人教版九年級(jí)數(shù)學(xué) 第二十四章 圓知識(shí)歸納與題型突破（21題型清單）

試卷第=page22頁(yè)，共=sectionpages7979頁(yè)第二十四章圓知識(shí)歸納與題型突破（21題型清單）01思維導(dǎo)圖01思維導(dǎo)圖0202知識(shí)速記一、圓的基本性質(zhì)1.圓如圖，在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑.以點(diǎn)O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．圓心為O，半徑為r的圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)O的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)的集合.2.圓的有關(guān)概念（1）弦：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦.（2）直徑：經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑.（3）弧的有關(guān)概念：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧.以A、B為端點(diǎn)的弧記作，讀作“圓弧AB”或“弧AB”.半圓：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓；優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)弧；劣?。盒∮诎雸A的弧叫做劣弧.（4）同心圓與等圓圓心相同，半徑不等的兩個(gè)圓叫做同心圓.圓心不同，半徑相等的兩個(gè)圓叫做等圓.同圓或等圓的半徑相等.（5）等弧在同圓或等圓中，能夠完全重合的弧叫做等弧.3.垂直于弦的直徑垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．垂徑定理的推論平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.4.弧、弦、圓心角的關(guān)系（1）圓心角定義如圖所示，∠AOB的頂點(diǎn)在圓心，像這樣頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角．（2）圓心角定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等．（3）圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個(gè)弦心距中有一對(duì)量相等，那么它們所對(duì)的其余各對(duì)量也相等．5.圓周角圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．6.圓內(nèi)接多邊形一個(gè)四邊形的4個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)四邊形叫做圓的內(nèi)接四邊形，這個(gè)圓叫做四邊形的外接圓。1.圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．2.圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對(duì)角）二、點(diǎn)與圓、直線與圓的位置關(guān)系1.點(diǎn)和圓的位置關(guān)系（重點(diǎn)）（1）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP＝d，則有：①點(diǎn)P在圓外?d＞r②點(diǎn)P在圓上?d＝r①點(diǎn)P在圓內(nèi)?d＜r（2）點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過(guò)來(lái)已知點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．（3）符號(hào)“?”讀作“等價(jià)于”，它表示從符號(hào)“?”的左端可以得到右端，從右端也可以得到左端．2.圓的確定條件不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓．3.三角形的外接圓（1）外接圓：經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓，叫做三角形的外接圓．（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心．（3）概念說(shuō)明：①“接”是說(shuō)明三角形的頂點(diǎn)在圓上，或者經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)．②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點(diǎn)；鈍角三角形的外心在三角形的外部．③找一個(gè)三角形的外心，就是找一個(gè)三角形的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，三角形的外接圓只有一個(gè)，而一個(gè)圓的內(nèi)接三角形卻有無(wú)數(shù)個(gè)．4.反證法（1）反證法假設(shè)命題的結(jié)論不成立,由此經(jīng)過(guò)推理得出矛盾,由矛盾斷定所作假設(shè)不正確,從而得到原命題成立.這種方法叫做反證法.反證法是一種間接證明命題的方法.（2）用反證法證明命題的一般步驟①假設(shè)命題的結(jié)論不成立;②從這個(gè)假設(shè)出發(fā),經(jīng)過(guò)推理論證,得出矛盾③由矛盾判定假設(shè)不正確,從而肯定原命題的結(jié)論正確5.直線和圓的位置關(guān)系(1)相交：直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相交．這時(shí)直線叫做圓的割線．(2)相切：直線和圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相切．這時(shí)直線叫做圓的切線，唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)．(3)相離：直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相離．由于圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，因此研究直線和圓的位置關(guān)系，就可以轉(zhuǎn)化為直線和點(diǎn)(圓心)的位置關(guān)系．下面圖(1)中直線與圓心的距離小于半徑；圖(2)中直線與圓心的距離等于半徑；圖(3)中直線與圓心的距離大于半徑．如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d，那么直線l和⊙O相交?d<r；直線l和⊙O相切?d=r；直線l和⊙O相離?d>r.6.切線的判定定理和性質(zhì)定理（1）切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．（2）在應(yīng)用判定定理時(shí)注意：①切線必須滿足兩個(gè)條件：a、經(jīng)過(guò)半徑的外端；b、垂直于這條半徑，否則就不是圓的切線．②切線的判定定理實(shí)際上是從”圓心到直線的距離等于半徑時(shí)，直線和圓相切“這個(gè)結(jié)論直接得出來(lái)的．③在判定一條直線為圓的切線時(shí)，當(dāng)已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點(diǎn)時(shí)，常過(guò)圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長(zhǎng)等于半徑，可簡(jiǎn)單的說(shuō)成“無(wú)交點(diǎn)，作垂線段，證半徑”；當(dāng)已知條件中明確指出直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，常連接過(guò)該公共點(diǎn)的半徑，證明該半徑垂直于這條直線，可簡(jiǎn)單地說(shuō)成“有交點(diǎn)，作半徑，證垂直”．（3）切線的性質(zhì)①圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．②經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)．③經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心．（4）切線的性質(zhì)可總結(jié)如下：如果一條直線符合下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè)，那么它一定滿足第三個(gè)條件，這三個(gè)條件是：①直線過(guò)圓心；②直線過(guò)切點(diǎn)；③直線與圓的切線垂直．（5）切線性質(zhì)的運(yùn)用由定理可知，若出現(xiàn)圓的切線，必連過(guò)切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．簡(jiǎn)記作：見(jiàn)切點(diǎn)，連半徑，見(jiàn)垂直．7.切線長(zhǎng)及切線長(zhǎng)定理（1）圓的切線長(zhǎng)定義：經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)．（2）切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線，平分兩條切線的夾角．（3）注意：切線和切線長(zhǎng)是兩個(gè)不同的概念，切線是直線，不能度量；切線長(zhǎng)是線段的長(zhǎng)，這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別是圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)，可以度量．（4）切線長(zhǎng)定理包含著一些隱含結(jié)論：①垂直關(guān)系三處；②全等關(guān)系三對(duì)；③弧相等關(guān)系兩對(duì)，在一些證明求解問(wèn)題中經(jīng)常用到．8.三角形的內(nèi)切圓（1）三角形的內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓.（2）三角形的內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心.三角形的內(nèi)心到三邊的距離都相等.(1)任何一個(gè)三角形都有且只有一個(gè)內(nèi)切圓，但任意一個(gè)圓都有無(wú)數(shù)個(gè)外切三角形；(2)解決三角形內(nèi)心的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長(zhǎng)與內(nèi)切圓半徑乘積的一半，即(S為三角形的面積，P為三角形的周長(zhǎng)，r為內(nèi)切圓的半徑).(3)三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別：名稱確定方法圖形性質(zhì)外心(三角形外接圓的圓心)三角形三邊中垂線的交點(diǎn)(1)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形內(nèi)部?jī)?nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心)三角形三條角平分線的交點(diǎn)(1)到三角形三邊距離相等；(2)OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)內(nèi)心在三角形內(nèi)部.三、正多邊形和圓1.正多邊形及有關(guān)概念各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形．2.正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形正多邊形和圓的關(guān)系十分密切，只要把一個(gè)圓分成相等的一些弧，就可以作出這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓就是這個(gè)正多邊形的外接圓．

3.正多邊形的有關(guān)概念

(1)一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心．

(2)正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．

(3)正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角．

(4)正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．4.正多邊形的性質(zhì)（1）正多邊形都只有一個(gè)外接圓，圓有無(wú)數(shù)個(gè)內(nèi)接正多邊形.

（2）正ｎ邊形的半徑和邊心距把正ｎ邊形分成2ｎ個(gè)全等的直角三角形.

（3）正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸的條數(shù)與它的邊數(shù)相同，每條對(duì)稱軸都通過(guò)正n邊形的中心；當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時(shí)，它也是中心對(duì)稱圖形，它的中心就是對(duì)稱中心.

（4）邊數(shù)相同的正多邊形相似。它們周長(zhǎng)的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方．（5）任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓

要點(diǎn)歸納：（1）各邊相等的圓的內(nèi)接多邊形是圓的內(nèi)接正多邊形；（2）各角相等的圓的外切多邊形是圓的外切正多邊形.知識(shí)點(diǎn)2.正多邊形的有關(guān)計(jì)算（重點(diǎn)）1.正ｎ邊形每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是；

2.正ｎ邊形每個(gè)中心角的度數(shù)是；

3.正ｎ邊形每個(gè)外角的度數(shù)是.知識(shí)點(diǎn)3.正多邊形的畫(huà)法1.用量角器等分圓由于在同圓中相等的圓心角所對(duì)的弧也相等，因此作相等的圓心角(即等分頂點(diǎn)在圓心的周角)可以等分圓；根據(jù)同圓中相等弧所對(duì)的弦相等，依次連接各分點(diǎn)就可畫(huà)出相應(yīng)的正n邊形.

