涂色問題的解題技巧

涂色問題的解題技巧涂色問題，顧名思義，即是一個圖形需要被填充上顏色，在數(shù)學(xué)中常見的涂色問題多是指平面圖的著色問題。平面圖，簡單來說，就是一個平面內(nèi)由線段和點(diǎn)構(gòu)成的圖形。這種問題有時候看似簡單，但其實(shí)考慮的多樣性非常大，需要掌握不同的技巧。在這篇文章中，我們將深入了解涂色問題，從最簡單的情境出發(fā)，逐步學(xué)習(xí)解題技巧，幫助同學(xué)們更好地解決這一類型的問題。一、初識“著色問題”為了更好地理解什么是涂色問題，我們先來看一個簡單的問題。下面的圖形可以使用多少種顏色進(jìn)行填充，顏色之間不能相鄰（不接觸，包括公共頂點(diǎn)和公共邊）？（圖片來源于網(wǎng)絡(luò)）從圖中我們可以看出，這個問題可以進(jìn)一步簡化為：一個正方形內(nèi)被分為不同的區(qū)域，每個區(qū)域需要涂上顏色且相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色。這時，針對這種題型，我們可以首先想到嘗試使用種子填色法解決。不過這種方法比較麻煩，我們還需要考慮對稱性等問題。因此，在解決這種問題之前，我們需要掌握一些基本的概念，結(jié)合具體的案例，讓這個問題更加清晰。二、基礎(chǔ)概念解析1.相鄰點(diǎn)在任意一個平面圖形中，如果兩個點(diǎn)之間的距離為零，則這兩個點(diǎn)相鄰。比如，上述問題中最中間正方形的四個角點(diǎn)，都是相鄰的。2.相鄰邊如果兩條邊有公共端點(diǎn)，則這兩條邊是相鄰的。3.度數(shù)在一個平面圖中，每個頂點(diǎn)都有其他邊與其相鄰，度數(shù)就表示其他相鄰的邊的數(shù)量。從這里我們可以推出，一個平面圖的所有頂點(diǎn)的度數(shù)之和等于所有邊數(shù)的兩倍。4.圖的染色在數(shù)學(xué)中，我們稱將一個平面圖形上的所有頂點(diǎn)涂上不同顏色的過程為“染色”。同時，我們稱一幅已經(jīng)染色的圖不合法當(dāng)且僅當(dāng)某個頂點(diǎn)相鄰的頂點(diǎn)顏色相同。5.四色定理四色定理是涂色問題中最具有代表性的結(jié)論。這一定理表明，任何地圖（平面圖）都只需要4種顏色即可填滿，且相鄰的區(qū)域必須涂不同的顏色。三、簡單問題的解法在理解了基礎(chǔ)概念之后，我們接下來來解決一個稍微復(fù)雜一些的涂色問題。（圖片來源于網(wǎng)絡(luò)）對于這個問題，我們可以從中心的三角形開始染色，1.首先我們選一個顏色，將中心的三角形涂上。這是因?yàn)檫@個三角形是這個圖形的“核心”，到它的邊界為止，顏色必須一致。2.接著，鄰近的3個三角形只能有2種顏色：顏色1和顏色2。然后再根據(jù)對稱性確定5個角所在區(qū)域的顏色，最后將另外的4個三角形涂上即可。這樣，整張圖就被正確地涂上四種不同的顏色。這個例子看起來比較簡單，但其實(shí)它帶有很多難點(diǎn)。解決這種問題的關(guān)鍵，就是要想到使用對稱性來降低問題的復(fù)雜度。四、進(jìn)階問題的解法在正式解決更復(fù)雜的涂色問題之前，我們先來掌握一些基本的策略。首先，當(dāng)一個圖是二分圖時（即所有頂點(diǎn)可以分為兩組，每組內(nèi)的點(diǎn)之間沒有相鄰關(guān)系），我們只需要使用兩種顏色即可。次之，我們可以利用問題的對稱性進(jìn)行簡化。1.對稱性在許多問題中，都會有對稱性的存在。比如，下面的這個圖形：（圖片來源于網(wǎng)絡(luò)）可以看出，所有的黑色區(qū)域都是能鏡像為另一個黑色區(qū)域的。因此，我們可以先將這張圖涂上兩種顏色，再利用對稱性涂上另外兩種顏色。這時，我們只需要保證不同顏色的區(qū)域之間不相鄰就可以了。2.四色問題的解法四色問題是數(shù)學(xué)中一個相當(dāng)有名的問題，而它的算法也被廣泛應(yīng)用。適用于四色問題的算法主要有以下三種：1)規(guī)則著色法，它是從一個特別好染色的結(jié)點(diǎn)開始向周圍擴(kuò)散染色，保證這個結(jié)點(diǎn)的顏色總會滿足某種規(guī)定。2)SAT算法，基于布爾邏輯，可實(shí)現(xiàn)自動化求解，多用于軟硬件設(shè)計中。3)調(diào)和函數(shù)算法，它關(guān)注的點(diǎn)不是頂點(diǎn)而是邊，定義出一個類似于調(diào)和函數(shù)的函數(shù)，求出這個函數(shù)后，根據(jù)它來選擇合適的顏色。特別鳴謝文章中的部分思路和方法來