直線與圓的位置關(guān)系（第一課時(shí)） 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)舒城一中高二（7）*2.5.1直線與圓的位置關(guān)系2024/10/26第二章直線和圓的方程（第1課時(shí)）引言

前面我們學(xué)習(xí)了直線的方程、圓的方程，用直線的方程研究了兩條直線的位置關(guān)系，本節(jié)課我們類比用直線的方程研究?jī)芍本€位置關(guān)系的方法，運(yùn)用直線和圓的方程，研究直線與圓的位置關(guān)系.新課引入問(wèn)題1直線與圓有哪些位置關(guān)系？新知探究直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)直線和圓有一個(gè)公共點(diǎn)直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn),直線與圓的位置關(guān)系直線與圓公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)相交2相切1相離0問(wèn)題2如何判斷直線與圓的位置關(guān)系？

幾何法新知探究追問(wèn)：還有其他判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法嗎？rddrdr直線與圓的位置關(guān)系圓心到直線距離與半徑比較相交d<r相切d=r相離d>r

幾何法問(wèn)題3類比直線與直線的位置關(guān)系代數(shù)方法，如何用直線的方程和圓的方程判斷它們之間的位置關(guān)系？新知探究利用坐標(biāo)系，把點(diǎn)用有序數(shù)對(duì)表示，線用二元一次方程表示，圓對(duì)應(yīng)一個(gè)二元二次方程.研究方法是把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，運(yùn)用代數(shù)方法研究幾何圖形的性質(zhì)。

研究直線與圓的位置關(guān)系問(wèn)題，也不例外，我們用直線、圓的方程研究它們的位置關(guān)系。在解析幾何中，我們用方程研究幾何圖形。聯(lián)立直線方程直線與圓的位置關(guān)系聯(lián)立直線與圓的方程方程組解的情況方程組解的情況兩直線的位置關(guān)系追問(wèn)：類比兩直線的位置關(guān)系的研究方法，如何通過(guò)代數(shù)方法，研究直線與圓的位置關(guān)系？新知探究

（1）判斷直線

l與圓C的位置關(guān)系；典例解析（2）如果相交，求直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng).分析：幾何—代數(shù)聯(lián)立、解方程組代數(shù)—幾何位置關(guān)系公共點(diǎn)個(gè)數(shù)②

①解法1（代數(shù)法）

（1）判斷直線

l與圓C的位置關(guān)系；典例解析所以直線l與圓C相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)

典例解析

解法1

解法2（幾何法）

（1）判斷直線

l與圓C的位置關(guān)系；典例解析所以直線

l與圓C相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)位置關(guān)系d與r的比較

典例解析

xOy621BAC?如圖，由垂徑定理，得：例題小結(jié)判斷直線與圓位置關(guān)系的方法(1)代數(shù)法：

在平面直角坐標(biāo)系中,要判斷直線l:Ax+By+C=0與圓C:x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置關(guān)系,可以聯(lián)立它們的方程,通過(guò)判斷方程組消去y(或x),得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程.利用一元二次方程的判別式△的值來(lái)確定解的情況,從而判斷直線與圓位置關(guān)系：①△＞0②△＝0③△＜0方程有兩不等實(shí)根方程有兩個(gè)相等實(shí)根方程無(wú)實(shí)數(shù)根直線l與圓C相交直線l與圓C相切直線l與圓C相離判斷直線與圓位置關(guān)系的方法(1)幾何法：

根據(jù)圓的方程求得圓心坐標(biāo)與半徑r,從而求得圓心到直線的距離d,通過(guò)比較d與r的大小,判斷直線與圓的位置關(guān)系.若相交,則可利用勾股定理求得弦長(zhǎng).已知直線l:Ax+By+C=0,圓C:(x－a)2+(y－b)2=r2.設(shè)圓心C到直線l的距離為d，則有③d＞r①d＜r直線l與圓C相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；②d＝r直線l與圓C相切，只有一個(gè)公共點(diǎn)；直線l與圓C相離，沒(méi)有公共點(diǎn).xyOABdC若直線l與圓C相交,則弦長(zhǎng)公式為r例題小結(jié)

(1)幾何法：用弦心距d，半徑r及半弦構(gòu)成直角三角形的三邊.xyOABdr(3)代數(shù)法（弦長(zhǎng)公式法）：不算出兩交點(diǎn)，設(shè)而不求(2)代數(shù)法：計(jì)算出兩交點(diǎn)直線與圓相交時(shí)弦長(zhǎng)的求法例題小結(jié)位置關(guān)系相交相切相離公共點(diǎn)個(gè)數(shù)

個(gè)

個(gè)

