11-13冪的運算-2022-2023學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊(北師大版)

1.11.3冪的運算知識點一知識點一同底數(shù)冪的乘法am·an=am+n。同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。注：=1\*GB3①底數(shù)一定要一樣。如：（a）與a，底數(shù)不同，需先化成相同底數(shù)，再進行計算；=2\*GB3②是乘法運算，切不可與加法運算混淆拓展：=1\*GB3①am·an·ap=am+n+p，（m，n，p為正整數(shù);=2\*GB3②(a+b)n(a+b)m=a+b)m+n（m，n為正整數(shù)）.同底數(shù)冪的乘法技巧=1\*GB3①計算同底數(shù)冪時，要求底數(shù)必須完全一樣。當(dāng)?shù)讛?shù)不相同時，可以通過化異底為同底，然后計算；=2\*GB3②逆用法則：am+n=am×an知識點二知識點二冪的乘方(am)n=amn。冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。拓展：（(am)n）p=amnp，其中m，n，p為正整數(shù);(am)n=amn=(an)m，其中m，n為正整數(shù).((a+b)m)n=(a+b)mn，其中m，n為正整數(shù).知識點三知識點三積的乘方(ab)n=anbn。積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘。拓展：(abc)m=ambmcm，其中m為正整數(shù)。注：1）乘方的優(yōu)先級高于乘法的優(yōu)先級；2）在進行積的乘方運算時，要將積中的每一個因式分別乘方，再將所得結(jié)果相乘，不能漏乘某項。在冪的運算中，注意底數(shù)為負數(shù)時，將底數(shù)的常數(shù)項因式看作（1）知識點四知識點四同底數(shù)冪的除法am÷an=amn。同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1。題型一冪的基本運算【例題1】下列計算正確的是（）A．x8÷x4＝x2 B．x3?x4＝x12 C．（x3）2＝x6 D．（﹣x2y3）2＝﹣x4y6【分析】A，符合同底數(shù)冪相除法則；B，同底數(shù)冪相乘底數(shù)不變指數(shù)相加；C，符合冪的乘方運算法則；D，指數(shù)是偶次冪結(jié)果為正．【解答】A：x8÷x4＝x4，∴A不符合要求；B：原式＝x7，∴B不符合要求；C：符合冪的乘方運算法則，∴C符合要求；D：原式＝x4y6，∴D不符合要求．故選：C．解題技巧提煉根據(jù)運算規(guī)則，先將不同底數(shù)轉(zhuǎn)化為相同底數(shù)，然后再根據(jù)題意進行相應(yīng)計算；利用冪的相關(guān)法則，轉(zhuǎn)化為指數(shù)之間的關(guān)系?！咀兪?1】下列運算正確的是（）A．（a2）3＝a5 B．（﹣2a）3＝﹣6a3 C．a(chǎn)6÷a2＝a3 D．a(chǎn)﹣1=1a（【分析】利用冪的乘方的法則，積的乘方的法則，同底數(shù)冪的除法的法則，負整數(shù)指數(shù)對各項進行運算即可得出結(jié)果．【解答】解：A、（a2）3＝a6，故A不符合題意；B、（﹣2a）3＝﹣8a3，故B不符合題意；C、a6÷a2＝a4，故C不符合題意；D、a﹣1=1a（a≠0），故故選：D．【變式12】下列運算正確的是（）A．a(chǎn)2?a4＝a8 B．（a2）3＝a5 C．（ab）2＝ab2 D．a(chǎn)5÷a3＝a2【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法運算法則進行計算判斷A，根據(jù)冪的乘方運算法則進行計算判斷B，根據(jù)積的乘方運算法則進行計算判斷C，根據(jù)同底數(shù)冪的除法運算法則進行計算判斷D．【解答】解：A、a2?a4＝a6，故此選項不符合題意；B、（a2）3＝a6，故此選項不符合題意；C、（ab）2＝a2b2，故此選項不符合題意；D、a5÷a3＝a2，正確，故此選項符合題意；故選：D．