人教版 九年級 數(shù)學(xué) 下冊 第二十七章《相似三角形的性質(zhì)》教學(xué)課件

27.2相似三角形第二十七章相似27.2.2相似三角形的性質(zhì)逐點導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時講解1課時流程2相似三角形對應(yīng)線段的性質(zhì)相似三角形面積的性質(zhì)知識點相似三角形對應(yīng)線段的性質(zhì)知1－講11.相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例.2.相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比.圖形推理結(jié)論相似比相似比為k知1－講續(xù)表圖形推理結(jié)論對應(yīng)高的比AD，A′D′分別為△ABC和△A′B′C′的高相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比知1－講續(xù)表圖形推理結(jié)論對應(yīng)中線的比AM，A′M′分別為△ABC和△A′B′C′的中線相似三角形對應(yīng)中線的比等于相似比知1－講續(xù)表圖形推理結(jié)論對應(yīng)角平分線的比AN，A′N′分別為△ABC和△A′B′C′的角平分線相似三角形對應(yīng)角平分線的比等于相似比知1－講續(xù)表圖形推理結(jié)論周長的比相似三角形周長的比等于相似比知1－講

知1－講特別提醒在應(yīng)用相似三角形對應(yīng)線段的性質(zhì)解題時，要注意前提條件：1.兩個三角形必須相似；2.抓住“對應(yīng)”二字，并不是相似三角形中任意高的比、中線的比、角平分線的比都等于相似比.對應(yīng)高指對應(yīng)邊上的高，對應(yīng)中線指對應(yīng)邊上的中線，對應(yīng)角平分線指對應(yīng)角的平分線.知1－練例1如圖27.2－32，在△ABC中，AD是BC邊上的高，矩形EFGH內(nèi)接于△ABC，且長邊FG在BC上，AD與EH的交點為P，矩形相鄰兩邊的比為1∶2.若BC＝30cm，AD＝10cm，求矩形EFGH

的周長.解題秘方：利用相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比求解.知1－練

知1－練

D知1－練△ABC的三邊長分別為2，3，4，另有一個與它相似的三角形DEF，其最長邊為12，則△DEF的周長是(

)A.54 B.36 C.27 D.21解題秘方：方法1：緊扣“相似三角形對應(yīng)邊成比例”列方程求解.方法2：緊扣“相似三角形周長的比等于相似比”列方程求解.例2知1－練答案：C

知1－練2－1.[中考·內(nèi)江]已知△ABC與△DEF相似，且相似比為1∶

3，則△ABC與△DEF的周長之比是(

)A.1∶1 B.1∶3C.1∶6 D.1∶9B知1－練

B知2－講知識點相似三角形面積的性質(zhì)2圖形推理結(jié)論相似比相似比為k面積比相似三角形面積的比等于相似比的平方知2－講特別提醒面積的比是相似比的平方，不要與對應(yīng)線段的比、周長的比等于相似比混淆.知2－練如圖27.2－33，△ABC∽△A′B′C′，BC＝6，B′C′＝4，AD⊥BC于點D，AD＝4，求△A′B′C′的面積.解題秘方：利用相似三角形面積的比等于相似比的平方求解.例3知2－練

不要誤認為相似三角形面積的比等于相似比知2－練3－1.如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊上一點，且AE＝2DE，BD

與CE

相交于點F，若△DEF的面積是3，則

△BCF的面積是________.27相似三角形的性質(zhì)相似比對應(yīng)線段周長面積相似三角形的性質(zhì)題型利用相似三角形的性質(zhì)求線段長1如圖27.2－34，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠C＝90°，DE∥AB.例4解題秘方：緊扣“平行線構(gòu)成的A型圖形相似”的特征，用相似比與面積比、周長比的關(guān)系進行求解.(1)當△CDE的面積與四邊形DABE的面積相等時，求DE的長；

(2)當△CDE的周長與四邊形DABE的周長相等時，求DE的長.

解法提醒相似三角形周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方；反之，兩個三角形相似，相似比等于周長比，相似比等于面積比的算術(shù)平方根.方法點撥解題時，若題中涉及對應(yīng)線段(中線、高線、角平分線)或面積時，利用“相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比，相似三角形面積的比等于相似比的平方”是常用的解題途徑.題型利用相似三角形的性質(zhì)求面積2

例5(1)若AB＝8，求線段AD的長；思路引導(dǎo)：

(2)若△ADE的面積為1，求BFED的面積.思路引導(dǎo)：

技巧點撥解決面積問題的常用方法：1.直接用面積公式；2.利用相似三角形的性質(zhì)；3.利用等底或等高；4.割補法.思路點撥本題第(2)問，先利用相似三角形面積的比等于相似比的平方分別求出△ABC和△EFC的面積，再利用和差關(guān)系求出□BFED的面積.題型利用相似三角形的性質(zhì)建立函數(shù)關(guān)系3如圖27.2－36①，已知一張三角形紙片ABC，邊BC

