與圓有關(guān)的最值問題+同步練習(xí) 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊

課時精練29與圓有關(guān)的最值問題一、基礎(chǔ)鞏固選擇題每小題5分，共25分1.設(shè)P是圓(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的動點，Q是直線x＝－3上的動點，則|PQ|的最小值為()6 43 22.已知實數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x－1＝0，則y－2x的最小值和最大值分別為()－9，1 －10，1－9，2 －10，23.(多選)點P在圓C1：x2＋y2＝1上，點Q在圓C2：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上，則()|PQ|的最小值為1|PQ|的最小值為2兩個圓的圓心所在的直線斜率為eq\f(3,4)兩個圓的圓心所在的直線斜率為eq\f(4,3)4.直線y＝kx＋3與圓O：x2＋y2＝1相交于A，B兩點，則△OAB面積的最大值為()1 eq\f(1,2) eq\f(\r(2),4) eq\f(\r(3),4)5.動圓C經(jīng)過點F(1，0)，并且與直線x＝－1相切，若動圓C與直線y＝x＋2eq\r(2)＋1總有公共點，則圓C的面積()有最大值8π 有最小值2π有最小值3π 有最小值4π6.過點(3，1)作圓(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦長為________.7.已知實數(shù)x，y滿足x2＋y2－4x＋1＝0，則x2＋y2的最大值為________.8.已知圓C的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5，點B的坐標(biāo)為(0，2)，設(shè)P，Q分別是直線l：x＋y＋2＝0和圓C上的動點，則|PB|＋|PQ|的最小值為________.9.(15分)已知圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0及點Q(－2，3).(1)若P(a，a＋1)在圓上，求線段PQ的長及直線PQ的斜率；(2)若M為圓C上的任一點，求|MQ|的最大值和最小值.10.(15分)已知實數(shù)x和y滿足(x＋1)2＋y2＝eq\f(1,4)，試求下列各式的最值：(1)eq\f(y,x)；(2)x2＋y2；(3)x＋y.二、綜合運用選擇題每小題5分，共10分11.已知點P是直線l：3x＋4y－7＝0上的動點，過點P引圓C：(x＋1)2＋y2＝r2(r>0)的兩條切線PM，PN，M，N為切點，則當(dāng)PM的最小值為eq\r(3)時，r的值為()2 eq\r(3) eq\r(2) 112.設(shè)點P是函數(shù)y＝－eq\r(－x2＋2x＋3)圖象上任意一點，點Q的坐標(biāo)為(2a，a－3)(a∈R)，當(dāng)|PQ|取得最小值時圓C：(x＋a)2＋(y－2)2＝r2(r>0)上恰有2個點到直線4x－3y－10＝0的距離為1，則實數(shù)r的取值范圍為()eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(22,5)，\f(32,5))) eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(22,5)，6))(3，5) (4，6)13.(15分)已知圓心在x軸上的圓C與直線l：4x＋3y－6＝0切于點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(6,5))).(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知N(2，1)，經(jīng)過原點且斜率為正數(shù)的直線l1與圓C交于P(x1，y1)，Q(x2，y2).①求證：eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)為定值；②求|PN|2＋|QN|2的最大值.三、創(chuàng)新拓展14.已知直線l：x－y＝1與圓M：x2＋y2－2x＋2y－1＝0相交于A，C兩點，點B，D分別在圓M上運動，且位于直線AC兩側(cè)，則四邊形ABCD面積的最大值為________.參考答案1.B[如圖，圓心M(3，－1)與定直線x＝－3的最短距離為|MQ|＝3－(－3)＝6.