數(shù)學課后導練：二項式定理（二）

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課后導練基礎達標1。（0.998）5精確到0。001的近似值為______________。解析：（0。998)5=(1-0.002）5答案:0。9902.今天是星期四,再過260天后的第一天是星期______________.解析：260=820=（7+1）20答案:六3。7100被36除所得的余數(shù)是______________。解析:7100=(6+1）100=6100+699+…+62+6+，只須求6+1被36除余幾。答案：254。（湖北高考，14）（）5的展開式中整理后的常數(shù)項為____________.解析：由(）5=（)10，設常數(shù)項為Tr+1=（）10—r()r。據(jù)題意令10—2r=0,即r=5。故常數(shù)項為T6=。5。若n為正奇數(shù)，則7n+7n—1+7n-2+…+7被9除的余數(shù)是(）A.0B。2C.7解析：原式=7n+7n-1+7n—2+…+·7+1-1=（7+1）n-1=8n—1=（9—1)n-1=·9n-9n—1+…+·9·(-1）n—1+（-1）n—1=9n—·9n-1+…+·9-2（n為正奇數(shù))，所以被9除,余數(shù)為7.答案：C綜合運用6。據(jù)2002年3月5日九屆人大五次會議《政府工作報告》：“2001年國內(nèi)生產(chǎn)總值達到95933億元，比上年增長7.3%"，如果“十·五”期間（2001年—2005年）每年的國內(nèi)生產(chǎn)總值都按此年增長率增長,那么到“十·五"末我國國內(nèi)年生產(chǎn)總值約為(）A。115000億元B。120000億元C。127000億元D.135000億元解析：設到“十·五”末我國國內(nèi)年生產(chǎn)總值為A，由復利公式或等比數(shù)列通項公式，得A=95933(1+7。3％)4≈95933（1+4×0。073+6×0。0732)≈127000億元.故選C。7.0.9910的小數(shù)點后第1位數(shù)字為n1，第2位數(shù)字為n2，第3位數(shù)字為n3,則n1，n2，n3分別為(）A。9，4，0B.9，0，4C。9,2，0解析：0.9910=（1—0.01）10=1-10×0。01+45×（0。01)2—…=1-0.1+0。0045—…=0.9+0。0045—…故選B。8。1—2+4-8+16-…+(—1)n·2n等于（）A.1B?！?C。±1解析：原式=(1—2）n=(-1）n選D。9.已知（x+m）2n+1與(mx+1)2n（n∈N*，m≠0）的展開式中含xn項的系數(shù)相等，求實數(shù)m的取值范圍.解析：設（x+m）2n+1的展開式通項公式為Tr+1=x2n+1-r。mr，令2n+1—r=n得r=n+1。故此展開式中，xn項的系數(shù)為·mn+1由題意知：·mn+1=·mn,∴）m是n的減函數(shù).∵n∈N＊,∴m＞，又當n=1時，m=,∴＜m≤.故m的取值范圍是[，］拓展探究10.已知數(shù)列{an}滿足Sn=(n∈N*），Sn是{an｝的前n項的和，并且a2=1.（1）求數(shù)列｛an}的前n項的和;(2）證明：≤()an+1＜2。解析：(1）由題意Sn=an，得Sn+1=an+1.兩式相減得2an+1=（n+1)an+1-nan，即（n—1）an+1=nan.所以（n+1）an+1=nan+2.再相加2nan+1=nan+nan+2,即2an+1=an+an+2.所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列。又∵a1=a1,∴a1=0。又a2=1，∴an=n—1.所以數(shù)列{an}的前n項的和為Sn=an=.（2）（1+）an+1=(1+)n=?！撸╮=1，2,…,n），∴（1+)n＜1+=2-（）n＜2而（1+）n≥+·，∴＜2。備選習題11.農(nóng)民收入由工資性收入和其它收入兩部分構成。2003年某地區(qū)農(nóng)民人均收入為3150元（其中工資性收入為1800元，其它收入為1350元)，預計該地區(qū)自2004年起的5年內(nèi)，農(nóng)民的工資性收入將以每年6％的年增長率增長，其它收入每年增加160元。根據(jù)以上數(shù)據(jù)，2008年該地區(qū)農(nóng)民人均收入介于（）A。4200元-4400元B。4400元-4600元C.4600元—4800元D.4800元-5000元解析：在處理與二項式高次冪有關的近似估值問題時，可運用二項式定理將其展開，經(jīng)簡略計算去解決估值問題。2008年農(nóng)民工資性人均收入為1800（1+0.06）5≈1800（1+×0.06+×0.062）=1800（1+0。3+0.036)=1800×1。336≈2405;又2008年農(nóng)民其它人均收入為1350+160×5=2150故2008年農(nóng)民人均總收入約為2405+2150=4555（元）。故選B。12.已知函數(shù)f（x）=，證明：對于任意不小于3的自然數(shù)n，f(n)＞.證明：若直接運用二項式定理或數(shù)學歸綱法去證明困難都大,故應另辟解題蹊徑，將其轉(zhuǎn)化為熟悉命題：f（n）＞＞2n＞2n+1（n≥3,n∈N),再證明就容易了。2n=（1+1)n=1+++…++＞2n+1.∵n≥3，展開至少有4項，故原命題獲證。13。（經(jīng)典回放）某地現(xiàn)有耕地10000公頃，規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加22％，人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10％，如果人口年增長率為1％，那么耕地平均每年至多只能減少多少公頃（精確到1公頃）？解析:設耕地平均每年至多只能減少x公頃，又設該地區(qū)現(xiàn)有人口為P人，糧食單產(chǎn)為M噸/公頃，依題意得≥（1+10%)，化簡得，x≤，即x≤1000—1000××1。0110.而（1。01)10=（1+0。01）10=1+×0。01+×0.012+…≈1。1045,所以x≤1000—1000××1.1045＜1000-996=4（公頃).答案：耕地平均每年至多只能減少4公頃。14.如果（ax+1）9與（x+2a)8的展開式中x3的系數(shù)相等，求a的值，并求無窮等比數(shù)列1,a，a2,a3,…各項的和（其中a≠0).解析：由已知得a3=（2a）5，a≠0，解得a=±。當a=時，1+a+a2+a3+…=；當a=—時，1+a+a2+a3+…=。15。設數(shù)列{an}是等比數(shù)列，a1=，公比q是（x+)4的展開式中的第二項（按x的降冪排列）.(1）用n，x表示通項an與前n項和Sn;（2)若An=，用n，x表示An.解析：(1）∵a1=，∴即∴m=3.由（x+)4知T2=x3·=x，∴an=xn—1,Sn=（2）當x=1時，Sn=n，An=+2+3+…+n,又∵An=n+（n—1）+（n—2)+…+,=，=,…∴2An=n（++…+）=n·2n，∴An=n·2n-1。當x≠1時，Sn=.［(++…+）—(x+x2+…+xn）］=[2n—1—(1