初二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試卷及答案大全

初二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試卷及答案

一.選擇題（共10小題）

1.（2013?鐵嶺）如圖，在△ABC和△DEC中，已知AB二DE,還需添加兩個條件才能使△ABC合△DEC,不能添

加的一組條件是（）

BC

A.BC=EC,ZB=ZEB.BC=EC,AC=DCC.BC=DC,ZA=ZDD.ZB=ZE,ZA=ZD

2.（2011?恩施州）如圖，AD是△ABC的角平分線，DF_LAB,垂足為F,DE=DG,△ADG和△AED的面積分別

為50和39,則AEDF的面積為（）

3.（2013?賀州）如圖，在△ABC中，ZABC=45°,AC=8cm,F是高AD和BE的交點，則BF的長是（）

4.（2010?海南）如圖，a、b、c分別表示△ABC的三邊長，則下面與△ABC一定全等的三角形是（）

5.（2013?珠海）點（3,2）關(guān)于x軸的對稱點為（）

A.(3，-2)B.(-3,2)C.(-3,?2)D.(2,-3)

6.（2013?十堰）如圖，將^ABC沿直線DE折疊后,使得點B與點A重合.已知AC=5cm,△ADC的周長為17cm,

則BC的長為（）

A

不

A.7cmB.10cmC.12cmD.22cm

7.（2013?新疆）等腰三角形的兩邊長分別為3和6,，則這個等腰三角形的周長為（）

A.12B.15C.12或15D.18

8.(2013?煙臺)下列各運算中，正確的是()

A.3a+2a=5a2B.(-3a3)2=9a6C.zi44-a2=a3D.(a+2)2=a2+4

9.(2012?西寧)下列分解因式正確的是()

A.3x2-6x=x(3x-6)B.-a2+b2=(b+a)(b-a)

C.4x2-y2=(4x+y)(4x-y)D.4lx2-2xy+y2=(2x-y)2

10.(2013?恩施州)把x2y-2y2x+y3分解因式正確的是()

A.y(x2-2xy+y2)B.x2y-y2(2x-y)C.j<(x-y)2D.y(x+y)2

二.填空題(共10小題)

11.(2013?資陽)如圖，在RSABC中,ZC=90°,ZB=60°,點D是BC邊上的點，CD=1,將△ABC沿直線AD

翻折，使點C落在AB邊上的點E處，若點P是直線AD上的動點，則^PEB的周長的最小值是_____________.

1

12.（2013?黔西南州）如圖，已知△ABC是等邊三角形，點B、C、C）、E在同一直線上，且CG=CD,DF=DE,則

NE=____________度，

RCDE

13.（2013?棗莊）若一b2二La-b=i則a+b的值為________

63

14.（2013?內(nèi)江）若m2-，=6,且m-n=2,則m+n=

15.（2013?荷澤）分解因式：3a2-“ab+lZb、.

16.（2013?鹽城）使分式上UJ值為零的條件是*=____________.

2x-l

17.（2013?南京）使式子1+」-有意義的x的取值范圍是____________.

X-1

2-Q

18.（2012?茂名）若分式W_^的值為0,則a的值是_____________.

a+3

19.在下列幾個均不為零的式子，X2-4,X2-2X,x2-4x+4,x2+2x,x?+4x+4中任選兩個都可以組成分式，請你

選擇一個不是最簡分式的分式進行化簡：.

3a+0.05b

20.不改變分式的值，把分式分子分母中的各項系數(shù)化為整數(shù)且為最簡分式是

5a-0.2b

2

三.解答題（共8小題）

21.（2013?遵義）已知實數(shù)a滿足a2+2a-15=0,求_」叫+Q+?Q+2）的值.

a+1a2-1a2-2a+l

222

22.（2013?重慶）先化簡，再求值：-—」a+9b+（-^―-a-2b）-1其中a,b滿足卜+右，.

a2-2aba-2ba（a-b=2

22

23.（2007?資陽）設(shè)ai=32-12,a2=52_32…an=（2n+l）-（2n-1）（n為大于0的自然數(shù)）.

（1）探究an是否為8的倍數(shù)，并用文字語言表述你所獲得的結(jié)論；

（2）若一個數(shù)的算術(shù)平方根是一個自然數(shù)，則稱這個數(shù)是“完全平方數(shù)試找出ai,a2,…，an,…這一列數(shù)中從

小到大排列的前4個完全平方數(shù)，并指出當n滿足什么條件時，an為完全平方數(shù)（不必說明理由）.

