安徽省六安皋城中學2023-2024學年九年級上學期期中數(shù)學試題（滬科版）

六安皋城中學2023～2024學年度第一學期期中考試九年級數(shù)學試題時間：120分鐘滿分：150分一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）1.拋物線的圖象一定經(jīng)過（）A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限2.將二次函數(shù)的圖象向右平移2個單位，再向下平移3個單位，得到的函數(shù)圖象的表達式是（）A B.C. D.3.若拋物線與軸只有一個交點，則的取值范圍是（）A B. C. D.4.已知點在反比例函數(shù)的圖像上，且，則下列結(jié)論一定正確的是（）A. B. C. D.5.甲、乙兩地相距1600米，在地圖上，用8厘米表示這兩地距離，那么這幅地圖的比例尺是（）A.1：200 B.1：20000 C.20000：1 D.1：40006.如圖，是的高，若，，則邊的長為（）A. B. C. D.7.如圖，△ABC中，DE∥FG∥BC，且AD：AF：AB=1：2：4，則S△ADE：S四邊形DFGE：S四邊形FBCG等于()A.1：2：4 B.1：4：16 C.1：3：12 D.1：3：78.如圖，數(shù)學活動課上，為測量學校旗桿高度，小菲同學在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端．已知小菲的眼睛離地面高度為，同時量得小菲與鏡子的水平距離為，鏡子與旗桿的水平距離為，則旗桿高度為（）A B. C. D.9.已知拋物線的圖象如圖所示，其對稱軸為直線，那么一次函數(shù)的圖象大致為（）A. B. C. D.10.如圖，在中，，，延長至，使得，點為動點，且，連接，則的最小值為（）A. B.5 C. D.9二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）11.拋物線上的點到x軸最短的距離是____．12.若，則__________．13.如圖，A、B兩點在反比例函數(shù)的圖象上，過點A作軸于點C，交OB于點D．若，的面積為1，則k的值為____________．14.已知直線經(jīng)過拋物線的頂點，且當時，．則：（1）直線與拋物線都經(jīng)過同一個定點，這個定點的坐標是___________；（2）當時，自變量的取值范圍是____________．三、（本大題共2小題，每小題8分，共16分）15.計算：．16.如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，給出了格點（頂點是網(wǎng)格線的交點）和點D，且點D在網(wǎng)格的格點上．（1）以點D為位似中心，將縮小為原來的，得到，請在點D上方畫出；（2）的面積是_________．四、（本大題共2小題，每小題8分，共16分）17.已知頂角為的等腰三角形稱為黃金三角形（底邊與腰的比值為黃金分割比），如圖，，，都是黃金三角形，已知，，求的長度．18.在四邊形中，，過點D作交于點E，連接，，分別交，于點F，G，證明：是和的比例中項．五、（本大題共2小題，每小題10分，共20分）19.如圖，正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像交于點．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）將直線向上平移3個單位后，與軸交于點，與的圖像交于點，連接，求的面積．20.如圖，在△ABC中，點D，E分別在AB，AC邊上，DE∥BC，AD＝2BD，BC＝6．（1）求DE的長；（2）連接CD，若∠ACD＝∠B，求CD的長．六、（本大題共2小題，每小題12分，共24分）21.已知函數(shù)

（1）用描點法畫出此函數(shù)的圖象；（2）根據(jù)圖象，直接寫出當x為何值時，y隨著x的增大而減小?（3）當時，對應(yīng)的自變量x的值有2個，直接寫出k的取值范圍．22.如圖，某小區(qū)有一塊靠墻（墻的長度）的空地，為美化環(huán)境，用總長為的籬笆圍成矩形花圃（矩形一邊靠墻一側(cè)不用籬笆，籬笆的厚度不計）．（1）如圖1，怎么才能圍成一個面積為的矩形花圃；（2）如圖2，若圍成四塊矩形且面積相等的花圃，設(shè)的長度為，求的取值范圍及矩形區(qū)域的面積的最大值．七、本大題（14分）23.問題提出如圖（1），在和中，，，，點在內(nèi)部，直線與交于點，線段，，之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？問題探究（1）先將問題特殊化．如圖（2），當點，重合時，直接寫出一個等式，表示，，之間的數(shù)量關(guān)系；（2）再探究一般情形．如圖（1），當點，不重合時，證明（1）中的結(jié)論仍然成立．問題拓展如圖（3），在和中，，，（是常數(shù)），點在內(nèi)部，直線與交于點，直接寫出一個等式，表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．

