《函數的基本性質──單調性與最值》教學設計

《函數的基本性質──單調性與最值》教學設計單調遞增（減）函數”這一錯誤。“函數在（-∞，0）上y隨x增大而減少，在

（0，+∞）上y隨x的增大而減少。”而學生容易錯誤理解函數在定義域內是減函數，即把兩個單調區(qū)間進行合并；分別在區(qū)間上取兩個數-1和5，-1<5，而f(-1)<f(5)這與函數單調遞減的定義相矛盾加以說明。單調性的證明是學生在函數內容中首次接觸到的代數論證內容，學生在代數論證推理方面的能力是比較弱的，許多學生甚至還搞不清什么是代數證明，也沒有意識到它的重要性，所以單調性的證明自然就是教學中的難點。在證明過程中，有些學生在作差變形中，缺乏相應的運算變換能力，在教學中多舉一些例子，多讓學生接觸一些不同類型，然后進行必要總結（通分，因式分解，有理化，配方等），要變形到最后能判斷符號為止，千萬不能想當然，或中間“爛肚子”而直接下結論。對于函數的最大（?。┲档亩x，在初中也只有定性的研究，而現在要求定量探討，用準確的數學語言來描述。學生對“任意”、“都”、“存在”這些詞的含義不容易理解，利用求函數的最值，討論函數（x>0）單調區(qū)間等具體的例子加以鞏固。四、學習行為分析學生在學習本節(jié)內容之前已經學習了函數的定義，表示法，圖象，也學習了一次函數，二次函數，反比例函數的函數值y與變量x之間的關系，特別是學習了二次函數的最大（小）值，這為理解函數的單調性和最大（?。┲档於艘欢ǖ幕A。但另一方面，以前對函數的單調性和最大（?。┲档难芯渴且环N定性的研究，側重于直觀的思維，而本節(jié)內容是要對函數單調性和最大（?。┲档亩康难芯?，側重于邏輯思維能力，這給學生的學習帶來了較大的困難。因此，在教學過程中，多創(chuàng)設熟悉的問題情景：如在引課中利用建造一個長方形的花壇，構造熟悉的二次函數，上課中所舉例子都是一些常見的函數來加以落實。在定義教學中，多給學生思考問題的時間和空間，引導學生觀察，歸納，總結。特別利用數形結合，定性與定量相結合，盡量讓學生用數學語言來描述，以便于學生的理解和掌握。利用類比教學法：當介紹了增函數的定義之后，讓學生自己得出相應減函數的定義；當介紹了函數最大值的定義之后，讓學生自己得出函數最小值的定義；便于學生進一步加深對定義的理解。對于一些容易出錯的問題采取糾錯教學法：“函數在(-∞,0）上y隨x的增大而減少,在

（0,+∞）上y隨x的增大而減少，則函數在定義域內是減函數”?！八泻瘮凳欠穸加凶畲螅ㄐ。┲?？”、“函數在相應的區(qū)間內是否一定有單調性？”。還有一些比較復雜的問題：“確定函數的單調區(qū)間”等問題讓學生去討論，去探究，教師積極引導，培養(yǎng)學生的自主探究能力。五、教學支持條件分析函數的單調性和函數的最大（?。┲颠@一性質學生在初中接觸到過，但只側重于圖象上直觀分析，而現在要求把它上升到理論的高度，用準確的數學語言去刻畫它。這種由形到數的翻譯，從直觀到抽象的轉變對高一的學生來說是比較困難的，為了突破這一難點，充分發(fā)揮信息技術的輔助教學的功能。在概念教學中，首先利用多媒體技術畫出函數y=x，

y=x2，，y=x3相應的函數的圖象，然后在函數上取不同的點，由學生觀察函數的值y隨x的變化而變化的規(guī)律，化靜為動，化抽象為直觀，便于學生理解。對于概念中的一些關鍵字詞，比如

