人教版 九年級(jí) 數(shù)學(xué) 下冊(cè) 第二十七章《相似三角形的判定》教學(xué)課件

27.2相似三角形第二十七章相似27.2.1相似三角形的判定逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時(shí)講解1課時(shí)流程2相似三角形平行線分線段成比例平行線截三角形相似的定理三邊關(guān)系判定三角形相似定理邊角關(guān)系判定三角形相似定理角的關(guān)系判定三角形相似定理直角三角形相似的判定知識(shí)點(diǎn)相似三角形知1－講11.相似三角形概念三個(gè)角分別相等，三條邊成比例的兩個(gè)三角形相似圖示既可以作為相似三角形的判定，又可以作為相似三角形的性質(zhì)知1－講續(xù)表表示△ABC與△DFE相似可以表示為“△ABC∽△DFE”讀法三角形ABC相似于三角形DFE相似比知1－講2.相似三角形的對(duì)應(yīng)性、順序性、傳遞性內(nèi)容示例圖示對(duì)應(yīng)性兩個(gè)三角形相似時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上如:△ABC∽

△A′B′C′不能寫(xiě)成△ABC∽△B′C′A′知1－講續(xù)表內(nèi)容示例圖示順序性相似比具有順序性傳遞性相似三角形具有傳遞性如:△ABC∽△A′B′C′，△A′B′C′∽

△GHK，則△ABC

∽△

GHK知1－講知識(shí)拓展全等三角形相似三角形形狀相同大小相等不一定相等對(duì)應(yīng)邊相等成比例對(duì)應(yīng)角相等符號(hào)≌∽相似比1正實(shí)數(shù)關(guān)系全等三角形一定是相似三角形，相似三角形不一定是全等三角形知1－講方法歸納相似三角形中對(duì)應(yīng)元素的尋找方法：對(duì)應(yīng)角的對(duì)邊

對(duì)應(yīng)邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)角的夾邊

對(duì)應(yīng)邊的夾角最長(zhǎng)(短)邊

公共角

最大(小)角是對(duì)應(yīng)邊是對(duì)應(yīng)角知1－練例1如圖27.2－1，已知△ABC∽△ADE，∠A＝70°，∠B＝40°，AB＝6，BC＝6，AD＝3.解題秘方：緊扣“相似三角形定義中對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例”求解.知1－練(1)求△ABC與△ADE的相似比；(2)求∠AED的度數(shù)和DE的長(zhǎng).

知1－練1－1.[中考·重慶]如圖，已知△ABC∽△EDC，AC∶EC＝2∶3，

若AB的長(zhǎng)度為6，則DE的長(zhǎng)度為(

)A.4B.9C.12D.13.5B知2－講平行線分線段成比例的基本事實(shí)及其推論知識(shí)點(diǎn)平行線分線段成比例2文字語(yǔ)言圖示符號(hào)語(yǔ)言基本事實(shí)兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例知2－講續(xù)表文字語(yǔ)言圖示符號(hào)語(yǔ)言推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例知2－講拓展延伸平行線分線段成比例的基本事實(shí)的常見(jiàn)變形知2－練

例2知2－練解題秘方：利用平行線分線段成比例的基本事實(shí)找成比例的線段.

答案：C知2－練

D知2－練

例3知2－練解題秘方：利用平行線分線段成比例的基本事實(shí)的推論建立比例式是解題關(guān)鍵.

答案：C知2－練技巧點(diǎn)撥：利用平行線分線段成比例的基本事實(shí)或推論求線段長(zhǎng)的方法：先確定圖中的平行線，再根據(jù)平行線截得的線段間的比例關(guān)系，寫(xiě)出一個(gè)含有待求線段和已知線段的比例式，構(gòu)造出方程，解方程求出待求線段的長(zhǎng).知2－練3－1.[期末·紹興上虞區(qū)]為制作風(fēng)箏，小明做了如圖所示的風(fēng)箏支架示意圖，已知點(diǎn)B、點(diǎn)C分別在射線AD與AE上，且BC∥DE，AB∶AD＝3∶7，AE＝28cm，則CE的長(zhǎng)是(