六安皋城中學2023～2024學年度第一學期期中考試九年級數(shù)學試題時間：120分鐘滿分：150分一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）1.拋物線的圖象一定經(jīng)過（）A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限【答案】A【解析】【分析】根據(jù)拋物線的圖象和性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：∵拋物線的圖象得對稱軸為y軸，頂點坐標為原點，開口向上，∴拋物線的圖象一定經(jīng)過第一、二象限．故選：A【點睛】本題主要查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2.將二次函數(shù)的圖象向右平移2個單位，再向下平移3個單位，得到的函數(shù)圖象的表達式是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平移的規(guī)律進行求解即可得答案.【詳解】將二次函數(shù)的圖象向右平移2個單位，可得：再向下平移3個單位，可得：故答案：C.【點睛】本題考查了平移的規(guī)律：上加下減，最加右減，注意上下平移動括號外的，左右平移動括號里的.3.若拋物線與軸只有一個交點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)拋物線與軸只有一個交點，轉(zhuǎn)化為方程只有一個解，令，即可求解．【詳解】解：∵拋物線與軸只有一個交點，∴方程的，即，解得：，故選：B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與軸的交點問題，轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的判別式問題是解題的關(guān)鍵．4.已知點在反比例函數(shù)的圖像上，且，則下列結(jié)論一定正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把點A和點B的坐標代入解析式，根據(jù)條件可判斷出、的大小關(guān)系．【詳解】解：∵點，）是反比例函數(shù)的圖像上的兩點，∴，∵，∴，即，故D正確．故選：D．【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)圖像上點的坐標特征，掌握圖像上點的坐標滿足函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．5.甲、乙兩地相距1600米，在地圖上，用8厘米表示這兩地的距離，那么這幅地圖的比例尺是（）A.1：200 B.1：20000 C.20000：1 D.1：4000【答案】B【解析】【分析】先把1600米化成160000厘米，再根據(jù)比例尺的定義求出答案即可．【詳解】解：∵1600米＝160000厘米，∴這幅地圖的比例尺是8：160000＝1：20000，故選B．【點睛】本題考查比例尺的定義，但要先注意把單位統(tǒng)一，然后再根據(jù)定義求出答案．6.如圖，是的高，若，，則邊的長為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先解直角求出AD，再在直角中應(yīng)用勾股定理即可求出AB．【詳解】解：∵，∴，∵直角中，，∴，∴直角中，由勾股定理可得，．故選D．【點睛】本題考查利用銳角函數(shù)解直角三角形和勾股定理，難度較小，熟練掌握三角函數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵．7.如圖，在△ABC中，DE∥FG∥BC，且AD：AF：AB=1：2：4，則S△ADE：S四邊形DFGE：S四邊形FBCG等于()A.1：2：4 B.1：4：16 C.1：3：12 D.1：3：7【答案】C【解析】【分析】由于DE∥FG∥BC，那么△ADE△AFGABC，根據(jù)AD：AF：AB=1：2：4，可得出三個相似三角形的面積比，進而得出△ADE、四邊形DFGE、四邊形FBCG的面積比.【詳解】設(shè)△ADE的面積為a,則△AFG和△ABC的面積分別是4a、16a;則分別是3a、12a;則S△ADE：S四邊形DFGE：S四邊形FBCG=1：3：12故選C.【點睛】本題主要考查相似三角形，解題突破口是根據(jù)平行性質(zhì)推出△ADE△AFGABC.8.如圖，數(shù)學活動課上，為測量學校旗桿高度，小菲同學在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端．已知小菲的眼睛離地面高度為，同時量得小菲與鏡子的水平距離為，鏡子與旗桿的水平距離為，則旗桿高度為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)鏡面反射性質(zhì)，可求出，再利用垂直求，最后根據(jù)三角形相似的性質(zhì)，即可求出答案.【詳解】解：如圖所示，由圖可知，，，.根據(jù)鏡面的反射性質(zhì)，∴，∴，，，.小菲的眼睛離地面高度為，同時量得小菲與鏡子的水平距離為，鏡子與旗桿的水平距離為，，，...故選：B.【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握鏡面反射的基本性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì).9.已知拋物線的圖象如圖所示，其對稱軸為直線，那么一次函數(shù)的圖象大致為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)得出，進而得出，，判斷出一次函數(shù)的圖象過第一、三、四象限，再判斷一次函數(shù)與y軸交點在與0之間，一次函數(shù)與x軸交點是1，即可得出答案．【詳解】解：∵拋物線對稱軸為直線，∴，∴，根據(jù)二次函數(shù)：，，∴，，∴一次函數(shù)的圖象過第一、三、四象限，當時，，∴，∴一次函數(shù)與y軸交點在與0之間，當時，，∴，∴一次函數(shù)與x軸交點是1，故選：D．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10.