2.用尺規(guī)等分圓對(duì)于一些特殊的正ｎ邊形，可以用圓規(guī)和直尺作圖.①正四、八邊形。

在⊙O中，用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑就可把圓分成4等份，從而作出正四邊形。再逐次平分各邊所對(duì)的弧(即作∠AOB的平分線交于E)就可作出正八邊形、正十六邊形等，邊數(shù)逐次倍增的正多邊形。

②正六、三、十二邊形的作法。

通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算可知，正六邊形的邊長(zhǎng)與其半徑相等，所以，在⊙O中，任畫(huà)一條直徑AB，分別以A、B為圓心，以⊙O的半徑為半徑畫(huà)弧與⊙O相交于C、D和E、F，則A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分點(diǎn)。

顯然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分點(diǎn)。

同樣，在圖(3)中平分每條邊所對(duì)的弧，就可把⊙O12等分……。

要點(diǎn)歸納：畫(huà)正n邊形的方法：（1）將一個(gè)圓n等份，（2）順次連結(jié)各等分點(diǎn).四、弧長(zhǎng)和扇形面積1.弧長(zhǎng)公式（重點(diǎn)）（1）圓周長(zhǎng)公式：C＝2πR（2）弧長(zhǎng)公式：l=nπR180（弧長(zhǎng)為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為①在弧長(zhǎng)的計(jì)算公式中，n是表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不要帶單位．②若圓心角的單位不全是度，則需要先化為度后再計(jì)算弧長(zhǎng)．③題設(shè)未標(biāo)明精確度的，可以將弧長(zhǎng)用π表示．④正確區(qū)分弧、弧的度數(shù)、弧長(zhǎng)三個(gè)概念，度數(shù)相等的弧，弧長(zhǎng)不一定相等，弧長(zhǎng)相等的弧不一定是等弧，只有在同圓或等圓中，才有等弧的概念，才是三者的統(tǒng)一．2.扇形的面積公式（1）圓面積公式：S＝πr2（2）扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧所圍成的圖形叫做扇形．（3）扇形面積計(jì)算公式：設(shè)圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則S扇形=n360πR2或S扇形=12（4）求陰影面積常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割補(bǔ)法．（5）求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．3.圓錐的側(cè)面積和全面積圓錐的側(cè)面積：S側(cè)=12?2πr?l＝π圓錐的全面積：S全＝S底+S側(cè)＝πr2+πrl0303題型歸納題型一圓的基本概念辨析例：（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·假期作業(yè)）有下列五個(gè)說(shuō)法：①半徑確定了，圓就確定了；②直徑是弦；③弦是直徑；④半圓是弧，但弧不一定是半圓；⑤任意一條直徑都是圓的對(duì)稱軸．其中錯(cuò)誤的說(shuō)法個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（23-24七年級(jí)下·山東濰坊·期末）下列說(shuō)法正確的有（）A．經(jīng)過(guò)圓心的線段是直徑 B．直徑是同一個(gè)圓中最長(zhǎng)的弦C．長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧 D．弧分為優(yōu)弧和劣弧3．（23-24七年級(jí)上·重慶銅梁·開(kāi)學(xué)考試）下面說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．圓有無(wú)數(shù)條半徑和直徑 B．直徑是半徑的2倍C．圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸 D．圓的大小與半徑有關(guān)4．（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·假期作業(yè)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．圓有無(wú)數(shù)條直徑B．連接圓上任意兩點(diǎn)之間的線段叫弦C．過(guò)圓心的線段是直徑D．能夠重合的圓叫做等圓題型二圓的最值模型例：（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，E是直角邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是直角邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將沿所在直線折疊，得到，D是斜邊的中點(diǎn)，若，，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．56．（2024·江蘇蘇州·二模）如圖，中，，，，點(diǎn)D為斜邊上一任意點(diǎn)，連接AD，將點(diǎn)B關(guān)于直線AD作軸對(duì)稱變換得到點(diǎn)E，連接，，則面積的最大值為（

）A．18 B．30 C．15 D．247．（2024·遼寧大連·三模）已知在平面直角坐標(biāo)系中，的圓心為0,1，半徑為1，直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，交于一點(diǎn)，則當(dāng)取得最大值時(shí)，的值為（

）

A． B． C． D．8．（23-24九年級(jí)上·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖，已知和射線，動(dòng)點(diǎn)在上，動(dòng)點(diǎn)在射線上，．若的最小值為，最大值為，則的半徑為．題型三利用垂徑定理進(jìn)行求解例：（2023·廣西玉林·三模）如圖，是的直徑，是的弦，，垂足為點(diǎn)，，，則．10．（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．過(guò)弦的中點(diǎn)的直線平分弦所對(duì)的兩條弧B．弦的垂直平分線平分它所對(duì)的兩條弧，但不一定過(guò)圓心C．過(guò)弦中點(diǎn)的直徑平分弦所對(duì)的兩條弧D．平分弦所對(duì)的兩條弧的直線平分弦11．（22-23九年級(jí)上·浙江寧波·開(kāi)學(xué)考試）如圖，將半徑為的圓折疊后，圓弧恰好經(jīng)過(guò)圓心，則折痕的長(zhǎng)為（

）A． B．4 C．6 D．12．（23-24九年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期中）如圖，在正方形網(wǎng)格中，一條圓弧經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)C的坐標(biāo)是，則那么這條圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)是

（

）A． B． C． D．13．（23-24九年級(jí)上·內(nèi)蒙古通遼·期中）⊙O的半徑是10，弦，，則弦與的距離是（

）A．2 B．14 C．2或14 D．7或114．（22-23九年級(jí)上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）如圖，是的直徑，為的一條弦，于點(diǎn)E，已知，，則的半徑為．題型四垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用例：（22-23九年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期末）“圓材埋壁”是《九章算術(shù)》中的一個(gè)問(wèn)題“今有圓材埋在壁中，不知大?。凿忎徶钜淮?，鋸道長(zhǎng)一尺，問(wèn)徑幾何？”根據(jù)原文題意，畫(huà)出圓材截面圖如圖所示，已知：鋸口深為1寸，鋸道尺（1尺10寸），則該圓材的直徑為（

）A．26寸 B．25寸 C．13寸 D．50.5寸16．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，筒車盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖2，已知圓心O在水面上方，且被水面截得弦長(zhǎng)為4米，半徑長(zhǎng)為3米．若點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，則點(diǎn)C到弦所在直線的距離是（

）

A．1米 B．2米 C．米 D．米17．（2024·陜西榆林·一模）如圖，這是一扇拱形門(mén)的示意圖，為門(mén)框底，，，門(mén)框頂部是一段圓心角為的圓弧，是的中點(diǎn)，則點(diǎn)到門(mén)框底的距離是（

）A． B． C． D．18．（2024·浙江紹興·二模）某項(xiàng)目化研究小組只用一張矩形紙條和刻度尺，來(lái)測(cè)量一次性紙杯杯底的直徑．小敏同學(xué)想到了如下方法：如圖，將紙條拉直并緊貼杯底，紙條的上下邊沿分別與杯底相交于、、、四點(diǎn)，然后利用刻度尺量得該紙條的寬為，，．請(qǐng)你幫忙計(jì)算紙杯杯底的直徑為（

）

A． B． C． D．19．（23-24九年級(jí)下·寧夏銀川·期中）.筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，彰顯了我國(guó)古代勞動(dòng)人民的智慧，如圖1，點(diǎn)P表示筒車的一個(gè)盛水桶．如圖2，當(dāng)筒車工作時(shí)，盛水桶的運(yùn)行路徑是以軸心O為圓心，為半徑的圓，且圓心在水面上方．若圓被水面截得的弦長(zhǎng)為，則筒車工作時(shí)，盛水桶在水面以下的最大深度為．題型五弦、弧、弦心距之間的關(guān)系例：（2024·江蘇南京·二模）如圖，AB、CD是的兩條弦，與BD相交于點(diǎn)E，．(1)求證：；(2)連接作直線求證：．21．（2024·廣東揭陽(yáng)·三模）如圖，在中，，那么（

）A． B．C． D．與的大小關(guān)系無(wú)法比較22．（2024·黑龍江大慶·二模）如圖，是的直徑，，，則的大小為．23．（23-24九年級(jí)上·江蘇連云港·階段練習(xí)）如圖，是的直徑，點(diǎn)C、D在上，，，垂足分別為E，F(xiàn)，且，與相等嗎？為什么？題型六圓周角定理及其推論的應(yīng)用例：（22-23九年級(jí)上·四川綿陽(yáng)·開(kāi)學(xué)考試）如圖，為的直徑，，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)E，，連接．(1)求的度數(shù)；(2)求證：．25．（23-24七年級(jí)上·河北保定·期末）如圖，為的直徑，點(diǎn)C，D在圓上，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．26．（22-23九年級(jí)上·云南曲靖·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)、、在上，，半徑的長(zhǎng)為3，則的長(zhǎng)為．27．（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，是的直徑，是的弦，連接．若，則．28．（23-24九年級(jí)上·江西宜春·期末）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)；圓經(jīng)過(guò)，，三個(gè)格點(diǎn)，請(qǐng)只用無(wú)刻度的直尺按下列要求分別作圖（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）．(1)在圖1中，作出圓心；(2)在圖2中，在劣弧上找一點(diǎn)，使．題型七圓內(nèi)接四邊形例：（22-23九年級(jí)上·云南紅河·期末）如圖，的半徑為4，弦長(zhǎng)為，C是上一點(diǎn)（不同于A，B），則的度數(shù)是．30．（22-23九年級(jí)上·浙江衢州·期末）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，，，則．31．（23-24九年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，四邊形為平行四邊形，則的度數(shù)為．32．（2022九年級(jí)·福建·競(jìng)賽）如圖，ABCD為圓O的內(nèi)接四邊形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，則圓O的面積為．題型八點(diǎn)與圓的位置關(guān)系例：（22-23九年級(jí)上·廣東湛江·期末）如圖，在中，，點(diǎn)D在邊上，且，以為直徑作，設(shè)線段的中點(diǎn)為P，則點(diǎn)P與的位置關(guān)系是（

