第九章 整式（12個知識歸納）

第九章整式（12個知識歸納）知識點1．代數(shù)式代數(shù)式的概念：像a-1、a+6、40-m+n、0.015m(n-20)、st和2a2注意：1、代數(shù)式不能有等號和不等號，有就不是代數(shù)式，而是等式或者不等式。2、單獨一個數(shù)字或者字母也是代數(shù)式。3、代數(shù)式可以包含絕對值。4、注意π并不是字母，而是一個數(shù)字。知識點2．整式一、單項式1.單項式的概念：如-2xy2，1詮釋：（1）單項式包括三種類型：①數(shù)字與字母相乘或字母與字母相乘組成的式子；②單獨的一個數(shù)；③單獨的一個字母。（2）單項式中不能含有加減運算，但可以含有除法運算．如：st2可以寫成12st2.單項式的系數(shù)：單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個單項式的系數(shù)。詮釋：（1）確定單項式的系數(shù)時，最好先將單項式寫成數(shù)與字母的乘積的形式，再確定其系數(shù)；（2）圓周率π是常數(shù)．單項式中出現(xiàn)π時，應(yīng)看作系數(shù)；（3）當(dāng)一個單項式的系數(shù)是1或-1時，“1”通常省略不寫；（4）單項式的系數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時，通常寫成假分?jǐn)?shù)，如：114x3.單項式的次數(shù)：一個單項式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項式的次數(shù)。詮釋：單項式的次數(shù)是計算單項式中所有字母的指數(shù)和得到的，計算時要注意以下兩點：（1）沒有寫指數(shù)的字母，實際上其指數(shù)是1，計算時不能將其遺漏；（2）不能將數(shù)字的指數(shù)一同計算。二、多項式1.多項式的概念：幾個單項式的和叫做多項式。詮釋：“幾個”是指兩個或兩個以上。2.多項式的項：每個單項式叫做多項式的項，不含字母的項叫做常數(shù)項。詮釋：（1）多項式的每一項包括它前面的符號。（2）一個多項式含有幾項，就叫幾項式，如：6x3.多項式的次數(shù)：多項式里次數(shù)最高項的次數(shù)，叫做這個多項式的次數(shù)。詮釋：（1）多項式的次數(shù)不是所有項的次數(shù)之和，而是多項式中次數(shù)最高的單項式的次數(shù)。（2）一個多項式中的最高次項有時不止一個，在確定最高次項時，都應(yīng)寫出。三、整式1.整式的概念：單項式與多項式統(tǒng)稱為整式。詮釋：（1）單項式、多項式、整式這三者之間的關(guān)系如圖所示。即單項式、多項式必是整式，但反過來就不一定成立。（2）分母中含有字母的式子一定不是整式。知識點3．代數(shù)式的值代數(shù)式的值：將具體數(shù)字代替代數(shù)式中對應(yīng)的字母,計算所得的結(jié)果就是這個代數(shù)式的值知識點4．合并同類項1.同類項的概念：一個多項式中，字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項，叫做同類項。注意所有的常數(shù)項都是同類項。比如：多項式a2b-a2c-4+3a2b+ab2-12a2c+5-ab2中，a2b和3a2b是同類項，-a2c和-12a2c是同類項，-4和5是同類項，ab2和-ab2是同類項，而a2b和-a2c不是同類項，因為它們字母不同，a2b和ab2.合并同類項的概念：按照乘法分配律把同類項合并成一項叫做合并同類項。3.合并同類項法則同類項的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為系數(shù)，字母和指數(shù)不變。詮釋：(1)注意項的系數(shù)為負(fù)數(shù)時的情況，也就是在多項式中遇到減號時，注意此時是加了一個系數(shù)為負(fù)數(shù)的項。(2)字母和指數(shù)不變，也就是說，合并同類項之后，僅僅是系數(shù)發(fā)生了變化，而字母和字母的指數(shù)不會發(fā)生任何變化，否則就是錯誤。(3)合并同類項之前，應(yīng)該先移動項，將同類項移動到一起，在移動項的時候，要注意將減號當(dāng)做負(fù)號一起移動。知識點5．去括號一、去括號法則如果括號外的因數(shù)是正數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來的符號相同；如果括號外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來的符號相反。詮釋：(1)去括號法則實際上是根據(jù)乘法分配律得到的結(jié)論：當(dāng)括號前為“+”號時，可以看作+1與括號內(nèi)的各項相乘；當(dāng)括號前為“-”號時，可以看作-1與括號內(nèi)的各項相乘。(2)去括號時，首先要弄清括號前面是“+”號，還是“-”號，然后再根據(jù)法則去掉括號及前面的符號。(3)對于多重括號，去括號時可以先去小括號，再去中括號，也可以先去中括號．再去小括號．但是一定要注意括號前的符號。(4)去括號只是改變式子形式，不改變式子的值，它屬于多項式的恒等變形。二、添括號法則（1）添括號后，括號前面是“+”號，括到括號里的各項都不變符號；（2）添括號后，括號前面是“-”號，括到括號里的各項都要改變符號。詮釋：(1)添括號是添上括號和括號前面的符號，也就是說，添括號時，括號前面的“+”號或“-”號也是新添的，不是原多項式某一項的符號“移”出來得到的。(2)去括號和添括號的關(guān)系如下：如：a+b-c?