【變式13】下面計算正確的是（）A．3a+2b＝5ab B．（π?3）0＝1C．（﹣2a2）3＝﹣6a6 D．x3÷x?x﹣1＝x3【分析】A．由3a和2b不是同類項，不能合并可得結(jié)果；B．任何非零數(shù)的零指數(shù)冪等于1，可得結(jié)果；C．根據(jù)積的乘方等于乘方的積，可計算結(jié)果；D．先計算同底數(shù)冪的除法計算，再利用同底數(shù)冪的乘法進行計算即可．【解答】解：A．3a和2b不是同類項，不能合并，計算錯誤，不符合題意；B．（π?3）0C．（﹣2a2）3＝﹣8a6，計算錯誤，不符合題意；D．x3÷x?x﹣1＝x，計算錯誤，不符合題意；故選：B．題型二冪的運算法則逆用（比較大?。纠}2】若a＝（?34）﹣2，b＝（?12）0，A．a(chǎn)＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a(chǎn)＞c＞b【分析】直接利用負整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)以及零指數(shù)冪的性質(zhì)分別化簡得出答案．【解答】解：a＝（?34）﹣2=169，b＝（?12）0故a＞c＞b．故選：D．解題技巧提煉化簡成底數(shù)或同指數(shù)后進行比較.【變式21】若a＝0.52，b＝﹣5﹣2，c＝（﹣5）0，那么a、b、c三數(shù)的大小為（）A．a(chǎn)＞c＞b B．c＞a＞b C．a(chǎn)＞b＞c D．c＞b＞a【分析】直接利用負整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)以及零指數(shù)冪的性質(zhì)分別化簡得出答案．【解答】解：∵a＝0.52＝0.25，b＝﹣5﹣2=?125，c＝（﹣5）∴c＞a＞b．故選：B．【變式22】已知a＝8131，b＝2741，c＝961，則a、b、c的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a(chǎn)＞c＞b【分析】將a、b、c轉(zhuǎn)化為同底數(shù)形式，即可比較大?。窘獯稹拷猓骸遖＝8131＝（34）31＝3124；b＝2741＝（33）41＝3123；c＝961＝（32）61＝3122；∴3124＞3123＞3122，即a＞b＞c．故選：A．【變式23】（1）填空：2=64；（2）比較與的大小．【分析】（1）直接根據(jù)冪的乘方的逆運算進行求解；（2）將與化為指數(shù)相同的數(shù)，進而得出結(jié)論．【解析】解（1）填空：，故答案為：8；（2）解：∵，，∵，∴．【變式24】233、418、810的大小關(guān)系是（用＞號連接）_____．【分析】直接利用冪的乘方運算法則將原式變形，進而比較得出答案．【解析】∵，，∴236＞233＞230，∴418＞233＞810．故答案為：418＞233＞810【變式25】比較和的大小．【分析】先將和化成同底數(shù)冪，再進行大小比較．【解析】解：故．題型三冪的運算法則逆用（求代數(shù)式的值）【例題3】已知10a＝5，10b＝2，則103a+2b﹣1的值為50．【分析】把同底數(shù)冪的乘除運算法則及冪的乘方運算法則逆用，變形103a+2b﹣1代入計算，即可求出結(jié)果．【解答】解：∵10a＝5，10b＝2，∴103a+2b﹣1＝103a×102b÷10＝（10a）3×（10b）2÷10＝53×22÷10＝50，故答案為：50．解題技巧提煉根據(jù)冪的運算的基礎(chǔ)公式推導(dǎo)出結(jié)果，主要培養(yǎng)孩子的逆向思維.【變式31】已知am＝2，an＝3，則（a3m﹣n）2＝649【分析】逆向運用同底數(shù)冪的除法法則以及冪的乘方運算法則計算即可．【解答】解：∵am＝2，an＝3，∴a3m＝（am）3＝23＝8，∴（a3m﹣n）2＝（a3n÷an）2＝（8÷3）2=64故答案為：649【變式32】已知2a=5，2b=10．2c=50，那么a、b、c之間滿足的等量關(guān)系是________．