阿波羅尼斯圓及其應(yīng)用 微點5 阿波羅尼斯球

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁阿波羅尼斯圓及其應(yīng)用微點5阿波羅尼斯球?qū)ｎ}1阿波羅尼斯圓及其應(yīng)用微點5阿波羅尼斯球【微點綜述】對于立體幾何某些涉及距離比值的動點軌跡問題，可轉(zhuǎn)化為在某個平面內(nèi)的距離關(guān)系，從而借助阿波羅尼斯球和阿波羅尼斯圓的定義及相關(guān)知識解決問題．對于這類問題也可以利用空間坐標(biāo)計算求解軌跡問題．【典例刨析】例1．（2022貴州貴陽·模擬）1．在平面內(nèi)，已知動點P與兩定點A，B的距離之比為，那么點P的軌跡是圓，此圓稱為阿波羅尼斯圓.在空間中，也可得到類似結(jié)論.如圖，三棱柱中，平面ABC，，，，點M為AB的中點，點P在三棱柱內(nèi)部或表面上運動，且，動點P形成的曲面將三棱柱分成兩個部分，體積分別為，，則（

）A． B． C． D．2．如圖，在長方體中，，點在棱上，，動點滿足．若點在平面內(nèi)運動，則點所形成的阿氏圓的半徑為________；若點在長方體內(nèi)部運動，為棱的中點，為的中點，則三棱錐的體積的最小值為___________．3．已知正方體的棱長為4，點P在平面內(nèi)，且，則點P的軌跡的長度為___________.4．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點、距離之比是常數(shù)的點的軌跡是一個圓心在直線上的圓，該圓簡稱為阿氏圓.根據(jù)以上信息，解決下面的問題：在棱長為2的正方體中，點是正方體的表面(包括邊界)上的動點，若動點滿足，則點所形成的阿氏圓的半徑為______；若是的中點，且滿足，則三棱錐體積的最大值是______.阿波羅尼奧斯例5．（2022·湖南懷化·高二期末）5．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點A，B的距離之比為常數(shù)的點的軌跡是—個圓心在直線上的圓.該圓被稱為阿氏圓，如圖，在長方體中，，點E在棱上，，動點P滿足，若點P在平面內(nèi)運動，則點P對應(yīng)的軌跡的面積是___________；F為的中點，則三棱錐體積的最小值為___________.6．棱長為的正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之和為______，內(nèi)切球球面上有一動點，則的最小值為______.【針對訓(xùn)練】7．如圖，是平面的斜線段，為斜足，點滿足，且在平面內(nèi)運動，則A．當(dāng)時，點的軌跡是拋物線B．當(dāng)時，點的軌跡是一條直線C．當(dāng)時，點的軌跡是橢圓D．當(dāng)時，點的軌跡是雙曲線拋物線8．如圖，已知平面，，A、B是直線l上的兩點，C、D是平面內(nèi)的兩點，且，，，，．P是平面上的一動點，且直線PD，PC與平面所成角相等，則二面角的余弦值的最小值是（

）A． B． C． D．1（2022·山西太原·二模（理））9．已知點M是棱長為3的正方體的內(nèi)切球O球面上的動點，點N為線段上一點，，，則動點M運動路線的長度為（

）A． B． C． D．（2022天津西青區(qū)楊柳青一中高二期中）10．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點，距離之比是常數(shù)的點的軌跡是一個圓心在直線上的圓，該圓簡稱為阿氏圓．根據(jù)以上信息，解決下面的問題：在棱長為2的正方體中，點是正方體的表面（包括邊界）上的動點，若動點滿足，則點所形成的阿氏圓的半徑為___________；若是的中點，且正方體的表面（包括邊界）上的動點滿足條件，則三棱錐體積的最大值是__________．11．已知正方體的棱長為，點為側(cè)面內(nèi)的動點，且，則點所形成的軌跡圖形長度為_______________．（2022江西上饒·二模（理））12．點為正方體的內(nèi)切球球面上的動點，點為上一點，，，若球的體積為，則動點的軌跡長度為___________.13．已知在棱長為12的正四面體的內(nèi)切球球面上有一動點，則的最小值為______，的最小值為______．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．D【分析】在平面PAB中，作,交AB于點N，從而得到，判斷出B、N重合，得到點P落在以B為球心，為半徑的球面上，求出，即可求出.【詳解】如圖，在平面PAB中，作,交AB于點N，則,又因，所以，所以，所以,所以.因為，所以,所以B、N重合且，所以點P落在以B為球心，為半徑的球面上.作于H，則，因為面ABC，所以BH，又因為，所以面，所以B到面的距離為，所以球面與面相切，而，所以球面不會與面相交，則，,所以，所以.故選：D.【點睛】立體幾何中的動點軌跡問題一般有四種，即線段型，平面型，二次曲線型，球型，有兩種處理方法：(1)很容易的看出動點符合什么樣的軌跡(定義法)；(2)要么通過計算(建系)求出具體的軌跡表達式．2．

