數(shù)字信號處理（第2版）課件 第6章-FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)

第6章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)16.1線性相位FIR數(shù)字濾波器的特性6.2窗函數(shù)設(shè)計(jì)法6.3

頻率采樣設(shè)計(jì)法6.4FIR數(shù)字濾波器的等波紋設(shè)計(jì)6.5FIR濾波器與IIR濾波器的比較6.5用Matlab函數(shù)設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器第6章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)2優(yōu)點(diǎn)：①很容易獲得嚴(yán)格的線性相位，避免被處理的信號產(chǎn)生相位失真，這一特點(diǎn)在寬頻帶信號處理、陣列信號理、數(shù)據(jù)傳輸?shù)认到y(tǒng)中非常重要；②極點(diǎn)全部在原點(diǎn)（永遠(yuǎn)穩(wěn)定），無穩(wěn)定性問題；③任何一個非因果的有限長序列，總可以通過一定的延時，轉(zhuǎn)變?yōu)橐蚬蛄?，所以因果性總是滿足；④無反饋運(yùn)算，運(yùn)算誤差小。缺點(diǎn)：①因?yàn)闊o極點(diǎn)，要獲得好的過渡帶特性，需以較高的階數(shù)為代價；②無法利用模擬濾波器的設(shè)計(jì)結(jié)果，一般無解析設(shè)計(jì)公式，要借助計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)程序完成。6.1線性相位FIR數(shù)字濾波器的特性36.1.1線性相位特性6.1.2線性相位FIR濾波器的幅度函數(shù)6.1.3線性相位FIR濾波器的零點(diǎn)特性6.1線性相位FIR數(shù)字濾波器的特性4

因?yàn)樗且环N線性時不變系統(tǒng)，可用卷積和形式表示FIR數(shù)字濾波器的差分方程描述對應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)6.1.1線性相位特性51.線性相位的條件線性相位意味著一個系統(tǒng)的相頻特性是頻率的線性函數(shù)，即式中

為常數(shù)通過這一系統(tǒng)的各頻率分量的時延為一相同的常數(shù)，系統(tǒng)的群時延為FIR濾波器的頻響特性為6.1.1線性相位特性6式中，H(

)是正或負(fù)的實(shí)函數(shù)，稱為幅度函數(shù)（amplitudefunction）；

(

)是濾波器的相位函數(shù)(6.1-3)將

(

)=

代入（6.1-3）式得(6.1-4)(6.1-5)式（6.1-5）中，等式兩邊實(shí)部與虛部應(yīng)當(dāng)各自相等，同樣實(shí)部與虛部的比值應(yīng)當(dāng)相等，從而得到6.1.1線性相位特性7將上式兩邊交叉相乘，應(yīng)用三角函數(shù)的恒等關(guān)系(6.1-6)滿足上式的條件是(6.1-7)此時濾波器的單位脈沖響應(yīng)將偶對稱于中點(diǎn)

。

6.1.1線性相位特性82.線性相位+附加的相位(6.1-8)式中，β為一常數(shù)，上式的群時延依然是常數(shù)

。(6.1-9)可以得到類似的解為(6.1-10)此時濾波器的單位脈沖響應(yīng)將奇對稱于中點(diǎn)

。

6.1.1線性相位特性9

偶對稱線性相位特性

奇對稱6.1.2線性相位FIR濾波器的幅度函數(shù)10FIR濾波器為了得到線性相位特性，需要濾波器的單位脈沖響應(yīng)滿足偶對稱或奇對稱，同時濾波器的長度N可以為偶數(shù)或奇數(shù)，不同的組合可以得到4種類型的FIR線性相位濾波器。1.類型1——h[n]偶對稱，N為奇數(shù)其單位脈沖響應(yīng)滿足：6.1.2線性相位FIR濾波器的幅度函數(shù)相位函數(shù)為幅度函數(shù)為因?yàn)閷τ诔逝紝ΨQ，則對于是偶對稱。故：116.1.2線性相位FIR濾波器的幅度函數(shù)122.類型2——h[n]偶對稱，N為偶數(shù)其單位脈沖響應(yīng)滿足：相位函數(shù)為6.1.2線性相位FIR濾波器的幅度函數(shù)幅度函數(shù)為因?yàn)閷τ诔势鎸ΨQ，則對于是奇對稱。而且當(dāng)時，，則H(z)在z=

1處必然有一個零點(diǎn)，136.1.2線性相位FIR濾波器的幅度函數(shù)143.類型3——h[n]奇對稱，N為奇數(shù)其單位脈沖響應(yīng)滿足：相位函數(shù)為，中間項(xiàng)必然為零6.1.2線性相位FIR濾波器的幅度函數(shù)幅度函數(shù)為對于是奇對稱。而且當(dāng)時，，則H(z)在z=

