7.3.1　正弦函數(shù)的性質(zhì)與圖像

7.3.1正弦函數(shù)的性質(zhì)與圖像1.什么叫角α的正弦線?提示:角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PM垂直于x軸,則

即為角α的正弦線.2.描點(diǎn)法作圖的基本步驟是什么?提示:描點(diǎn)法作圖的基本步驟是:取值、列表、描點(diǎn)、連線、成圖.3.填空:(1)對于任意一個角x,都有唯一確定的正弦sinx與之對應(yīng),因此y=sinx是一個函數(shù),一般稱為正弦函數(shù).

(2)正弦函數(shù)的性質(zhì)與圖像

(3)周期:一般地,對于函數(shù)f(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使得對定義域內(nèi)的每一個x,都滿足f(x+T)=f(x),那么就稱函數(shù)f(x)為周期函數(shù),非零常數(shù)T稱為這個函數(shù)的周期.(4)正弦曲線:一般地,y=sinx的函數(shù)圖像稱為正弦曲線.4.做一做:求f(x)=sin(3π+x)的最大值和單調(diào)遞增區(qū)間.5.做一做:下列函數(shù)中,不是周期函數(shù)的是(

)A.y=-sinx,x∈RB.y=3,x∈RC.y=sin(4π+x),x∈[-10π,10π]D.y=sinx,x∈(0,+∞)答案:C探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測用“五點(diǎn)法”作函數(shù)的圖像例1作出函數(shù)y=-sinx,x∈[-π,π]的圖像簡圖.解:列表如下:作出圖像如圖所示:探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測反思感悟用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)圖像的基本步驟(1)列表:(3)連線:用光滑的曲線將描出的五個點(diǎn)連接起來.探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練1函數(shù)y=1-sinx,x∈[0,2π]的大致圖像為圖中的(

)探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測解析:方法1:利用五點(diǎn)法作出x∈[0,2π]上的函數(shù)圖像,列表如下:描點(diǎn)、連線得其大致圖像如圖所示,對照選項中的圖像,可知選B.方法2:令x=0,則y=1-sin

0=1,因此圖像過點(diǎn)(0,1),可排除C,D;又令答案:B探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測求定義域

探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測反思感悟函數(shù)定義域的求法求三角函數(shù)的定義域,一般應(yīng)根據(jù)各式有意義轉(zhuǎn)化為求不等式(組)的解的問題,利用三角函數(shù)線或三角函數(shù)的圖像進(jìn)行求解.探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測函數(shù)奇偶性的判斷例3判斷下列函數(shù)的奇偶性:(1)f(x)=xsin(π+x);分析:利用函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷.解:(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對稱.又f(x)=xsin(π+x)=-xsin

x,所以f(-x)=-(-x)sin(-x)=-xsin

x=f(x),因此f(x)是偶函數(shù).(2)函數(shù)應(yīng)滿足1+sin

x≠0,所以函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱.所以該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測反思感悟判斷函數(shù)奇偶性的方法(1)函數(shù)的定義域是判斷函數(shù)奇偶性的前提,即首先要看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱,再看f(-x)與f(x)的關(guān)系.(2)注意奇偶性判定法的變通探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測正弦函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用例4比較下列各組數(shù)的大小:分析:變形主要有兩種:一是異名函數(shù)化為同名函數(shù);二是利用誘導(dǎo)公式將角變換到同一單調(diào)區(qū)間上.探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測(4)sin

194°=sin(180°+14°)=-sin

14°,cos

160°=cos(180°-20°)=-cos

20°=-sin

70°.因?yàn)?°<14°<70°<90°,所以sin

14°<sin

70°.所以-sin

14°>-sin

70°,即sin

194°>cos

160°.反思感悟利用正弦函數(shù)的單調(diào)性比較正弦值的大小的方法(1)同名函數(shù),若兩角在同一單調(diào)區(qū)間,直接利用單調(diào)性得出,若兩角不在同一單調(diào)區(qū)間,則要通過誘導(dǎo)公式把角轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間,再進(jìn)行比較;(2)異名函數(shù),先應(yīng)用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為同名函數(shù),然后再比較.探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測分類討論思想在正弦函數(shù)中的應(yīng)用典例求函數(shù)y=asinx+b(a≠0)的最值.解:若a>0,當(dāng)sin

x=1時,ymax=a+b.當(dāng)sin

x=-1時,ymin=-a+b.若a<0,當(dāng)sin

x=-1時,ymax=-a+b,當(dāng)sin

x=1時,ymin=a+b.方法點(diǎn)睛研究函數(shù)的最值時,不但要注意定義域,同時還需注意單調(diào)性.如y=ax+b(a≠0),當(dāng)a>0時為增函數(shù),當(dāng)a<0時為減函數(shù).探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測1.正弦函數(shù)y=sinx(x∈R)的圖像的一條對稱軸是(

)A.y軸 B.x=C.直線x=π D.x軸答案:B2.下列大小關(guān)系正確的是(

)探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測答案:D探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測4.若a=sin1,b=sin2,c=sin3,則a,b,c由小到大的順序?yàn)?/p>

.

解析:由題意知sin

2=sin(π-2),sin

3=sin(π-3),所以sin(π-3)<sin

1<sin(π-2),即sin

3<sin