直線與圓的位置關(guān)系（第二課時）同步練習(xí) 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版2019選擇性必修第一冊

.5.1直線與圓的位置關(guān)系（第二課時）（同步練習(xí)）一、選擇題1.一涵洞的橫截面是半徑為5m的半圓，則該半圓的方程是()A.x2＋y2＝25B.x2＋y2＝25(y≥0)C.(x＋5)2＋y2＝25(y≤0)D.隨建立直角坐標(biāo)系的變化而變化2.一座圓拱橋，當(dāng)水面在如圖所示的位置時，拱頂離水面2米，水面寬12米，當(dāng)水面下降2米后，水面寬是()A.13米B.14米C.5米D.16米3.如圖，圓弧形拱橋的跨度|AB|＝12米，拱高|CD|＝4米，則拱橋的直徑為()A.15米B.13米C.9米D.6.5米4.如圖是某主題公園的部分景觀平面示意圖，圓形池塘以O(shè)為圓心，以45eq\r(2)m為半徑，B為公園入口，道路AB為東西方向，道路AC經(jīng)過點O且向正北方向延伸，OA＝10m，AB＝100m，現(xiàn)計劃從B處起修一條新路與道路AC相連，且新路在池塘的外圍，假設(shè)路寬忽略不計，則新路的最小長度為(單位：m)()A.100eq\r(2)B.100eq\r(3)C.150eq\r(2)D.150eq\r(3)5.y＝|x|的圖象和圓x2＋y2＝4所圍成的較小的面積是()A.eq\f(π,4)B.eq\f(3π,4)C.eq\f(3π,2)D.π6.方程eq\r(1－x2)＝x＋k有唯一解，則實數(shù)k的取值范圍是()A.{－eq\r(2)}B.(－eq\r(2)，eq\r(2))C.[－1,1)D.{k|k＝eq\r(2)或－1≤k<1}7.(多選)如圖所示，已知直線l的方程是y＝eq\f(4,3)x－4，并且與x軸、y軸分別交于A，B兩點，一個半徑為1.5的圓C，圓心C從點(0,1.5)開始以每秒0.5個單位的速度沿著y軸向下運動，當(dāng)圓C與直線l相切時，該圓運動的時間可以為()A.6秒B.8秒C.10秒D.16秒8.(多選)從點A(－3,3)發(fā)出的光線l射到x軸上被x軸反射后，照射到圓C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0上，則下列結(jié)論正確的是()A.若反射光線與圓C相切，則切線方程為3x－4y－3＝0B.若反射光線穿過圓C的圓心，則反射光線方程為x－y＝0C.若反射光線照射到圓上后被吸收，則光線經(jīng)過的最短路程是5eq\r(2)－1D.若反射光線反射后被圓C遮擋，則在x軸上被擋住的范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，1))二、填空題9.設(shè)某村莊外圍成圓形，其所在曲線的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x－y＋2＝0表示，則從村莊外圍到小路的最短距離是________10.某圓弧形拱橋的水面跨度是20m，拱高為4m．現(xiàn)有一船寬9m，在水面以上部分高3m，通行無阻．近日水位暴漲了1.5m，為此，必須加重船載，降低船身，當(dāng)船身至少降低________m時，船才能安全通過橋洞．(結(jié)果精確到0.01m)11.已知點A(－1,1)和圓C：(x－5)2＋(y－7)2＝4，一束光線從點A經(jīng)x軸反射到圓C上的最短路程是________12.如圖，正方形ABCD的邊長為20米，圓O的半徑為1米，圓心是正方形的中心，點P，Q分別在線段AD，CB上，若線段PQ與圓O有公共點，則稱點Q在點P的“盲區(qū)”中，已知點P以1.5米/秒的速度從A出發(fā)向D移動，同時，點Q以1米/秒的速度從C出發(fā)向B移動，則在點P從A移動到D的過程中，點Q在點P的盲區(qū)中的時長約________秒(精確到0.1，eq\r(7)≈2.646)．三、解答題13.如圖，某海面上有O，A，B三個小島(面積大小忽略不計)，A島在O島的北偏東45°方向距O島40eq\r(2)千米處，B島在O島的正東方向距O島20千米處．以O(shè)為坐標(biāo)原點，O的正東方向為x軸的正方向，1千米為單位長度，建立平面直角坐標(biāo)系．圓C經(jīng)過O，A，B三點．(1)求圓C的方程；(2)若圓C區(qū)域內(nèi)有未知暗礁，現(xiàn)有一船D在O島的南偏西30°方向距O島40千米處，正沿著北偏東45°方向行駛，若不改變方向，試問該船有沒有觸礁的危險？14.如圖，已知一艘海監(jiān)船O上配有雷達，其監(jiān)測范圍是半徑為25km的圓形區(qū)域，一艘外籍輪船從位于海監(jiān)船正東40km的A處出發(fā)，徑直駛向位于海監(jiān)船正北30km的B處島嶼，速度為28km/h.