“任意”、“都”、“存在”在多媒體課件中用不同的顏色加以標明，便于學生加深印象。對于一些容易出錯的問題采取小組討論法，糾錯法。例如教師提出“討論函數的單調性”，讓學生分組討論，然后推薦代表發(fā)言。有學生會回答是“遞減函數”，理由是“圖形的形狀是下降”。也有同學會回答“不是單調函數”，理由是“因為x1=-1，x2=1時，x1<x2，這時f(-1)<f(1)，與減函數的意義不符，所以它不是減函數，同樣也不是增函數”。也有同學會回答“函數在(-∞,0)上是減函數,在(0,+∞)也是減少，理由是可以用定義來證明之。根據學生的不同回答，首先讓其它組的同學予以糾正，充分發(fā)揮學生的力量；當學生碰到困難時，教師予以引導，點撥，最后統(tǒng)一結論。對于例（3）學生熟悉的煙花問題，可采用自學導學法，首先讓學生通讀題目，理解題意，然后利用多媒體演示動畫模型，激發(fā)學生學習興趣；接著相互討論，共同解決。最后學生提問，教師答疑，師生共同小結求最值的基本方法。六、評價設計《高中數學課程新標準》中提出：“對學生數學學習的評價，既要關注學生知識與技能的理解和掌握，更要關注他們情感與態(tài)度的形成與發(fā)展；既要關注學生數學學習的結果，更要關注他們在學習過程中的變化和發(fā)展?！备鶕抡n程標準的要求，發(fā)展性評價的核心是關注學生的發(fā)展、促進學生的發(fā)展，實現評價發(fā)展性功能的一個重要舉措就是突出評價的過程性，評價將貫穿于教學的整個過程，將學生在數學學習活動過程中的全部情況都納入評價的范圍，而不只是評價學生的學習的結果。在本教學設計過程中，始終注重過程評價，注重評價的針對性，實效性。主要體現在三個方面：一是基礎知識掌握情況的評價。對函數的單調性和函數的最大（?。┲档亩x能否深刻的，全面的理解，特別是一些關鍵字詞，如“任意兩個”、“都”、“存在”的理解。舉出正面和反面的例子讓學生辨別，個別評價與集體評價相結合。二是基本技能掌握情況的評價。主要包括函數單調性判斷的基本方法（圖象法，定義法，復合函數法），如何選擇不同的方法。證明函數單調性的基本步驟和基本策略（主要是作差變形的策略），單調區(qū)間的確定。求最值的基本方法的掌握情況等。三是數學思想的落實和數學探究能力培養(yǎng)的評價。運用函數圖象理解和研究函數的性質，利用函數的性質來畫函數的圖象（草圖），提升學生數形結合的思想。函數單調性和最大（小）值的研究經歷了從直觀到抽象，以圖識數的過程，在這個過程中，讓學生通過自主探究活動，體驗數學概念的形成過程。讓學生真正參與到數學活動中來，讓學生真正成為學習的主人。（具體的教學評價見教學過程）七、教學過程設計設計環(huán)節(jié)設計意圖師生活動一．創(chuàng)設情境，導出問題

“問題是數學的心臟”，把問題作為出發(fā)點，為下一步提出探索性的問題創(chuàng)設有效的學習環(huán)境。

以實際問題為背景、以學生熟悉的一元二次函數為入口點，激活學生原有的認知，讓學生對所要學的新知獲得感性的認識。教師提出問題：學校準備建造一個長方形的花壇，周長設計為16米。由于受周圍地理位置限制，其中一邊的長度既不能超過6米，又不能少于1米。問1、建立面積y與一邊長x的函數關系式。生：y=x(8-x)(1≤x≤6)問2、畫出上面函數的圖象。問3、指出y的值與x值的變化關系。生：當1≤x≤4時，y隨x值的增大而增大，當4≤x≤6時，y隨x值的增大而減小。問4、求出面積的最大值與最小值。生：當x=4時，Smax=16m；當x=1時，Smin=7m引導學生解決，體會函數單調性與最大（?。┲翟趯嶋H中的應用。

二、借助信息技術，利用熟悉的函數，給出單調性直觀認識。

從形象、直觀的圖形入手，為探索與思考問題提供方向和“路標”，并借機發(fā)展學生的動手實踐能力、創(chuàng)新能力、和探索能力。請學生分別畫出下列函數的圖象，并探討函數值y與自變量x之間的關系：y=x

，

y=x

，

y=

，

y=x3學生動手畫圖，個別板演，集體探討函數值與自變量之間的關系，教師適當引導。y=x在R上y隨x的增大而增大。y=x在(-∞,0)上y隨x的增大而減少，在(0,+∞)上y隨x的增大而增大。y=在（-∞，0）上y隨x的增大而減少,在

（0，+∞）上y隨x的增大而減少。y=x3

在R上y隨x的增大而增大。教師利用信息技術，動畫演示函數的圖象。三、從定性到定量，引出單調性的定義，并能深刻理解定義的含義。

從定性描述到定量描述，從通俗的日常用語到嚴謹的數學語言，讓學生學會抽象概括，學會邏輯地、合理地思考問題。

注意數形結合，定義是嚴謹的語言，圖象是直觀的語言，注意兩者有機的結合。

利用類比方法，實現知識與能力的遷移教師提出問題，讓學生在自主探索，討論，在合作交流中，充分體現學生學習的主體性，對概念進一步深入的領會。怎樣用數學語言表示y=x在R上y隨x的增大而增大呢？（學生討論，教師引導，得出增函數的定義）

(學生不一定一下子答得比較完整，教師應抓住時機予以啟發(fā)，糾正，補充)。一般地，設函數f(x)的定義域為I：如果對于屬于I內某個區(qū)間D上的任意兩個自變量值x1、x2,當x1<x2時,都有f(x1)<

f(x2).那么就說f(x)在這個區(qū)間D上是增函數(increasingfunction)

用類比的方法得出減函數的定義：如果對于屬于I內某個區(qū)間D上的任意兩個自變量值x1、x2,當x1<x2時,都有f(x1)>

f(x2).那么就說f(x)在這個區(qū)間D上是減函數(decreasingfunction

)