）A．點(diǎn)P在內(nèi) B．點(diǎn)P在上 C．點(diǎn)P在外 D．無(wú)法確定34．（22-23九年級(jí)上·浙江·階段練習(xí)）已知的半徑為6，點(diǎn)P在內(nèi)，則線段長(zhǎng)（

）A．小于6 B．大于6 C．等于6 D．等于1235．（2024·江蘇宿遷·模擬預(yù)測(cè)）已知的半徑為，點(diǎn)到圓心的距離為，若關(guān)于的方程不存在實(shí)數(shù)根，則點(diǎn)與的位置關(guān)系是（

）A．點(diǎn)在外 B．點(diǎn)在上C．點(diǎn)在內(nèi) D．無(wú)法確定36．（23-24九年級(jí)上·安徽阜陽(yáng)·期末）在平面內(nèi)，的半徑為，點(diǎn)到圓心的距離為，則點(diǎn)與的位置關(guān)系是點(diǎn)在．（填“圓內(nèi)”“圓外”或“圓上”）．37．（23-24九年級(jí)上·上?！るA段練習(xí)）如果從內(nèi)一點(diǎn)P到上所有點(diǎn)的距離中，最大距離是6，最小距離是2，那么的半徑長(zhǎng)是．題型九三角形內(nèi)接圓有關(guān)應(yīng)用例：（23-24九年級(jí)上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，，則的外心坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．39．（15-16九年級(jí)上·江蘇淮安·階段練習(xí)）下列語(yǔ)句中，正確的是（

）A．同一平面上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓B．三角形的外心到三角形三邊的距離相等C．三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)D．菱形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一圓上40．（2024·河北保定·二模）如圖，在中，，嘉嘉和淇淇通過(guò)尺規(guī)作圖的方法找到的外心，作法如下：嘉嘉：作的垂直平分線，交于點(diǎn)O，點(diǎn)O即為的外心淇淇：作和的平分線，兩條角平分線交于點(diǎn)O，點(diǎn)O即為的外心對(duì)于兩人的作圖方法，下列說(shuō)法正確的是（

）A．嘉嘉正確，淇淇錯(cuò)誤 B．嘉嘉錯(cuò)誤，淇淇正確C．兩人都正確 D．兩人都錯(cuò)誤41．（23-24九年級(jí)上·河南許昌·期末）如圖所示的網(wǎng)格由邊長(zhǎng)相同的小正方形組成，點(diǎn)、、、、、、都在小正方形的頂點(diǎn)上，則的外心是（

）A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)42．（22-23八年級(jí)下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為6和8，那么這個(gè)三角形的外接圓半徑等于．43．（22-23九年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖是由3個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形組成的物件，將它鑲嵌在一個(gè)圓形的金屬框上，使A，B，C三點(diǎn)恰好在金屬框上，則該金屬框的半徑是（

）A． B． C． D．4題型十確定圓的條件例：（23-24九年級(jí)上·廣東茂名·期末）如圖，點(diǎn)A、B、C三個(gè)點(diǎn)不在一條直線上．

(1)那么經(jīng)過(guò)A、B、C三個(gè)點(diǎn)可以畫(huà)個(gè)圓嗎？如果能，請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出來(lái)（要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）；如果不能，說(shuō)明理由．(2)分別連接AB、、，若是等邊三角形，邊長(zhǎng)為6，求外接圓的半徑．45．（23-24九年級(jí)上·江蘇淮安·階段練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的三個(gè)點(diǎn)，，，確定一個(gè)圓，（填“能”或“不能”）．46．（23-24九年級(jí)上·福建泉州·期末）若直線l上有四點(diǎn)A，B，C，D，直線l外有一點(diǎn)P，則經(jīng)過(guò)圖中的三個(gè)點(diǎn)作圓，最多可以作個(gè)．47．（2024·四川攀枝花·一模）作圖題如圖，在中，已知．(1)尺規(guī)作圖：畫(huà)的外接圓（保留作圖痕跡，不寫(xiě)畫(huà)法）(2)連接，；若，，求的長(zhǎng)．題型十一反證法例：（23-24八年級(jí)下·山東棗莊·期中）已知中，，求證：，下面寫(xiě)出運(yùn)用反證法證明這個(gè)命題的四個(gè)步驟：①因此假設(shè)不成立．②，這與三角形內(nèi)角和為矛盾③假設(shè)在中，④由，得，即．這四個(gè)步驟正確的順序應(yīng)是（

）A．④③①② B．①②③④ C．③④②① D．③④①②49．（23-24七年級(jí)下·江蘇常州·期末）對(duì)假命題“若，則”舉一個(gè)反例，符合要求的反例可以是（

）A．， B．，C．， D．，50．（2024·山西臨汾·二模）反證法是從反方向證明命題的論證方法．如圖、想要證明“如果直線被直線所截，，那么．”先假設(shè)，過(guò)點(diǎn)作直線，使，由“同位角相等，兩直線平行”，可得．這樣過(guò)點(diǎn)就有兩條直線，都平行于直線，這與數(shù)學(xué)中的一條基本事實(shí)相矛盾，說(shuō)明的假設(shè)是不正確的，于是有，上述材料中的“基本事實(shí)”是指（

）A．兩點(diǎn)確定一條直線B．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等C．經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行D．在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線垂直51．（23-24八年級(jí)下·遼寧丹東·期末）反證法是初中數(shù)學(xué)中的一種證明方法，在中國(guó)古代的數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中也起到了促進(jìn)作用，比如墨子談到“學(xué)之益也，說(shuō)在誹者”，其是通過(guò)證明“學(xué)習(xí)無(wú)益”的命題為假，以此才說(shuō)明“學(xué)習(xí)有益”的命題為真，這就是反證法的一個(gè)例子，我們用反證法證明命題“對(duì)角線不互相平分的四邊形不是平行四邊形”，應(yīng)先假設(shè)（

）A．對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形 B．對(duì)角線互相平分的四邊形不是平行四邊形C．對(duì)角線不互相平分的四邊形是平行四邊形 D．對(duì)角線不互相平分的四邊形不是平行四邊形52．（23-24八年級(jí)下·甘肅張掖·階段練習(xí)）求證：一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于，用反證法證明時(shí)的假設(shè)為“三角形．”題型十二直線與圓例：（2023九年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）在中，，若與相離，則半徑為r滿足（）A． B． C． D．54．（22-23九年級(jí)上·廣西河池·期中）已知的半徑為，圓心到直線AB的距離為，則直線AB與的位置關(guān)系是（）A．相切 B．相離 C．相交 D．不能確定55．（22-23九年級(jí)上·四川綿陽(yáng)·期末）在中，，為中點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作，則與直線的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定56．（23-24九年級(jí)上·黑龍江齊齊哈爾·期末）已知的半徑為1，直線l上有一點(diǎn)P滿足，則直線l與的位置關(guān)系是（

）A．相切 B．相離C．相切或相離 D．相切或相交57．（23-24九年級(jí)下·上海崇明·期中）已知在中，，若以C為圓心，r長(zhǎng)為半徑的圓C與邊有交點(diǎn)，那么r的取值范圍是（

）A．或 B．C． D．58．（22-23九年級(jí)·江蘇·假期作業(yè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為2的的圓心P的坐標(biāo)為，將沿x軸正方向以個(gè)單位/秒的速度平移，使與y軸相切，則平移的時(shí)間為秒．

題型十三切線的證明例：（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，是的直徑，點(diǎn)為外一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交線段于點(diǎn)，．求證：與相切．60．（2024·河北石家莊·模擬預(yù)測(cè)）下面是“經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線”的尺規(guī)作圖的過(guò)程．已知：如圖1，P為圓外一點(diǎn)．求作：經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的切線．作法：如圖2．（1）連接；（2）以為直徑作圓，與交于C、D兩點(diǎn)；（3）作直線、，則直線、就是所求作經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的切線．下列可作為以上作圖依據(jù)的是．甲：直徑所對(duì)的圓周角為直角；乙：經(jīng)過(guò)半徑外端且并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；丙：同弧所對(duì)圓周角相等．61．（2024·四川眉山·一模）如圖，線段經(jīng)過(guò)圓心O，交于點(diǎn)為的弦，連結(jié)(1)求證：是的切線；(2)若，求的長(zhǎng)度．62．（23-24九年級(jí)下·湖北孝感·期中）如圖，在中，，以為直徑作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，平分，且，連接．(1)求證：是的切線；(2)若，求的長(zhǎng)．題型十四切線的性質(zhì)例：（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，是上的一點(diǎn)，以為直徑的與相切于點(diǎn)，連接、，若，，則的長(zhǎng)度是（

