莆田市重點中學2025屆數(shù)學高二上期末考試模擬試題含解析

莆田市重點中學2025屆數(shù)學高二上期末考試模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在下列函數(shù)中，最小值為2的是（）A. B.C. D.2．已知函數(shù)與，則它們的圖象交點個數(shù)為（）A.0 B.1C.2 D.不確定3．函數(shù)在定義域上是增函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍為（）A. B.C. D.4．執(zhí)行如圖所示的流程圖，則輸出k的值為（）A.3 B.4C.5 D.25．命題“，”的否定形式是（）A.， B.，C.， D.，6．在數(shù)列中，，則（）A.2 B.C. D.7．已知拋物線上一點到其焦點的距離為5，雙曲線的左頂點為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則實數(shù)n的值是（）A. B.C. D.8．已知雙曲線的左、右焦點分別為，半焦距為c，過點作一條漸近線的垂線，垂足為P，若的面積為，則該雙曲線的離心率為（）A.3 B.2C. D.9．函數(shù)在處的切線方程為()A. B.C. D.10．已知函數(shù)，若，則（）A. B.0C.1 D.211．已知中，角，，的對邊分別為，，，且，，成等比數(shù)列，則這個三角形的形狀是（）A.直角三角形 B.等邊三角形C.等腰直角三角形 D.鈍角三角形12．下列命題中，結(jié)論為真命題的組合是（）①“”是“直線與直線相互垂直”的充分而不必要條件②若命題“”為假命題，則命題一定是假命題③是的必要不充分條件④雙曲線被點平分的弦所在的直線方程為⑤已知過點的直線與圓的交點個數(shù)有2個.A.①③④ B.②③④C.①③⑤ D.①②⑤二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，，，…，為拋物線：上的點，為拋物線的焦點．在等比數(shù)列中，，，，…，．則的橫坐標為__________14．函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為______.15．某學校為了獲得該校全體高中學生的體有鍛煉情況，按照男、女生的比例分別抽樣調(diào)查了55名男生和45名女生的每周鍛煉時間，通過計算得到男生每周鍛煉時間的平均數(shù)為8小時，方差為6；女生每周鍛煉時間的平均數(shù)為6小時，方差為8．根據(jù)所有樣本的方差來估計該校學生每周鍛煉時間的方差為________16．半徑為的球的體積為_________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在多面體中，平面平面．四邊形為正方形，四邊形為梯形，且，，，（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）線段上是否存在點，使得直線平面?若存在，求的值；若不存在，請說明理由18．（12分）在中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，滿足（1）求A的大?。唬?）若，的面積為，求的周長19．（12分）在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面底面，為的中點，是棱上的點，，，.（1）求證：平面平面；（2）若，求直線與所成角的余弦值.20．（12分）圓的圓心為，且與直線相切，求：（1）求圓的方程；（2）過的直線與圓交于，兩點，如果，求直線的方程21．（12分）某省電視臺為了解該省衛(wèi)視一檔成語類節(jié)目的收視情況，抽查東西兩部各5個城市，得到觀看該節(jié)目的人數(shù)（單位：千人）如下莖葉圖所示：其中一個數(shù)字被污損.（1）求東部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數(shù)超過西部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數(shù)的概率.（2）隨著節(jié)目的播出，極大激發(fā)了觀眾對成語知識的學習積累的熱情，從中獲益匪淺.現(xiàn)從觀看該節(jié)目的觀眾中隨機統(tǒng)計了4位觀眾的周均學習成語知識的時間（單位：小時）與年齡（單位：歲），并制作了對照表（如下表所示）年齡（歲）20304050周均學習成語知識時間（小時）2.5344.5由表中數(shù)據(jù)，試求線性回歸方程，并預測年齡為55歲觀眾周均學習成語知識時間.參考公式：，.22．（10分）在平面直角坐標系中，圓外的點在軸的右側(cè)運動，且到圓上的點的最小距離等于它到軸的距離，記的軌跡為（1）求的方程；（2）過點的直線交于，兩點，以為直徑的圓與平行于軸的直線相切于點，線段交于點，證明：是的中點