24.在△ABC中，若AD是NBAC的角平分線，點E和點F分別在AB和AC上，且DEJ_AB,垂足為E,DF±AC,

垂足為F（如圖（1））,則可以得到以下兩個結(jié)論：

①/AED+/AFD=180°；②DE二DF.

那么在△ABC中，仍然有條件"AD是NBAC的角平分線，點E和點F,分別在AB和AC上〃，請?zhí)骄恳韵聝蓚€問

題：

（1）若NAED+NAFD=180。（如圖（2））,則DE與DF是否仍相等？若仍相等，請證明；否則請舉出反例.

（2）若DE=DF,則NAED+NAFD=I8O。是否成立？（只寫出結(jié)論，不證明）

A

25.（2012?遵義）如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動點，由A向C運動（與A、C不重合）,

Q是CB延長線上一點，與點P同時以相同的速度由B向CB延長線方向運動（Q不與B重合），過P作PE_LAB

于E,連接PQ交AB于D.

（1）當NBQD=30。時，求AP的長；

（2）當運動過程中線段ED的長是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段ED的長；如果變化請說明理由.

26.（2005?江西）將一張矩形紙片沿對角線剪開，得到兩張三角形紙片，再將這兩張三角形紙片擺放成如下圖的形

式，使點B、F、C、D在同一條直線上.

（1）求證：ABXED；

（2）若PB=BC,請找出圖中與此條件有關(guān)的一對全等三角形，并給予證

27.（2013?沙河口區(qū)一模）如圖，RSABC中，N090。，AC=3,BC=4.點M在AB邊上以1單位長度/秒的速度

從點A向點B運動，運動到點B時停止.連接CM,將△ACM沿著CM對折，點A的對稱點為點A，.

（1）當CM與AB垂直時，求點M運動的時間；

（2）當點A，落在△ABC的一邊上時，求點M運動的時間.

28.已知點C為線段AB上一點，分別以AC、BC為邊在線段AB同側(cè)作△ACD和ABCE,且CA二CD,CB=CE,

ZACD=ZBCE,直線AE與BD交于點F,

（1）如圖1,若NACD=60。，則NAFB二；如圖2,若NACD=90。，則NAFB二:如圖

3,若NACD=120%則/AFB=:

（2）如圖4,若NACD=a,則NAFB=（用含a的式子表示）；

（3）將圖4中的AACD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)任意角度（交點F至少在BD、AE中的一條線段上），變成如圖5所示

的情形，若/ACD=a,則NAFB與a的有何數(shù)量關(guān)系？并給予證明.

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

1.（2013?鐵嶺）如圖，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE,還需添加兩個條件才能使△ABB△DEC,不能添

加的一組條件是（）

R

A.BC=EC,ZB=ZEB.BC=EC,AC=DCC.BC=DC,ZA=ZDD.ZB=ZE,ZA=ZD

考點：全等三角形的判定.

分析：根據(jù)全等三角形的判定方法分別進行判定即可.

解答：解：A、已知AB=DE,再加上條件BC=EC,NB=NE可利用SAS證明△ABC空△DEC,故此選項不合題

意；

B、已知AB=DE,再加上條件BOEC,AC=DC可利用SSS證明△ABC"&DEC,故此選項不合題意；

C、已知AB=DE,再加上條件BC=DC,NA=/D不能證明△ABC合△DEC,故此選項符合題意；

D、已知AB二DE,再加上條件NB二NE,NA=ND可利用ASA證明△ABC合△DEC,故此選項不合題意;

故選：C.

點評：本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.

注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對

應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角.

2.（2011?恩施州）如圖，AD是△ABC的角平分線，DFJ_AB,垂足為F,DE=DG,△ADG和△AED的面積分別

C.7D.3.5

考點：角平分線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).

專題：計算題；壓軸題.

分析：作DM二DE交AC于M,作DN_LAC,利用角平分線的性質(zhì)得到DN二DF,將三角形EDF的面積轉(zhuǎn)化為三

角形DNM的面積來求.

解答：解：作DM=DE交AC于M,作DN_LAC,

.DE=DG,DM=DE,

/.DM=DG,

.AD是△ABC的角平分線，DF±AB,

DF=DN,

在RtADEF和RtADMN中，

[DN=DF,

IDM=DET

RIADEmRsDMN(HL),

△ADG和今AED的面積分別為50和39,

SAMDG=SAADG-SAADM=50-39=11,

SADNM=SADEF=^SAMDG=—X11=5.5

22

故選B.

