數(shù)學(xué)課后導(dǎo)練：分析法

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課后導(dǎo)練基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1已知0〈b〈a<,則，a-b,的大小順序是()A。〉a-b>B.>〉a—bC。>〉a-bD。a—b〉>解析:a,b分別取，則a—b=-=,=,=—=?！郺-b<<答案:B2a,b,c是區(qū)間（0,1）內(nèi)三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)，且p=logc,q=,r=logc，則p,q,r的大小關(guān)系是(）A。p〈q〈rB。r〈p<qC。p〈r<qD。r<q<p解析:q=logcab=logc，r=logc,∵a,b，c∈(0,1)，∴∈(0,1）.∴〉>(∵a≠b)。又y=logcx在(0，+∞）上為減函數(shù)，故logc〈logc<logc,即r<p〈q。答案:B3已知a，b∈R+，則—與的大小關(guān)系是(）A?！?gt;B。—≥C.—≤D。與a，b大小有關(guān)解析:要比較它們的大小，可比較（-)3與（)3的大小，又（—)3=a-b-·+3··=a—b+3·(—）,它與a-b的大小,取決于-的符號(hào)，故—與的大小與a，b的大小有關(guān)。也可用特值法，取a=8,b=1,則-=1,=.此時(shí)—<。若取a=1,b=8,則-=-1>=.故選D.答案：D4a>0且a≠1，P=loga(a3+1),Q=loga（a2+1)，則P，Q的大小關(guān)系是(）A.P<QB.P>QC。a>1，P〉Q;0<a〈1,P〈QD。不能確定解析：要比較P,Q的大小，需考慮底數(shù)的范圍,以及真數(shù)的大小,為此我們分兩類：①a>1時(shí),a3+1>a2+1，而y=logax在(0,+∞)上為增函數(shù)?！鄉(xiāng)oga(a3+1)〉loga(a2+1)。②0〈a〈1時(shí),a3+1〈a2+1.這時(shí)y=logax在（0,+∞）上為減函數(shù).∴l(xiāng)oga(a3+1)〉loga（a2+1）.綜合①②知,P>Q.答案:B5若α，β是銳角,P=sin2α+sin2β，Q=2（sinα+sinβ—1)，R=2sinα+3sinβ—3,則有（）A.P〉Q〉RB。Q〉R>PC.R〉Q>PD。P〉R>Q解析:由選項(xiàng)分析可知P，Q，R的大小是確定的，我們可用特值法求解.令α=，β=,則P=+=1,Q=2（+—1）=-1，R=2×+3×-3=—。∴P>Q>R.答案:A綜合應(yīng)用6若n為正整數(shù)，則與的大小關(guān)系是_______________。解析：只需比較它們的平方的大小即可.設(shè)a=（）2=4(n+1),b=(+）2=4n++4,則b〉a。從而〈+。答案:〈+7已知α是銳角，若，則a,b，c的大小關(guān)系是(）A.a≤b≤cB。b≤a≤cC。b≤c≤aD.c≤b≤a解析:a=≥=b，c==b，故a≥b≥c.答案:D8已知0<a〈b<1,那么logab,logba，b,a的大小關(guān)系是____________________-.解析：∵0<a<b<1,∴l(xiāng)ogba>0且logba〉logbb=1=logaa〉logab>0。①又logb，a〈0,且logb〉loga=—1，loga〈logb=-1，∴0>logb>loga。②由①②知，logba>logab>logb〉loga。答案：logba>logab>logb〉loga9設(shè)f(x）=,（1）求f(x）的最大值;（2）證明對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，b恒有f(a)〈b2-3b+。(1）解析：f(x）=.∴f（x)的最大值為.（當(dāng)2x=,即x=時(shí)“="成立)。（2）證明：b2-3b+=(b—）2+3，當(dāng)b=時(shí),b2-3b+的最小值為3。而f(a）的最大值為.∴f（a)〈b2—3b+對(duì)一切的a,b恒成立。拓展探究10已知a,b>0，2c>a+b,求證:（1）c2〉ab;（2）c-<a<c+。證明:（1)∵2c>a+b，a，b>0，∴4c2>(a+b)2=a2+b2+2ab≥4ab，∴c2>ab。（2)要證c—〈a<c+,需證—<a—c<，于是證｜a—c|〈(a—c）2<c2-ab2ac〉a2+ab，又a>0,即證2c〉a+b,而這就是已知條件，∴原不等式成立。備選習(xí)題11已知x，y∈R,且|x|<1,｜y|<1，求證：.證法一:（分析法）∵|x｜〈1,｜y｜<1，∴∴故要證明結(jié)論成立，只要證明成立，即證1-xy≥成立即可。∵（y—x）2≥0,有—2xy≥-x2-y2，∴(1-xy)2≥（1—x2)(1-y2），∴1—xy≥〉0，∴不等式成立.證法二：(綜合法)引用不等式當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立）.∵==1—｜xy｜，∴.∴原不等式成立.12已知a，b>0，a+b=1，求證：≤3b+3a<4。證明：3a+3b=3a+31—a≥=，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)取等號(hào).要證3a+3b<4，只要證3a+3即證〈0，也就是證32a-4·3于是證（3a-1）(3那么證1<3a最后必須驗(yàn)證0<a〈1，這是明擺的事實(shí)?！唷?a+3b〈4。13已知函數(shù)f（x)=,明對(duì)于任意不小于3的自然數(shù)n，都有f(n）>。證法一：∵f(n)=，欲證f(n）〉，只要證2n-1〉2n，于是證2n—1+2n—2+…+2+1>2n。(巧用等比數(shù)列求和公式）∵n≥3,故2n—1+2n-2+…+2+1≥4(n—2）+3=2n+(2n—5）>2n.∴原不等式成立.證法二:同上,只要證2n>2n+1,∵2n=（1+1）n=,當(dāng)n≥3時(shí)，2n>=1+n+，∵［1+n+］-(2n+1）=≥0,∴2n〉2n+1，故f(n)〉。14已知α是方程（）x=x的解，求證:<α<.證明：若x>1,則()x>0,x<0,等式不成立。又x>0，故x只能在(0，1）中取值.∵α是方程的根，故α∈(0,1)。若α∈（0,］,則α≥1，而（)α∈[，1),故等式（）α=α不能成立。若α∈［，1），α∈（0,］。當(dāng)（)α=α?xí)r,有α=α,這一等式當(dāng)然不能成立,∴〈α〈。15實(shí)數(shù)a，b,c滿足a>b>c,且a+b+c=0,求證:a。證明：∵a〉b>c，a+b+c=0，∴a>0,c<0，在此條件下，我們證明a成立，只需證b2—ac<3a2,事實(shí)上，由條件得c=—(a+b）,∴b2-ac—3a2=b2+a（a+b)-3a2=b2+ab-2a2=(b—a)（2a而b<a,2a+b〉a+b+c=0，因此（b—a）(2a+b)<0,∴原不等式成