阿波羅尼斯圓及其應(yīng)用 微點(diǎn)4 阿波羅尼斯圓與圓錐曲線

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁阿波羅尼斯圓及其應(yīng)用微點(diǎn)4阿波羅尼斯圓與圓錐曲線專題1阿波羅尼斯圓及其應(yīng)用微點(diǎn)4阿波羅尼斯圓與圓錐曲線【微點(diǎn)綜述】有些涉及圓錐曲線與圓的綜合題，其中已知條件含有阿波羅尼斯圓的背景，可以結(jié)合阿波羅尼斯圓以及圓錐曲線的幾何性質(zhì)解決問題．【典例刨析】1．設(shè)雙曲線的左右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，是雙曲線上任意一點(diǎn)，過的直線與的平分線垂直，垂足為，則點(diǎn)的軌跡曲線的方程________；在曲線上，點(diǎn)，，則的最小值________.（2022·廣東梅州·高二月考）2．希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓”．后來，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)是滿足的阿氏圓上的任一點(diǎn)，則該阿氏圓的方程為____；若點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在軸上的射影為，則的最小值為______．（2022安徽黃山·一模）3．在平面上給定相異兩點(diǎn)A，B，設(shè)點(diǎn)P在同一平面上且滿足，當(dāng)且時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故我們稱這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有雙曲線，分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，A，B為雙曲線虛軸的上?下端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，面積的最大值為4.點(diǎn)M，N在雙曲線上，且關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，Q是雙曲線上一點(diǎn)，直線和的斜率滿足，則雙曲線方程是______________；過的直線與雙曲線右支交于C，D兩點(diǎn)(其中C點(diǎn)在第一象限)，設(shè)點(diǎn)?分別為?的內(nèi)心，則的范圍是____________.（2022吉林·梅河口五中學(xué)高三期末）4．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（約公元前262-190年)，與歐幾里得、阿基米德并稱古希臘三大數(shù)學(xué)家；他的著作《圓錐曲線論》是古代數(shù)學(xué)光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)絡(luò)殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地．他發(fā)現(xiàn)“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓”．后來，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．比如在平面直角坐標(biāo)系中，、，則點(diǎn)滿足所得點(diǎn)軌跡就是阿氏圓；已知點(diǎn)，為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在直線上的射影為，為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為___________．則的最小值為____________．（2022湖北·武漢新洲區(qū)城關(guān)高中高二開學(xué)考試）5．阿波羅尼斯（古希臘數(shù)學(xué)家，公元前262-190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地．他證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)（，且）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓．現(xiàn)有橢圓，，為橢圓的長軸端點(diǎn)，，為橢圓的短軸端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，面積的最大值為6，面積的最小值為1，則橢圓的方程為_________（2022·河北·衡水二中高二期中）6．公元前三世紀(jì)，阿波羅尼斯在《圓錐曲線論》中明確給出了橢圓的一個(gè)基本性質(zhì)：如圖，過橢圓上任意一點(diǎn)P（不同于A，B）作長軸的垂線，垂足為Q，則為常數(shù)k．若，則該橢圓的離心率為______．（2022江蘇·高二單元測試）7．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中．阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩定點(diǎn)，的距離之比，是一個(gè)常數(shù)，那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓，圓心在直線上．已知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，定點(diǎn)分別為橢圓的右焦點(diǎn)與右頂點(diǎn)，且橢圓的離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，過右焦點(diǎn)斜率為的直線與橢圓相交于，（點(diǎn)在軸上方），點(diǎn)，是橢圓上異于，的兩點(diǎn)，平分，平分．①求的取值范圍；②將點(diǎn)、、看作一個(gè)阿波羅尼斯圓上的三點(diǎn)，若外接圓的面積為，求直線的方程．【針對(duì)訓(xùn)練】（2022·安徽皖北聯(lián)盟高二聯(lián)考）8．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯采用平面切割圓錐的方法來研究圓錐曲線，用垂直于圓錐軸的平面去截圓雉，得到的截面是圓；把平面再漸漸傾斜得到的截面是橢圓.若用面積為128的矩形截某圓錐得到橢圓，且與矩形的四邊相切.設(shè)橢圓在平面直角坐標(biāo)系中的方程為，下列選項(xiàng)中滿足題意的方程為（