點評：本題考查了角平分線的性質(zhì)及全等三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確地作出輔助線，將所求的三角

形的面積轉(zhuǎn)化為另外的三角形的面積來求.

3.（2013?賀州）如圖，在△ABC中，ZABC=45°,AC=8cm,F是高AD和BE的交點，則BF的長是（）

C.8cmD.9cm

考點：仝等三角形的判定與性質(zhì).

分析：求出NFBD二NCAD,AD=BD,證△DBF2△DAC,推出BF=AC,代入求出即可.

解答：解：:F是高AD和BE的交點，

NADC=ZADB=ZAEF=90\

ZCAD+ZAFE=90°,ZDBF+ZBFD=90°,

/ZAFE=ZBFD,

ZCAD=ZFBD,

/ZADB=90°,ZABC=450,

.,.ZBAD=45°=ZABD,

/.AD=BD,

在^DBF和仆DAC中

'NFBD二NCAD

<DB=AD

ZFDB=ZCDA

/.△DBF空△DAC（ASA）,

BF=AC=8cm,

故選C.

點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是推出

△DBF^△DAC.

4.（2010?海南）如圖，a、b、c分別表示△ABC的三邊長，則下面與△ABC一定全等的三角形是（）

考點：全等三角形的判定.

分析：根據(jù)全等三角形的判定方法進行逐個驗證，做題時要找準對應(yīng)邊，對應(yīng)角.

解答：解：A、與三角形ABC有兩邊相等，而夾角不一定相等，二者不一定全等；

B、選項B與三角形ABC有兩邊及其夾邊相等，二者全等；

C、與三角形ABC有兩邊相等，但角不是夾角，二者不全等；

D、與三角形ABC有兩角相等，但邊不對應(yīng)相等，二者不全等.

故選B.

點評：本題重點考查了三角形全等的判定定理，普通兩個三角形全等共有四個定理，即AAS.ASA、SAS、SSS,

直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA,無法證明三角形全等，本題是一道較為簡單的題目.

5.（2013?珠海）點（3,2）關(guān)于x軸的對稱點為（）

A.(3,-2)B.(-3,2)C.(-3,?2)D.(2,-3)

考點：關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標.

分析：根據(jù)關(guān)于x軸對稱點的坐標特點：橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)可直接寫出答案.

解答：解：點（3,2）關(guān)于x軸的對稱點為（3,-2）,

故選:A.

點評：此題主要考查了關(guān)于x軸對稱點的坐標特點，關(guān)鍵是掌握點的坐標的變化規(guī)律.

6.（2013?十堰）如圖，將△ABC沿直線DE折疊后，使得點B與點A重合.已知AC=5cm,△ADC的周長為17cm,

則BC的長為（)

B.10cmC.12cmD.22cm

考點：翻折變換（折疊問題）.

分析；首先根據(jù)折疊可得AD=BD,再由△ADC的周長為17cm可以得到AD.DC的長，利用等量代換可得BC的

長.

解答：解：根據(jù)折疊可得：AD=BD,

△ADC的周長為17cm,AC=5cm,

/.AD+DC=17-5=12（cm）,

???AD=BD,

BD+CD=12cm.

故選：C.

點評：此題主要考查了翻折變換，關(guān)鍵是掌握折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小

不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等.

7.（2013?新疆）等腰三角形的兩邊長分別為3和6,則這個等腰三角形的周長為（）

A.12B.15C.12或15D.18

考點：等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系.

分析：因為已知長度為3和6兩邊，沒有明確是底邊還是腰，所以有兩種情況，需要分類討論.

解答：解：①當3為底時，其它兩邊都為6,

3、6、6可以構(gòu)成三角形，

底長為15；

②當3為腰時，

其它兩邊為3和6,

3+3=6=6,

???不能構(gòu)成三角形，故舍去，

??.答案只有15.

故選B.

點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況,

分類進行討論，還應(yīng)驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關(guān)鍵.

8.(2013?煙臺)下列各運算中，正確的是()

A.3a+2a=5a2B.(-3a3)2=9a6C.a4va2=a3D.(a+2)2=a2+4

考點：同底數(shù)轅的除法；合并同類項；制的乘方與積的乘方；完全平方公式.

分析：根據(jù)合并同類項的法則、幕的乘方及積的乘方法則、同底數(shù)塞的除法法則，分別進行各選項的判斷即可.