問：這艘外籍輪船能否被海監(jiān)船監(jiān)測到？若能，持續(xù)時間多長？(要求用坐標(biāo)法)15.如圖所示，為保護河上古橋OA，規(guī)劃建一座新橋BC，同時設(shè)立一個圓形保護區(qū)．規(guī)劃要求：新橋BC與河岸AB垂直；保護區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓，且古橋兩端O和A到該圓上任意一點的距離均不少于80m．經(jīng)測量，點A位于點O正北方向60m處，點C位于點O正東方向170m處(OC為河岸)，tan∠BCO＝eq\f(4,3).(1)求新橋BC的長；(2)當(dāng)OM為多長時，圓形保護區(qū)的面積最大？參考答案及解析：一、選擇題1.D2.D解析：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(－6，－2)，B(6，－2)，設(shè)圓的方程為x2＋(y＋m)2＝m2(m>0)，將A點坐標(biāo)代入圓的方程，則有m＝10，故圓的方程為x2＋(y＋10)2＝100，令y＝－4，則x＝±8，故|EF|＝16(米)．3.B解析：如圖，設(shè)圓心為O，半徑為r，則由勾股定理得|OB|2＝|OD|2＋|BD|2，即r2＝(r－4)2＋62，解得r＝eq\f(13,2)，所以拱橋的直徑為13米．4.A解析：以A為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，設(shè)修建的新路所在直線方程為kx－y＋100k＝0(k>0)，則當(dāng)該直線與圓O相切時，新路長度最小，此時eq\f(|100k－10|,\r(k2＋1))＝45eq\r(2)，解得k＝1，此時求得新路長度為100eq\r(2)m.5.D解析：如圖，所求面積是圓x2＋y2＝4面積的eq\f(1,4)．6.D解析：由題意知，直線y＝x＋k與半圓x2＋y2＝1(y≥0)只有一個交點，結(jié)合圖形(圖略)易得－1≤k<1或k＝eq\r(2)．7.AD解析：設(shè)當(dāng)圓與直線l相切時，圓心坐標(biāo)為(0，m)，則由圓心到直線l的距離為eq\f(|m＋4|,\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))2))＝eq\f(3,2)，得m＝－eq\f(3,2)或m＝－eq\f(13,2)，所以該圓運動的時間為eq\f(\f(3,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2))),\f(1,2))＝6(秒)或eq\f(\f(3,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,2))),\f(1,2))＝16(秒)．8.BCD解析：點A(－3,3)關(guān)于x軸的對稱點為A′(－3，－3)．圓的方程為(x－2)2＋(y－2)2＝1，由題意知反射光線的斜率存在，設(shè)反射光線方程為y＋3＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－3＝0.由相切知eq\f(|2k－2＋3k－3|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq\f(4,3)或k＝eq\f(3,4).所以反射光線方程為y＋3＝eq\f(4,3)(x＋3)或y＋3＝eq\f(3,4)(x＋3)．即4x－3y＋3＝0或3x－4y－3＝0，故A錯誤；又A′(－3，－3)，C(2,2)的方程為y＝x，故B正確；因為|A′C|＝eq\r(2＋32＋2＋32)＝5eq\r(2)，所以光線經(jīng)過的最短路程為5eq\r(2)－1，故C正確；由于兩條與圓C相切的反射光線與x軸的交點為(1,0)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，0))，所以被擋住的范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，1))，故D正確．二、填空題9.答案：eq\f(7\r(2),2)－2解析：從村莊外圍到小路的最短距離為圓心(2，－3)到直線x－y＋2＝0的距離減去圓的半徑2，即eq\f(|2＋3＋2|,\r(12＋－12))－2＝eq\f(7\r(2),2)－2.10.