）A． B． C． D．64．（22-23九年級(jí)上·寧夏銀川·期中）如圖，是的直徑，是的切線，為切點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接．若，則的度數(shù)為．65．（23-24九年級(jí)下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）如圖，已知是的直徑，是的切線，連接交于點(diǎn)D，連接．若，則的度數(shù)是°．66．（2024·四川樂(lè)山·模擬預(yù)測(cè)）如圖，的內(nèi)切圓與分別相切于點(diǎn)，若，則的大小為．題型十五切線的性質(zhì)與判定的綜合例：（2020·新疆烏魯木齊·一模）如圖，在中，，以為直徑的交于，點(diǎn)在線段上，且．

(1)求證：是的切線；(2)若，，求的半徑．68．（23-24九年級(jí)上·云南昆明·階段練習(xí)）我們學(xué)習(xí)過(guò)利用尺規(guī)作圖平分一個(gè)任意角，而“利用尺規(guī)作圖三等分一個(gè)任意角”曾是數(shù)學(xué)史上一大難題，之后被數(shù)學(xué)家證明是不可能完成的，人們根據(jù)實(shí)際需要，發(fā)明了一種簡(jiǎn)易操作工具——三分角器，圖1是它的示意圖，其中與半圓的直徑在同一直線上，且的長(zhǎng)度與半圓的半徑相等；與垂直于點(diǎn)，夠長(zhǎng)．使用方法如圖2所示，若要把三等分，只需適當(dāng)放置三分角器，使經(jīng)過(guò)的頂點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，半圓與另一邊恰好相切，切點(diǎn)為，則，就把三等分了．為了說(shuō)明這一方法的正確性，需要對(duì)其進(jìn)行證明．請(qǐng)你根據(jù)已知和求證，寫(xiě)出證明過(guò)程．已知：如圖2，點(diǎn)，，，在同一直線上，，垂足為點(diǎn)，，與半圓相切于點(diǎn)．求證：．69．（2023·山東棗莊·二模）已知：如圖，過(guò)正方形的頂點(diǎn)，且與邊相切于點(diǎn)．點(diǎn)是與的交點(diǎn)，連接，，，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，且．(1)求證：是的切線；(2)如果正方形邊長(zhǎng)為，求的半徑．70．（23-24九年級(jí)上·安徽六安·階段練習(xí)）如圖，已知是上一點(diǎn)，是直徑，的平分線交于點(diǎn)，的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，．(1)求證：為的切線．(2)若，①若，則________．②作關(guān)于直線對(duì)稱的，連接，，當(dāng)四邊形是菱形時(shí)，求的長(zhǎng)．題型十六切線長(zhǎng)定理例：（23-24九年級(jí)上·廣東廣州·期中）如圖，分別與相切于兩點(diǎn)，與相切于點(diǎn)，與相交于兩點(diǎn)，若，，則的周長(zhǎng)和的度數(shù)分別為（

）A．， B．， C．， D．，72．（2023·山東青島·二模）如圖，是的直徑，點(diǎn)是外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的兩條直線分別與圓相切于點(diǎn)、，點(diǎn)是圓周上任意一點(diǎn)，連接、，若，則（）

A． B． C． D．73．（23-24九年級(jí)下·江蘇南京·期中）如圖，在中，，的內(nèi)切圓與，分別相切于點(diǎn)D，E，連接，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，則．74．（23-24九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，已知：四邊形是的外切四邊形，，，，分別是切點(diǎn)，求證：．

題型十七三角形的內(nèi)切圓例：（2023·河北邢臺(tái)·二模）如圖，將折疊，使邊落在AB邊上，展開(kāi)后得到折痕AD，再將折疊，使邊落在AB邊上，展開(kāi)后得到折痕，若AD與的交點(diǎn)為，則點(diǎn)是（

）A．的外心 B．的內(nèi)心C．的重心 D．的中心

76．（2024·湖北恩施·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)是的內(nèi)心，若，則等于（

）A． B． C． D．77．（23-24九年級(jí)上·山東德州·期末）如圖，在中，I是的內(nèi)心，O是的外心，則（）A．125° B．140° C．130° D．150°78．（23-24九年級(jí)上·福建福州·期中）如圖，，，，若、分別是的內(nèi)心和外心，則的長(zhǎng)為．79．（23-24九年級(jí)上·江蘇鹽城·期中）已知的三邊長(zhǎng)為，，，則三角形內(nèi)切圓半徑為．題型十八正多邊形和圓例：（2023·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·二模）如圖，P，Q分別是的內(nèi)接正五邊形的邊，上的點(diǎn)，，則（

）A． B． C． D．81．（22-23九年級(jí)上·內(nèi)蒙古烏海·階段練習(xí)）正六邊形的邊長(zhǎng)、邊心距、半徑之比為（

）A． B． C． D．82．（23-24九年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，已知的半徑為4，則該圓內(nèi)接正六邊形的邊心距的值是（

）

A． B． C． D．383．（21-22九年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，已知，求作：內(nèi)接正六邊形，以下是甲、乙兩同學(xué)的作業(yè)：甲：①先作直徑；②作的垂直平分線交于點(diǎn)、；③作的垂直平分線交于點(diǎn)、；④依次連接，六邊形即為所求（如圖①）．乙：①上任取點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)；②以點(diǎn)為圓心，為半徑畫(huà)弧交于點(diǎn)；③同上述作圖方法逆時(shí)針作出點(diǎn)、、；④依次連接，多邊形即為正六邊形（如圖②）．對(duì)于兩人的作業(yè)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．兩人都不對(duì) B．甲對(duì)，乙不對(duì) C．兩人都對(duì) D．甲不對(duì)，乙對(duì)題型十九弧長(zhǎng)計(jì)算例：（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·假期作業(yè)）(1)已知扇形的圓心角為，弧長(zhǎng)等于，則該扇形的半徑是；(2)如果一個(gè)扇形的半徑是1，弧長(zhǎng)是，那么此扇形的圓心角的大小為．85．（22-23九年級(jí)上·浙江寧波·階段練習(xí)）弧長(zhǎng)為，所在圓的半徑是6，則弦所對(duì)的圓周角為．86．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）傳統(tǒng)服飾日益受到關(guān)注，如圖1為明清時(shí)期女子主要裙式之一的馬面裙，如圖2，馬面裙可以近似的看作扇環(huán)，其中的長(zhǎng)為，裙長(zhǎng)為，圓心角，則的長(zhǎng)為m．87．（23-24九年級(jí)上·四川瀘州·階段練習(xí)）已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、．(1)在圖中畫(huà)出將繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的；(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為；(3)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)B所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為．題型二十扇形與不規(guī)則圖行的面積計(jì)算例：（23-24九年級(jí)上·浙江紹興·期末）如圖，為半圓的直徑，為半圓上一點(diǎn)，為弧的中點(diǎn)，交弦于點(diǎn)，若，求：

(1)的長(zhǎng)．(2)陰影部分的面積．89．（2024·山東東營(yíng)·中考真題）習(xí)近平總書(shū)記強(qiáng)調(diào)，中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化是中華民族的根和魂．東營(yíng)市某學(xué)校組織開(kāi)展中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化成果展示活動(dòng)，小慧同學(xué)制作了一把扇形紙扇．如圖，，，紙扇完全打開(kāi)后，外側(cè)兩竹條（竹條寬度忽略不計(jì)）的夾角．現(xiàn)需在扇面一側(cè)繪制山水畫(huà)，則山水畫(huà)所在紙面的面積為（

）．

A． B． C． D．90．（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，為對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)．以為圓心，為半徑作圓弧，再分別以，為圓心，為半徑作圓弧，，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．91．（23-24九年級(jí)下·北京西城·開(kāi)學(xué)考試）如圖，點(diǎn)是圓形舞臺(tái)上的一點(diǎn)，舞臺(tái)的圓心為，在點(diǎn)安裝的一臺(tái)某種型號(hào)的燈光裝置，其照亮的區(qū)域如圖中陰影所示，該裝置可以繞著點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，邊界的兩條光線分別與圓交于，兩點(diǎn)，并且?jiàn)A角保持不變，該裝置轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中，以下結(jié)論正確的是（