解答:解：A、3a+2a=5a,原式計算錯誤，故本選項錯誤：

B、(-3a3)2=9a6,原式計算正確，故本選項正確；

C、a4va2=a2,原式計算錯誤，故本選項錯誤；

D、(a+2)2=a2+4a+4,原式計算錯誤，故本選項錯誤；

故選B.

點評：本題考查了同底數(shù)冢的除法、塞的乘方與積的乘方，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握各部分的運算法則.

9.(2012?西寧)下列分解因式正確的是()

A.3x2-6x=x(3x-6)B.-a2+b2=(b+a)(b-a)

C.4x2-y2=(4x+y)(4x-y)D.4x2-2xy+y2=(2x-y)2

考點：因式分解-運用公式法；因式分解-提公因式法.

專題：計算題.

分析：根據(jù)因式分解的定義，把一個多項式寫成幾個整式積的形式叫做因式分解，并根據(jù)提取公因式法，利用平

方差公式分解因式法對各選項分析判斷后利用排除法求解.

解答：解:A、3x2-6x=3x(x-2),故本選項錯誤；

B、-a2+b2=(b+a)(b-a),故本選項正確；

C、4x2-y2=(2x+y)(2x-y),故本選項錯誤；

D、4x2?2xy+y2不能分解因式，故本選項錯誤.

故選B.

點評：本題主要考查了因式分解的定義，熟記常用的提公因式法，運用公式法分解因式的方法是解題的關(guān)鍵.

10.(2013?恩施州)把x2y?2y?x+y3分解因式正確的是()

A.y(x2-2xy+y2)B.x2y-y2(2x-y)C.y(x-y)2D.y(x+y)2

考點：提公因式法與公式法的綜合運用.

分析：首先提取公因式y(tǒng),再利用完全平方公式進行二次分解即可.

解答：解:x2y-2y2x+y3

=y(x-2yx+y-)

=y(x-y)2.

故選：C.

點評；本題主要考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式進行二次分解，注意分解

要徹底.

二.填空題(共10小題)

II.(2013?資陽)如圖，在RSABC中，ZC=90%NB=60。，點D是BC邊上的點，CD=1,將△ABC沿直線AD

翻折，使點C落在AB邊上的點E處，若點P是直線AD上的動點，則ZkPEB的周長的最小值是」

考點：軸對稱-最短路線問題；含30度角的直角三角形；翻折變換(折疊問題).

專題：壓軸題.

分析：連接CE,交AD于M,根據(jù)折疊和等腰三角形性質(zhì)得出當P和D重合時，PE+BP的值最小，即可此時^BPE

的周長最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BE,先求出BC和BE長，代入求出即可.

解答：

解：連接CE,交AD于M,

???沿AD折疊C和E重合，

?.NACD=ZAED=90",AC=AE,ZCAD=ZEAD,

?.AD垂直平分CE,即C和E關(guān)于AD對稱，CD=DE=1,

???當P和D重合時,PE+BP的值最小，即此時△BPE的周長最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BE,

/ZDEA=90°,

/.ZDEB=90%

/ZB=60°,DE=1,

..BE=近，BD=-§J3，

33

即BC=l+Zj^

3

△PEB的周長的最小值是BC+BE=I+-?V34--V3=I+V3?

33

故答案為；ii表.

點評：本題考查了折疊性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，軸對稱-最短路線問題，勾股定理，含30度角的直角三角形性質(zhì)

的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出P點的位置，題目比較好，難度適中.

12.（2013?黔西南州）如圖，已知△ABC是等邊三角形，點B、C、D、E在同一直線上，且CG=CD,DF=DE,則

NE=15度.

考點：等邊三角形的性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì).

專題：壓軸題.

分析：根據(jù)等邊三角形三個角相等，可知NACB=60。，根據(jù)等腰三角形底角相等即可得出NE的度數(shù).

解答：解：??,△ABC是等邊三角形，

?.NACB=60°,ZACD=120°,

.CG=CD,

/.ZCDG=3O°,ZFDE=150°,

?.DF=DE,

.1.ZE=I5°.

故答案為：15.

點評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，互補兩角和為180。以及等腰三角形的性質(zhì)，難度適中.

13.(2013?棗莊)若一b2二La-b=i則a+b的值為.

63~T~

考點：平方差公式.

專題：計算題.

分析：已知第一個等式左邊利用平方差公式比簡，將a-b的值代入即可求出a+b的值.

解答：解：’「a?-b?=(a+b)(a-b)=—>a-b=—,

63

/.a+b」.

2

故答案為：a.