）A． B． C． D．（2022·河南·新蔡一中高二月考）9．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將之稱為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有橢圓為橢圓長軸的端點(diǎn)，為橢圓短軸的端點(diǎn)，，分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足面積的最大值為面積的最小值為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．（2022北京八一中學(xué)高三期末）10．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地，他證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)（且）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將之稱為阿波羅尼斯圓，現(xiàn)有橢圓，、為橢圓長軸的端點(diǎn)，、為橢圓短軸的端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，的面積的最大值為，的面積的最小值為，則橢圓的離心率為______.（2022·廣東廣州·高二期末）11．在平面上給定相異兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)P滿足，則當(dāng)且時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，我們稱這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓.已知橢圓的離心率，A，B為橢圓的長軸端點(diǎn)，C，D為橢圓的短軸端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，若的面積的最大值為3，則面積的最小值為___________.（2022湖南·益陽箴言中學(xué)高二月考）12．阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)（且）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓，現(xiàn)有則的面積最大值為______，此時(shí)AC的長為______.（2022·浙江·高三開學(xué)考試）13．公元前3世紀(jì)，阿波羅尼奧斯在《圓錐曲線論》中明確給出了橢圓和圓的一個(gè)基本性質(zhì)：如圖，過橢圓（或圓）上任意一點(diǎn)P（不同于A，B）作長軸（或直徑）AB的一條垂線段，垂足為，則為常數(shù)．若此圖形為圓，則____________；若，則此圖形的離心率為____________．（2022·湖北·荊門龍泉中學(xué)二模）14．歷史上第一個(gè)研究圓錐曲線的是梅納庫莫斯（公元前375年-325年），大約100年后，阿波羅尼斯更詳盡、系統(tǒng)地研究了圓錐曲線，并且他還進(jìn)一步研究了這些圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)：如圖甲，從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線或聲波，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，其中法線表示與橢圓C的切線垂直且過相應(yīng)切點(diǎn)的直線，如圖乙，橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，由發(fā)出的光經(jīng)橢圓兩次反射后回到經(jīng)過的路程為．利用橢圓的光學(xué)性質(zhì)解決以下問題：（1）橢圓C的離心率為__________．（2）點(diǎn)P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，橢圓在點(diǎn)P處的切線為在l上的射影H在圓上，則橢圓C的方程為__________．（2022·北京朝陽·高二期末）15．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓.人們將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，給出下列四個(gè)結(jié)論：①曲線的方程為；②曲線上存在點(diǎn)，使得到點(diǎn)的距離為；③曲線上存在點(diǎn)，使得到點(diǎn)的距離大于到直線的距離；④曲線上存在點(diǎn)，使得到點(diǎn)與點(diǎn)的距離之和為.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．

【解析】延長與的延長線交于點(diǎn)，計(jì)算得到軌跡方程，取點(diǎn)，，解得答案.【詳解】如圖所示：延長與的延長線交于點(diǎn)，則，故軌跡方程為.取點(diǎn)，則，，故，，當(dāng)共線時(shí)等號(hào)成立.故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查了軌跡方程，長度的最值問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力，取點(diǎn)證明相似是解題的關(guān)鍵.2．

##【分析】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意寫出關(guān)于與的關(guān)系式化簡即可；利用拋物線的定義可知，進(jìn)而可得，即得.【詳解】設(shè)點(diǎn)，，∴.拋物線的焦點(diǎn)為點(diǎn)，由題意知，，∴.故答案為：；.3．

【解析】設(shè)，根據(jù)，求得，結(jié)合的最大面積得到，再根據(jù)，得出，設(shè)邊上的切點(diǎn)分別為，根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)，得到軸，設(shè)直線的傾斜角為，在中，得到，進(jìn)而求得的取值范圍.【詳解】設(shè)，由題意知，可得，即，整理得，可得圓心為，半徑，所以的最大面積為，解得，即，設(shè)，則，則，可得，同理則，則，整理得，所以雙曲線的方程為.如圖所示，設(shè)邊上的切點(diǎn)分別為，則橫坐標(biāo)相等，則，由，即，即，即，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，于是，可得，同樣內(nèi)心的橫坐標(biāo)也為，則軸，設(shè)直線的傾斜角為，則，在中，，由雙曲線的方程，可得，則，可得，又由直線為雙曲線右支上的點(diǎn)，且漸近線的斜率為，傾斜角為，可得，即，可得的取值范圍是.故答案為：；.【點(diǎn)睛】解答圓錐曲線的最值問題的方法與策略：（1）幾何轉(zhuǎn)化代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質(zhì)來解決；（2）函數(shù)取值法：若題目的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）單調(diào)性法；（4）三角換元法；（5）導(dǎo)數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍.4．

