新教材同步系列2024春高中數(shù)學第六章平面向量及其應用6.4.3余弦定理正弦定理第3課時余弦定理正弦定理應用舉例時課件新人教A版必修第二冊

第六章平面向量及其應用6.4平面向量的應用6.4.3余弦定理、正弦定理第3課時余弦定理、正弦定理應用舉例學習目標素養(yǎng)要求1．理解測量中的基線等有關名詞、術語的確切含義直觀想象2．會利用正、余弦定理解決生產(chǎn)實踐中的有關距離、高度、角度等問題數(shù)學建模3．掌握三角形的面積公式的簡單推導和應用邏輯推理、數(shù)學運算|自學導引|基線的概念與選擇原則1．定義在測量上，根據(jù)測量的需要而確定的________叫做基線．2．性質在測量過程中，要根據(jù)實際需要選取合適的____________，使測量具有較高的精確度．一般來說，基線越長，測量的精確度越______．線段

基線長度高3．實際測量中的有關名稱、術語名稱定義圖示仰角在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線上方時與水平線的夾角俯角在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線下方時與水平線的夾角名稱定義圖示方向角從指定方向線到目標方向線的水平角(指定方向線是指正北或正南或正東或正西，方向角小于90°)南偏西60°(指以正南方向為始邊，轉向目標方向線形成的角)方位角從正北的方向線按順時針到目標方向線所轉過的水平角【預習自測】李堯出校向南前進了200米，再向東走了200米，回到自己家中，你認為李堯的家在學校的哪個方向？【提示】東南方向．三角形的面積公式(1)三角形的面積公式適用于所有的三角形嗎？(2)已知三角形的兩個內(nèi)角及一邊能求三角形的面積嗎？【提示】(1)適用．三角形的面積公式對任意的三角形都成立．(2)能．利用正弦定理或余弦定理求出另外的邊或角，再根據(jù)面積公式求解．|課堂互動|題型1測量距離問題海上A，B兩個小島相距10海里，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成75°的視角，則B，C間的距離是(

)【答案】D測量距離的基本類型及方案類型A，B兩點間不可達或不可視A，B兩點間可視，但有一點不可達A，B兩點都不可達圖形

類型A，B兩點間不可達或不可視A，B兩點間可視，但有一點不可達A，B兩點都不可達方法先測∠C，AC＝b，BC＝a，再用余弦定理求AB以點A不可達為例，先測角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB測得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC；在△BCD中用正弦定理求BC；在△ABC中用余弦定理求AB1．如圖，為了測定河的寬度，在一岸邊選定兩點A，B，望對岸標記物C，測得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，則河的寬度為________m．【答案】60題型2測量高度問題如圖，為了測量河對岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點C和D，測得CD＝200米，在點C和點D測得塔頂A的仰角分別是45°和30°，且∠CBD＝30°，則塔高AB為__________米．【答案】200測量高度問題的基本類型和解決方案當AB的高度不可直接測量時，求AB的高度有以下三種類型：類型簡圖計算方法底部可達測得BC＝a，C的大小，AB＝a·tanC類型簡圖計算方法底部不可達點B與C，D共線測得CD＝a及∠ACB與∠ADB的度數(shù)．先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值點B與C，D不共線測得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度數(shù)．在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值2．在200米高的山頂上測得山下一塔頂和塔底的俯角分別是30°和60°，則塔高為 (

)【答案】A測量角度問題的基本思想測量角度問題的關鍵是在弄清題意的基礎上，畫出實際問題的圖形，并在圖形中標有關的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結果轉化為實際問題的解．

3．在一次抗洪搶險中，某救生艇的發(fā)動機突然發(fā)生故障停止轉動，失去動力的救生艇在洪水中漂行，此時，風向是北偏東30°，風速是20km/h；水的流向是正東，流速是20km/h，若不考慮其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向為北偏東_________，大小為_________km/h．【解析】如圖，∠AOB＝60°，由余弦定理知OC2＝202＋202－800cos120°＝1200，題型4三角形的面積問題易錯警示錯用公式、解題方法不當致誤易錯防范：如此復雜的算式，計算困難．其原因是公式不熟、方法不當．|素養(yǎng)達成|1．正、余弦定理在實際測量中應用的一般步驟．(1)分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖．(2)建模：根據(jù)已知條件與求解目標，把已知量與求解量盡量集中在有關的三角形中，建立一個解斜三角形的數(shù)學模型．(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學模型的解．(4)檢驗：檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解．2．解三角形的應用題時，通常會遇到兩種情況．(體現(xiàn)直觀想象和數(shù)學建模核心素養(yǎng))(1)已知量與未知量全部集中在一個三角形中，依次利用正弦定理和余弦定理解之．(2)已知量與未知量涉及兩個或幾個三角形，這時需要選擇條件足夠的三角形優(yōu)先研究，再逐步在其余的三角形中求出問題的解．1．(題型4)在△ABC中，a＝6，b＝4，C＝30°，則△ABC的面積是 (

)A．6 B．12【答案】A2．(題型1)如圖，為了測量隧道口AB的長度，給定下列四組數(shù)據(jù)，測量時最適宜選用的數(shù)據(jù)是 (

)A．α，a，b B．α，β，aC．a(chǎn)，b，γ D．α，β，b【答案】C3．(題型3)小強站在地面上觀察一個建在山頂上的建筑物，測得其視角為α，同時測得觀察該建筑物頂部的仰角為β，則小強觀測山頂?shù)难鼋菫? (

)A．α＋β B．α－βC．β－α D．α【答案】C【解析】如圖，設小強觀測山頂?shù)难鼋菫棣?，則β－γ＝α，因此γ＝β－