答案：1.22解析：以水位未漲前的水面AB的中點O為原點，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)圓拱所在圓的方程為x2＋(y－b)2＝r2(0≤y≤4)，∵圓經(jīng)過點B(10,0)，C(0,4)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(100＋b2＝r2，,4－b2＝r2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－10.5，,r＝14.5.))∴圓的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)，令x＝4.5，得y≈3.28，故當(dāng)水位暴漲1.5m后，船身至少應(yīng)降低1.5－(3.28－3)＝1.22(m)，船才能安全通過橋洞．11.答案：8解析：點A(－1,1)關(guān)于x軸的對稱點為A′(－1，－1)，則點A′到圓C最短距離就是所求距離，又|A′C|＝eq\r(62＋82)＝10，所以所求最短路程為10－2＝8．12.答案：4.4解析：以點O為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，可設(shè)點P(－10，－10＋1.5t)，Q(10，10－t)，可得直線PQ的方程為y－10＋t＝eq\f(20－2.5t,20)(x－10)，圓O的方程為x2＋y2＝1，由直線PQ與圓O有公共點，可得eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2.5t－20,2)－t＋10)),\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20－2.5t,20)))2))≤1，化為3t2＋16t－128≤0，解得0≤t≤eq\f(8\r(7)－8,3)，而eq\f(8\r(7)－8,3)≈4.4，因此，點Q在點P的盲區(qū)中的時長約為4.4秒．三、解答題13.解：(1)由題意，得A(40,40)，B(20,0)，設(shè)過O，A，B三點的圓C的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(F＝0，,402＋402＋40D＋40E＋F＝0，,202＋20D＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－20，,E＝－60，,F＝0，))∴圓C的方程為x2＋y2－20x－60y＝0.(2)該船初始位置為點D，則D(－20，－20eq\r(3))，且該船航線所在直線l的斜率為1，故該船航行方向為直線l：x－y＋20－20eq\r(3)＝0，由(1)得圓C的圓心為C(10,30)，半徑r＝10eq\r(10)，由于圓心C到直線l的距離d＝eq\f(|10－30＋20－20\r(3)|,\r(12＋12))＝10eq\r(6)<10eq\r(10)，故該船有觸礁的危險．14.解：如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點，東西方向為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(40,0)，B(0,30)，圓O的方程為x2＋y2＝252.直線AB的方程為eq\f(x,40)＋eq\f(y,30)＝1，即3x＋4y－120＝0.設(shè)點O到直線AB的距離為d，則d＝eq\f(|－120|,5)＝24<25，所以外籍輪船能被海監(jiān)船監(jiān)測到．設(shè)監(jiān)測時間為t，則t＝eq\f(2\r(252－242),28)＝0.5(h)．所以這艘外籍輪船能被海監(jiān)船監(jiān)測到，持續(xù)時間為0.5h.15.解：(1)如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點，OC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系Oxy.由條件知，A(0,60)，C(170，0)，直線BC的斜率kBC＝－tan∠BCO＝－eq\f(4,3).又因為AB⊥BC，所以直線AB的斜率kAB＝eq\f(3,4).設(shè)點B的坐標(biāo)為(a，b)，則kBC＝eq\f(b－0,a－170)＝－eq\f(4,3)，①kAB＝eq\f(b－60,a－0)＝eq\f(3,4)，②聯(lián)立①②解得a＝80，b＝120.所以|BC|＝eq\r(170－802＋0－1202)＝150.因此新橋BC的長為150m.(2)設(shè)保護區(qū)的邊界圓M的半徑為rm，|OM|＝dm(0≤d≤60)．由條件知，直線BC的方程為y＝－eq\f(4,3)(x－170)，即4x＋3y－680＝0.由于圓M與直線BC相切