）A．點(diǎn)到弦所在直線的距離存在最大值 B．弦的大小改變C．弦與的長(zhǎng)度之和不變 D．圖中陰影部分的面積不變此題主要考查圓的基本性質(zhì)，圓周角定理，點(diǎn)到直線的距離，掌握基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．根據(jù)圓周角定理，點(diǎn)到直線的距離的定義、極限思想和三角形三邊關(guān)系、三角形面積公式等進(jìn)行逐一判斷即可．92．（23-24九年級(jí)上·河南商丘·階段練習(xí)）如圖，中，是直角，，，將以點(diǎn)為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到邊延長(zhǎng)線上的處，則邊掃過(guò)的圖形中陰影部分的面積是．題型二十一圓錐側(cè)面展開(kāi)圖例：（23-24九年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖是一個(gè)圓錐與其側(cè)面展開(kāi)圖，已知圓錐的底面半徑是2，母線長(zhǎng)是6．(1)求這個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖中的度數(shù)；(2)如果A是底面圓周上的一點(diǎn)，從點(diǎn)A拉一根繩子繞圓錐側(cè)面一圈再回到點(diǎn)A，求這根繩子的最短長(zhǎng)度．94．（2024·江蘇無(wú)錫·中考真題）已知圓錐的底面圓半徑為3，母線長(zhǎng)為4，則圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．95．（23-24九年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，從一塊邊長(zhǎng)為2的等邊三角形卡紙上剪下一個(gè)面積最大的扇形，并將其圍成一個(gè)圓錐，則圓錐的底面圓的半徑是．96．（2023·寧夏吳忠·一模）如圖，用一個(gè)半徑為，弧長(zhǎng)為的扇形鐵皮制作一個(gè)無(wú)底的圓錐，則圓錐的高．97．（21-22九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）蒙古包可以近似地看作由圓錐和圓柱組成．如果想用毛氈搭建20個(gè)底面積為，高為，外圍高的蒙古包，至少需要多少平方米的毛氈（取3.142，結(jié)果取整數(shù)）？

第二十三章圓知識(shí)歸納與題型突破（21題型清單）01思維導(dǎo)圖01思維導(dǎo)圖0202知識(shí)速記一、圓的基本性質(zhì)1.圓如圖，在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑.以點(diǎn)O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．圓心為O，半徑為r的圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)O的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)的集合.2.圓的有關(guān)概念（1）弦：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦.（2）直徑：經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑.（3）弧的有關(guān)概念：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧.以A、B為端點(diǎn)的弧記作，讀作“圓弧AB”或“弧AB”.半圓：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓；優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)??；劣弧：小于半圓的弧叫做劣弧.（4）同心圓與等圓圓心相同，半徑不等的兩個(gè)圓叫做同心圓.圓心不同，半徑相等的兩個(gè)圓叫做等圓.同圓或等圓的半徑相等.（5）等弧在同圓或等圓中，能夠完全重合的弧叫做等弧.3.垂直于弦的直徑垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。箯蕉ɡ淼耐普撈椒窒?不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.4.弧、弦、圓心角的關(guān)系（1）圓心角定義如圖所示，∠AOB的頂點(diǎn)在圓心，像這樣頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角．（2）圓心角定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等．（3）圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個(gè)弦心距中有一對(duì)量相等，那么它們所對(duì)的其余各對(duì)量也相等．5.圓周角圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．6.圓內(nèi)接多邊形一個(gè)四邊形的4個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)四邊形叫做圓的內(nèi)接四邊形，這個(gè)圓叫做四邊形的外接圓。1.圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．2.圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對(duì)角）二、點(diǎn)與圓、直線與圓的位置關(guān)系1.點(diǎn)和圓的位置關(guān)系（重點(diǎn)）（1）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP＝d，則有：①點(diǎn)P在圓外?d＞r②點(diǎn)P在圓上?d＝r①點(diǎn)P在圓內(nèi)?d＜r（2）點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過(guò)來(lái)已知點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．（3）符號(hào)“?”讀作“等價(jià)于”，它表示從符號(hào)“?”的左端可以得到右端，從右端也可以得到左端．2.圓的確定條件不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓．3.三角形的外接圓（1）外接圓：經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓，叫做三角形的外接圓．（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心．（3）概念說(shuō)明：①“接”是說(shuō)明三角形的頂點(diǎn)在圓上，或者經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)．②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點(diǎn)；鈍角三角形的外心在三角形的外部．③找一個(gè)三角形的外心，就是找一個(gè)三角形的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，三角形的外接圓只有一個(gè)，而一個(gè)圓的內(nèi)接三角形卻有無(wú)數(shù)個(gè)．4.反證法（1）反證法假設(shè)命題的結(jié)論不成立,由此經(jīng)過(guò)推理得出矛盾,由矛盾斷定所作假設(shè)不正確,從而得到原命題成立.這種方法叫做反證法.反證法是一種間接證明命題的方法.（2）用反證法證明命題的一般步驟①假設(shè)命題的結(jié)論不成立;②從這個(gè)假設(shè)出發(fā),經(jīng)過(guò)推理論證,得出矛盾③由矛盾判定假設(shè)不正確,從而肯定原命題的結(jié)論正確5.直線和圓的位置關(guān)系(1)相交：直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相交．這時(shí)直線叫做圓的割線．(2)相切：直線和圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相切．這時(shí)直線叫做圓的切線，唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)．(3)相離：直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相離．由于圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，因此研究直線和圓的位置關(guān)系，就可以轉(zhuǎn)化為直線和點(diǎn)(圓心)的位置關(guān)系．下面圖(1)中直線與圓心的距離小于半徑；圖(2)中直線與圓心的距離等于半徑；圖(3)中直線與圓心的距離大于半徑．如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d，那么直線l和⊙O相交?d<r；直線l和⊙O相切?d=r；直線l和⊙O相離?d>r.6.切線的判定定理和性質(zhì)定理（1）切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．（2）在應(yīng)用判定定理時(shí)注意：①切線必須滿足兩個(gè)條件：a、經(jīng)過(guò)半徑的外端；b、垂直于這條半徑，否則就不是圓的切線．②切線的判定定理實(shí)際上是從”圓心到直線的距離等于半徑時(shí)，直線和圓相切“這個(gè)結(jié)論直接得出來(lái)的．③在判定一條直線為圓的切線時(shí)，當(dāng)已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點(diǎn)時(shí)，常過(guò)圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長(zhǎng)等于半徑，可簡(jiǎn)單的說(shuō)成“無(wú)交點(diǎn)，作垂線段，證半徑”；當(dāng)已知條件中明確指出直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，常連接過(guò)該公共點(diǎn)的半徑，證明該半徑垂直于這條直線，可簡(jiǎn)單地說(shuō)成“有交點(diǎn)，作半徑，證垂直”．（3）切線的性質(zhì)①圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．②經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)．③經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心．（4）切線的性質(zhì)可總結(jié)如下：如果一條直線符合下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè)，那么它一定滿足第三個(gè)條件，這三個(gè)條件是：①直線過(guò)圓心；②直線過(guò)切點(diǎn)；③直線與圓的切線垂直．（5）切線性質(zhì)的運(yùn)用由定理可知，若出現(xiàn)圓的切線，必連過(guò)切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．簡(jiǎn)記作：見(jiàn)切點(diǎn)，連半徑，見(jiàn)垂直．7.切線長(zhǎng)及切線長(zhǎng)定理（1）圓的切線長(zhǎng)定義：經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)．（2）切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線，平分兩條切線的夾角．（3）注意：切線和切線長(zhǎng)是兩個(gè)不同的概念，切線是直線，不能度量；切線長(zhǎng)是線段的長(zhǎng)，這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別是圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)，可以度量．（4）切線長(zhǎng)定理包含著一些隱含結(jié)論：①垂直關(guān)系三處；②全等關(guān)系三對(duì)；③弧相等關(guān)系兩對(duì)，在一些證明求解問(wèn)題中經(jīng)常用到．8.三角形的內(nèi)切圓（1）三角形的內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓.（2）三角形的內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心.三角形的內(nèi)心到三邊的距離都相等.(1)任何一個(gè)三角形都有且只有一個(gè)內(nèi)切圓，但任意一個(gè)圓都有無(wú)數(shù)個(gè)外切三角形；(2)解決三角形內(nèi)心的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長(zhǎng)與內(nèi)切圓半徑乘積的一半，即(S為三角形的面積，P為三角形的周長(zhǎng)，r為內(nèi)切圓的半徑).(3)三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別：名稱確定方法圖形性質(zhì)外心(三角形外接圓的圓心)三角形三邊中垂線的交點(diǎn)(1)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形內(nèi)部?jī)?nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心)三角形三條角平分線的交點(diǎn)(1)到三角形三邊距離相等；(2)OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)內(nèi)心在三角形內(nèi)部.三、正多邊形和圓1.正多邊形及有關(guān)概念各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形．2.正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形正多邊形和圓的關(guān)系十分密切，只要把一個(gè)圓分成相等的一些弧，就可以作出這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓就是這個(gè)正多邊形的外接圓．

3.正多邊形的有關(guān)概念

(1)一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心．

(2)正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．

(3)正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角．

(4)正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．4.正多邊形的性質(zhì)（1）正多邊形都只有一個(gè)外接圓，圓有無(wú)數(shù)個(gè)內(nèi)接正多邊形.

（2）正ｎ邊形的半徑和邊心距把正ｎ邊形分成2ｎ個(gè)全等的直角三角形.

（3）正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸的條數(shù)與它的邊數(shù)相同，每條對(duì)稱軸都通過(guò)正n邊形的中心；當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時(shí)，它也是中心對(duì)稱圖形，它的中心就是對(duì)稱中心.