添括號去括號?知識點6．整式的加減一般地，幾個整式相加減，如果有括號就先去括號，然后再合并同類項。詮釋：（1）整式加減的一般步驟是：①先去括號；②再合并同類項。（2）兩個整式相減時，減數(shù)一定先要用括號括起來。（3）整式加減的最后結(jié)果的要求：①不能含有同類項，即要合并到不能再合并為止；②一般按照某一字母的降冪或升冪排列；③不能出現(xiàn)帶分?jǐn)?shù)，帶分?jǐn)?shù)要化成假分?jǐn)?shù)。知識點7．同底數(shù)冪的乘法法則：(其中都是正整數(shù)).即同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.特別說明：（1）同底數(shù)冪是指底數(shù)相同的冪，底數(shù)可以是任意的實數(shù)，也可以是單項式、多項式.（2）三個或三個以上同底數(shù)冪相乘時，也具有這一性質(zhì)，即（都是正整數(shù)）.（3）逆用公式：把一個冪分解成兩個或多個同底數(shù)冪的積，其中它們的底數(shù)與原來的底數(shù)相同，它們的指數(shù)之和等于原來的冪的指數(shù)。即（都是正整數(shù)）.知識點8．冪的乘方與積的乘方一、冪的乘方法則(其中都是正整數(shù)).即冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.特別說明：（1）公式的推廣：(，均為正整數(shù))（2）逆用公式：，根據(jù)題目的需要常常逆用冪的乘方運算能將某些冪變形，從而解決問題.二、積的乘方法則(其中是正整數(shù)).即積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘.特別說明：（1）公式的推廣：(為正整數(shù)).（2）逆用公式：逆用公式適當(dāng)?shù)淖冃慰珊喕\算過程，尤其是遇到底數(shù)互為倒數(shù)時，計算更簡便.如：三、注意事項（1）底數(shù)可以是任意實數(shù)，也可以是單項式、多項式.（2）同底數(shù)冪的乘法時，只有當(dāng)?shù)讛?shù)相同時,指數(shù)才可以相加.指數(shù)為1，計算時不要遺漏.（3）冪的乘方運算時，指數(shù)相乘，而同底數(shù)冪的乘法中是指數(shù)相加.（4）積的乘方運算時須注意，積的乘方要將每一個因式(特別是系數(shù))都要分別乘方.（5）靈活地雙向應(yīng)用運算性質(zhì)，使運算更加方便、簡潔.（6）帶有負(fù)號的冪的運算，要養(yǎng)成先化簡符號的習(xí)慣.知識點9．整式的乘法單項式的乘法法則：單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它們的指數(shù)作為積的一個因式.特別說明：（1）單項式的乘法法則的實質(zhì)是乘法的交換律和同底數(shù)冪的乘法法則的綜合應(yīng)用.（2）單項式的乘法方法步驟：積的系數(shù)等于各系數(shù)的積，是把各單項式的系數(shù)交換到一起進行有理數(shù)的乘法計算，先確定符號，再計算絕對值；相同字母相乘，是同底數(shù)冪的乘法，按照“底數(shù)不變，指數(shù)相加”進行計算；只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數(shù)寫在積里作為積的一個因式.（3）運算的結(jié)果仍為單項式，也是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)這三部分組成.（4）三個或三個以上的單項式相乘同樣適用以上法則.單項式與多項式相乘的運算法則單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.即.特別說明：（1）單項式與多項式相乘的計算方法，實質(zhì)是利用乘法的分配律將其轉(zhuǎn)化為多個單項式乘單項式的問題.（2）單項式與多項式的乘積仍是一個多項式，項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同.（3）計算的過程中要注意符號問題，多項式中的每一項包括它前面的符號，同時還要注意單項式的符號.（4）對混合運算，應(yīng)注意運算順序，最后有同類項時，必須合并，從而得到最簡的結(jié)果.多項式與多項式相乘的運算法則多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.即.特別說明：多項式與多項式相乘，仍得多項式.在合并同類項之前，積的項數(shù)應(yīng)該等于兩個多項式的項數(shù)之積.多項式與多項式相乘的最后結(jié)果需化簡，有同類項的要合并.特殊的二項式相乘：.知識點10．乘法公式一、平方差公式平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差.特別說明：在這里，既可以是具體數(shù)字，也可以是單項式或多項式.抓住公式的幾個變形形式利于理解公式.但是關(guān)鍵仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同項，又有“相反項”，而結(jié)果是“相同項”的平方減去“相反項”的平方.常見的變式有以下類型：（1）位置變化：如利用加法交換律可以轉(zhuǎn)化為公式的標(biāo)準(zhǔn)型（2）系數(shù)變化：如（3）指數(shù)變化：如（4）符號變化：如（5）增項變化：如（6）增因式變化：如二、完全平方公式完全平方公式：兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍.特別說明：公式特點：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.以下是常見的變形：三、添括號法則添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負(fù)號，括到括號里的各項都改變符號.特別說明：添括號與去括號是互逆的，符號的變化也是一致的，可以用去括號法則檢查添括號是否正確.四、補充公式；；；.知識點11．因式分解一、公因式多項式的各項中都含有相同的因式，那么這個相同的因式就叫做公因式.特別說明：（1）公因式必須是每一項中都含有的因式.（2）公因式可以是一個數(shù)，也可以是一個字母，還可以是一個多項式.（3）公因式的確定分為數(shù)字系數(shù)和字母兩部分：①公因式的系數(shù)是各項系數(shù)的最大公約數(shù).②字母是各項中相同的字母，指數(shù)取各字母指數(shù)最低的.二、提公因式法把多項式分解成兩個因式的乘積的形式，其中一個因式是各項的公因式，另一個因式是，即，而正好是除以所得的商，這種因式分解的方法叫提公因式法．特別說明：（1）提公因式法分解因式實際上是逆用乘法分配律，即.（2）用提公因式法分解因式的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出多項式各項的公因式.（3）當(dāng)多項式第一項的系數(shù)是負(fù)數(shù)時，通常先提出“—”號，使括號內(nèi)的第一項的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，同時多項式的各項都要變號.（4）用提公因式法分解因式時，若多項式的某項與公因式相等或它們的和為零，則提取公因式后，該項變?yōu)椋骸埃?”或“－1”，不要把該項漏掉，或認(rèn)為是0而出現(xiàn)錯誤.三、公式法——平方差公式兩個數(shù)的平方差等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，即：特別說明：（1）逆用乘法公式將特殊的多項式分解因式.（2）平方差公式的特點：左邊是兩個數(shù)（整式）的平方，且符號相反，右邊是兩個數(shù)（整式）的和與這兩個數(shù)（整式）的差的積.（3）套用公式時要注意字母和的廣泛意義，、可以是字母，也可以是單項式或多項式.四、公式法——完全平方公式兩個數(shù)的平方和加上（減去）這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.特別說明：（1）逆用乘法公式將特殊的三項式分解因式；（2）完全平方公式的特點：左邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.右邊是兩數(shù)的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有兩個，二者不能互相代替，注意二者的使用條件.（4）套用公式時要注意字母和的廣泛意義，、可以是字母，也可以是單項式或多項式.五、十字相乘法利用十字交叉線來分解系數(shù)，把二次三項式分解因式的方法叫做十字相乘法.對于二次三項式，若存在，則特別說明：（1）在對分解因式時，要先從常數(shù)項的正、負(fù)入手，若，則同號(若，則異號)，然后依據(jù)一次項系數(shù)的正負(fù)再確定的符號（2）若中的為整數(shù)時，要先將分解成兩個整數(shù)的積(要考慮到分解的各種可能)，然后看這兩個整數(shù)之和能否等于，直到湊對為止.六、首項系數(shù)不為1的十字相乘法在二次三項式(≠0)中，如果二次項系數(shù)可以分解成兩個因數(shù)之積，即，常數(shù)項可以分解成兩個因數(shù)之積，即，把排列如下：按斜線交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三項式的一次項系數(shù)，即，那么二次三項式就可以分解為兩個因式與之積，即.特別說明：（1）分解思路為“看兩端，湊中間”（2）二次項系數(shù)一般都化為正數(shù)，如果是負(fù)數(shù)，則提出負(fù)號，分解括號里面的二次三項式，最后結(jié)果不要忘記把提出的負(fù)號添上.七、分組分解法對于一個多項式的整體，若不能直接運用提公因式法和公式法進行因式分解時，可考慮分步處理的方法，即把這個多項式分成幾組，先對各組分別分解因式，然后再對整體作因式分解——分組分解法.即先對題目進行分組，然后再分解因式.特別說明：分組分解法分解因式常用的思路有：方法分類分組方法特點分組分解法四項二項、二項①按字母分組②按系數(shù)分組③符合公式的兩項分組三項、一項先完全平方公式后平方差公式五項三項、二項各組之間有公因式六項三項、三項二項、二項、二項各組之間有公因式三項、二項、一項可化為二次三項式八：添、拆項法把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數(shù)的兩項（或幾項），使原式適合于提公因式法、公式法或分組分解法進行分解.要注意，必須在與原多項式相等的原則下進行變形.添、拆項法分解因式需要一定的技巧性，在仔細(xì)觀察題目后可先嘗試進行添、拆項，在反復(fù)嘗試中熟練掌握技巧和方法.九：因式分解的解題步驟因式分解的方法主要有:提公因式法,公式法,分組分解法,十字相乘法,添、拆項法等.特別說明：落實好方法的綜合運用：首先提取公因式，然后考慮用公式；兩項平方或立方，三項完全或十字；四項以上想分組，分組分得要合適；幾種方法反復(fù)試，最后須是連