2

點評：此題考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵.

14.(2013?內(nèi)江)若m2-?=6,且m-n=2,則m+n=3.

考點：因式分解-運用公式法.

分析：將n?-/按平方差公式展開，再將m-n的值整體代入，即可求出m+n的值.

解答：解：m2-n2=(m+n)(m-n)=(m+n)x2=6>

故m+n=3.

故答案為：3.

點評：本題考查了平方差公式，比較簡單，關(guān)鍵是要熟悉平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2.

15.(2013?莉澤)分解因式：3a2-12ab+12bZ3(a-2b)2.

考點：提公因式法與公式法的綜合運用.

分析：先提取公因式3,再對余下的多項式利用完全平方公式繼續(xù)分解即可求得答案.

解答：解：3a2-12ab+12b2=3(a2-4ab+4b2)=3(a-2b)2.

故答案為:3(a-2b)2.

點評：本題考查了用提公因式法和公式法進行因式分解的知識.一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用

其他方法進行因式分解，注意因式分解要徹底.

16.(2013?鹽城)使分式值為零的條件是*=-i.

2x-l

考點：分式的值為零的條件.

分析：分式的值為零時，分子等于零，且分母不等于零.

解答：解：由題意，得

x+l=O,

解得，X=-1.

經(jīng)檢驗，x=-1時，"1-0.

2x-l

故答案是：?1.

點評：本題考查了分式的值為零的條件.若分式的值為零，需同時具備兩個條件：（1）分子為0；（2）分母不為0.這

兩個條件缺一不可.

17.（2013?南京）使式子1+—^有意義的x的取值范圍是xwl.

x-1

考點：分式有意義的條件.

分析：分式有意義，分母不等于零.

解答：解：由題意知，分母X-1H0,即x制時，式子l+二^ff意義.

x-1

故填：x#l.

點評：本題考查了分式有意義的條件.從以下三個方面透徹理解分式的概念:

（1）分式無意義=分母為零；

（2）分式有意義o分母不為零；

（3）分式值為零o分子為零且分母不為零.

18.（2012?茂名）若分式3_的值為0,則a的值是3.

a+3

考點：分式的值為零的條件.

專題：探究型.

分析：根據(jù)分式的值為。的條件列出關(guān)于a的不等式組，求出a的值即可.

解答：2_Q

解：?.?分式3_的值為0,

a+3

a2-9=0

??,

a+3卉0

解得a=3.

故答案為：3.

點評：本題考查的是分式的值為0的條件，即分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零.

19.在下列幾個均不為零的式子，X2-4,x2-2x,x2-4x+4,x2+2x,x2+4x+4中任選兩個都可以組成分式，請你

選擇一個不是最簡分式的分式進行化簡：—.

―x+2-

考點：最簡分式.

專題：開放型.

分析：在這幾個式子中任意選一個作分母，注意另選一個作分子，就可以組成分式.因而可以寫出的分式有很多

個，把分式的分子分母分別分解因式，然后進行約分即可.

解答：解x2-2x_x(_-2)_--2

x2+2Xx(x+2)x+2'

點評：本題主要考查分式的定義，分母中含有字母的有理式就是分式.并且考查了分式的化簡，首先要把分子、

分母分解因式，然后進行約分.

20.不改變分式的值，把分式;0十0?05b分子分母中的各項系數(shù)化為整數(shù)且為最簡分式是

當一0.2b

2

60atb

-10a-4b-

考點：最簡分式.

分析：首先將分子、分母均乘以100,若不是最簡分式，則一定要約分成最簡分式.本題特別注意分子、分母的每

一項都要乘以100.

解答：解：分子、分母都乘以100得，300&+5b,

50a-20b

約分得，60a+b

10a-4b

點評：解題的關(guān)鍵是正確運用分式的基本性質(zhì).

三.解答題(共8小題)

21.(2013?遵義)已知實數(shù)a滿足a?+2a-15=0,求」--廿2+(a+?(a+2)的值.

a+1a2-1a2-2a+l

考點：分式的化簡求值.

分析：先把要求的式子進行計算，先進行因式分解，再把除法轉(zhuǎn)化成乘法，然后進行約分，得到一個最簡分式,

最后把a2+2a-15=0進行配方，得到一個a+1的值，再把它整體代入即可求出答案.