1

處必然有零點(diǎn)，因?yàn)閷τ诔势鎸ΨQ，上式可以表示為156.1.2線性相位FIR濾波器的幅度函數(shù)164.類型4——h[n]奇對稱，N為偶數(shù)其單位脈沖響應(yīng)滿足：相位函數(shù)為6.1.2線性相位FIR濾波器的幅度函數(shù)幅度函數(shù)為對于是奇對稱。而且當(dāng)時，，則H(z)在z=1

處必然有零點(diǎn)，176.1.2線性相位FIR濾波器的幅度函數(shù)類型1:h[n]偶對稱、N為奇數(shù)，四種濾波器都可設(shè)計(jì)；類型2:h[n]偶對稱、N為偶數(shù)，可設(shè)計(jì)低、帶通濾波器，不

能設(shè)計(jì)高通和帶阻；類型3:h[n]奇對稱、N為奇數(shù)，只能設(shè)計(jì)帶通濾波器，

其它

濾波器都不能設(shè)計(jì)；類型4:h[n]奇對稱、N為偶數(shù)，可設(shè)計(jì)高、帶通濾波器，不

能設(shè)計(jì)低通和帶阻。186.1.2線性相位FIR濾波器的幅度函數(shù)類型1類型2h[n]h[n]h[n]a[n]b[n]196.1.2線性相位FIR濾波器的幅度函數(shù)類型3類型4h[n]h[n]d[n]c[n]206.1.2線性相位FIR濾波器的幅度函數(shù)例6.1-1N=5,h

[0]=h[1]=h

[3]=h

[4]=

1/2,h

[2]=2，求幅度函數(shù)H(ω)。解:

Ｎ為奇數(shù),并且h[n]滿足偶對稱關(guān)系a[0]=h

[2]=2a[1]=2h

[3]=

1a

[2]=2h

[4]=

1H(ω)=2

cosω

cos2ω

=2

(cosω+cos2ω)216.1.3線性相位FIR濾波器的零點(diǎn)特性將代入式得到

由該式可看出，若z=zi是H(z)的零點(diǎn)，則z=z-1i也一定是H(z)的零點(diǎn)。由于h[n]是實(shí)數(shù)，H(z)的零點(diǎn)還必須共軛成對，所以z=z*i

及z=1/z*也必是零點(diǎn)。226.1.3線性相位FIR濾波器的零點(diǎn)特性所以線性相位濾波器的零點(diǎn)必須是互為倒數(shù)的共軛對，即成四出現(xiàn)，這種共軛對共有四種①既不在單位園上，也不在實(shí)軸上，有四個互為倒數(shù)的兩組共軛對，zi,z*I,1/zi,1/z*i②在單位圓上，但不在實(shí)軸上，因倒數(shù)就是自己的共軛，所以有一對共軛零點(diǎn)，zi,z*i圖（b）236.1.3線性相位FIR濾波器的零點(diǎn)特性③不在單位圓上，但在實(shí)軸上，是實(shí)數(shù),共軛就是自己，所以有一對互為倒數(shù)的零點(diǎn),zi,1/zi圖（c）④又在單位圓上，又在實(shí)軸上，共軛和倒數(shù)都合為一點(diǎn)，所以成單出現(xiàn)，只有兩種可能，zi=1或zi=-1圖(d)246.1.3線性相位FIR濾波器的零點(diǎn)特性我們從幅度響應(yīng)的討論中已經(jīng)知道，對于類型2濾波器（h[n]偶對稱，N為偶數(shù)），。

即

是的零點(diǎn)，既在單位圓，又在實(shí)軸，所以，必有單根；類型3濾波器，h[n]奇對稱，N為奇數(shù)，因所以z=1，z=-1都是H(z)的單根；類型4濾波器，

h[n]奇對稱，N為偶數(shù)，H(0)=0，所以z=1是H(z)的單根。所以，h[n]奇對稱→H(0)=0N為偶數(shù)→H(π)=0線性相位濾波器是FIR濾波器中最重要的一種，應(yīng)用最廣。使用時應(yīng)根據(jù)需用選擇其合適類型，并在設(shè)計(jì)時遵循其約束條件。256.2窗函數(shù)設(shè)計(jì)法（時間窗口法）266.2.1窗函數(shù)設(shè)計(jì)法的基本原理6.2.2幾種常用的窗函數(shù)6.2窗函數(shù)設(shè)計(jì)法（時間窗口法）27

如果希望得到的濾波器的理想頻率響應(yīng)為，那么FIR濾波器的設(shè)計(jì)就在于尋找一個實(shí)際頻響特性去逼近，逼近方法有三種：窗口設(shè)計(jì)法（時域逼近）頻率采樣法（頻域逼近）最優(yōu)化設(shè)計(jì)（等波紋逼近）窗函數(shù)設(shè)計(jì)法是從單位脈沖響應(yīng)序列著手，使實(shí)際濾波器的h[n]逼近理想的單位脈沖響應(yīng)序列hd[n]。6.2.1窗函數(shù)設(shè)計(jì)法的基本原理