的長為8，BC邊上的高為6，∠B和∠C都為銳角，點M為AB上一動點(點M與點A，B不重合)，過點M作MN∥BC，交AC于點N，在△AMN中，設(shè)MN的長為x，MN上的高為h.例6(1)請你用含x的代數(shù)式表示h.解題秘方：可以利用相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比表示h；

方法點撥利用相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比建立等量關(guān)系.(2)將△AMN沿MN折疊，使△AMN落在四邊形BCNM所在的平面，設(shè)點A落在平面上的點為A1，△A1MN與四邊形BCNM重疊部分的面積為y，當x為何值時，y最大，最大值為多少？解題秘方：由于折疊后點A1的位置可能在四邊形BCNM內(nèi)部，也可能在BC邊上，還可能在四邊形BCNM外部，故需分類討論.

相似的傳遞性方法點撥利用相似三角形的面積比等于相似比的平方建立等量關(guān)系.

解法提醒本題運用了分類討論思想，對點A1與四邊形BCNM的位置情況進行分類.注意多種情況的存在，利用相似找函數(shù)關(guān)系往往需要考慮相似比與對應(yīng)線段的比，以及相似比與面積比之間的關(guān)系.題型利用相似三角形的性質(zhì)解決實際問題4課本中有一道復(fù)習(xí)題：如圖27.2－37①所示，有一塊三角形材料ABC，它的邊BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的邊QM在BC上，其余兩個頂點P，N分別在AB，AC

上，AD

交PN

于點E，則加工成的正方形零件的邊長是多少毫米？例7思路引導(dǎo)：小穎解得此題的答案為48mm.小穎善于思考，她又提出了如下問題:(1)如果原題中要加工成的零件是一個矩形PQMN，且此矩形由兩個并排放置的正方形組成，如圖27.2－37②所

示，此時，這個矩形零件的長和寬分別為多少毫米？

相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比(2)如果原題中所要加工的零件只是一個矩形PQMN，如圖27.2－37③所示，此矩形零件的長和寬都不能確定，但這個矩形的面積有最大值，求達到最大面積時這個矩形零件的長和寬.

易錯點誤認為相似三角形的面積比等于相似比兩個相似三角形對應(yīng)邊的長分別為20cm和40cm，且這兩個相似三角形的面積差為90cm2.求較大三角形的面積.例8

診誤區(qū)：兩個相似三角形的面積比等于相似比的平方.本題用錯了公式，誤認為面積比等于相似比.[中考·廣西]如圖27.2－38，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH的邊GH在BC上，點E，F(xiàn)

分別在AB，AC上，AD

交EF

于點N，則AN的長為(

)A.15B.20C.25D.30考法利用相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比求線段長1例9試題評析：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì).解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)的運用，注意：矩形的對邊相等且平行，相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比.解：設(shè)正方形EFGH的邊長EF＝EH＝x.∵四邊形EFGH

是正方形，∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC.

∴△AEF∽△ABC.∵

AD

是△ABC

的高，∴∠HDN＝∠ANE＝90°.∴四邊形EHDN

是矩形.∴

DN＝EH＝x.

答案：B[中考·海南]如圖27.2－39，在ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分線交BC于點E，交DC的延長線于點F，BG⊥AE于點G，若BG＝8，則△CEF的周長為()A.16 B.17C.24 D.25考法利用相似三角形周長之比等于相似比解決問題2例10試題評析：本題考查了相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握利用相似三角形的周長之比等于相似比求三角形的周長.

∵

AB∥DF，∴△ABE∽△FCE.∴△ABE的周長∶△CEF的周長＝BE∶CE＝10∶5＝2∶1.∴△CEF的周長為16.答案：A

例11考法利用相似三角形的面積之比等于相似比的平方解決問題3

試題評析：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正確運用相似三角形的面積之比等于相似比的平方是解題關(guān)鍵.

1.[中考·重慶]若兩個相似三角形的相似比是1：3，則這兩個相似三角形的面積比是(

)A.1∶3 B.1∶4C.1∶6 D.1∶9D

D3.[中考·包頭]如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格

中，A，B，C，D四個點均在格點上，AC與BD相交于點E，連接AB，CD，則△ABE與△CDE的周長比為()A.1∶4B.4∶1C.1∶2D.2∶1D4.[中考·遂寧]如圖，D，E，F(xiàn)分別是△ABC三邊上的點，其中BC＝8，BC邊上的高為6，且DE∥BC，則△DEF面積的最大值為(

)A.6B.8C.10D.12A5.[中考·嘉興]如圖，點P是△ABC的重心，點D是邊AC的中點，PE∥AC交BC于點E，DF∥BC交EP于點F.若四邊形CDFE的面積為6，則△ABC的面積為(

)A.12B.14C.18D.24C

A

8.[中考·廣東]邊長分別為10，6，4的三個正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上(如圖)，則圖中陰影部分的面積為_________.159.[中考·黃岡]如圖，在△ABC和△DEC中，∠