個(gè)判斷方法幾何法：設(shè)圓心到直線的距離為d＝__________________________代數(shù)法：由

消元得到一元二次方程，可得方程的判別式Δ_______________210d<rd＝rd>rΔ>0Δ＝0Δ<0直線與圓的位置關(guān)系的判斷歸納總結(jié)鞏固練習(xí)課本P931.判斷下列各組直線l與圓C的位置關(guān)系,如果相交,求直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng).解:(1)3.判斷直線2x－y＋2＝0與圓(x－1)2＋(y－2)2＝4的位置關(guān)系；如果相交，求直線被圓截得的弦長(zhǎng).鞏固練習(xí)課本P93新知探究問(wèn)題3

過(guò)圓上一點(diǎn)的圓的切線有幾條？過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線有幾條？

下面我們來(lái)研究直線與圓相切的情況.PP追問(wèn)：我們?cè)撊绾稳デ筮^(guò)一點(diǎn)與圓相切的直線方程？

點(diǎn)+斜率

代數(shù)法1幾何法2點(diǎn)斜式d=r斜率是否存在？典例解析

分析：P(2,1)典例解析例2

過(guò)點(diǎn)P(2,1)作圓O:x2＋y2＝1的切線l,求切線l的方程.分析：容易知道，點(diǎn)P(2,1)位于圓O:x2＋y2＝1外，過(guò)圓外一點(diǎn)有兩條直線與這個(gè)圓相切.我們?cè)O(shè)切線方程為y-1=k(x-2)，k為斜率，由直線與圓相切可求出k的方程.?-1xOy112?P(2,1)r解1:(幾何法)解2:(代數(shù)法)典例解析例2

過(guò)點(diǎn)P(2,1)作圓O:x2＋y2＝1的切線l,求切線l的方程.?-1xOy112?P(2,1)

變式1

過(guò)點(diǎn)P(1,2)作圓O:

x2+y2=1的切線l,求此切線l的方程.OPyx?解：由圓心(0,0)到切線l的距離等于圓的半徑1,得設(shè)切線l的方程為y-2=k(x-1),①當(dāng)切線l的斜率存在時(shí),此時(shí)，切線l的方程為3x-4y+5=0.②當(dāng)切線l的斜率不存在時(shí),解得此時(shí)直線x=1也符合題意.典例解析典例解析

解：xOy

過(guò)圓上一點(diǎn)M(x0,y0)的切線方程為x0x+y0y=r2例題小結(jié)求過(guò)一點(diǎn)P的圓的切線方程的方法先判斷點(diǎn)P與圓的位置關(guān)系若點(diǎn)P在圓上，切線有一條

若點(diǎn)P在圓外，切線有兩條1.點(diǎn)P(x0,y0)在圓上時(shí):

①先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率k，

②再由垂直關(guān)系得切線的斜率為

，

③由點(diǎn)斜式可得切線方程如果斜率為零或不存在，則由圖形可直接得切線方程

y=y0或

x=x0.(1)經(jīng)過(guò)圓

上一點(diǎn)

的切線方程為

(2)經(jīng)過(guò)圓

上一點(diǎn)

的切線方程為

(3)經(jīng)過(guò)圓

上一點(diǎn)

的切線方程為切線方程設(shè)法：例題小結(jié)例題小結(jié)求過(guò)一點(diǎn)P的圓的切線方程的方法2.點(diǎn)P(x0,y0)在圓外時(shí):(1)幾何法:

設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0)，由圓心到直線的距離等于半徑，即d=r，可求得k，可得切線方程.(2)代數(shù)法:

設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0)，與圓的方程聯(lián)立，消去y后得到關(guān)于x的一元二次方程，由△=0求出k，可得切線方程.

若通過(guò)上述方法只求出一個(gè)斜率k,則說(shuō)明另一條切線的斜率不存在,此時(shí)另一條切線方程為x=x0.做這種題要分類討論：(答題模板)①當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，切線方程為x=x0;②當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0).鞏固練習(xí)課本P932.已知直線4x＋3y－35＝0與圓心在原點(diǎn)的圓C相切,求圓C的方程.3.過(guò)點(diǎn)P(3,－1)與圓C:(x－4)2+(y－2)2=1相切的切線方程為_(kāi)________________.x=3或4x-3y-15=04.過(guò)點(diǎn)P(1,3)與圓C:(x－4)2＋(y－2)2＝10相切的切線方程為_(kāi)___________.3x－y＝0?xOy?P(3,-1)C(4,2)?xOyC(4,2)?P(1,3)鞏固練習(xí)探究新知如圖，在圓C：(x－a)2+(y－b)2=r2外一點(diǎn)P(x0，y0)引圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則切線長(zhǎng)公式圓C：x2+y2+Dx+Ey+F=0

典例解析解：因?yàn)榍芯€長(zhǎng)的最小值是當(dāng)直線y=x+1上的點(diǎn)與圓心距離最小時(shí)取得。

課堂小結(jié)本節(jié)課你學(xué)會(huì)了哪些主要內(nèi)容？判斷直線與圓的位置關(guān)系代數(shù)法：①△＞0②