28

一般來說，理想頻響是分段恒定，在邊界頻率處有突變點(diǎn)，所以，這樣得到的理想單位脈沖響應(yīng)hd[n]往往都是無限長序列，而且是非因果的。但FIR的h

[n]是有限長的，問題是怎樣用一個有限長的序列去近似無限長的hd[n]

。最簡單的辦法是直接截取一段hd[n]代替h

[n]。這種截取可以形象地想象為h

[n]是通過一個“窗口”所看到的一段hd[n]，因此，h

[n]也可表達(dá)為h

[n]和一個“窗函數(shù)”的乘積，即hd[n]可以從理想頻響通過IDTFT變換獲得h

[n]=

hd[n]

w[n]式中w

[n]稱為窗函數(shù)6.2.1窗函數(shù)設(shè)計(jì)法的基本原理

29窗函數(shù)法設(shè)計(jì)的基本步驟（1）構(gòu)造希望逼近的濾波器頻響特性以低通線性相位FIR濾波器設(shè)計(jì)為例（2）求出hd[n]：對進(jìn)行IDTFT得到（3）加窗得到FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)h

[n]h

[n]=

hd[n]w[n]（6.2-3）6.2.1窗函數(shù)設(shè)計(jì)法的基本原理

302.窗函數(shù)法設(shè)計(jì)的性能分析式（6.2-3）表示，的逼近誤差必然與窗函數(shù)直接相關(guān)。所以逼近誤差實(shí)質(zhì)上就是加窗的影響，窗函數(shù)的類型和長度都會影響逼近誤差。設(shè)窗函數(shù)為矩形窗函數(shù)，即wR[n]=RN[n]（6.2-4）（6.2-5）矩形窗頻譜的線性相位中幅度函數(shù)6.2.1窗函數(shù)設(shè)計(jì)法的基本原理

31N矩形窗幅度函數(shù)的主瓣寬度為，但旁瓣電平較高，第一旁瓣電平為-13.5dB。（6.2-9）6.2.1窗函數(shù)設(shè)計(jì)法的基本原理

32卷積過程分析如下：① 當(dāng)

=0時的幅度函數(shù)H(0)，根據(jù)（6.2-9）式，此時幅度函數(shù)應(yīng)該是Hd(θ)與WR(-θ)兩個函數(shù)乘積的積分，就是WR(-θ)在-

c到

c一段內(nèi)的積分面積；（6.2-9）②

當(dāng)

=

c時的幅度函數(shù)H(

c)，此時幅度函數(shù)應(yīng)該是Hd(θ)與WR(

-θ)的一半重疊，因此H(

c)/H(0)=0.56.2.1窗函數(shù)設(shè)計(jì)法的基本原理

33③

當(dāng)

=

c-2π/N時，WR(

-θ)的主瓣在Hd(θ)的通帶

c之內(nèi)，而右邊具有負(fù)面積的第一旁瓣已全部移出通帶，因此卷積結(jié)果最大值，即H(

c-2π/N)為最大值，幅度函數(shù)出現(xiàn)正肩峰；（6.2-9）④ 當(dāng)

=

c+2π/N時，WR(

-θ)的全部主瓣在Hd(θ)的通帶

c之外，而通帶內(nèi)第一旁瓣起著主導(dǎo)作用，使得負(fù)值的面積大于正值的面積，因此H(

c+2π/N)為最小值，幅度函數(shù)出現(xiàn)負(fù)肩峰；6.2.1窗函數(shù)設(shè)計(jì)法的基本原理

34⑤ 當(dāng)

>

c+2π/N時，頻率

繼續(xù)增加，

WR(

-θ)左邊旁瓣與通帶相乘部分的幅度越來越小，因此,

c+2π/N<

≤π區(qū)間，

H(

)的值就在零值附近波動，而且波動幅度越來越小。由圖6.2-2（e）可看出，

H(

)是對Hd(

)的逼近，它可能在個別頻率點(diǎn)上取零值，但不在一個區(qū)間上恒為零，這也是可實(shí)現(xiàn)性的要求。H(

)相對Hd(

)的逼近誤差是波動的，通帶和阻帶的最大波動誤差相等，即，相當(dāng)于（6.2-10）這個最大波動誤差是矩形窗固有的，與窗函數(shù)長度N無關(guān)，這是吉布斯現(xiàn)象，N增加時，主瓣寬度變小，幅度的波動起伏振蕩變密。6.2.1窗函數(shù)設(shè)計(jì)法的基本原理

35理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)截短后，對幅度函數(shù)產(chǎn)生的主要影響：① 理想濾波器的Hd(