)A.8.4cm B.11.2cmC.12cm D.16cmD知3－講知識(shí)點(diǎn)平行線截三角形相似的定理3內(nèi)容類別“A型”“X型”平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或它們的延長(zhǎng)線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似DE∥BC，且DE與AB，AC的延長(zhǎng)線相交DE∥BC，且DE與AB，AC

相交DE∥BC，且DE與AB，AC的反向延長(zhǎng)線相交知3－講警示誤區(qū)利用平行線判定三角形相似必須滿足兩個(gè)條件：1.存在一條平行于三角形一邊的直線;2.平行線與三角形其他兩邊或其延長(zhǎng)線相交.如圖，即使

AD//BC，也不能得到△ABC與△DCA相似.知3－練如圖27.2－4，已知在□ABCD中，E為AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，AB＝3BE，DE與BC相交于點(diǎn)F，請(qǐng)找出圖中各對(duì)相似三角形，并求出相應(yīng)的相似比.解題秘方：緊扣平行線截三角形相似的兩種基本圖形：“A型”和“X型”進(jìn)行查找.例4知3－練

求相似比不僅要找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊，還需注意兩個(gè)三角形的先后順序，若順序顛倒，則相似比成為原來(lái)相似比的倒數(shù)知3－練4－1.如圖，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF與AC交于點(diǎn)G，則圖中的相似三角形共有()A.3對(duì)

B.5對(duì)C.6對(duì)

D.8對(duì)C知3－練如圖27.2－5，在□ABCD中，AE＝EB，AF＝2，則FC＝________.例54知3－練解題秘方：涉及的線段在平行線上時(shí)，用平行線截三角形相似；涉及的線段都在截線上時(shí)，用平行線分線段成比例.

知3－練

C知4－講1.相似三角形的判定定理：三邊成比例的兩個(gè)三角形相似.知識(shí)點(diǎn)三邊關(guān)系判定三角形相似定理4特別提醒由三邊成比例判定兩三角形相似與由三邊對(duì)應(yīng)相等判定兩三角形全等的方法類似，只需把三邊對(duì)應(yīng)相等改為三邊成比例即可.知4－講

知4－講3.利用三邊判斷兩個(gè)三角形是否相似的步驟與方法步驟方法排序?qū)⑷切蔚娜叞磸男〉酱?或從大到小)的順序排列計(jì)算分別計(jì)算這兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊的比值判斷根據(jù)比值是否相等判斷兩個(gè)三角形是否相似知4－練圖27.2－7、圖27.2－8中小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則圖27.2－8中的哪一個(gè)三角形(陰影部分)與圖27.2－7中的△

ABC相似？例6知4－練解題秘方：利用網(wǎng)格的特征用勾股定理求三角形各邊的長(zhǎng)，緊扣“三邊成比例的兩個(gè)三角形相似”，用計(jì)算比較法判斷.知4－練

知4－練6－1.[期末·清遠(yuǎn)清城區(qū)]如圖，點(diǎn)A，B，C，D均在邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，連接AD，求證：△ABD

∽△CBA.知4－練知5－講1.相似三角形的判定定理：兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似.知識(shí)點(diǎn)邊角關(guān)系判定三角形相似定理5特別提醒運(yùn)用該定理證明兩三角形相似時(shí)，一定要注意邊角的關(guān)系，相等的角一定是成比例的兩組對(duì)應(yīng)邊的夾角.類似于判定三角形全等的SAS的方法.知5－講

知5－練如圖27.2－10，在正方形ABCD中，P是BC上的一

點(diǎn)，且BP＝3PC，Q是CD的中點(diǎn).求證：△ADQ∽

△

QCP.解題秘方：緊扣“邊角關(guān)系判定三角形相似定理”證明即可.例7知5－練

知5－練技巧點(diǎn)撥:利用兩邊成比例且?jiàn)A角相等證兩三角形相似的方法先找出兩個(gè)三角形中相等的那個(gè)角；再分別找出兩個(gè)三角形中夾這個(gè)角的兩條邊，并按大小排列找出對(duì)應(yīng)邊；最后證明這兩組對(duì)應(yīng)邊成比例.知5－練7－1.[期末·泉州泉港區(qū)]如圖，線段AB