##2.25【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，由兩點間距離公式化簡后得軌跡方程，再由空間向量表示點到平面的距離公式求解最值【詳解】以AB為軸，AD為軸，為軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，由得，所以，所以若點在平面內(nèi)運動，則點所形成的阿氏圓的半徑為．若點在長方體內(nèi)部運動，設(shè)點，由得，所以，由題得所以設(shè)平面的法向量為，所以，由題得，所以點P到平面的距離為，因為，所以，又為的中點，所以點M到平面的最小距離為，由題得為等邊三角形，且邊長為，所以三棱錐的體積的最小值為．故答案為：；3．【分析】若E為與的交點，由正方體的性質(zhì)可證面，在Rt△中有可得，再在面上構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，并寫出各點坐標(biāo)且令，結(jié)合已知條件列方程，即可得P的軌跡，進而求軌跡長度.【詳解】若E為與的交點，則，∵面，面，∴，又，∴面，∴連接PE，即在Rt△中有，又正方體的棱長為4，∴在面上構(gòu)建如下平面直角坐標(biāo)系，若，，∴，，∴，又，∴，整理得，∴，故軌跡為半徑的圓，∴軌跡長度為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：應(yīng)用正方體的性質(zhì)及勾股定理得，再在面上構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，設(shè)結(jié)合已知條件可得方程，整理即有P的軌跡方程.4．

【解析】在上取點，在延長線上取點，使得，，則是題中阿氏圓上的點，則是阿氏圓的直徑，由此可求得半徑，由可得，，即在上述阿氏圓上，這樣當(dāng)是阿氏圓與交點時，到平面距離最大，三棱錐體積的最大，由體積公式計算可得．【詳解】在上取點，在延長線上取點，使得，，則是題中阿氏圓上的點，由題意是阿氏圓的直徑，，則，，所以，∴阿氏圓半徑為；正方體中，都與側(cè)面垂直，從而與側(cè)面內(nèi)的直線垂直，如圖，則，∴，即在上述阿氏圓上，∵的面積是2為定值，因此只要到平面距離最大，則三棱錐體積的最大，由于點在阿氏圓上，當(dāng)是阿氏圓與交點時，到平面距離最大，此時，因此，，三棱錐體積的最大值為．故答案為：；．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查棱錐的體積，考查新定義的理解與應(yīng)用．解題關(guān)鍵是正確理解新定義得出圓半徑，由已知角相等得出點就在新定義“阿氏圓”上，從而易得它到底面距離最大時的位置，從而得出最大體積．5．

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)，可得對應(yīng)的軌跡方程；先求的面積，其是固定值，要使體積最小，只需求點到平面的距離的最小值即可.【詳解】分別以為軸建系，設(shè)，而,,，,.由,有，化簡得對應(yīng)的軌跡方程為.所以點P對應(yīng)的軌跡的面積是.易得的三個邊即是邊長為為的等邊三角形，其面積為，，設(shè)平面的一個法向量為，則有，可取平面的一個法向量為，根據(jù)點的軌跡，可設(shè)，，所以點到平面的距離，所以故答案為：；6．