)在通帶截止頻率

c處的間斷點(diǎn)變成了連續(xù)曲線，從而使H

(

)出現(xiàn)一個過渡帶，其寬度取決于窗函數(shù)的主瓣寬度，對于矩形窗WR(

)其主瓣寬度等于4π/N

。② 由于窗函數(shù)旁瓣的作用，使幅度函數(shù)出現(xiàn)波動。旁瓣所包圍的面積越大，幅度函數(shù)的波動越大。過渡帶：通帶邊界頻率

p和帶阻邊界頻率

s通過數(shù)值計(jì)算，可以得到矩形窗設(shè)計(jì)時的過渡帶為：（6.2-11）6.2.2窗函數(shù)設(shè)計(jì)法的基本原理

363.窗函數(shù)法設(shè)計(jì)的其他濾波器對于其他類型濾波器，只需修改和的表達(dá)式，選擇窗長度和加窗過程是一致的，表6.2-1標(biāo)準(zhǔn)理想濾波器的設(shè)計(jì)公式（適合矩形窗）6.2.2幾種常用的窗函數(shù)37為了加大阻帶衰減，只能改善窗函數(shù)的形狀。一般希望窗函數(shù)滿足兩項(xiàng)要求：①窗函數(shù)幅度函數(shù)的主瓣盡可能地窄，以獲得較窄的過渡帶；②盡量減少幅度函數(shù)的最大旁瓣的相對幅度，也就是能量盡量集中于主瓣，這樣使肩峰和波紋減小，就可增大阻帶的衰減。但是這兩項(xiàng)要求是不能同時得到滿足，往往是增加主瓣寬度以換取對旁瓣的抑制。需要設(shè)計(jì)可用的窗函數(shù)，其幅度函數(shù)旁瓣電平要較小，而主瓣就會加寬。這樣窗函數(shù)在邊沿處（n=0和n=N

1附近）比矩形窗變化要平滑而緩慢，以減小由陡峭的邊緣所引起的旁瓣分量，使阻帶衰減增大，但主瓣寬度會比矩形窗的要寬，這就造成濾波器幅度函數(shù)過渡帶的加寬。6.2.2幾種常用的窗函數(shù)381.常用的固定窗函數(shù)（1）矩形窗（Rectangular）（2）三角窗（Bartlett）窗主瓣寬度為

6.2.2幾種常用的窗函數(shù)39（3）漢寧（Hann）窗,又稱升余弦窗當(dāng)N>>1時，幅度函數(shù)近似為這三部分之和，使旁瓣相互抵消，能量更集中在主瓣，但代價是主瓣寬度比矩形窗的主瓣寬度增加一倍。主瓣寬度為6.2.2幾種常用的窗函數(shù)40（4）哈明（Hamming）窗,又稱改進(jìn)的升余弦窗當(dāng)N>>1時，幅度函數(shù)近似為它是對漢寧窗的改進(jìn)，在主瓣寬度（對應(yīng)第一零點(diǎn)的寬度）相同的情況下，旁瓣進(jìn)一步減小，可使99.96%的能量集中在主瓣內(nèi)。主瓣寬度為6.2.2幾種常用的窗函數(shù)41（5）布萊克曼（Blackman）窗,又稱二階升余弦窗當(dāng)N>>1時，幅度函數(shù)近似為主瓣寬度為增加一個二次諧波余弦分量，可進(jìn)一步降低旁瓣，但主瓣寬度進(jìn)一步增加，是矩形窗主瓣的三倍，增加N可減少過渡帶。幾種窗函數(shù)時域序列包絡(luò)形狀6.2.2幾種常用的窗函數(shù)42圖6.2-5四種窗函數(shù)的歸一化幅度譜（N=49）6.2.2幾種常用的窗函數(shù)43圖6.2-6四種窗口在同一指標(biāo)下設(shè)計(jì)FIR低通濾波器的幅頻特性（N=49，

c=0.4

）6.2.2幾種常用的窗函數(shù)44表6.2-2幾個窗函數(shù)的性能參數(shù)窗函數(shù)主瓣寬度過渡帶旁瓣峰值衰減/dB阻帶最小衰減/dB矩形4

/N1.8

/N-13-21三角8

/N4.2

/N-26-25漢寧8

/N6.2

/N-31-44哈明8

/N6.6

/N-41-53布萊克曼12

/N11

/N-57-742.可變窗函數(shù)--凱澤（Kaiser）窗凱澤窗可以在主瓣寬度與旁瓣衰減之間自由選擇。式中I0(x)是零階貝塞爾函數(shù)，形狀參數(shù)β可自由選擇，決定主瓣寬度與旁瓣衰減。β越大，w[n]窗越窄，其頻譜的主瓣變寬，旁瓣變小。一般取4<β<9。6.2.2幾種常用的窗函數(shù)45圖6.2-7凱澤窗（a）凱澤窗函數(shù)（b）凱澤窗頻譜當(dāng)n=(N

1)/2時,凱澤窗處于最大值1。β=5.44接近哈明，β=8.5

接近布萊克曼，β=0為矩形。圖6.2-7(a)給出了β=4.5和β=8.5兩種情況下的凱澤窗函數(shù)時域序列的包絡(luò)圖，圖6.2-7(b)

