新教材同步系列2024春高中數(shù)學第六章平面向量及其應用6.3平面向量基本定理及坐標表示6.3.1平面向量基本定理課件新人教A版必修第二冊

第六章平面向量及其應用6.3平面向量基本定理及坐標表示6.3.1平面向量基本定理學習目標素養(yǎng)要求1．理解平面向量基本定理及其意義，了解向量基底的含義數(shù)學抽象2．會用基底表示平面向量數(shù)學運算|自學導引|平面向量基本定理1．定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個____________，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝___________.2．基底：不共線的向量{e1，e2}叫做這一平面內(nèi)__________的一個________．不共線向量λ1e1＋λ2e2

所有向量基底(1)平面向量基本定理中基底的特征是什么？(2)在平面向量基本定理中為何要求向量e1，e2不共線？【提示】(1)不共線性和不唯一性．(2)若向量e1，e2共線，則λ1e1＋λ2e2與向量e1，e2共線，即向量λ1e1＋λ2e2只能表示與向量e1，e2共線的向量，無法表示平面內(nèi)其他的向量．平面向量基本定理的唯一性設a，b是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，則__________．【預習自測】設向量e1與e2不共線，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，求實數(shù)x，y的值．|課堂互動|題型1對平面向量基本定理的理解

(1)(多選)設O是平行四邊形ABCD兩條對角線的交點，下列向量組中可作為這個平行四邊形所在的平面的基底的有 (

)(2)如果e1，e2是平面α內(nèi)兩個不共線的向量，那么下列說法中不正確的是__________(填序號)．①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α內(nèi)的所有向量；②對于平面α內(nèi)任一向量a，使a＝λe1＋μe2的實數(shù)對(λ，μ)有無窮多個；③若向量λ1e1＋μ1e2與λ2e1＋μ2e2共線，則有且只有一個實數(shù)λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若存在實數(shù)λ，μ使得λe1＋μe2＝0，則λ＝μ＝0．【答案】(1)AC

(2)②③【解析】(1)如圖所示，A，C中的向量不共線，可以作為基底，B，D中的向量共線，不能作基底．(2)由平面向量基本定理可知，①④是正確的；對于②，由平面向量基本定理可知，一旦一個平面的基底確定，那么任意一個向量在此基底下的實數(shù)對是唯一的；對于③，當兩向量的系數(shù)均為零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0時，這樣的λ有無數(shù)個．對基底的理解(1)兩個向量能否作為一組基底，關鍵是看這兩個向量是否共線，若共線，則不能作基底，反之，則可作基底．(2)一個平面的基底一旦確定，那么平面上任意一個向量都可以由這組基底唯一線性表示出來．設向量a與b是平面內(nèi)兩個不共線的向量，提醒：一個平面的基底不是唯一的，同一個向量用不同的基底表示，表達式不一樣．1．(1)如圖，點O為正六邊形ABCDEF的中心，則可作為基底的一對向量是

(

)(2)若a，b不共線，且la＋mb＝0(l，m∈R)，則l＝__________，m＝__________．【答案】(1)B

(2)0

0【答案】(1)ABC用基底表示向量的三個依據(jù)和兩個“模型”(1)依據(jù)：①向量加法的三角形法則和平行四邊形法則；②向量減法的幾何意義；③數(shù)乘向量的幾何意義．(2)模型：題型3平面向量基本定理的應用如圖，在△ABC中，M是BC的中點，點N在AC上，且AN＝2NC，AM與BN相交于點P，求AP∶PM與BP∶PN的值．(2)重要結論：設e1，e2是平面內(nèi)一組基底，當λ1e1＋λ2e2＝0時恒有λ1＝λ2＝0若a＝λ1e1＋λ2e2當λ2＝0時，a與e1共線當λ1＝0時，a與e2共線λ1＝λ2＝0時，a＝0易錯警示對基底的定義理解不準確致誤已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，則a與b共線的條件是 (

)A．λ＝0 B．e2＝0C．e1∥e2 D．λ＝0或e1∥e2錯解：A，B，C易錯防范：一定要注意“不共線”這個條件，做題時容易忽略此條件而致錯，同時還要注意零向量不能作為基底．正解：若e1，e2共線，即e1∥e2時，易得a與b共線；若e1，e2不共線，要使a與b共線，則存在m，使a＝mb，即e1＋λe2＝2me1，得λ＝0．當λ＝0或e1∥e2時，a與b共線．故選D．|素養(yǎng)達成|1．任意一向量基底表示的唯一性的理解2．任意一向量基底表示的唯一性的應用平面向量基本定理指出了平面內(nèi)任一向量都可以表示為同一平面內(nèi)兩個不共線向量e1，e2的線性組合λ1e1＋λ2e2．在具體求λ1，λ2時有兩種方法：(1)直接利用三角形法則、平行四邊形法則及向量共線定理．(2)利用待定系數(shù)法，即利用定理中λ1，λ2的唯一性列方程組求解．(體現(xiàn)數(shù)學抽象的核心素養(yǎng))3．平面向量基本定理體現(xiàn)了轉化與化歸的數(shù)學思想，用向量解決幾何問題時，我們可以選擇適當?shù)幕?，將問題中涉及的向量向基底化歸，使問題得以解決．(體現(xiàn)直觀想象和邏輯推理核心素養(yǎng))1．(題型1)(多選)下列關于基底的說法正確的有 (

)A．平面內(nèi)不共線的任意兩個向量都可作為一組基底B．基底中的向量可以是零向量C．平面內(nèi)的基底一旦確定，該平面內(nèi)的向量關于基底的線性分解形式也是唯一確定的D．對于確定的向量，表示該向量的基底是唯一的【答案】AC【解析】零向量與任意向量共線，故零向量不能作為基底中的向量，故B錯；平面內(nèi)兩不共線的向量都可以作為一組基底，故D錯．A，C正確．【答