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】結(jié)合基本不等式的知識對選項逐一分析，由此確定正確選項.【詳解】對于A選項，時，為負數(shù)，A錯誤.對于B選項，，，，但不存在使成立，所以B錯誤.對于C選項，，當且僅當時等號成立，C正確.對于D選項，，，，但不存在使成立，所以D錯誤.故選：C2、B【解析】令，判斷的單調(diào)性并計算的極值，根據(jù)極值與0的大小關(guān)系判斷的零點個數(shù)，得出答案.【詳解】令，則，由，得，∴當時，，當時，.∴當時，取得最小值，∴只有一個零點，即與的圖象只有1個交點.故選：B.3、A【解析】根據(jù)導數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即可求出【詳解】依題可知，在上恒成立，即在上恒成立，所以故選：A4、B【解析】根據(jù)程序框圖運行程序，直到滿足，輸出結(jié)果即可.【詳解】按照程序框圖運行程序，輸入，則，，不滿足，循環(huán)；，，不滿足，循環(huán)；，，不滿足，循環(huán)；，，滿足，輸出結(jié)果：故選：B.5、A【解析】特稱命題的否定是全稱命題【詳解】的否定形式是故選：A6、D【解析】根據(jù)遞推關(guān)系，代入數(shù)據(jù)，逐步計算，即可得答案.【詳解】由題意得，令，可得，令，可得，令，可得，令，可得.故選：D7、C【解析】首先根據(jù)拋物線焦半徑公式得到，從而得到，再根據(jù)曲線的一條漸近線與直線AM平行，斜率相等求解即可.【詳解】由題知：，解得，拋物線.雙曲線的左頂點為，，因為雙曲線的一條漸近線與直線平行，所以，解得.故選：C8、D【解析】根據(jù)給定條件求出，再計算面積列式計算作答.【詳解】依題意，點，由雙曲線對稱性不妨取漸近線，即，則，令坐標原點為O，中，，又點O是線段的中點，因此，，則有，即，，，所以雙曲線的離心率為故選：D9、C【解析】利用導數(shù)的幾何意義即可求切線方程﹒【詳解】，，，，在處的切線為：，即﹒故選：C﹒10、D【解析】求出函數(shù)的導數(shù)，直接代入即可求值.【詳解】因為，所以，所以，所以.故選：D.11、B【解析】根據(jù)題意求出，結(jié)合余弦定理分情況討論即可.【詳解】解：因為，所以.由題意得，利用余弦定理得：.當，即時，，即，解得：.此時三角形為等邊三角形；當，即時，,不成立.所以三角形的形狀是等邊三角形.故選：B.【點睛】本題主要考查利用余弦定理判斷三角形的形狀，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】求出兩直線垂直時m值判斷①；由復合命題真值表可判斷②；化簡不等式結(jié)合充分條件、必要條件定義判斷③；聯(lián)立直線與雙曲線的方程組成的方程組驗證判斷④；判定點與圓的位置關(guān)系判斷⑤作答.【詳解】若直線與直線相互垂直，則，解得或，則“”是“直線與直線相互垂直”的充分而不必要條件，①正確；命題“”為假命題，則與至少一個是假命題，不能推出一定是假命題，②不正確；，，則是的必要不充分條件，③正確；由消去y并整理得：，，即直線與雙曲線沒有公共點，④不正確；點在圓上，則直線與圓至少有一個公共點，而過點與圓相切的直線為，直線不包含，因此，直線與圓相交，有兩個交點，⑤正確，所以所有真命題的序號是①③⑤.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用在拋物線上可求得，結(jié)合等比數(shù)列的公比可求得，利用拋物線的焦半徑公式即可求得結(jié)果.【詳解】在拋物線上，，解得：，拋物線；數(shù)列為等比數(shù)列，又，，公比，，即，解得：，即的橫坐標為.故答案為：.14、【解析】利用導數(shù)法求解.