給出了β=4.5和β=8.5兩種情況下的凱澤窗函數(shù)的歸一化幅度譜。6.2.2幾種常用的窗函數(shù)46凱澤窗設(shè)計(jì)有經(jīng)驗(yàn)公式可供使用，給出過渡帶△

，阻帶衰減

s(dB),則可求凱澤窗FIR濾波器的階數(shù)N和參數(shù)β，即例6.2-1用凱澤窗設(shè)計(jì)一個FIR低通濾波器，其性能指標(biāo)為：解：根據(jù)上述濾波器的性能指標(biāo)可知：濾波器通帶與阻帶的波動均為:（6.2-17）（6.2-18）6.2.2幾種常用的窗函數(shù)47濾波器的過渡帶為：濾波器的截止頻率為：

設(shè)計(jì)理想低通濾波器的頻響特性為：理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)為：實(shí)際低通濾波器的單位脈沖響為：6.2.2幾種常用的窗函數(shù)48例（補(bǔ)充）用窗函數(shù)設(shè)計(jì)線性相位高通FIRDF，要求通帶邊界頻率，通帶最大衰減，阻帶截止頻率，阻帶最小衰減。

解：（1）選擇窗函數(shù)因?yàn)樽鑾ё钚∷p，可選擇漢寧窗、哈明窗、布萊克曼窗。這里選擇漢寧窗根據(jù)過渡帶寬高通，N為奇數(shù)，N=256.2.2幾種常用的窗函數(shù)49

（2）期望理想濾波器（3）確定期望濾波器的單位脈沖響應(yīng)6.2.2幾種常用的窗函數(shù)50

全通濾波器低通濾波器（4）加窗6.2.2幾種常用的窗函數(shù)51

6.3頻率采樣設(shè)計(jì)法526.3.1頻率采樣法設(shè)計(jì)原理6.3.2頻率采樣法的設(shè)計(jì)步驟6.3頻率采樣設(shè)計(jì)法53工程上，常給定頻域上的技術(shù)指標(biāo)，所以采用頻域設(shè)計(jì)更直接?；舅枷胧顾O(shè)計(jì)的FIR數(shù)字濾波器的頻率特性在某些離散頻率點(diǎn)上的值準(zhǔn)確地等于所需濾波器在這些頻率點(diǎn)處的值，在其它頻率處的特性則有較好的逼近。內(nèi)插公式頻率采樣法則是從頻域出發(fā)，對理想濾波器的頻響特性

進(jìn)行采樣，然后利用采樣值來實(shí)現(xiàn)FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)。6.3.1頻率采樣法設(shè)計(jì)原理54將理想濾波特性經(jīng)單位圓上的N等分采樣后得到頻域采樣值：單位脈沖響應(yīng)：其系統(tǒng)函數(shù)為：令

（6.3-4）（6.3-1）6.3.1頻率采樣法設(shè)計(jì)原理55

（6.3-4）在z平面單位圓上，即，可以得到頻響特性可以表示為：（6.3-5）其中

(

)是內(nèi)插函數(shù)（6.3-6）由式(6.3-5)可以看出，在各頻率采樣點(diǎn)上，實(shí)際濾波器的頻響特性與理想濾波器頻響特性的數(shù)值嚴(yán)格相等。但是，在采樣點(diǎn)之間的頻響特性則是由各采樣點(diǎn)的加權(quán)內(nèi)插函數(shù)疊加形成的，因而存在一定的逼近誤差。6.3.1頻率采樣法設(shè)計(jì)原理56

誤差大小則取決于理想頻響特性的曲線形狀和采樣點(diǎn)的密度。理想頻響特性變化越平緩，則內(nèi)插值越接近理想值，逼近誤差越小。反之，如果采樣點(diǎn)之間的理想頻響特性變化越迅速，則內(nèi)插值與理想值的誤差就越大。因此，在理想頻響特性的不連續(xù)點(diǎn)附近會形成振蕩特性。采樣點(diǎn)數(shù)愈多，即采樣頻率越高，誤差越小。圖6.3-1頻率采樣的逼近效果從圖中可以看出，其一，由頻率采樣法設(shè)計(jì)所得的頻響特性在采樣點(diǎn)之間出現(xiàn)了起伏振蕩；其二，在通帶和阻帶之間不連續(xù)處，變化較劇烈，出現(xiàn)肩峰。但在通帶和阻帶之間有過渡帶時，變化比較緩慢，對的逼近較好。6.3.2頻率采樣法的設(shè)計(jì)步驟57

頻率采樣法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的步驟：(1)首先根據(jù)理想濾波器的性能指標(biāo)，計(jì)算在通帶、阻帶中的采樣點(diǎn)數(shù)，確定所設(shè)計(jì)濾波器單位脈沖響應(yīng)h[n]的對稱性(奇、偶)；(2)根據(jù)單位脈沖響應(yīng)h[n]的對稱性，計(jì)算各采樣的幅度值和相位值；(3)利用理想濾波器的頻率采樣值Hd[k]=H