；

【分析】（1）先利用阿氏圓的定義將轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到另一個(gè)定點(diǎn)D的距離，然后結(jié)合拋物線的定義容易求得的最小值；（2）由（1）知，又當(dāng)過點(diǎn)M的圓的切線與直線平行且離直線近時(shí)，取得最小值即可求解.【詳解】解：設(shè)，由題意，即，整理得．因?yàn)閳A可以看作把圓向左平移兩個(gè)單位得到的，那么點(diǎn)平移后變?yōu)?，所以根?jù)阿氏圓的定義，滿足，結(jié)合拋物線定義，（當(dāng)且僅當(dāng)，，，四點(diǎn)共線，且，在，之間時(shí)取等號(hào)），此時(shí)，故的最小值為．（當(dāng)且僅當(dāng)M，Q，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立），根據(jù)光學(xué)的最短光程原理，我們從C點(diǎn)發(fā)出一束光，想讓光再經(jīng)過F點(diǎn)，光所用的時(shí)間一定是最短的，由于介質(zhì)不變，自然可以把時(shí)間最短看作光程最短。而光的反射性質(zhì)為法線平分入射光線與反射光線的夾角，并且法線垂直于過這一點(diǎn)的切線。于是我們得到，當(dāng)過點(diǎn)M的切線與的角平分線垂直，即當(dāng)過點(diǎn)M的圓的切線與直線平行且離直線近時(shí)，取得最小值，此時(shí)切線方程為，聯(lián)立可得，此時(shí)，所以.故答案為：；.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）問解題的關(guān)鍵是根據(jù)阿氏圓的定義，得滿足；（2）問解題的關(guān)鍵是當(dāng)過點(diǎn)M的圓的切線與直線平行且離直線近時(shí)，取得最小值.5．【分析】求得定點(diǎn)的軌跡方程可得，，解得，即得解.【詳解】設(shè)，，．動(dòng)點(diǎn)滿足，則，化簡得面積的最大值為8，面積的最小值為1，，，解得，，橢圓的方程為故答案為：.6．【分析】設(shè)橢圓方程為、并確定坐標(biāo)，可得，，，代入題設(shè)等式，結(jié)合橢圓參數(shù)的關(guān)系列方程求離心率即可.【詳解】設(shè)橢圓方程為且，若，，則，，，所以，而，即，所以.故答案為：.7．（1）；（2）①；②．【分析】（1）方法1，利用特殊值法，求得橢圓方程，方法2，利用定義整理得，再根據(jù)條件列式求得橢圓方程；方法3，利用定義進(jìn)行整理，由為常數(shù)，求得系數(shù)，得到橢圓方程；（2）①首先由面積比值求得，令，則，利用坐標(biāo)表示向量，求得，再求范圍；②由阿波羅尼斯圓定義知，，，在以，為定點(diǎn)得阿波羅尼斯圓上，由幾何關(guān)系列式得，求得，再根據(jù)，求得，即可計(jì)算直線方程.【詳解】（1）方法（1）特殊值法，令，，且，解得∴，，橢圓的方程為方法（2）設(shè)，由題意（常數(shù)），整理得：，故，又，解得：，．∴，橢圓的方程為．方法（3）設(shè)，則．由題意∵為常數(shù)，∴，又，解得：，，故∴橢圓的方程為（2）①由，又，∴（或由角平分線定理得）令，則，設(shè)，則有，又直線的斜率，則，代入得：，即，∵，∴．②由①知，，由阿波羅尼斯圓定義知，，，在以，為定點(diǎn)得阿波羅尼斯圓上，設(shè)該圓圓心為，半徑為，與直線的另一個(gè)交點(diǎn)為，則有，即，解得：．又，故，∴又，∴，解得：，，∴，∴直線的方程為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查軌跡問題，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，以及外接圓，新定義的綜合應(yīng)用，屬于難題，本題的關(guān)鍵是讀懂題意，并根據(jù)幾何關(guān)系進(jìn)行消參，轉(zhuǎn)化與化歸，是本題的關(guān)鍵也是難點(diǎn).8．A【分析】由題得，再判斷選項(xiàng)得解.【詳解】解：矩形的四邊與橢圓相切，則矩形的面積為，所以.只有選項(xiàng)A符合.故選：A9．A【分析】由題可得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，可得，，即求.【詳解】設(shè)，，由，可得=2，化簡得.∵△MAB面積的最大值為面積的最小值為，∴，，∴，即，∴．故選：A．10．【分析】設(shè)點(diǎn)，根據(jù)可得出點(diǎn)的軌跡方程，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出、的值，求出的值，進(jìn)而可得出橢圓的離心率的值.【詳解】設(shè)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)、，由可得，即，整理可得，即，所以，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓，點(diǎn)到軸的距離的最大值為，則的面積的最大值為，解得；點(diǎn)到軸距離的最小值為，則的面積的最小值為，可得.，因此，橢圓的離心率為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.11．【分析】先根據(jù)求出圓的方程，再由的面積的最大值結(jié)合離心率求出和的值，進(jìn)而求出面積的最小值.【詳解】解：由題意，設(shè)，，因?yàn)榧磧蛇吰椒秸淼茫核詧A心為，半徑因?yàn)榈拿娣e的最大值為3所以，解得：因?yàn)闄E圓的離心率即，所以由得：所以面積的最小值為：故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題先根據(jù)已知的比例關(guān)系求出阿波羅尼斯圓的方程，再利用已知面積和離心率求出橢圓的方程，進(jìn)而求得面積的最值.12．

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【分析】建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件將點(diǎn)軌跡轉(zhuǎn)化為阿氏圓的問題來解決.【詳解】如上圖所示，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，邊所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫?，即，所以：，化簡得：，且，，圓的位置如上圖所示，圓心為，半徑，觀察可得，三角形底邊長不變的情況下，當(dāng)點(diǎn)位于圓心的正上方時(shí)，的高最大，此時(shí)的面積最大，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為，的面積最大值為：，所以故答案為：12；.13．

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【分析】若圖形為圓，根據(jù)相似三角形可解；當(dāng)圖形為橢圓時(shí)，建立坐標(biāo)系，將問題坐標(biāo)化，然后計(jì)算可得.【