【分析】(1)將正四面體放入正方體可求得外接球半徑,利用等體積法可求得內(nèi)切球的半徑.(2)根據(jù)阿波羅尼斯球的性質(zhì)找到阿波羅尼斯球中的兩個定點,再將轉(zhuǎn)換,從而得出取最小值時的線段,再根據(jù)余弦定理求解即可.【詳解】(1)將正四面體放入如圖正方體,則正四面體的外接球與該正方體的外接球為同一球.半徑為.設(shè)正四面體的內(nèi)切球半徑為,根據(jù)等體積法有,解得.故外接球與內(nèi)切球的半徑之和為.(2)由阿波羅尼斯球得內(nèi)切球球心是線段上以為定點,空間中滿足的點的集合,連接并延長交平面于,交內(nèi)切球上方的點設(shè)為,過作,交于,連接,設(shè).由(1)空得.所以,解得,,所以,所以.所以,在中,,,,所以.所以的最小值為故答案為：(1)；(2)【點睛】本題主要考查了正四面體外接球與內(nèi)切球的半徑計算,同時也考查了利用阿波羅尼斯球中的比例關(guān)系求解線段最值的問題,需要根據(jù)題意找到球中的定點,根據(jù)阿波羅尼斯球的性質(zhì)轉(zhuǎn)換所求的線段之和求解.屬于難題.7．B【解析】當(dāng)時，，故的軌跡為線段的中垂面與的交線，當(dāng)時，，在平面內(nèi)建立坐標(biāo)系，設(shè)，求出的軌跡方程得出結(jié)論．【詳解】在中，∵，由正弦定理可得：，當(dāng)時，，過的中點作線段的垂面，則點在與的交線上，即點的軌跡是一條直線，當(dāng)時，，設(shè)在平面內(nèi)的射影為，連接，，設(shè)，，則，在平面內(nèi)，以所在直線為軸，以的中點為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，∴，化簡可得.∴的軌跡是圓．故選B．【點睛】本題考查軌跡方程的求解與判斷，分類討論思想，屬于中檔題．8．B【分析】根據(jù)題目條件得到，進而建立平面直角坐標(biāo)系，求出P點軌跡方程，點P在內(nèi)的軌跡為以為圓心，以4為半徑的上半圓，從而求出當(dāng)PB與圓相切時，二面角的平面角最大，求出相應(yīng)的余弦值最小值.【詳解】由題意易得PD與平面所成角為，PC與平面所成角為，∵，∴，∴，∴，∴P點軌跡為阿氏圓．在平面內(nèi)，以為軸，以的中垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，所以，整理得：，所以點P在內(nèi)的軌跡為以為圓心，以4為半徑的上半圓，因為平面，，，，所以，因為，所以，因為平面平面，，所以二面角的平面角為，由圖可知，當(dāng)PB與圓相切時，最大，余弦值最小，此時，故.故選：B．9．B【分析】根據(jù)給定條件探求出過點D垂直于直線BN的平面，可得此平面截球O的截面小圓即為M的運動路線，求出點O到此截面距離即可計算作答.【詳解】在正方體中，在BB1上取點P，使B1P=2BP，連接CP，DP，如圖，因N在B1C上，有，即，則，，于是得，而平面BCC1B1，平面BCC1B1，則，又，平面CDP，則有平面CDP，因動點M滿足，則有點M在平面CDP內(nèi)，依題意，平面CDP截球O的截面小圓即為M的運動路線，令正方形BCC1B1與正方形ADD1A1的中心分別為E，F(xiàn)，連接EF，則正方體內(nèi)切球球心O必為線段EF中點，顯然，EF//CD，平面CDP，平面CDP，于是得EF//平面CDP，則點O到平面CDP距離等于點E到平面CDP的距離h，取BC中點G，連接EG，CE，PE，而平面CDP⊥平面BCC1B1，平面CDP平面BCC1B1=CP，則的邊CP上的高等于h，EG⊥BC，，則，直角梯形BGEP中，，則，中，，由余弦定理得，，由得：，設(shè)點M運動路線的小圓半徑為r，而球O的半徑，由得，，所以動點M運動路線的長度為.故選：B10．

【分析】根據(jù)題意以D為坐標(biāo)原點，DA為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P（x，y），利用PA＝2PD，求出點P的軌跡方程，即可得到點P所形成的阿氏圓的半徑，利用tan∠APB＝，tan∠DPE＝，結(jié)合已知條件∠APB＝∠EPD，從而得到AP＝2DP，結(jié)合圖像利用1空中的結(jié)論求解DP3即為三棱錐P﹣ACD最大的高，然后利用三棱錐的體積公式求解即可．【詳解】以D為坐標(biāo)原點，DA為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A（2，0），D（0，0），設(shè)P（x，y），因為PA＝2PD，所以，整理得，故點P所形成的阿氏圓的半徑為；因為AB⊥平面ADD1A1，CD⊥平面ADD1A1，所以∠PAB＝90°，∠PDE＝90°，所以tan∠APB＝，tan∠DPE，又∠APB＝∠DPE，則，因為E是CD的中點，所以AP＝2DP，由1空的結(jié)論可知，點P的軌跡為的一部分，則當(dāng)P在DD1上時，三棱錐P﹣ACD的體積最大，圖2中的DP3即為三棱錐P﹣ACD最大的高，所以，則三棱錐P﹣ACD體積的最大值是.故答案為：；．11．【分析】由題意，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)兩點距離公式，結(jié)合線段等量關(guān)系，整理軌跡方程，可得答案.【詳解】解：以為坐標(biāo)原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，為側(cè)面內(nèi)的動點，的縱坐標(biāo)為，設(shè)，則，，化簡整理得，當(dāng)時，該方程表示在平面內(nèi)，以點為圓心，以為半徑的圓，點所形成的軌跡圖形為圖中，其長度為：．故答案為：.12．【分析】在取點，使，證明平面，從而得點的軌跡為平面與球的截面圓周，因此求出球半徑和球心到截面的距離，然后利用截面圓性質(zhì)可得球面圓半徑后可得其周長．題中球心到截面的距離利用體積法求解．球半徑利用球的體積公式計算可得．【詳解】解：如圖，在取點，使，連接，，，因為，可得，則，所以所以，又平面，平面，所以，同理，因為，平面，所以平面，則點的軌跡為平面與球的截面圓周，設(shè)正方體的棱長為，則，解得，連接，，，如圖，在對角面中，，到平面的距離即到平面的距離為，，又，，設(shè)到平面的距離為，則，，得到平面的距離為，所以截面圓的半徑，則點的軌跡長度為，故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查空間的幾何體中的軌跡問題，解題關(guān)系是確定平面，得點的軌跡為平面與球的截面圓周，為了求截面圓半徑，需求得球半徑和球心到截面的距離，這個距離我們利用體積法求解．13．

【解析】求出正四面體的高，進一步得到內(nèi)切球的半徑，由高減去內(nèi)切球的直徑得的最小值；利用阿波羅尼斯球的定義，借助內(nèi)