解答：解：_L-a+2:(a+1)(a+2)_i________a+2.殳-1)2_1_

22-

a+1a-1a-2a+la+1(a+1)(a1)(a+1)(a+2)a+1

1_2

(a+1)2(a+1J'

a2+2a-15=0,

(a+1)2=16,

點評：此題考查了分式的化簡求值，關(guān)鍵是掌握分式化簡的步驟，先進行通分，再因式分解，然后把除法轉(zhuǎn)化成

乘法，最后約分；化簡求值題要將原式化為最簡后再代值.

22.(2013?重慶)先化簡，再求值：屋—6ab+9(^kL-a-2b)-X其中a,b滿足("工’.

a2-2aba-2ba(a-b=2

考點：分式的化簡求值；解二元一次方程組.

專題：探究型.

分析：先根據(jù)分式混合運算的法則把原式進夕亍化簡，再求出a、b的值代入進行計算即可.

：(a-3b)；a-2b1

a(a-2b)(3b-a)(3b+a)a

3ba1

a(3b+a)a

一2

3b+a

a+b=4

a-b=2

a二3

b=l

.,?原式=-2:—1?

3X1+33

點評：本題考查的是分式的化簡求值，熟知分式混合運算的法則是解答此題的關(guān)鍵.

23.（2007?資陽）設(shè)ai=32-12,@2=5?-3?,a產(chǎn)（2n+l）2-（2n-1）2（n為大于0的自然數(shù)）.

（1）探究an是否為8的倍數(shù)，并用文字語言表述你所獲得的結(jié)論；

（2）若一-個數(shù)的算術(shù)平方根是一個自然數(shù)，則稱這個數(shù)是“完全平方數(shù)試找出ai,a2,…，an,…這一列數(shù)中從

小到大排列的前4個完全平方數(shù)，并指出當n滿足什么條件時，an為完全平方數(shù)（不必說明理由）.

考點：因式分解-運用公式法.

專題：規(guī)律型.

分析：（1）利用平方差公式，將（2n+l）2-（2n-1）2化簡，可得結(jié)論；

（2）理解完全平方數(shù)的概念，通過計算找出規(guī)律.

解答：解：（1）an=（2n+l）2-（2n-1）2=4n2+4n+l-4n2+4n-l=8n,（3分）

又n為非零的自然數(shù)，

??.an是8的倍數(shù).（4分）

這個結(jié)論用文字語言表述為：兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù)（5分）

說明：第一步用完全平方公式展開各（1）,正確化簡（1分）.

（2）這一列數(shù)中從小到大排列的前4個完全平方數(shù)為16,64,144,256.（7分）

n為一個完全平方數(shù)的2倍時，an為完全平方數(shù)（8分）

說明：找完全平方數(shù)時，錯一個扣（1），錯2個及以上扣（2分）.

點評：本題考查了公式法分解因式，屬于結(jié)論開放性題目，通過一系列的式子，找出一般規(guī)律，考查了同學(xué)們的

探究發(fā)現(xiàn)的能力.

24.在△ABC中，若AD是NBAC的角平分線，點E和點F分別在AB和AC上，且DE_LAB,垂足為E,DF_LAC,

垂足為F（如圖（1））,則可以得到以下兩個結(jié)論：

①NAED+NAFD=180。；②DE=DF.

那么在△ABC中，仍然有條件"AD是NBAC的角平分線，點E和點F,分別在AB和AC上”，請?zhí)骄恳韵聝蓚€問

題：

（1）若NAED+NAFD=180。（如圖（2））,則DE與DF是否仍相等？若仍相等，請證明；否則請舉出反例.

（2）若DE=DF,則NAED+NAFD=180。是否成立？（只寫出結(jié)論，不證明）

A

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)：角平分線的性質(zhì).

專題：證明題.

分析：（1）過點D作DM_LAB于M,DN_LAC于N,根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得DM=DN,

再根據(jù)NAED+NAFD=180。，平角的定義得NAFD+NDFN=180。，可以推出NDFN=NAED,然后利用角角

選定理證明△DME與bDNF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可證明；

（2）不一定成立，若DE、DF在點D到角的兩邊的垂線段上或垂線段與點A的兩側(cè)，則成立，若是同側(cè)

則不成立.

解答：解：（1）DE=DF.

理由如下：

過點D作DM_LAB于M,DN_LAC于N,

.AD平分NBAC,DM_LAB,DN_LAC,

..DM=DN,

NAED+ZAFD=180°,ZAFD+ZDFN=180°,

ZDFN=ZAED,

」.△DME^△DNF（AAS）,

DE=DF；

（2）不一定成立.