與CD相交于點(diǎn)P，AP＝5，CP＝3，BP＝10，DP＝6.求證：△APC∽

△BPD.知5－練知6－講1.相似三角形的判定定理：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.知識(shí)點(diǎn)角的關(guān)系判定三角形相似定理6特別提醒常見(jiàn)的相等的角：①公共角；②對(duì)頂角；③兩直線平行時(shí)的同位角、內(nèi)錯(cuò)角；④同角(等角)的余角(補(bǔ)角)；⑤同弧所對(duì)的圓周角.知6－講2.數(shù)學(xué)表達(dá)式如圖27.2－11，在△ABC和△DEF中，∵∠A＝

∠D，且∠B＝∠E，∴△ABC∽△DEF.知6－練如圖27.2－12，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，AD的垂直平分線交AD于點(diǎn)E，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證：△ABF∽△CAF.例8知6－練解題秘方：緊扣“兩組對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形相似”，由于∠BFA是公共角，因此只需利用圖形的相關(guān)性質(zhì)證明∠B＝∠4即可.知6－練證明：∵

EF

垂直平分AD，∴

AF＝DF.∴∠FAD＝∠3.∵

AD

是∠BAC的平分線，∴∠1＝∠2.又∵∠B＝∠3－∠1，∠4＝∠FAD－∠2，∴∠B＝∠4.又∵∠BFA＝∠AFC，∴△ABF∽△CAF.知6－練8－1.[中考·菏澤]如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是邊AC上一點(diǎn)，且BE＝BC，過(guò)點(diǎn)A作BE的垂線，交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，求證：△ADE∽△ABC.知6－練證明：∵BE＝BC，∴∠C＝∠CEB.∵∠CEB＝∠AED，∴∠C＝∠AED.∵AD⊥BD，∴∠D＝∠ABC＝90°.∴△ADE∽△ABC.知6－練

∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，∴△ABE∽△DCE.知7－講1.直角三角形相似的判定方法(1)一組銳角相等的兩直角三角形相似；(2)兩組直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩直角三角形相似；(3)斜邊與一組直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩直角三角形相似.知識(shí)點(diǎn)直角三角形相似的判定7知7－講

知7－講深度理解1.判定一般三角形相似的方法同樣適用于判定兩個(gè)直角三角形相似.2.在直角三角形中，只要一組銳角相等，或有兩邊對(duì)應(yīng)成比例，即可判定這兩個(gè)直角三角形相似.3.直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)小直角三角形都與原直角三角形相似.知7－練在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列條件中，不能判定這兩個(gè)三角形相似的是()A.∠A＝55°，∠D＝35°B.AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8C.AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8D.AB＝10，AC＝8，DE＝15，EF＝9例9

知7－練思路引導(dǎo)：解：A.∵∠A＝55°，∴∠B＝90°－55°＝35°.∵∠D＝35°，∴∠B＝∠D.又∵∠C＝∠F＝90°，∴

Rt△ABC∽

Rt△EDF.知7－練

知7－練

答案：C知7－練9－1.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，圖中共有哪幾對(duì)相似三角形？并選擇其中一對(duì)進(jìn)行

證明.知7－練解：圖中共有3對(duì)相似三角形，分別為△ACD∽△ABC，△CDB∽△ACB，△ACD∽△CBD.(選擇不唯一)證明△ACD∽△ABC如下：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，∴∠ADC＝90°＝∠ACB.又∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC.知7－練

知7－練相似三角形的判定相似三角形的判定相似三角形的定義平行線的性質(zhì)平行線截對(duì)應(yīng)線段成比例平行線截三角形相似相似三角形的判定定理題型利用“三點(diǎn)定形法”找相似三角形1已知：如圖27.2－14，CD是Rt△ABC斜邊AB上的

高，E為CB的中點(diǎn)，ED的延長(zhǎng)線交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

求證：AC·CF＝CB·DF.例10解題秘方：用“三點(diǎn)定形法”將比例式中的四條線段劃歸到兩個(gè)相似三角形中進(jìn)行證明.

技巧提醒：運(yùn)用三點(diǎn)定形法時(shí)，要設(shè)法找出比例式或等積式中所含的幾個(gè)字母，是否存在可由“三點(diǎn)”確定兩個(gè)相似三角形，且式子中所有點(diǎn)要在這兩個(gè)三角形中，“橫看”與“豎看”是“三點(diǎn)定形法”找相似三角形的常用方法.