如圖，在中，，，延長至，使得，點為動點，且，連接，則的最小值為（）A. B.5 C. D.9【答案】A【解析】【分析】如圖所示，取中點H，連接，過點D作于G，由三線合一定理得到三點共線，即點P在直線上運動，則當點P與點G重合時，最小，最小為，證明，得到，然后根據(jù)已知條件求出對應(yīng)線段的長即可求出答案．【詳解】解：如圖所示，取中點H，連接，過點D作于G，∵，，H為的中點，∴，∴三點共線，即點P在直線上運動，∴當點P與點G重合時，最小，最小為，∵，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴，故選A．【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，三線合一定理，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）11.拋物線上的點到x軸最短的距離是____．【答案】3【解析】【分析】將化為，再進行判斷圖像與軸是否相交，進一步計算即可．【詳解】，，＜，該二次函數(shù)圖像與橫坐標軸不相交，該函數(shù)圖像開口向上，則頂點距橫軸距離最短，最短距離為時，，故答案為：．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖像與坐標軸的位置關(guān)系，找準兩者位置關(guān)系為關(guān)鍵．12.若，則__________．【答案】【解析】【分析】設(shè)，則，，然后代入計算即可．【詳解】解：設(shè)，則，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查的是比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握設(shè)k法．13.如圖，A、B兩點在反比例函數(shù)的圖象上，過點A作軸于點C，交OB于點D．若，的面積為1，則k的值為____________．【答案】【解析】【分析】作軸于E，證明，可得，設(shè)，可得，求出，然后根據(jù)的面積為1列式即可求出k的值．【詳解】解：作軸于E，∵軸于點C，∴，∴，∴，∵，∴，設(shè)，則，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)的面積為1列出關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．14.已知直線經(jīng)過拋物線的頂點，且當時，．則：（1）直線與拋物線都經(jīng)過同一個定點，這個定點坐標是___________；（2）當時，自變量的取值范圍是____________．【答案】①.②.或【解析】【分析】（1）分別把兩拋物線解析式變形，可得與都經(jīng)過同一個定點；（2）求出直線與拋物線的交點坐標為，，再根據(jù)時，，畫出大致圖象，根據(jù)函數(shù)圖象可得答案．【詳解】解：（1）∵，∴直線經(jīng)過點，∵，∴拋物線經(jīng)過點，即與都經(jīng)過同一個定點，故答案為：；（2）∵，∴拋物線的頂點坐標為，∵直線經(jīng)過拋物線的頂點，∴直線與拋物線的交點為，，∵當時，，∴，，畫出大致圖象如下：∴當時，的取值范圍是或，故答案為：或．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)與不等式，涉及到二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)，畫出函數(shù)大致圖象是解題的關(guān)鍵．三、（本大題共2小題，每小題8分，共16分）15.計算：．【答案】【解析】【分析】利用二次根式和絕對值的性質(zhì)化簡，代入特殊角三角函數(shù)值，然后計算即可．【詳解】解：原式．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，特殊角三角函數(shù)值的運算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)，牢記特殊角三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．16.如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，給出了格點（頂點是網(wǎng)格線的交點）和點D，且點D在網(wǎng)格的格點上．（1）以點D為位似中心，將縮小為原來的，得到，請在點D上方畫出；（2）的面積是_________．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）利用位似圖形的性質(zhì)，找出點A，B，C的對應(yīng)點、、的位置，順次連接即可；（2）根據(jù)網(wǎng)格特點，利用三角形的面積公式計算即可．【小問1詳解】解：如圖所示：【小問2詳解】由圖形得：，故答案為：．【點睛】本題考查了作位似圖形，三角形面積計算，熟練掌握位似圖形的性質(zhì)以及網(wǎng)格特點是解題的關(guān)鍵．四、（本大題共2小題，每小題8分，共16分）17.已知頂角為的等腰三角形稱為黃金三角形（底邊與腰的比值為黃金分割比），如圖，，，都是黃金三角形，已知，，求的長度．【答案】【解析】【分析】證明，可得，從而得到，進而得到，即可求解．【詳解】解：∵，，都是黃金三角形，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，代入①整理得，，解得：，∵，∴，∵，∴【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，黃金三角形的定義，解題的關(guān)鍵是理解黃金三角形的定義．18.