【分析】根據(jù)同底數(shù)冪乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，即可得到a、b、c之間的關(guān)系；【解析】解：∵2a=5，2b=10，∴，又∵=50=，∴a+b=c．故答案為：a+b=c．【變式33】若，用含x的代數(shù)式表示y，則y＝__________．【分析】根據(jù)題意，得到，然后代入，即可得到與的關(guān)系式．【解析】∵，∴，∴，故填：．【變式34】（1）已知10m＝5，10n＝2，求103m+2n的值；（2）已知8m÷4n＝16，求（﹣3）2n﹣3m的值．【分析】（1）逆向運用同底數(shù)冪的乘法法則以及冪的乘方運算法則計算即可；（2）逆向運用同底數(shù)冪的除法法則以及冪的乘方運算法則計算即可．【解答】解：（1）∵10m＝5，10n＝2，∴103m+2n＝（10m）3?（10n）2＝53×22＝125×4＝500；（2）∵8m÷4n＝23m÷22n＝23m﹣2n＝16＝24，∴3m﹣2n＝4，∴2n﹣3m＝﹣4，∴（﹣3）2n﹣3m=(?3)【變式35】（1）若（9m+1）2＝316，求正整數(shù)m的值．（2）已知n為正整數(shù)，且x2n＝2，求（3x3n）2﹣4（x2）2n的值．【分析】（1）根據(jù)冪的乘方運算法則計算即可；（2）根據(jù)冪的乘方與積的乘方運算法則計算即可．【解答】解：（1）∵（9m+1）2＝（32m+2）2＝34m+4＝316，∴4m+4＝16，解得m＝3；（2）∵n為正整數(shù)，且x2n＝2，∴（3x3n）2﹣4（x2）2n＝9x6n﹣4（x2n）2＝9（x2n）3﹣4（x2n）2＝9×23﹣4×22＝9×8﹣4×4＝72﹣16＝56．【變式36】已知：，，．（1）求的值．（2）求的值．（3）直接寫出字母、、之間的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）直接將代入計算即可；（2）逆運用同底數(shù)冪乘法和除法公式變形后代入計算即可；（3）結(jié)合（1）中，再觀察，，易得9×8=72，利用冪的乘方和同底數(shù)冪乘法變形即可得出．【詳解】解（1）∵，∴；（2）∵，，，∴；（3）∵，∴，即．題型四冪的運算法則逆用（整體帶入）【例題4】若3x+2y﹣3＝0，則8x?4y等于8．【分析】把8x?4y都改為底數(shù)為2的乘方，再利用同底數(shù)冪的乘法計算，由3x+2y﹣3＝0得出3x+2y＝3整體代入即可．【解答】解：∵3x+2y﹣3＝0，∴3x+2y＝3，∴8x?4y＝23x?22y＝23x+2y＝23＝8．故答案為：8．解題技巧提煉把題中的已知當(dāng)作一個整體，將問題換成同底數(shù)冪的運算，進行計算.【變式41】若4x﹣3y﹣3＝0，則104x÷103y＝1000．【分析】先把已知等式4x﹣3y﹣3＝0，變形為4x﹣3y＝3，再根據(jù)同底數(shù)冪除法法則整體代入計算即可．【解答】解：∵4x﹣3y﹣3＝0，∴4x﹣3y＝3，∴104x÷103y＝104x﹣3y＝103＝1000．故答案為：1000．【變式42】若2x+3y﹣4z+1＝0，求9x?27y÷81z的值．【分析】由2x+3y﹣4z+1＝0可得2x+3y﹣4z＝﹣1，再根據(jù)同底數(shù)冪的乘除法以及冪的乘方運算法則求解即可．【解答】解：∵2x+3y﹣4z+1＝0，∴2x+3y﹣4z＝﹣1，∴9x?27y÷81z＝32x×33y÷34z＝32x+3y﹣4z＝3﹣1=1【變式43】先化簡，再求值（1）已知2x+y＝1，求代數(shù)式（y+1）2﹣（y2﹣4x+4）的值．（2）已知n為正整數(shù)，且x2n＝4，求（x3n）2﹣2（x2）2n的值．（3）若x、y滿足x2+y①（x+y）2；②x4+y4．【分析】（1）根據(jù)完全平方公式化簡后，再把2x+y＝1代入計算即可；（2）根據(jù)冪的乘方的運算法則化簡后，把x2n＝4代入計算即可；（3）根據(jù)完全平方公式求解即可．【解答】解：（1）∵2x+y＝1，∴（y+1）2﹣（y2﹣4x+4）＝y(tǒng)2+2y+1﹣y2+4x﹣4＝4x+2y﹣3＝2（2x+y）﹣3＝2﹣3＝﹣1；（2）∵x2n＝4，∴（x3n）2﹣2（x2）2n＝（x2n）3﹣2（22n）2＝43﹣2×42＝64﹣2×16＝32；（3）①∵x2+y∴（x+y）2＝x2+y2+2xy=5②∵x2+y∴x4+y4＝（x2+y2）2﹣2x2y2=(5題型五冪的運算法則（混合運算）【例題5】計算．