如圖，若DE、DF在點D到角的兩邊的垂線段與頂點A的同側(cè)則一定不成立,

經(jīng)過（1）的證明，若在垂線段上或兩側(cè)則成立，

所以不一定成立.

（2）顆圖

（1）題圖

點評：本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，從題目提供信息找出求證的思路是解題的關(guān)鍵,

讀懂題目信息比較重要.

25.（2012?遵義）如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動點，由A向C運動（與A、C不重合）,

Q是CB廷長線上一點，與點P同時以相同的速度由B向CB延長線方向運動（Q不與B重合），過P作PE_LAB

于E,連接PQ交AB于D.

（1）當NBQD=30。時，求AP的長；

（2）當運動過程中線段ED的長是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段ED的長；如果變化請說明理由.

考點：等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形.

專題：壓軸題；動點型.

分析：（1））由△ABC是邊長為6的等邊三角形，可知NACB=60。，再由NBQD=30?？芍狽QPC=90。，設(shè)AP=X,

貝IJPC-6-X,QB-x,在RSQCP中，ZBQD-30%PC-&C,BP6-x-1（6+x）,求山x的值即可；

22

（2）作QF_LAB,交直線AB的延長線于點F,連接QE,PF,由點P、Q做勻速運動且速度相同，可知

AP二BQ,

再根據(jù)全等三角形的判定定理得出△APE合△BQF,再由AE二BF,PE=QF且PEllQF,可知四邊形PEQF

是平行四邊形，進而可得出EB+AE=BE+BF=AB,DE=-UB,由等邊△ABC的邊長為6可得出DE=3,故

2

當點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變.

解答：解：（1）???△ABC是邊長為6的等邊三角形，

?./ACB=60%

,.NBQD=30°,

NQPC=90°,

設(shè)AP=x,則PC=6?x,QB=x,

QC=QB+BC=6+x,

,.在RsQCP中，ZBQD=30%

PC=-1QC,即6-X=l(6+x),解得x=2,

AP=2：

(2)當點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變.理由如下:

作QFJ_AB,交直線AB的延長線于點F,連接QE,PF,

又PE_LAB于E,

.,.ZDFQ=ZAEP=90°,

???點P、Q速度相同，

AP=BQ,

???△ABC是等邊三角形，

?.NA=ZABC=ZFBQ=60°,

在△APE和4BQF中，

/ZAEP=ZBFQ=90°,

..NAPE=ZBQF,

'NA二NFBQ

在乙APE和4BQF中，AP=BQ

ZAEP=ZBFQ

△APE合△BQF(AAS),

/.AE=BF,PE=QF且PEIIQF,

二.四邊形PEQF是平行四邊形，

「?DEJEF,

2

?.EB+AE=BE+BF=AB,

DE」AB,

2

又?「等邊△ABC的邊長為6,

.,.DE=3,

???當點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變.

A

點評：本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助

線構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)鍵.

26.（2005?江西）將一張矩形紙片沿對角線剪開，得到兩張三角形紙片，再將這兩張三角形紙片擺放成如下圖的形

式，使點B、F、C、D在同一條直線上.

（1）求證：AB±ED：

（2）若PB=BC,請找出圖中與此條件有關(guān)的一對全等三角形，并給予證

考點：翻折變換（折疊問題）；直角三角形全等的判定.

專題：幾何綜合題；壓軸題.

分析：做此題要理解翻折變換后相等的條件，同時利用常用的全等三角形的判定方法來判定其全等.

解答：證明：（1）由題意得，NA+NB=90。，NA=ND,

ZD+ZB=90°,

AB±DE.（3分）

(2)AB±DE,AC±BD

NBPD=ZACB=90°,

在△ABC和^DBP,

'NA=ND

<NACB=NDPB，

BC=BP

「.△AB8△DBP(AAS).(8分)

說明：圖中與此條件有關(guān)的全等三角形還有如下幾對:

△APN年4DCN、△DEF合△DBP、AEPM合△BFM.

點評：此題考查了翻折變換及全等三角形的判定方法等知識點，常用的判定方法有SSS、SAS、AAS.HL等.

27.(2013?沙河口區(qū)一模)如圖，RQABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4.點M在AB邊上以I單位長度/秒的速度

從點A向點B運動，運動到點B時停止.連接CM,將△ACM沿著CM對折，點A的對稱點為點A，.

(1)當CM與AB垂直時，求點M運動的時間；

(2)當點A，落在△ABC的一邊上時，求點M運動的時間.

考點：翻折變換(折疊問題).