如果函數y=f(x)在某個區(qū)間D上是增函數或減函數。那么就說函說y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調性，區(qū)間D叫做y=

f(x)的單調區(qū)間.1、“函數y=x2是單調遞增函數”這一說法對嗎？2、y=在（0,+∞）上是減函數，在(-∞,0)是減函數，能否說函數在整個定義域上是減函數？3、函數在某個區(qū)間是否一定具有單調性？4、如何理解定義中“任意”兩個字？四、講解例題、鞏固知識，提高能力。

例（1）是利用函數的圖象來判斷函數的單調性，具有直觀性，也是常用方法。

例（2）是利用單調性的定義來證明函數的單調性。通過本題的講解，具有嚴謹性，能加深對定義的理解。1、

教材例（1）p34講解：讓學生自己通看教材，學生提問，學生自行解決，師生共同總結：（1）單調性與端點無關。（2）判斷函數的基本方法-----圖象法。2、

教材例（2）p34講解：教師板演，師生共同總結：（1）

判斷函數的基本方法-----定義法。（2）

總結定義法證明單調性的基本步驟：

1

任取x1，x2∈D，且x1<x2；

2

作差f(x1)-f(x2)；3

變形（因式分解、配方、通分有理化）；4

定號（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負）；⑤下結論（指出函數f(x)在區(qū)間D上的單調性）3、在解題中，根據題目的實際情況和具體要求，選擇適當的方法。

五、回歸引例，探討最大（小）值的含義

從熟悉，具體的二次函數入手，探討最大，最小值，讓學生有感性認識。

用數學語言描述最大值，最小值。重新演示引例函數的圖象及面積的最大值與最小值分析上面圖象可以發(fā)現，函數y=x(8-x)(1≤x≤6)的圖象上有一個最高點（4，16），任意的x∈［1,6］,都有f(x)≤f(4),當一個函數f(x)有最高點，我們就說函數有最大值。有一個最低點（1，7），任意的x∈［1,6］,都有f(x)≧f(1),當一個函數f(x)有最低點，我們就說函數有最小值。而函數f(x)=x的圖象沒有最高點也沒有最低點，所以函數f(x)=x沒有最大值，也沒有最小值。

六、歸納最大(小）值的定義，并加以說明，解釋

從特殊到一般，揭示數學通常的發(fā)現過程，便于學生接受。

利用類比方法，實現知識與能力的遷移

教師提出問題，讓學生在自主探索，討論，在合作交流中，對概念進一步深入的領會。得出函數最大值的定義：一般地，設函數y=f(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足：⑴

對于任意的x∈I,都有f(x)≤M；⑵存在x0∈I，使得f(x0)=M那么，我們稱M是函數y=f(x)的最大值（maximumvalue）讓學生仿照最大值的定義，給出函數y=f(x)的最小值的定義（minimumvalue）。一般地，設函數y=f(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足：⑴

對于任意的x∈I,都有f(x)≥M；⑵存在x0∈I，，使得f(x0)=M那么，我們稱M是函數y=f(x)的最小值（maximumvalue）1、函數y=x、y=有沒有最值？2、如何理解定義中的“存在”“任意”的含義？3、以前求最值有哪些方法？

七、函數單調性、最大（?。┲祽?/p>

例(3)是學生熟悉的煙花問題，可轉化為二次函數來解決，難度不大。

例(4)是單調性與最值問題的綜合，具有一定的難度。注意轉化為反比例函數，利用數形結合。例(3）、例(4)的教學采用自學導學法，按以下步驟實施：1、

學生通讀題目，理解題意2、

利用多媒體演示動畫，激發(fā)學生學習興趣。3、

學生自學，相互討論，共同解決。4、

學生提問，教師答疑。5、

師生共同小結求最值的基本方法：（1）轉化為二次函數的最值問題。①配方法②注意實際問題的條件限制。（2）利用函數的單調性求最值------在閉區(qū)間上。①先證明在在閉區(qū)間上具有單調性。②端點值即為函數的最值。

八、練習、交流、反饋、評價利用課堂練習鞏固所學的知識內容，數學思想，數學方法，以達到教學目標，本環(huán)節(jié)以個別輔導為主，體現面對全體學生的課改新理念。課堂練習：課本第38頁練習1、練習2、練習3、練習4。學生獨立思考與討論相結合，教師巡查，個別輔導與集體輔導相結合。

九、課堂小結通過學生自我小結，既充分發(fā)揮學生的主觀能動性，提高學生分析，概括，綜合，抽象能力，又有利于學生把新知融入自己已有的知識體系。知識小結：1、函數單調性，最大（?。┲档母拍?。2、判斷函數單調性的基本方法。3、用定義法判斷函數的基本步驟4、求最大（?。┲档幕痉椒?。師生、生生互動：1、你覺得本節(jié)課中印象最深的是什么？2、你覺得本節(jié)課中最大的困惑是什么？讓學生提問題，自行解決，教師適當補充。

十、布置作業(yè)溝通課內與課外，使學