題型利用平行線構(gòu)造相似三角形2如圖27.2－15，在△ABC中，點(diǎn)D是AB上的點(diǎn)，且AB＝3AD，E是AC的中點(diǎn)，DE的延長(zhǎng)線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證：BC＝CF.解題秘方：緊扣“平行線或相似三角形”使線段成比例的特征作輔助線.例11

教你一招：作平行線構(gòu)造成比例線段及相似三角形的思路作平行線構(gòu)造成比例線段及相似三角形的實(shí)質(zhì)是構(gòu)造“A型”或“X型”圖形，常用的添加輔助線的規(guī)律：(1)原圖中的每條直線都可以看作平行線中的一條，針對(duì)每一條直線都可以過(guò)不在這條直線上的點(diǎn)作它的平行線.(2)過(guò)圖中任一點(diǎn)都可作不經(jīng)過(guò)這點(diǎn)的直線的平行線.另解本題還有其他多種解法，下面僅給出添加輔助線的思路，舉例如下：1.如圖27.2－18，過(guò)點(diǎn)B作BG∥AC，交FD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.2.如圖27.2－19，過(guò)點(diǎn)B作BG∥DF，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.3.如圖27.2－20，過(guò)點(diǎn)C作CG∥DE，交AB于點(diǎn)G.同理，還可過(guò)點(diǎn)D，E，F(xiàn)作平行線.題型圓與相似三角形的綜合3[中考·濱州]如圖27.2－21，已知AC為⊙O的直徑，直線PA

與⊙O相切于點(diǎn)A，直線PD經(jīng)過(guò)⊙O上的點(diǎn)B且∠CBD＝∠CAB，連接OP交AB于點(diǎn)M.例12思路引導(dǎo)：證明：如圖27.2－21，連接OB.∵

OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC.∵

AC是⊙O的直徑，∴∠CBA＝90°.∴∠CAB＋∠OCB＝90°.∵∠CBD＝∠CAB，∴∠CBD＋∠OBC＝90°，即∠OBD＝90°.∴

PD是⊙O的切線.求證：(1)PD是⊙O的切線；

(2)AM2＝OM·PM.知識(shí)儲(chǔ)備證明兩個(gè)三角形相似，常用的判定方法是“兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似”，其次是“兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似”，有時(shí)候也會(huì)用到“三邊成比例的兩個(gè)三角形相似”.方法點(diǎn)撥在圓中證明兩個(gè)三角形相似，一般找兩組角分別相等，找角相等的方法有：1.利用切線的性質(zhì);2.通過(guò)條件計(jì)算角的度數(shù)；3.根據(jù)“同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等”.題型函數(shù)與相似三角形的綜合4如圖27.2－22，△ABC為等邊三角形，D，E分別是AC，BC邊上的點(diǎn)(不是頂點(diǎn))，∠BDE＝60°.例13解題秘方：緊扣“相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)”用方程思想求函數(shù)解析式.(1)求證：△DEC∽△BDA；證明：∵∠

BDE＝60°，∴∠EDC＋∠ADB＝120°.∵△ABC為等邊三角形，∴∠C

＝∠A＝60°.∴∠DBA

＋∠ADB＝120°.∴∠EDC

＝∠DBA.∴△DEC∽△BDA.(2)若等邊三角形的邊長(zhǎng)為4，并設(shè)DC＝x，BE＝y(tǒng)，試求y

關(guān)于x

的函數(shù)解析式.

解題通法解決此類問(wèn)題時(shí)，一般要從已知入手，找出三角形相似的條件，證得三角形相似后得出與兩個(gè)變量相關(guān)的線段比例式，再把x，y代到比例式中化簡(jiǎn)得到函數(shù)解析式，同時(shí)注意x的取值范圍.題型探究動(dòng)態(tài)問(wèn)題中的相似三角形5如圖27.2－23，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6cm，CD＝4cm，BD＝14cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿BD方向勻速向點(diǎn)D移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P距離點(diǎn)B多遠(yuǎn)時(shí)△APB與△CPD