（4）邊數(shù)相同的正多邊形相似。它們周長(zhǎng)的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方．（5）任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓

要點(diǎn)歸納：（1）各邊相等的圓的內(nèi)接多邊形是圓的內(nèi)接正多邊形；（2）各角相等的圓的外切多邊形是圓的外切正多邊形.知識(shí)點(diǎn)2.正多邊形的有關(guān)計(jì)算（重點(diǎn)）1.正ｎ邊形每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是；

2.正ｎ邊形每個(gè)中心角的度數(shù)是；

3.正ｎ邊形每個(gè)外角的度數(shù)是.知識(shí)點(diǎn)3.正多邊形的畫(huà)法1.用量角器等分圓由于在同圓中相等的圓心角所對(duì)的弧也相等，因此作相等的圓心角(即等分頂點(diǎn)在圓心的周角)可以等分圓；根據(jù)同圓中相等弧所對(duì)的弦相等，依次連接各分點(diǎn)就可畫(huà)出相應(yīng)的正n邊形.

2.用尺規(guī)等分圓對(duì)于一些特殊的正ｎ邊形，可以用圓規(guī)和直尺作圖.①正四、八邊形。

在⊙O中，用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑就可把圓分成4等份，從而作出正四邊形。再逐次平分各邊所對(duì)的弧(即作∠AOB的平分線交于E)就可作出正八邊形、正十六邊形等，邊數(shù)逐次倍增的正多邊形。

②正六、三、十二邊形的作法。

通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算可知，正六邊形的邊長(zhǎng)與其半徑相等，所以，在⊙O中，任畫(huà)一條直徑AB，分別以A、B為圓心，以⊙O的半徑為半徑畫(huà)弧與⊙O相交于C、D和E、F，則A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分點(diǎn)。

顯然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分點(diǎn)。

同樣，在圖(3)中平分每條邊所對(duì)的弧，就可把⊙O12等分……。

要點(diǎn)歸納：畫(huà)正n邊形的方法：（1）將一個(gè)圓n等份，（2）順次連結(jié)各等分點(diǎn).四、弧長(zhǎng)和扇形面積1.弧長(zhǎng)公式（重點(diǎn)）（1）圓周長(zhǎng)公式：C＝2πR（2）弧長(zhǎng)公式：l=nπR180（弧長(zhǎng)為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為①在弧長(zhǎng)的計(jì)算公式中，n是表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不要帶單位．②若圓心角的單位不全是度，則需要先化為度后再計(jì)算弧長(zhǎng)．③題設(shè)未標(biāo)明精確度的，可以將弧長(zhǎng)用π表示．④正確區(qū)分弧、弧的度數(shù)、弧長(zhǎng)三個(gè)概念，度數(shù)相等的弧，弧長(zhǎng)不一定相等，弧長(zhǎng)相等的弧不一定是等弧，只有在同圓或等圓中，才有等弧的概念，才是三者的統(tǒng)一．2.扇形的面積公式（1）圓面積公式：S＝πr2（2）扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧所圍成的圖形叫做扇形．（3）扇形面積計(jì)算公式：設(shè)圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則S扇形=n360πR2或S扇形=12（4）求陰影面積常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割補(bǔ)法．（5）求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．3.圓錐的側(cè)面積和全面積圓錐的側(cè)面積：S側(cè)=12?2πr?l＝π圓錐的全面積：S全＝S底+S側(cè)＝πr2+πrl0303題型歸納題型一圓的基本概念辨析例：（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·假期作業(yè)）有下列五個(gè)說(shuō)法：①半徑確定了，圓就確定了；②直徑是弦；③弦是直徑；④半圓是弧，但弧不一定是半圓；⑤任意一條直徑都是圓的對(duì)稱軸．其中錯(cuò)誤的說(shuō)法個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題考查圓、直徑、弦、半圓等概念，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵．根據(jù)圓、直徑、弦、半圓等概念逐一判斷即可得答案．【詳解】解：半徑確定了，只能說(shuō)明圓的大小確定了，但是位置沒(méi)有確定，還要確定圓心位置，故①錯(cuò)誤，直徑是弦，故②正確，弦不一定是直徑，故③錯(cuò)誤，半圓是弧，但弧不一定是半圓，故④正確，圓的對(duì)稱軸是一條直線，每一條直徑所在的直線是圓的對(duì)稱軸，故⑤錯(cuò)誤，綜上所述：①③⑤的說(shuō)法是錯(cuò)誤的．共3個(gè)，故選：C．2．（23-24七年級(jí)下·山東濰坊·期末）下列說(shuō)法正確的有（）A．經(jīng)過(guò)圓心的線段是直徑 B．直徑是同一個(gè)圓中最長(zhǎng)的弦C．長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧 D．弧分為優(yōu)弧和劣弧【答案】B【分析】本題考查了圓的相關(guān)概念，解題的關(guān)鍵是掌握直徑的定義，弧的定義，弧的分類，根據(jù)相關(guān)概念，逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：A、經(jīng)過(guò)圓心，且兩端點(diǎn)在圓上的線段是直徑，故A不正確，不符合題意；B、直徑是同一個(gè)圓中最長(zhǎng)的弦，故B正確，符合題意；C、在同圓或等圓中，長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧，故C不正確，不符合題意；D、弧分為優(yōu)弧、劣弧和半圓，故D不正確，不符合題意；故選：B．3．（23-24七年級(jí)上·重慶銅梁·開(kāi)學(xué)考試）下面說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．圓有無(wú)數(shù)條半徑和直徑 B．直徑是半徑的2倍C．圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸 D．圓的大小與半徑有關(guān)【答案】B【分析】本題主要考查了圓的相關(guān)概念，明確在同一個(gè)圓和等圓內(nèi)、所有的半徑都相等、所有的直徑都相等、所有直徑是半徑的2倍成為解題的關(guān)鍵．根據(jù)圓的特征逐項(xiàng)分析即可解答．【詳解】解：A．圓有無(wú)數(shù)條半徑和直徑，說(shuō)法正確；B．由直徑的定義可知，同一個(gè)圓的直徑是半徑的2倍，選項(xiàng)缺少在同一個(gè)圓中，故說(shuō)法錯(cuò)誤；C．因?yàn)閳A是軸對(duì)稱圖形，且它的直徑所在的直線就是其對(duì)稱軸，而圓有無(wú)數(shù)條直徑，所以圓就有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸；D．圓的大小和圓的半徑有關(guān)，說(shuō)法正確．故選：B．4．（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·假期作業(yè)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．圓有無(wú)數(shù)條直徑B．連接圓上任意兩點(diǎn)之間的線段叫弦C．過(guò)圓心的線段是直徑D．能夠重合的圓叫做等圓【答案】ABD【分析】此題考查了圓的認(rèn)識(shí)，屬于基礎(chǔ)概念的考查，根據(jù)：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫弦，經(jīng)過(guò)圓心的弦叫直徑，直徑是最長(zhǎng)的弦，逐一判斷即可．【詳解】解：、圓有無(wú)數(shù)條直徑，故本選項(xiàng)說(shuō)法正確，符合題意；B、連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫弦，故本選項(xiàng)說(shuō)法正確，符合題意；C、過(guò)圓心的弦是直徑，故本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；D、能夠重合的圓全等，則它們是等圓，故本選項(xiàng)說(shuō)法正確，符合題意；故選：ABD．題型二圓的最值模型例：（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，E是直角邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是直角邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將沿所在直線折疊，得到，D是斜邊的中點(diǎn)，若，，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短、三角形的中位線定理、圓的定義，確定動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，結(jié)合E是直角邊的中點(diǎn)，得到，由此可判斷點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)、、共線時(shí)，此時(shí)的值最小，根據(jù)三角形中位線定理求出，即可求出此時(shí)的最小值．【詳解】解：將沿所在直線折疊，得到，，，E是直角邊的中點(diǎn)，，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖所示，，當(dāng)、、共線時(shí)，即與重合時(shí)，取得最小值，又，此時(shí)的值最小，D是斜邊的中點(diǎn)，是的中位線，，此時(shí)，，的最小值為4．故選：C．6．（2024·江蘇蘇州·二模）如圖，中，，，，點(diǎn)D為斜邊上一任意點(diǎn)，連接AD，將點(diǎn)B關(guān)于直線AD作軸對(duì)稱變換得到點(diǎn)E，連接，，則面積的最大值為（