又因為圓的半徑為2，故所求最短距離為6－2＝4.]2.A[y－2x可看作是直線y＝2x＋b在y軸上的截距，如圖所示，當(dāng)直線y＝2x＋b與圓x2＋y2－4x－1＝0相切時，b取得最大值或最小值，此時eq\f(|2×2＋b|,\r(1＋22))＝eq\r(5)，解得b＝－9或b＝1，所以y－2x的最大值為1，最小值為－9.]3.BC[圓C1：x2＋y2＝1的圓心(0，0)，半徑1；圓C2：(x－4)2＋(y－3)2＝4，圓心(4，3)，半徑2.當(dāng)C1，P，Q和C2按順序四點共線時，|PQ|取得最小值，為|C1C2|－2－1＝5－3＝2，故B正確；兩個圓的圓心所在直線斜率為eq\f(3－0,4－0)＝eq\f(3,4)，故C正確.]4.B[設(shè)圓心到直線的距離為d(0<d<1)，則所截得的弦長l＝2eq\r(1－d2)，所以S△ABO＝eq\f(1,2)·2eq\r(1－d2)·d＝eq\r(（1－d2）·d2)，由基本不等式，可得S△ABO＝eq\r(（1－d2）·d2)≤eq\f(1－d2＋d2,2)＝eq\f(1,2)，當(dāng)且僅當(dāng)d＝eq\f(\r(2),2)時，等號成立.]5.D[設(shè)圓心為(a，b)，半徑為r，r＝|CF|＝|a＋1|，即(a－1)2＋b2＝(a＋1)2，即a＝eq\f(1,4)b2，∴圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)b2，b))，r＝eq\f(1,4)b2＋1，圓心到直線y＝x＋2eq\r(2)＋1的距離為d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(b2,4)－b＋2\r(2)＋1)),\r(2))≤eq\f(b2,4)＋1，∴b≤－2(2eq\r(2)＋3)(舍去)或b≥2，當(dāng)b＝2時，rmin＝eq\f(1,4)×4＋1＝2，∴Smin＝πr2＝4π.]6.2eq\r(2)[設(shè)點A(3，1)，易知圓心C(2，2)，半徑r＝2.當(dāng)弦過點A(3，1)且與CA垂直時為最短弦，|CA|＝eq\r(（2－3）2＋（2－1）2)＝eq\r(2).∴半弦長＝eq\r(r2－|CA|2)＝eq\r(4－2)＝eq\r(2).∴最短弦長為2eq\r(2).]7.7＋4eq\r(3)[由題可知圓心(2，0)到原點的距離為2，半徑r＝eq\r(3)，x2＋y2表示圓上的點到原點的距離的平方，故(2－eq\r(3))2≤x2＋y2≤(2＋eq\r(3))2，即7－4eq\r(3)≤x2＋y2≤7＋4eq\r(3).故x2＋y2的最大值為7＋4eq\r(3).]8.2eq\r(5)[由于點B(0，2)關(guān)于直線l：x＋y＋2＝0的對稱點為B′(－4，－2)，則|PB|＋|PQ|＝|PB′|＋|PQ|≥|B′Q|，又B′到圓C上點Q的最短距離為|B′C|－r＝3eq\r(5)－eq\r(5)＝2eq\r(5)，所以|PB|＋|PQ|的最小值為2eq\r(5).]9.解(1)因為點P(a，a＋1)在圓上，所以a2＋(a＋1)2－4a－14(a＋1)＋45＝0，所以a＝4，P(4，5)，∴|PQ|＝eq\r(（4＋2）2＋（5－3）2)＝2eq\r(10)，直線PQ的斜率kPQ＝eq\f(3－5,－2－4)＝eq\f(1,3).(2)因為圓心C的坐標(biāo)為(2，7)，半徑為2eq\r(2)，所以|CQ|＝4eq\r(2)>2eq\r(2).∴Q在圓外，所以|MQ|max＝4eq\r(2)＋2eq\r(2)＝6eq\r(2)，|MQ|min＝4eq\r(2)－2eq\r(2)＝2eq\r(2).10.解(1)設(shè)k＝eq\f(y,x)，變形為k＝eq\f(y－0,x－0)，此式表示圓(x＋1)2＋y2＝eq\f(1,4)上一點(x，y)與點(0，0)連線的斜率，由k＝eq\f(y,x)，可得y＝kx(x≠0)，此直線與圓有公共點，圓心到直線的距離d≤r，即eq\f(|－k|,\r(k2＋1))≤eq\f(1,2)，解得－eq\f(\r(3),3)≤k≤eq\f(\r(3),3)，故eq\f(y,x)的最大值是eq\f(\r(3),3)，最小值為－eq\f(\r(3),3).(2)由題意知x2＋y2表示圓(x＋1)2＋y2＝eq\f(1,4)上的點到坐標(biāo)原點的距離的平方，顯然當(dāng)圓上的點與坐標(biāo)原點的距離取最大值和最小值時，其平方也相應(yīng)取得最大值和最小值.原點(0，0)到圓心(－1，0)的距離d＝1，故圓上的點到坐標(biāo)原點的最大距離為1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，最小距離為1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).因此x2＋y2的最大值和最小值分別為eq\f(9,4)和eq\f(1,4).