（1）4×（2n）2÷（2n﹣1）2．（2）（﹣1）2020×（π﹣2）0﹣|﹣5|﹣（?12）【分析】（1）把4轉(zhuǎn)化成底數(shù)為2，再根據(jù)同底數(shù)冪的乘法的法則與同底數(shù)冪的除法的法則進行運算即可；（2）根據(jù)冪的乘方，零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪等運算法則對式子進行運算即可．【解答】解：（1）4×（2n）2÷（2n﹣1）2＝22×22n÷22n﹣2＝22+2n﹣2n+2＝24＝16；（2）（﹣1）2020×（π﹣2）0﹣|﹣5|﹣（?12）＝1×1﹣5﹣（﹣8）＝1﹣5+8＝4．解題技巧提煉根據(jù)運算規(guī)則，先將不同底數(shù)轉(zhuǎn)化為相同底數(shù)，然后再根據(jù)題意進行相應(yīng)計算；利用冪的相關(guān)法則，轉(zhuǎn)化為指數(shù)之間的關(guān)系.【變式51】以下運算正確的是（）A． B． C． D．【分析】由積的乘方判斷A，由積的乘方運算判斷B，由同底數(shù)冪的運算判斷C，由積的乘方運算判斷D．【解析】解：故A錯誤；故B錯誤；，故C錯誤；，故D正確；故選D．【變式52】下列選項中，運算正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)冪的運算法則依次判斷即可.【解析】A.，故錯誤；B.，故錯誤；C.，故錯誤；D.，正確；故選D.【變式53】計算：（1）﹣22+20210+|﹣3|；（2）（a2）3+a2?a4﹣a7÷a．【分析】（1）分別根據(jù)有理數(shù)的乘方的定義，任何非零數(shù)的零次冪等于1以及絕對值的性質(zhì)計算即可；（2）分別根據(jù)冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法法則以及同底數(shù)冪的除法法則計算即可．【解答】（1）原式＝﹣4+1+3＝0；（2）原式＝a6+a6﹣a6＝a6．【變式54】計算：（1）(1（2）（﹣2x2）3+x2?x4+（﹣3x3）2．【分析】（1）分別根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪的定義，任何非零數(shù)的零次冪等于1以及絕對值的性質(zhì)計算即可；（2）分別根據(jù)積的乘方運算法則，同底數(shù)冪的乘法法則化簡即可；積的乘方法則：把每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘；同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加．【解答】解：（1）原式＝2﹣1﹣3+2＝0；（2）原式＝﹣8x6+x6+9x6＝2x6．【變式55】計算：（1）（x﹣y）6÷（y﹣x）3÷（x﹣y）；（2）﹣（3×2﹣2）0+（?12）﹣3﹣4﹣2×（?1【分析】（1）直接將原式化為同底數(shù)，再利用同底數(shù)冪的除法運算法則計算得出答案；（2）直接利用零指數(shù)冪的性質(zhì)以及負整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)分別化簡得出答案．【解答】解：（1）原式＝（x﹣y）6÷[﹣（x﹣y）3]÷（x﹣y）＝﹣（x﹣y）2；（2）原式＝﹣1﹣8?1＝﹣1﹣8+4＝﹣5．【變式56】計算：（1）；（2）．【分析】（1）先進行冪的運算再合并同類項；（2）先進行冪的乘方運算，再進行同底數(shù)冪的乘除運算．【解析】解：（1）原式；（2）原式題型六冪的運算法則逆用（新定義問題）【例題6】規(guī)定兩個非零數(shù)a，b之間的一種新運算，如果am＝b，那么a※b＝m．例如：因為52＝25，所以5※25＝2；因為50＝1，所以5※1＝0．（1）根據(jù)上述規(guī)定填空：2※16＝4；3※127=（2）在運算時，按以上規(guī)定請說明等式8※9+8※10＝8※90成立．