【詳解】因為函數(shù)，所以，當時，，所以的單調(diào)增區(qū)間是，故答案為：15、【解析】先求出100名學生每周鍛煉的平均時間，然后再求這100名學生每周鍛煉時間的方差，從而可估計該校學生每周鍛煉時間的方差【詳解】由題意可得55名男生和45名女生的每周鍛煉時間的平均數(shù)為小時，因為55名男生每周鍛煉時間的方差為6；45名女生每周鍛煉時間的方差為8，所以這100名學生每周鍛煉時間的方差為，所以該校學生每周鍛煉時間的方差約為，故答案為：16、【解析】根據(jù)球的體積公式求解【詳解】根據(jù)球的體積公式【點睛】球的體積公式三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）（3）存在點，使得平面，且【解析】（1）由面面垂直的性質(zhì)可得平面，再由線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論，（2）可證得兩兩垂直，所以分別以為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，利用空間向量求解，（3）設(shè)，然后利用空間向量求解【小問1詳解】證明：因為為正方形，所以又因為平面平面，且平面平面，所以平面平面所以；【小問2詳解】由（1）可知，平面，所以，因為，所以兩兩垂直分別以為軸，軸，軸建立空間直角坐標系（如圖）因為，，所以，所以，設(shè)平面的一個法向量為，則,即令，則，；所以設(shè)直線與平面所成角為，則直線與平面所成角為的正弦值為；【小問3詳解】設(shè)，易知設(shè)，則，所以，所以，所以設(shè)平面的一個法向量為，則，因為，所以令，則，所以在線段上存在點，使得平面等價于存在，使得因為，由，所以，解得，所以線段上存在點，使得平面，且18、（1）（2）【解析】（1）通過正弦定理將邊化為角的關(guān)系，可得，進而可得結(jié)果；（2）由面積公式得，結(jié)合余弦定理得，進而得結(jié)果.【小問1詳解】∵∴由正弦定理，得∴∵，∴，故【小問2詳解】由（1）知，∵∴∵由余弦定理知，∴，故∴，故∴的周長為19、（1）證明見解析；（2）；【解析】（1）證明，利用面面垂直的性質(zhì)可得出平面，再利用面面垂直的判定定理可證得平面平面；（2）連接，以點為坐標原點，、、所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，設(shè)，根據(jù)可得出，求出的值，利用空間向量法可求得直線與所成角的余弦值.【詳解】（1）為的中點，且，則，又因為，則，故四邊形為平行四邊形，因為，故四邊形為矩形，所以，平面平面，平面平面，平面，平面，因為平面，因此，平面平面；（2）連接，由（1）可知，平面，，為的中點，則，以點為坐標原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，則、、、、，設(shè)，,因為，則，解得，，，則.因此，直線與所成角的余弦值為.20、（1）（2）或【解析】由點到直線的距離公式求得圓的半徑，則圓的方程可求；當直線的斜率不存在時，求得弦長為，滿足題意；當直線的斜率不存在時，設(shè)出直線方程，求出圓心到直線的距離，再由垂徑定理列式求，則直線方程可求【小問1詳解】由題意得：圓的半徑為，則圓的方程為；【小問2詳解】當直線的斜率不存在時，直線方程為，得，符合題意；當直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為，即圓心到直線的距離，則，解得直線的方程為直線的方程為或21、（1）；（2）詳見解析.【解析】（1）先根據(jù)兩個平均值的大小得到的取值范圍，再利用古典概型的概率公式進行求解；（2）先利用最小二乘法求出線性回歸方程，再利用方程進行預測.試題解析：（1）設(shè)被污損的數(shù)字為，則的所有可能取值為：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9共10種等可能結(jié)果，令，解得，則滿足“東部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數(shù)超過西部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數(shù)的”的取值有0,1,2,3,4,5,6,7共8個，所以其概率為.（2）由表中數(shù)據(jù)得，，∴，線性回歸方程.可預測年齡為55觀眾周均學習成語知識時間為4.9小時.22、（1）（2）證明見解析【解析】（1）設(shè)點，求得到圓上的最小距離為，根據(jù)題意得到，整理即可求得曲線的方程；（2）當直線的斜率不存在時，顯然成立；當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程，聯(lián)立方程組求得和，得到，結(jié)合拋物線的