相似？例14思路引導(dǎo)：

解題通法在與相似三角形相關(guān)的動(dòng)點(diǎn)題目中，隨動(dòng)點(diǎn)位置的不同，圖形的形狀發(fā)生變化，則相似三角形邊的對(duì)應(yīng)關(guān)系發(fā)生變化，出現(xiàn)多種情況.所以在動(dòng)點(diǎn)的題目中，出現(xiàn)“△XXX和△XXX相似”這種描述時(shí)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不確定，必須進(jìn)行分類討論.易錯(cuò)點(diǎn)解題時(shí)考慮不全面，造成漏解在△ABC中，AB＝8，AC＝5，BC＝10，P為AB上一點(diǎn)，PA＝4，過(guò)點(diǎn)P的直線交AC邊所在的直線于點(diǎn)

D，若△PAD

與△ABC相似，則PD的值為多少？例15

診誤區(qū)：由于受到思維定式的影響，往往只考慮到PD//BC的情況，而忽視PD與BC不平行的情況，從而造成漏解.解答此類問(wèn)題時(shí)，要考慮所有可能的情況,避免因?yàn)榭紤]不全面而導(dǎo)致漏解.

考法利用平行線分線段成比例求線段的比值1例16試題評(píng)析：本題考查了根據(jù)平行線分線段成比例的基本事實(shí)求值，正確得出相應(yīng)的比例式是解題的關(guān)鍵.

在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格圖形中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，頂點(diǎn)都是格點(diǎn)的三角形稱為格點(diǎn)三角形.如圖27.2－26，已知Rt△ABC是6×6網(wǎng)格圖形中的格點(diǎn)三角形，則該圖中所有與Rt△ABC相似的格點(diǎn)三角形中，面積最大的三角形的斜邊長(zhǎng)是_______.考法網(wǎng)格中的三角形相似2例17

試題評(píng)析：本題考查了相似三角形的判定，明確相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

[中考·上海]如圖27.2－27，在梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)F，E分別在線段BC，AC上，且∠FAC＝

∠ADE，AC＝AD.考法四邊形中的三角形相似3例18試題評(píng)析：本題是相似三角形的判定與四邊形的綜合題，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問(wèn)題.(1)求證：DE＝AF；證明：∵

AD

∥

BC，∴∠

ACF＝

∠

DAC.∵∠

FAC＝

∠

ADE，AC＝AD，∴△

ACF

≌△

DAE(ASA).∴

DE＝AF.(2)若∠ABC＝∠CDE，求證：AF2＝BF·CE.

[中考·北京]如圖27.2－28，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，OD平分∠AOC.考法圓中的三角形相似4例19試題評(píng)析：本題考查了圓的基本性質(zhì)、切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用的輔助線，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.(1)求證：OD∥BC；證明：如圖27.2－29，連接AC.∵

AB

是⊙O的直徑，∴

AC⊥BC.∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠COD.∴AD

＝

CD.∴

OD

⊥

AC.∴

OD

∥

BC.︵︵

考法函數(shù)中的三角形相似5例20試題評(píng)析：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是對(duì)三角形的相似分類討論.(1)求直線和雙曲線的解析式.

(2)過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，點(diǎn)P在x軸上，若以O(shè)，A，P

為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo).解：∵

A(0，－2)，B(－1，0)，C(－2，2)，CD⊥x軸，點(diǎn)P在x

軸上，∴

OA＝2，BD＝1，CD＝2，∠CDB＝90°＝∠AOP.當(dāng)以O(shè)，A，P為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似時(shí)，分兩種情況進(jìn)行討論：

D

C

C

B5.[中考·東營(yíng)]如圖，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AB上，∠ADE＝60°.若BD＝4DC，DE＝2.4，則AD

的長(zhǎng)為(

)A.1.8B.2.4C.3D.3.2C

B7.在綜合與實(shí)踐課上，老師組織同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng).有一張矩形紙片ABCD如圖所示，點(diǎn)N在邊AD上，現(xiàn)將矩形折疊，折痕為BN，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的點(diǎn)記為點(diǎn)M，若點(diǎn)M恰好落在邊DC上，則圖中與△NDM一定相似的三角形是_______.△MCB8.[中考·濱州]如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC

上.添加一個(gè)條件使△ADE∽△ACB，則這個(gè)