）\A．18 B．30 C．15 D．24【答案】A【分析】本題考查軸對(duì)稱，根據(jù)題意得到，則點(diǎn)E在以A為圓心，6為半徑的圓上，然后確定點(diǎn)E到AB得最大距離最大值計(jì)算即可．【詳解】解：∵點(diǎn)B關(guān)于直線AD作軸對(duì)稱變換得到點(diǎn)E，∴，∴點(diǎn)E在以A為圓心，6為半徑的圓上，即當(dāng)時(shí)，點(diǎn)E到AB得最大距離最大，最大為6，∴面積的最大值為，故選A．7．（2024·遼寧大連·三模）已知在平面直角坐標(biāo)系中，的圓心為0,1，半徑為1，直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，交于一點(diǎn)，則當(dāng)取得最大值時(shí)，的值為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了直線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，圓外一點(diǎn)到圓上點(diǎn)距離的最大值；由題意知，當(dāng)圓心I在線段上，取得最大值，把點(diǎn)I的坐標(biāo)代入中，即可求得k的值．【詳解】解：由題意知，當(dāng)圓心I在線段上，取得最大值，此時(shí)直線過(guò)點(diǎn)I，把點(diǎn)I坐標(biāo)代入中，得：，解得：；故選：D．8．（23-24九年級(jí)上·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖，已知和射線，動(dòng)點(diǎn)在上，動(dòng)點(diǎn)在射線上，．若的最小值為，最大值為，則的半徑為．【答案】7【分析】本題考查圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離，勾股定理，根據(jù)，得到當(dāng)時(shí)，最長(zhǎng)，當(dāng)時(shí)，最短，利用的長(zhǎng)為定值，結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，∴當(dāng)，最長(zhǎng)，此時(shí)最長(zhǎng)，當(dāng)，最短，此時(shí)最短，如圖：設(shè)半徑為，當(dāng)，即：，由勾股定理，得：，當(dāng)，即：，由勾股定理，得：，∴，解得：；故答案為：7．題型三利用垂徑定理進(jìn)行求解例：（2023·廣西玉林·三模）如圖，是的直徑，是的弦，，垂足為點(diǎn)，，，則．【答案】【分析】本題考查了垂徑定理及勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理．結(jié)合題意，由垂徑定理可得垂直平分，然后在中運(yùn)用勾股定理求得即可求解．【詳解】解：由題意可知，垂直平分，，，在中，，．故答案為：．10．（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．過(guò)弦的中點(diǎn)的直線平分弦所對(duì)的兩條弧B．弦的垂直平分線平分它所對(duì)的兩條弧，但不一定過(guò)圓心C．過(guò)弦中點(diǎn)的直徑平分弦所對(duì)的兩條弧D．平分弦所對(duì)的兩條弧的直線平分弦【答案】D【分析】本題考查對(duì)垂徑定理的理解，解題的關(guān)鍵在于正確理解垂徑定理及其推論的“知二推三”．根據(jù)相關(guān)定理逐項(xiàng)判斷，即可解題．【詳解】解：A、過(guò)弦（弦不是直徑）的中點(diǎn)的直徑平分弦所對(duì)的兩條弧，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、弦的垂直平分線平分它所對(duì)的兩條弧，一定過(guò)圓心，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、過(guò)弦（弦不是直徑）中點(diǎn)的直徑平分弦所對(duì)的兩條弧，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D、平分弦所對(duì)的兩條弧的直線平分弦，選項(xiàng)正確，符合題意；故選：D．11．（22-23九年級(jí)上·浙江寧波·開(kāi)學(xué)考試）如圖，將半徑為的圓折疊后，圓弧恰好經(jīng)過(guò)圓心，則折痕的長(zhǎng)為（

）A． B．4 C．6 D．【答案】D【分析】作的半徑于，連接、，如圖，利用折疊的性質(zhì)得垂直平分，則，于是可判斷為等邊三角形，所以，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求出，然后利用垂徑定理得到，從而得到的長(zhǎng)．本題考查了相交兩圓的性質(zhì)：相交兩圓的連心線（經(jīng)過(guò)兩個(gè)圓心的直線），垂直平分兩圓的公共弦．也考查了折疊的性質(zhì)．【詳解】解：作的半徑于，連接、，如圖，圓折疊后，圓弧恰好經(jīng)過(guò)圓心，垂直平分，，而，，為等邊三角形，，，，，，，．故選：C．12．（23-24九年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期中）如圖，在正方形網(wǎng)格中，一條圓弧經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)C的坐標(biāo)是，則那么這條圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)是

（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查了垂徑定理的應(yīng)用，找到線段的垂直平分線和線段的垂直平分線的交點(diǎn)即可得到圓心坐標(biāo)．【詳解】解：如圖線段的垂直平分線和線段的垂直平分線的交點(diǎn)M，即為弧的圓心，∴圓心的坐標(biāo)是，故選：B．13．（23-24九年級(jí)上·內(nèi)蒙古通遼·期中）⊙O的半徑是10，弦，，則弦與的距離是（

）A．2 B．14 C．2或14 D．7或1【答案】C【分析】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用．作于E，于F，由垂徑定理得，由于，易得E、O、F三點(diǎn)共線，在和中，利用勾股定理分別計(jì)算出與，然后討論：當(dāng)圓心O在弦與之間時(shí)，與的距離；當(dāng)圓心O在弦與的外部時(shí)，與的距離．【詳解】解：如圖，作于E，于F，連，則，∵，∴E、O、F三點(diǎn)共線，在中，，在中，，當(dāng)圓心O在弦與之間時(shí)，與的距離；當(dāng)圓心O在弦與的外部時(shí)，與的距離．所以與的距離是14或2．故選：C．14．（22-23九年級(jí)上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）如圖，是的直徑，為的一條弦，于點(diǎn)E，已知，，則的半徑為．【答案】5【分析】本題考查了垂徑定理和勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．連結(jié)，根據(jù)垂徑定理求得，再根據(jù)勾股定理即可求得答案．【詳解】解：如圖，連結(jié)，是的直徑，，，，即的半徑為5．故答案為：5．題型四垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用例：（22-23九年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期末）“圓材埋壁”是《九章算術(shù)》中的一個(gè)問(wèn)題“今有圓材埋在壁中，不知大?。凿忎徶?，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問(wèn)徑幾何？”根據(jù)原文題意，畫(huà)出圓材截面圖如圖所示，已知：鋸口深為1寸，鋸道尺（1尺10寸），則該圓材的直徑為（

）A．26寸 B．25寸 C．13寸 D．50.5寸【答案】A【分析】過(guò)點(diǎn)O作，交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，設(shè)的半徑為r．在中，，由勾股定理得出方程，解方程即可．本題考查了垂徑定理，勾股定理，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)O作，交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，設(shè)的半徑為r．在中，，由勾股定理得出方程，解得：，∴的直徑為26寸，故答案為：26．16．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，筒車盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖2，已知圓心O在水面上方，且被水面截得弦長(zhǎng)為4米，半徑長(zhǎng)為3米．若點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，則點(diǎn)C到弦所在直線的距離是（

）

A．1米 B．2米 C．米 D．米【答案】C【分析】本題考查了垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．連接，交于D，由垂徑定理得（米），再由勾股定理得（米），然后求出的長(zhǎng)即可．【詳解】連接，交于D，

由題意得：米，，米，，在中米，米，即點(diǎn)C到弦所在直線的距離是米，故選：C．17．（2024·陜西榆林·一模）如圖，這是一扇拱形門(mén)的示意圖，為門(mén)框底，，，門(mén)框頂部是一段圓心角為的圓弧，是的中點(diǎn)，則點(diǎn)到門(mén)框底的距離是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了垂徑定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)．根據(jù)題意作出圖形，利用垂徑定理結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)求得圓弧的半徑，利用直角三角形的性質(zhì)求得，再求得圓弧的高，據(jù)此求解即可．【詳解】解：如圖，圓心角為的圓弧的圓心為，∴，且，∴是等腰直角三角形，且，∵是的中點(diǎn)，∴，∴，∴，，∴，∴點(diǎn)到門(mén)框底的距離是，故選：B．18．（2024·浙江紹興·二模）某項(xiàng)目化研究小組只用一張矩形紙條和刻度尺，來(lái)測(cè)量一次性紙杯杯底的直徑．小敏同學(xué)想到了如下方法：如圖，將紙條拉直并緊貼杯底，紙條的上下邊沿分別與杯底相交于、、、四點(diǎn)，然后利用刻度尺量得該紙條的寬為，，．請(qǐng)你幫忙計(jì)算紙杯杯底的直徑為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理．由垂徑定理求出，的長(zhǎng)，設(shè)，由勾股定理得到，求出的值，得到的長(zhǎng)，由勾股定理求出長(zhǎng)，即可求出紙杯的直徑長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，，過(guò)圓心，連接，，

，∵，，，，設(shè)，，，，，，，，，紙杯的直徑為．故選：B．19．（23-24九年級(jí)下·寧夏銀川·期中）.筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，彰顯了我國(guó)古代勞動(dòng)人民的智慧，如圖1，點(diǎn)P表示筒車的一個(gè)盛水桶．如圖2，當(dāng)筒車工作時(shí)，盛水桶的運(yùn)行路徑是以軸心O為圓心，為半徑的圓，且圓心在水面上方．若圓被水面截得的弦長(zhǎng)為，則筒車工作時(shí)，盛水桶在水面以下的最大深度為．【答案】【分析】此題考查垂徑定理，解題關(guān)鍵在于作輔助線利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算．根據(jù)題意作于，交于點(diǎn)，再利用勾股定理得出，即可解答．【詳解】解：作于，交于點(diǎn)，在中，，，，筒車工作時(shí)，盛水桶在水面以下的最大深度為，故答案為：3．題型五弦、弧、弦心距之間的關(guān)系例：（2024·江蘇南京·二模）如圖，AB、CD是的兩條弦，與BD相交于點(diǎn)E，．(1)求證：；(2)連接作直線求證：．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析．【分析】本題考查了垂直平分線的判定與性質(zhì)，利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求證，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)利用弧、弦、圓心角的關(guān)系得出，則；（2）因?yàn)樗裕唇Y(jié)合，得出E、O都在的垂直平分線上，即可作答．【詳解】（1）證明：∵，∴∴，即．∴．（2）證明：連接