分析：(1)由RSABC中，ZC=90%CM與AB垂直，易證得△ACM-△ABC,然后由相似三角形的對應(yīng)邊成

比例，即可求得AM的長，即可得點M運動的時間；

(2)分別從當點A，落在AB上時與當點A，落在BC上時去分析求解即可求得答案.

解答：解：(1)RlAABC中，ZC=90°,CM±AB,

ZA=ZA,ZAMC=ZACB=90°,

AACM~△ABC?

.ACAM

一而下，

/AC=3,BC=4,

AB=7AC2+BC2=5.

???點M運動的時間為：g；

5

(2)①如圖1,當點A，落在AB上時，

此時CM±AB,

則點M運動的時間為：8；

5

②如圖2,當點A，落到BC上時，CM是NACB平分線,

過點M作ME_LBC于點E,作MF_LAC于點F,

ME=MF,

SAABC=SAACM+SABCM?

1AC?BC=1AC?MF+1BC?ME,

222

lx3x4=i<3xMF+lx4xMF,

222

解得：MF”,

7

1.ZC=90°,

/.MFIIBC,

.?.△AMFs△ABC,

.MFAM

12

即王J,

45

解得：AM=K,

7

綜上可得：當點A，落在△ABC的一邊上時，點M運動的時間為：9或里.

57

點評，此題考查了相似三角形的判定弓性質(zhì)，折疊的性質(zhì)以及勾股定理等知識.此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)

合思想與分類討論思想的應(yīng)用.

28.已知點C為線段AB上一點，分別以AC、BC為邊在線段AB同側(cè)作△ACD和△BCE,且CA二CD,CB=CE,

ZACD=ZBCE,直線AE與BD交于點F,

（1）如圖1,若NACD=60。，則NAFB=120°；如圖2,若NACD=90°,則NAFB=90°；如圖3,若NACD=120°,

則NAFB=60°；

（2）如圖4,若NACD二a,則NAFB=180tl-a（用含a的式子表示。

（3）將圖4中的△ACD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)任意角度（交點F至少在BD、AE中的一條線段上），變成如圖5所示

的情形，若NACD=a,則NAFB與a的有何數(shù)量關(guān)系？并給予證明.

考點：等邊三角形的判定與性質(zhì).

專題：證明題；探究型.

分析：（1）如圖1,首先證明△BCD合△ECA,得出NEAC=NBDC,再根據(jù)NAFB是△ADF的外角求出其度數(shù).

如圖2,首先證明△ACEW△DCB,得出NAEONDBC,又有NFDE=/CDB,進而得出NAFB=90。.

如圖3,首先證明4ACE之△DCB,得出NEAC=ZBDC,又有NBDC+ZFBA=1800-ZDCB得到

ZFAB+ZFBA=120。，進而求出NAFB=60°.

（2）由NACD=NBCE得至IJNACE=NDCB,再由三角形的內(nèi)角和定理得NCAE=NCDB,從而得出

ZDFA=ZACD,得到結(jié)論NAFB=1800-a.

（3）由NACD=ZBCE得到/ACE=ZDCB,通過證明4ACE合△DCB得/CBD=ZCEA,由三角形內(nèi)角

和定理得到結(jié)論NAFB=180--a.

解答：解：（1）如圖1,CA=CD,ZACD=60°,

所以△ACD是等邊三角形.

.CB=CE,ZACD=ZBCE=60°,

所以△ECB是等邊三角形.

,/AC=DC,ZACE=ZACD+ZDCE,ZBCD=ZBCE+ZDCE,

又NACD=ZBCE,

ZACE=ZBCD.

.AC二DC,CE=BC,

△ACE堂△DCB.

ZEAC=ZBDC.

NAFB是△ADF的外角.

?.NAFB=ZADF+ZFAD=ZADC+ZCDB+ZFAD=ZADC+ZEAC+ZFAD=ZADC+ZDAC=120°.

如圖2,/AC=CD,ZACE=ZDCB=90%EC=CB,

」.△ACaADCB.

..NAEC=ZDBC,

又NFDE=NCDB,NDCB=90。，

ZEFD=90°.

ZAFB=90°.

如圖3,「NACD=/BCE,

NACD-ZDCE=ZBCE-ZDCE.

.,.ZACE=ZDCB.

又「CA二CD,CE=CB,

△AC噲△DCB.

ZEAC=ZBDC.

?.zBDC+ZFBA=180°-NDCB=180*-(180-ZACD)=1