在四邊形中，，過點D作交于點E，連接，，分別交，于點F，G，證明：是和的比例中項．【答案】證明見解析【解析】【分析】先證明，，再由相似三角形的性質(zhì)可得，，即可證明．【詳解】證明：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴是和的比例中項．【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，以及比例中項的定義，找到題中的相似三角形是解題的關(guān)鍵．五、（本大題共2小題，每小題10分，共20分）19.如圖，正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像交于點．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）將直線向上平移3個單位后，與軸交于點，與的圖像交于點，連接，求的面積．【答案】（1）（2）3【解析】【分析】（1）待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）根據(jù)平移的性質(zhì)求得平移后函數(shù)解析式，確定B點坐標，然后待定系數(shù)法求直線的解析式，從而利用三角形面積公式分析計算．【小問1詳解】解：把代入中，，解得，∴，把代入中，，解得，∴反比例函數(shù)的解析式為；【小問2詳解】解：將直線向上平移3個單位后，其函數(shù)解析式為，當時，，∴點B的坐標為，設(shè)直線的函數(shù)解析式為，將，代入可得，解得，∴直線的函數(shù)解析式為，聯(lián)立方程組，解得，∴C點坐標為，過點C作軸，交于點，在中，當時，，∴，∴．【點睛】本題考查一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點問題，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，運用數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵．20.如圖，在△ABC中，點D，E分別在AB，AC邊上，DE∥BC，AD＝2BD，BC＝6．（1）求DE的長；（2）連接CD，若∠ACD＝∠B，求CD的長．【答案】（1）DE＝4，（2）CD＝2．【解析】【分析】（1）設(shè)AD＝2x，BD＝x，易證△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性質(zhì)可求出DE的長度；（2）證明△ADE∽△ACD，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出得出，從而可求出CD的長度．【詳解】解：設(shè)AD＝2x，BD＝x，∴AB＝3x，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴，∴DE＝4，（2）∵∠ACD＝∠B，∠ADE＝∠B，∴∠ADE＝∠ACD，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACD，∴，設(shè)AE＝2y，AC＝3y，∴，∴AD＝y(tǒng)，∴，∴CD＝2．【點睛】本題考查相似三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運用相似三角形的性質(zhì)與判定，本題屬于中等題型．六、（本大題共2小題，每小題12分，共24分）21.已知函數(shù)

（1）用描點法畫出此函數(shù)的圖象；（2）根據(jù)圖象，直接寫出當x為何值時，y隨著x的增大而減小?（3）當時，對應(yīng)的自變量x的值有2個，直接寫出k的取值范圍．【答案】（1）見解析（2）或（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)關(guān)系式描點連線即可；（2）結(jié)合圖象即可得出x的取值范圍；（3）結(jié)合圖象即可得出k的取值范圍．【小問1詳解】函數(shù)經(jīng)過的點有，，，，函數(shù)圖象如下：

【小問2詳解】函數(shù)的對稱軸為，由圖象可得，當或時，y隨著x的增大而減小，【小問3詳解】當時，對應(yīng)的自變量x的值有2個，此時．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象以及一次函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合的思想解是解題的關(guān)鍵．22.如圖，某小區(qū)有一塊靠墻（墻的長度）的空地，為美化環(huán)境，用總長為的籬笆圍成矩形花圃（矩形一邊靠墻一側(cè)不用籬笆，籬笆的厚度不計）．（1）如圖1，怎么才能圍成一個面積為的矩形花圃；（2）如圖2，若圍成四塊矩形且面積相等的花圃，設(shè)的長度為，求的取值范圍及矩形區(qū)域的面積的最大值．【答案】（1）AC=18m，BC=24m的長方形；（2），0＜x＜20．【解析】【分析】（1）設(shè)BC邊長為xm，則AB=m，根據(jù)矩形的面積公式求得即可．（2）根據(jù)提意求出AB長，把矩形的面積轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求出即可．【詳解】解：（1）設(shè)BC的邊長為xm，則AB=，∵．解得：x=24或36（舍去），又因為AD不能長過墻，即0＜x＜30，∴x=24，則AB=18m,∴圍成AC=18m，BC=24m的長方形；（2）由題意可得：矩形EFMN面積=矩形BCFE面積．∴ME=BE，∴∴AM=2ME∴GH=AM=AB．由于圍成四塊矩形且面積相等的花圃，所以籬笆的長度還包