[k]ej(k)

，通過傅里葉逆變換IDFT，求所設(shè)計(jì)濾波器的單位脈沖響應(yīng)h[n]，即h[n]=IDFT[Hd[k]]；(4)利用DTFT變換，求濾波器的頻響特性H

(ej

)=DTFT[h[n]]，檢驗(yàn)是否滿足設(shè)計(jì)要求，若不滿足，可以在通帶和阻帶交界處安排一個或幾個不等于零的采樣過渡點(diǎn)，重復(fù)(1)，(2)，(3)步驟計(jì)算處理，直到滿足設(shè)計(jì)要求為止。6.3.2頻率采樣法的設(shè)計(jì)步驟58

1.類型1，h[n]=

h[N

1

n]

，N為奇數(shù)濾波器的幅度函數(shù)是偶對稱的，相位函數(shù)幅度及相位的采樣分別為2.類型2，

h[n]=

h[N

1

n]

，N為偶數(shù)濾波器的幅度函數(shù)是奇對稱的，相位函數(shù)幅度及相位的采樣分別為6.3.2頻率采樣法的設(shè)計(jì)步驟59

3.類型3，

h[n]=

h[N

1

n]

，N為奇數(shù)幅度及相位的采樣分別為4.類型4，

h[n]=

h[N

1

n]

，N為偶數(shù)濾波器的幅度函數(shù)是奇對稱的，相位函數(shù)幅度及相位的采樣分別為濾波器的幅度函數(shù)是偶對稱的，相位函數(shù)6.3.2頻率采樣法的設(shè)計(jì)步驟60例6.3-1用頻率采樣法設(shè)計(jì)一個線性相位FIR數(shù)字低通濾波器。要求單位脈沖響應(yīng)滿足h[n]=

h[N

1

n]

，理想濾波器幅頻特性為要求截止頻率，采樣點(diǎn)數(shù)。解：（1）確定截止頻率所處的位置因?yàn)椴蓸狱c(diǎn)數(shù)33，采樣間隔，則，

,即截頻率位于第6個采樣與第7個采樣之間，取（2）確定各采樣點(diǎn)的幅度和相位大小6.3.2頻率采樣法的設(shè)計(jì)步驟61

（3）利用IDFT求FIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)

(4)最后計(jì)算所設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波頻率響應(yīng)6.3.2頻率采樣法的設(shè)計(jì)步驟62為了改善濾波器的頻響特性，可以在通帶和阻帶交界處安排一個或幾個在0到1之間的采樣值。首先，在k=8和k=26處，增設(shè)H[k]=0.5，這等效于加寬過渡帶增至4π/33。重新計(jì)算出的如圖6.3-2(b),其阻帶最小衰減約為-30dB。6.3.2頻率采樣法的設(shè)計(jì)步驟63為了進(jìn)一步增加阻帶衰減，又不增加過渡帶帶寬，可以增加采樣點(diǎn)數(shù)。例如，用65點(diǎn)進(jìn)行采樣，在k=14和k=52處，插進(jìn)優(yōu)化采樣值H[k]=0.6，在k=15和k=51處，插進(jìn)優(yōu)化采樣值H[k]=0.1，過渡帶寬為6π/65，并沒有增加，而阻帶最小衰減可達(dá)-60dB以上。見圖6.3-2(c)。所付出的代價是提高了濾波器的階數(shù)，因而運(yùn)算量也隨之增加。需要說明，在總的采樣點(diǎn)不變的前提下，過渡帶的采樣值不同直接影響到濾波器的頻響特性。在圖6.3-2(b)中，過渡帶采樣點(diǎn)取0.5并非最優(yōu)值。如果采樣最優(yōu)的過渡帶采樣點(diǎn)取0.3904，最小阻帶衰減可以提高10dB。例6.3-1所設(shè)計(jì)的濾波器為類型1線性相位FIR濾波器。6.3.2頻率采樣法的設(shè)計(jì)步驟64

例6.3-2用頻率采樣法設(shè)計(jì)一個線性相位FIR帶通濾波器，設(shè)N=32，理想濾波器幅頻特性為解:

N=32為偶數(shù)，按類型2線性相位FIR濾波器設(shè)計(jì)頻率間隔為，求得6.3.2頻率采樣法的設(shè)計(jì)步驟65

根據(jù)上面設(shè)計(jì)可以得到帶通濾波器的頻率特性如圖6.3-3所示。6.3.2頻率采樣法的設(shè)計(jì)步驟66

小結(jié)：頻率采樣設(shè)計(jì)法優(yōu)點(diǎn)：①

直接從頻域進(jìn)行設(shè)計(jì)，物理概念清楚，直觀方便；②

適合于窄帶濾波器設(shè)計(jì)，這時頻率響應(yīng)只有少數(shù)幾個非零值。典型應(yīng)用：用一串窄帶濾波器組成多卜勒雷達(dá)接收機(jī)，覆蓋不同的頻段，多卜勒頻偏可反映被測目標(biāo)的運(yùn)動速度；缺點(diǎn)：截止頻率難以控制。