(3)令x＋y＝b并將其變形為y＝－x＋b，問題可轉(zhuǎn)化為斜率為－1的直線在經(jīng)過圓(x＋1)2＋y2＝eq\f(1,4)上的點時在y軸上的截距的最值.當(dāng)直線和圓相切時在y軸上的截距取得最大值和最小值，此時有eq\f(|－1－b|,\r(2))＝eq\f(1,2)，解得b＝±eq\f(\r(2),2)－1，即最大值為eq\f(\r(2),2)－1，最小值為－eq\f(\r(2),2)－1.11.D[如圖，由題意得|PM|2＝|PC|2－r2，當(dāng)PC⊥l時，|PC|最小時，|PM|最小.由題意得|PC|min＝d＝eq\f(|3×（－1）＋4×0－7|,\r(32＋42))＝2，所以(eq\r(3))2＝22－r2，所以r＝1.]12.C[由題得如圖所示.點Q的坐標(biāo)為(2a，a－3)·(a∈R)，可得點Q在直線l：x－2y－6＝0上.由y＝－eq\r(－x2＋2x＋3)，兩邊平方可得：(x－1)2＋y2＝4(y≤0)，可得軌跡為半圓，且圓心M(1，0)，經(jīng)過圓心M與直線l垂直的直線MQ的方程為2x＋y－2＝0，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y－2＝0，,x－2y－6＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－2，))∴當(dāng)|PQ|取得最小值時，Q點的坐標(biāo)為(2，－2)，∴2a＝2，解得a＝1.∴圓C的方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)，圓心C(－1，2)到直線4x－3y－10＝0的距離d＝eq\f(|－4－3×2－10|,\r(42＋（－3）2))＝4，又圓上恰有2個點到直線4x－3y－10＝0的距離為1，則實數(shù)r的取值范圍為(4－1，4＋1)，即(3，5).]13.(1)解由圓心在x軸上的圓C與直線l：4x＋3y－6＝0切于點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(6,5)))，設(shè)C(a，0)，又直線l：4x＋3y－6＝0的斜率為－eq\f(4,3)，則kCM＝eq\f(\f(6,5),\f(3,5)－a)＝eq\f(3,4)，所以a＝－1，所以C(－1，0)，|CM|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(3,5)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)))\s\up12(2))＝2，即r＝2，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋y2＝4.(2)①證明設(shè)直線l1：y＝kx(k>0)，與圓聯(lián)立方程組可得(1＋k2)x2＋2x－3＝0，Δ＝4＋12(1＋k2)>0，x1＋x2＝－eq\f(2,1＋k2)，x1x2＝－eq\f(3,1＋k2)，∴eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝eq\f(x1＋x2,x1x2)＝eq\f(－\f(2,1＋k2),－\f(3,1＋k2))＝eq\f(2,3)(為定值).②解|PN|2＋|QN|2＝(x1－2)2＋(y1－1)2＋(x2－2)2＋(y2－1)2＝(x1－2)2＋(kx1－1)2＋(x2－2)2＋(kx2－1)2＝(1＋k2)(x1＋x2)2－2(1＋k2)x1x2－(4＋2k)(x1＋x2)＋10＝eq\f(4（3＋k）,1＋k2)＋16，令t＝3＋k(t>3)，則k＝t－3，所以eq\f(12＋4k,1＋k2)＋16＝eq\f(4t,1＋（t－3）2)＋16＝eq\f(4,t＋\f(10,t)－6)＋16≤eq\f(4,2\r(10)－6)＋16＝2eq\r(10)＋22，當(dāng)且僅當(dāng)t＝eq\f(10,t)，即t＝eq\r(10)時取等號，此時k＝eq\r(10)－3，所以|PN|2＋|QN|2的最大值為2eq\r(10)＋22.14.eq\r(30)[把圓M：x2＋y2－2x＋2y－1＝0化標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝3，圓心M(1，－1)，半徑r＝eq\r(3).直線l與圓相交，由點到直線的距離公式得弦心距d＝eq\f(|1－（－1）－1|,\r(12＋（－1）2))＝eq\f(\r(2),2)，由勾股定理得半弦長＝eq\r(3－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))