∵∴∴∴∵∴E、O都在的垂直平分線上．∴21．（2024·廣東揭陽(yáng)·三模）如圖，在中，，那么（

）A． B．C． D．與的大小關(guān)系無(wú)法比較【答案】A【分析】本題考查了垂徑定理．可過(guò)作半徑于，由垂徑定理可知，因此只需比較和的大小即可；易知，在中，是斜邊，是直角邊，很顯然，即，由此可判斷出和的大小關(guān)系，即可得解．【詳解】解：如圖，過(guò)作半徑于，連接；由垂徑定理知：，；；在中，，則；，即；故選：A．22．（2024·黑龍江大慶·二模）如圖，是的直徑，，，則的大小為．【答案】/度【分析】本題主要考查了弧與圓心角之間的關(guān)系，根據(jù)同圓中等弧所對(duì)的圓心角相等得到，再由平角的定義即可得到答案．【詳解】解：∵是的直徑，，，∴，∴，故答案為：．23．（23-24九年級(jí)上·江蘇連云港·階段練習(xí)）如圖，是的直徑，點(diǎn)C、D在上，，，垂足分別為E，F(xiàn)，且，與相等嗎？為什么？【答案】，理由見(jiàn)解析【分析】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)及圓心角、弧、弦的關(guān)系．在同圓等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)弦的弦心距也相等．連接，欲證與相等，先證、關(guān)系，證明即可．【詳解】，連接∵∴又∵∴∴，∵，∴．題型六圓周角定理及其推論的應(yīng)用例：（22-23九年級(jí)上·四川綿陽(yáng)·開(kāi)學(xué)考試）如圖，為的直徑，，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)E，，連接．(1)求的度數(shù)；(2)求證：．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【分析】本題考查圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)：（1）等邊對(duì)等角，求出的度數(shù)，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角，得到，進(jìn)而得到，再根據(jù)角的和差關(guān)系即可得出結(jié)果；（2）連接，圓周角定理，得到，三線合一，得到即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵為的直徑，∴，∴，∴；（2）連接，∵為的直徑，∴，又∵，∴．25．（23-24七年級(jí)上·河北保定·期末）如圖，為的直徑，點(diǎn)C，D在圓上，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了圓的基本性質(zhì)，直角三角形的特征，連接，由同弧所對(duì)的圓周角相等得，由直徑所對(duì)的圓周角是直角得，由直角三角形的特征即可求解；掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：連接，，，為的直徑，，，故選：C．26．（22-23九年級(jí)上·云南曲靖·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)、、在上，，半徑的長(zhǎng)為3，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題考查圓周角定理以及勾股定理，熟練掌握同弧所對(duì)圓周角是圓心角的一半是解題的關(guān)鍵．首先根據(jù)圓周角定理求出的度數(shù)，然后利用勾股定理求出的長(zhǎng)．【詳解】，，∵，．故答案為∶：．27．（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，是的直徑，是的弦，連接．若，則．【答案】【分析】本題考查圓周角定理，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，直徑所對(duì)的圓周角為直角，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵是的直徑，，，∴，∴；故答案為：．28．（23-24九年級(jí)上·江西宜春·期末）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)；圓經(jīng)過(guò)，，三個(gè)格點(diǎn)，請(qǐng)只用無(wú)刻度的直尺按下列要求分別作圖（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）．(1)在圖1中，作出圓心；(2)在圖2中，在劣弧上找一點(diǎn)，使．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】本題屬于圓的綜合題，主要考查了尺規(guī)作圖—作角平分線，格點(diǎn)作圖，圓周角定理，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）由表格可知，，故圓心在上，利用網(wǎng)格找到的中點(diǎn)即可．（2）使，根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等，利用網(wǎng)格找到劣弧的中點(diǎn)即可．【詳解】（1）解：如圖，點(diǎn)即為所求（2）解：如圖，點(diǎn)即為所求題型七圓內(nèi)接四邊形例：（22-23九年級(jí)上·云南紅河·期末）如圖，的半徑為4，弦長(zhǎng)為，C是上一點(diǎn)（不同于A，B），則的度數(shù)是．【答案】或【分析】本題考查圓周角定理，分點(diǎn)在優(yōu)弧和劣弧上兩種情況進(jìn)行討論求解即可．【詳解】解：連接，則：，∵，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)在優(yōu)弧上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)在劣弧上時(shí)，；故答案為：或．30．（22-23九年級(jí)上·浙江衢州·期末）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，，，則．【答案】/144度【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，注意：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出答案即可．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，∴，故答案為：．31．（23-24九年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，四邊形為平行四邊形，則的度數(shù)為．【答案】60°/60度【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)結(jié)合圓周角定理得出，即可得出答案，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，，∴，∴；故答案為：．32．（2022九年級(jí)·福建·競(jìng)賽）如圖，ABCD為圓O的內(nèi)接四邊形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，則圓O的面積為．【答案】【分析】連接，并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)，連接，，可得，從而可得BD//CE，得到，所以BE=CD，由勾股定理可得AE的長(zhǎng)，從而可求出圓O的面積．【詳解】解：如圖，連接，并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)，連接，．則，．∵，∴//，∴∴BE=CD，∵∴．在Rt△中，AB=10，所以，由勾股定理得，∴．所以圓的面積為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直徑所對(duì)的圓周角是直角以及在同圓或等圓中平行弦所夾弧相等等知識(shí)，正確作出輔助線構(gòu)造直角是解答本題的關(guān)鍵．題型八點(diǎn)與圓的位置關(guān)系例：（22-23九年級(jí)上·廣東湛江·期末）如圖，在中，，點(diǎn)D在邊上，且，以為直徑作，設(shè)線段的中點(diǎn)為P，則點(diǎn)P與的位置關(guān)系是（

）A．點(diǎn)P在內(nèi) B．點(diǎn)P在上 C．點(diǎn)P在外 D．無(wú)法確定【答案】C【分析】本題考查了對(duì)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷，三角形中位線定理等知識(shí)．關(guān)鍵要記住若半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d，則有：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在圓上，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)．首先根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得出，進(jìn)而利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系得出即可．【詳解】解：連接，∵以為直徑作，線段的中點(diǎn)為P，∴是的中位線，∴，∵，∴，∴點(diǎn)P與的位置關(guān)系是點(diǎn)P在外．故選：C．34．（22-23九年級(jí)上·浙江·階段練習(xí)）已知的半徑為6，點(diǎn)P在內(nèi)，則線段長(zhǎng)（

）A．小于6 B．大于6 C．等于6 D．等于12【答案】A【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系解決問(wèn)題即可．本題考查了對(duì)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷．關(guān)鍵要記住若半徑為，點(diǎn)到圓心的距離為，則有：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在圓上，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)．【詳解】解：點(diǎn)在內(nèi)，，故選：A．35．（2024·江蘇宿遷·模擬預(yù)測(cè)）已知的半徑為，點(diǎn)到圓心的距離為，若關(guān)于的方程不存在實(shí)數(shù)根，則點(diǎn)與的位置關(guān)系是（

）A．點(diǎn)在外 B．點(diǎn)在上C．點(diǎn)在內(nèi) D．無(wú)法確定【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程根的判別方法和點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，根據(jù)一元二次方程根的情況，判斷的取值范圍，再根據(jù)點(diǎn)與圓心的距離，判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，熟練掌握根的判別方法和判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意，得，解得，∴，則點(diǎn)在外，故選：．36．（23-24九年級(jí)上·安徽阜陽(yáng)·期末）在平面內(nèi)，的半徑為，點(diǎn)到圓心的距離為，則點(diǎn)與的位置關(guān)系是點(diǎn)在．（填“圓內(nèi)”“圓外”或“圓上”）．【答案】圓外【分析】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，設(shè)的半徑為，點(diǎn)到圓心的距離，則有：點(diǎn)在圓外；點(diǎn)在圓上；點(diǎn)在圓內(nèi)；據(jù)此即可判斷求解，掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵的半徑為，點(diǎn)到圓心的距離為，∴，∴點(diǎn)在圓外，故答案為：圓外．37．（23-24九年級(jí)上·上?！るA段練習(xí)）如果從內(nèi)一點(diǎn)P到上所有點(diǎn)的距離中，最大距離是6，最小距離是2，那么的半徑長(zhǎng)是．【答案】4【分析】本題考查的是點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，根據(jù)點(diǎn)P在圓內(nèi)，則最大距離與最小距離的和等于圓的直徑，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：根據(jù)點(diǎn)P在內(nèi)時(shí)，圓的直徑是，所以半徑是4．故答案為：4．題型九三角形內(nèi)接圓有關(guān)應(yīng)用例：（23-24九年級(jí)上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，，則的外心坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本