【分析】（1）根據(jù)規(guī)定的兩數(shù)之間的運算法則解答；（2）根據(jù)積的乘方法則，結(jié)合定義計算．【解答】解：（1）∵24＝16，∴2※16＝4；∵3?3∴3※127故答案為：4；﹣3；（2）設(shè)8※9＝x，8※10＝y(tǒng)，則8x＝9，8y＝10，8x×8y＝8x+y＝90，∴8※90＝x+y，∵8※9+8※10＝x+y，∴8※9+8※10＝8※90．解題技巧提煉利用題中已經(jīng)給的運算規(guī)則進行計算.【變式61】我們知道，同底數(shù)冪的乘法法則為am·an=am+n（其中a≠0，m、n為正整數(shù)），類似地我們規(guī)定關(guān)于任意正整數(shù)m、n的一種新運算：h（m+n）=h（m）·h（n）；比如h（2）=3，則h（4）=h（2+2）=3×3=9，若h（2）=k（k≠0），那么h（2n）·h（2020）的結(jié)果是（）A．2k+2020 B．2k+1010 C．kn+1010 D．1022k【分析】根據(jù)h（2）=k（k≠0），以及定義新運算：h（m+n）=h（m）?h（n）將原式變形為kn?k1010，再根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則計算即可求解．【解析】解：∵h（2）=k（k≠0），h（m+n）=h（m）?h（n），∴h（2）=h（1+1）=h(1)?h(1)=k（k≠0）∴h（2n）=kn；∴h（2n）?h（2020）=kn?k1010=kn+1010．故選：C．【變式62】如果，則，例如：，則，．（1）根據(jù)上述規(guī)定，若=x，則x=_______；（2）記，求之間的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）根據(jù)題意得到，求出x的值；（2）根據(jù)題意得到，，，再用同底數(shù)冪的乘法運算法則進行列式，找到a、b、c的數(shù)量關(guān)系．【解析】解：（1）根據(jù)定義的公式，由得，∵，∴，解得，故答案是：3；（2）∵，∴，∵，∴，∵，∴，由，得，即，∴．【變式63】先閱讀下列材料，再解答后面的問題．一般地，若且，，則叫做以為底的對數(shù)，記為（即．，則4叫做以3為底81的對數(shù)，記為（即．（1）計算以下各對數(shù)的值：，，．（2）觀察（1）中三數(shù)4、16、64之間滿足怎樣的關(guān)系式，、、之間又滿足怎樣的關(guān)系式?（3）猜想一般性的結(jié)論：且，，．【分析】（1）根據(jù)材料敘述，結(jié)合22＝4，24＝16，26＝64即可得出答案；（2）根據(jù)（1）的答案可得出log24、log216、log264之間滿足的關(guān)系式；（3）設(shè)logaM＝b1，logaN＝b2，則ab1＝M，ab2＝N，分別表示出MN及b1＋b2的值，即可得出猜想．【解析】（1）log24＝2，log216＝4，log264＝6；（2）log24＋log216＝log264；（3）猜想logaM＋logaN＝loga（MN）．證明：設(shè)logaM＝b1，logaN＝b2，則ab1＝M，ab2＝N，故可得MN＝ab1?ab2＝ab1＋b2，b1＋b2＝loga（MN），即logaM＋logaN＝loga（MN）．【變式64】規(guī)定兩數(shù)a，b之間的一種運算，記作（a，b）；如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因為23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根據(jù)上述規(guī)定，填空：①（5，125）＝，（﹣2，﹣32）＝5；②若(x，116)=?4，則x（2）若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，試說明下列等式成立的理由：a+b＝c．【分析】根據(jù)新定義的運算和表示方法，依據(jù)冪的乘方與積的乘方進行計算即可．【解答】解：（1）①因為53＝125，所以（5，125）＝3；因為（﹣