因頻率取樣點(diǎn)都局限在2π/N的整數(shù)倍點(diǎn)上，所以在指定通帶和阻帶截止頻率時，這種方法受到限制，比較死板；充分加大N，可以接近任何給定的頻率，但計(jì)算量和復(fù)雜性增加。6.4FIR數(shù)字濾波器的等波紋設(shè)計(jì)67FIR濾波器設(shè)計(jì)的本質(zhì)是尋找一種長度為N的單位脈沖響應(yīng)h[n]，使h[n]的頻響特性與希望逼近的片段恒定常數(shù)濾波器頻響特性的誤差滿足指標(biāo)要求。窗函數(shù)和頻率采樣設(shè)計(jì)方法，逼近誤差在整個頻域分布極不均勻，如果在誤差最大的頻段剛好達(dá)到指標(biāo)，但是在誤差最小的頻段則遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于指標(biāo)，從而造成資源浪費(fèi)。

等波紋最佳一致逼近法使最大誤差最小化，并在整個逼近頻段上均勻分布。用等波紋最佳一致逼近法設(shè)計(jì)的濾波器的幅頻特性在通帶和阻帶都是等波紋的，這就是等波紋的含義，最佳一致逼近指在濾波器長度給定條件下使波紋幅度最小。由于這種設(shè)計(jì)法使誤差均勻分布，所以設(shè)計(jì)的濾波器性能價格比最高。指標(biāo)相同時這種設(shè)計(jì)方法使濾波器階數(shù)最低；階數(shù)相同時，該設(shè)計(jì)法使濾波器的最大逼近誤差最小，即通帶衰減最

小，阻帶衰減最大。68

6.4.1等波紋最佳一致設(shè)計(jì)的基本思想

最優(yōu)化設(shè)計(jì)的前提是最優(yōu)準(zhǔn)則的確定，在FIR濾波器最優(yōu)化設(shè)計(jì)中，常用的準(zhǔn)則有①最小均方誤差準(zhǔn)則②最大誤差最小化準(zhǔn)則。（1）

均方誤差最小化準(zhǔn)則，若以E(ejω)表示逼近誤差，則

均方誤差為69

6.4.1等波紋最佳一致設(shè)計(jì)的基本思想

均方誤差最小準(zhǔn)則就是選擇一組時域采樣值，以使均方誤差，這一方法注重的是在整個-π～π頻率區(qū)間內(nèi)總誤差的全局最小，但不能保證局部頻率點(diǎn)的性能，有些頻率點(diǎn)可能會有較大的誤差，對于窗口法FIR濾波器設(shè)計(jì)，因采用有限項(xiàng)的h[n]逼近理想的hd[n]，所以其逼近誤差為：如果采用矩形窗706.4.1等波紋最佳一致設(shè)計(jì)的基本思想可以證明，這是一個最小均方誤差。所以，矩形窗窗口設(shè)計(jì)法是一個最小均方誤差FIR設(shè)計(jì)，根據(jù)前面的討論，我們知道其優(yōu)點(diǎn)是過渡帶較窄，缺點(diǎn)是局部點(diǎn)誤差大，或者說誤差分布不均勻。（2）

最大誤差最小化準(zhǔn)則（也叫最佳一致逼近準(zhǔn)則）表示希望逼近的幅度函數(shù)；表示實(shí)際設(shè)計(jì)的濾波器幅度函數(shù)；稱為誤差加權(quán)函數(shù)，用來控制不同頻段(一般指通帶和阻帶)的逼近精度。取值越大，表示相應(yīng)頻段逼近精度越高。等波紋最佳一致逼近法就是在通帶和阻帶以|E(

)|的最大值最小化為準(zhǔn)則，求解濾波器脈沖響應(yīng)h[n]。把通帶和阻帶稱為逼近(或研究)區(qū)域，把過渡帶稱為無關(guān)區(qū)域。應(yīng)當(dāng)注意，設(shè)計(jì)過程中無關(guān)區(qū)寬度不能為零，即不能是理想幅度函數(shù)。71

6.4.1等波紋最佳一致設(shè)計(jì)的基本思想某濾波器的參數(shù)：等波紋濾波器幅頻特性72

6.4.1等波紋最佳一致設(shè)計(jì)的基本思想設(shè)希望逼近濾波器的通帶和阻帶分別為[0,

/4]和[5

/16，

]，對4種不同的性能指標(biāo)參數(shù)，等波紋最佳一致逼近的增益響應(yīng)曲線分別如圖(a)、(b)、(c)和(d)所示。N=33,W[1,10]；(b)N=33,W[10,1]；(c)N=33,W[1,1]；(d)N=63,W[1,1]誤差加權(quán)函數(shù)W(

