中點，又是母線的中點，所以，所以平面，又平面，所以平面平面；【小問2詳解】由（1）平面，以點為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸?軸?軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，在等腰三角形中，又，所以，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，即，設(shè)直線與平面所成的角為，則17.已知雙曲線的右頂點為，雙曲線的左?右焦點分別為，且，雙曲線的一條漸近線方程為.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知過點的直線與雙曲線右支交于兩點，點在線段上，若存在實數(shù)且，使得，證明：直線的斜率為定值.【答案】（1）（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)雙曲線的漸近線方程可得，結(jié)合計算即可求解；（2）設(shè)，，由，根據(jù)平面向量線性運算的坐標(biāo)表示可得、，進而，進而求解.【小問1詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為，由，得，即，所以，又雙曲線的一條漸近線方程為，所以，解得，故雙曲線的方程為.【小問2詳解】設(shè)直線與雙曲線交于，點，因為存在實數(shù)且，使得，所以，，整理得：①，②，得③，同理④，⑤，得⑥，由于雙曲線上的點的坐標(biāo)滿足，③⑥得，即，又，所以，表示點在直線上，又也在直線上，所以直線的斜率為（定值）.【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)．(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．18.某電競平臺開發(fā)了兩款訓(xùn)練手腦協(xié)同能力的游戲，款游戲規(guī)則是：五關(guān)競擊有獎闖關(guān)，每位玩家上一關(guān)通過才能進入下一關(guān)，上一關(guān)沒有通過則不能進入下一關(guān)，且每關(guān)第一次沒有通過都有再挑戰(zhàn)一次的機會，兩次均未通過，則闖關(guān)失敗，各關(guān)和同一關(guān)的兩次挑戰(zhàn)能否通過相互獨立，競擊的五關(guān)分別依據(jù)其難度賦分.款游戲規(guī)則是：共設(shè)計了（且關(guān)，每位玩家都有次闖關(guān)機會，每關(guān)闖關(guān)成功的概率為，不成功的概率為，每關(guān)闖關(guān)成功與否相互獨立；第1次闖關(guān)時，若闖關(guān)成功則得10分，否則得5分.從第2次闖關(guān)開始，若闖關(guān)成功則獲得上一次闖關(guān)得分的兩倍，否則得5分.電競游戲玩家甲先后玩兩款游戲.（1）電競游戲玩家甲玩款游戲，若第一關(guān)通過的概率為，第二關(guān)通過的概率為，求甲可以進入第三關(guān)的概率；（2）電競游戲玩家甲玩款游戲，記玩家甲第次闖關(guān)獲得的分數(shù)為，求關(guān)于的解析式，并求的值.（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：.）【答案】（1）；（2），9.80【解析】【分析】（1）利用獨立事件的乘法公式，結(jié)合甲闖關(guān)的可能情況求解即可；（2）由期望關(guān)系可得，列出分布列，構(gòu)造等比數(shù)列，求出即可.【小問1詳解】記事件表示第次通過第一關(guān)，事件表示第次通過第二關(guān)，設(shè)甲可以進入第三關(guān)的概率為，由題意知.【小問2詳解】依題意得，所以，，又隨機變量的可能取值為10，5，其分布列為105所以，得，所以為等比數(shù)列.其中首項為，公比為.所以，即.所以.19.已知函數(shù)在點處的切線與直線垂直.（1）求實數(shù)的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間的最大值和最小值；（3）證明：.【答案】（1）；（2），；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義和直線垂直的充要條件求解；（2）由（1）求得極值和端點值可解；（3）由，得在上恒成立,令，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，即可得證.【小問1詳解】由，得，所以，因為函數(shù)在點處的切線與直線垂直，所以，所以.【小問2詳解】由（1）得，所以，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以，.【小問3詳解】由，得在上恒成立.令，可得，令，可得，當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減，當(dāng)時，在單調(diào)遞增.又，，所以在中存在唯一的使得，在中存在唯一的使得，即有.因為在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.又，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