)和濾波器階數(shù)N對逼近精度的影響73

6.4.2remez函數(shù)與remezord函數(shù)remez函數(shù)與remezord函數(shù)是Matlab工具箱函數(shù)的庫函數(shù)，編程時可以直接調(diào)用，下面簡單說明其調(diào)用方法。1．remez函數(shù)功能：采用remez算法實(shí)現(xiàn)線性相位FIR數(shù)字濾波器的等波紋最佳一致逼近設(shè)計(jì)。調(diào)用格式：hn=remez(N,f,m,w,’ftype’)返回單位脈沖響應(yīng)向量hn。調(diào)用參數(shù)含義如下：N：FIRDF階數(shù)，設(shè)計(jì)結(jié)果hn長度為N+1；f、m：給出希望逼近的幅特性。f為邊界頻率向量，0≤f≤1，要求f為單調(diào)增向量。

調(diào)用參數(shù)f和m含義圖解w為誤差加權(quán)向量，其長度為f的一半。ftype用于指定濾波器類型。74

6.4.2remez函數(shù)與remezord函數(shù)2．remezord函數(shù)

功能：用于估算FIR數(shù)字濾波器的等波紋最佳一致逼近設(shè)計(jì)的最低階數(shù)N，誤差加權(quán)向量w，歸一化邊界頻率向量fo，從而使濾波器在滿足指標(biāo)的前提下，濾波器階數(shù)最低。其返回參數(shù)作為remez函數(shù)的調(diào)用參數(shù)。調(diào)用格式：[N，fo，mo，w]=remezord(f，m，rip，F(xiàn)s)參數(shù)說明：

返回參數(shù)作為remez函數(shù)的調(diào)用參數(shù)，F(xiàn)s為采樣頻率，省略時默認(rèn)為2Hz。解：調(diào)用remezord和remez函數(shù)求解。首先要根據(jù)性能指標(biāo)確定remezord函數(shù)的調(diào)用參數(shù)，再直接寫程序調(diào)用remezord和remez函數(shù)得到濾波器的脈沖響應(yīng)h[n]。75

6.4.2remez函數(shù)與remezord函數(shù)76

6.4.2remez函數(shù)與remezord函數(shù)用上述參數(shù)可以設(shè)計(jì)帶通濾波器，如圖6.4-4所示中，N

1=23，即h[n]長度為24，顯示了h[n]序列和增益響應(yīng)曲線。等波紋最佳一致逼近設(shè)計(jì)方法可以使濾波器階數(shù)大大降低。例題可以看出，h[n]滿足偶對稱條件，所以必然具有嚴(yán)格線性相位特性。77

FIRIIR性能嚴(yán)格線性相位，但成本高，運(yùn)算量大，信號延時也較大存儲單元少，運(yùn)算量小，經(jīng)濟(jì)高效設(shè)計(jì)結(jié)果可得到幅頻特性（可以多帶）和線性相位（最大優(yōu)點(diǎn)）只能得到幅頻特性，相頻特性未知（一大缺點(diǎn)），如需要線性相位，須用全通網(wǎng)絡(luò)校準(zhǔn)，但增加濾波器階數(shù)和復(fù)雜性穩(wěn)定性極點(diǎn)全部在原點(diǎn)（永遠(yuǎn)穩(wěn)定）無穩(wěn)定性問題有穩(wěn)定性問題階數(shù)高

結(jié)構(gòu)非遞歸遞歸結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)工具只有計(jì)算程序可循可借助于AF的設(shè)計(jì)成果快速算法可用FFT實(shí)現(xiàn)，減少運(yùn)算量無快速運(yùn)算方法6.5FIR濾波器與IIR濾波器的比較78

6.6用Matlab函數(shù)設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器例6.6-1已知FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)為：，畫出該濾波器的頻響特性，零極點(diǎn)分布圖。解：根據(jù)濾波器的單位脈沖響應(yīng)可知，其h[n]具有對稱性，并且長度為12，所以該濾波器是類型2線性相位濾波器。b=[2,1,-1,3,5,-4,-4,5,3,-1,1,2];n=0:length(b)-1;a=[1];th=0:0.05:2*pi;[H,w]=freqz(b,a);zerophase(b,a,512,'whole');G=tf(b,a);subplot(1,4,1);stem(n,b);xlabel('n');ylabel('h[n]');title('單位脈沖響應(yīng)');subplot(1,4,2);plot(w/pi,abs(H));xlabel('\omega/\pi');ylabel('(dB)');title('濾波器幅頻特性');subplot(1,4,3);plot(w/pi,angle(H)/pi);xlabel('\omega/\pi');ylabel('(rad/\pi)');title('濾波器相頻特性');subplot(1,4,4);pzmap(G);holdon;;title('濾波器零極點(diǎn)分布圖');x=cos(th);y=sin(th);plot(x,y,':');%畫單位圓6.6用Matlab函數(shù)設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器例6.6-3設(shè)計(jì)具有任意頻