第四章 運(yùn)算方法與運(yùn)算器

計(jì)算機(jī)組成原理與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

QY第4章運(yùn)算方法與運(yùn)算器

?定點(diǎn)數(shù)的加減運(yùn)算及實(shí)現(xiàn)

會(huì)定點(diǎn)數(shù)的乘法運(yùn)算及實(shí)現(xiàn)

傘定點(diǎn)數(shù)除法運(yùn)算及實(shí)現(xiàn)」

■定點(diǎn)運(yùn)算器的組成與結(jié)構(gòu)

?浮點(diǎn)運(yùn)算及運(yùn)算器

■浮點(diǎn)運(yùn)算器舉例

BACK

4.1定點(diǎn)數(shù)的加減運(yùn)算及實(shí)現(xiàn)

補(bǔ)碼加減運(yùn)算與運(yùn)算器

機(jī)器數(shù)的移位運(yùn)算

移碼加減運(yùn)算與判溢

U!十進(jìn)制加法運(yùn)算

QY一、?補(bǔ)碼加減運(yùn)算與運(yùn)算器

0補(bǔ)碼加減運(yùn)算方法

6補(bǔ)碼加減運(yùn)算的溢出判斷

補(bǔ)碼加減運(yùn)算器的實(shí)現(xiàn)

、補(bǔ)碼加減運(yùn)算方法

?:?補(bǔ)碼的加減運(yùn)算的公式是：

［X+Y］補(bǔ)=［X］補(bǔ)+［丫］補(bǔ)

［X-Y］補(bǔ)=［X］補(bǔ)+［-丫1補(bǔ)

*華寺點(diǎn)：

■雇用補(bǔ)碼進(jìn)行加減運(yùn)算，符號(hào)位和數(shù)值位一樣參

加運(yùn)算。

■補(bǔ)碼的減法可以用加法來(lái)實(shí)現(xiàn)，任意兩數(shù)之差的

補(bǔ)碼等于被減數(shù)的補(bǔ)碼與減數(shù)相反數(shù)的補(bǔ)碼之和。

5

6求補(bǔ)運(yùn)算：［Y］補(bǔ)一［一丫］補(bǔ)

?:?求補(bǔ)規(guī)則：將［Y］補(bǔ)包括符號(hào)位在內(nèi)每一位取反，末

位加1。

?:?若［Y］補(bǔ)=YO,Y1……Yn,則：

TO補(bǔ)=丫0丫1……Yn+1

?若［Y］補(bǔ)=YO.Y1...Yn,貝I］：

［-Y］補(bǔ)=Y。Yi……Yn+0.0……01

中例：［X］補(bǔ)=0.1101,則:［-X］#=10011

金［Y］補(bǔ)=1.1101,貝心［一丫］補(bǔ)=0.0011

6

?:?例：已知X=+10W,Y=-0100,用補(bǔ)碼計(jì)算X+Y和X-Y。

■寫(xiě)出補(bǔ)碼:

[X]補(bǔ)=0,1011[Y]^=1,1100

[-丫]補(bǔ)=0,0100

■計(jì)舁：

0,1011091011

+1,1100+0,0100

0,0111091111

[X+Y[b=0,0111[X—Y]補(bǔ)=0,1111

?

2、補(bǔ)碼加減運(yùn)算的溢出判斷

?:?當(dāng)運(yùn)算結(jié)果超出機(jī)器數(shù)的表示范圍時(shí)，稱(chēng)為溢出。計(jì)

算機(jī)必須具備檢測(cè)運(yùn)算結(jié)果是否發(fā)生溢出的能力，否

則會(huì)得到錯(cuò)誤的結(jié)果。

?:?對(duì)于加減運(yùn)算，可能發(fā)生溢出的情況：同號(hào)（兩數(shù)）

相加，或者異號(hào)（兩數(shù)）相減。

?:?確定發(fā)生溢出的情況：

■正數(shù)相加，且結(jié)果符號(hào)位為1；

-負(fù)數(shù)相加，且結(jié)果符號(hào)位為0；

■正數(shù)一負(fù)數(shù)，且結(jié)果符號(hào)位為1；

■負(fù)數(shù)一正數(shù)，且結(jié)果符號(hào)位為0；

8

常用的判溢方法(補(bǔ)碼加減運(yùn)算)

?：?(1)單符號(hào)位判溢方法2

■當(dāng)最高有效位產(chǎn)生的進(jìn)位和符號(hào)位產(chǎn)生的進(jìn)位不

同時(shí)，加減運(yùn)算發(fā)生了溢出。

■V=C1十4

(2)雙符號(hào)位判溢方法

■X和Y采用雙符號(hào)位補(bǔ)碼參加運(yùn)算，正數(shù)的雙符號(hào)

位為00,負(fù)數(shù)的雙符號(hào)位為11;當(dāng)運(yùn)算結(jié)果的兩

位符號(hào)Sf2不同時(shí)(01或10),發(fā)生溢出。

■V=Sf1?Sf2=Xf十丫千十Cf十Sf

■Sf1Sf2=01,則正溢出;Sf1Sf2=10,則負(fù)溢出。

9

雙符號(hào)位判溢方法舉例

?:?例：用補(bǔ)碼計(jì)算X+Y和X-Y

■(1)X=+1000,Y=+1001

■(2)X=-1000,Y=1001

兇補(bǔ)00,1000兇補(bǔ)00,1000

+[Y]補(bǔ)00,1001+[?Y]補(bǔ)11,0111

[X+Y]補(bǔ)01,0001[X-YJ411,1111

=

SfiSf2015JE■溢出Sf1Sf2=11?無(wú)溢出

兇補(bǔ)11,1000pq補(bǔ)11,iooo

?[Y]補(bǔ)00,1001+[?Y]補(bǔ)11,0111

[X+Y]補(bǔ)00,0001[X-Y]#10,1111

負(fù)溢出

Sf1Sf2=00,無(wú)溢出Sf1Sf2=10,

10

3、補(bǔ)碼加減運(yùn)算器

3、補(bǔ)碼加減運(yùn)算器的實(shí)現(xiàn)

?:?核心部件：一個(gè)普通的二進(jìn)制并行加法器。

?A：累加器，存放［X］補(bǔ)；B：寄存器，存放［Y］補(bǔ)；

?:?取反電路：

*3,SUB=。時(shí)，補(bǔ)碼加法器，將B寄存器直接送入并

行加法器；_

*■/SUB=1時(shí)，補(bǔ)碼減法器，4匏送入并行加法器，

同時(shí)，并行加法器的最低位產(chǎn)生進(jìn)位，即B取反加1,

此時(shí)并行加法器的運(yùn)算相當(dāng)于［A］補(bǔ)力口［-B］補(bǔ)，完成減

法運(yùn)算。

12

、機(jī)器數(shù)的移位運(yùn)算

?:?二進(jìn)制數(shù)據(jù)（真值）每相對(duì)于小數(shù)點(diǎn)左移一位，相當(dāng)

于乘以2；每相對(duì)于小數(shù)點(diǎn)右移一位，相當(dāng)于除以2。

?:?計(jì)算機(jī)中的移位運(yùn)算分為：

?1、邏輯移位：將移位的數(shù)據(jù)視為無(wú)符號(hào)數(shù)據(jù)，各

數(shù)據(jù)位在位置上發(fā)生了變化，導(dǎo)致無(wú)符號(hào)數(shù)據(jù)的數(shù)

值（無(wú)正負(fù)）放大或縮小。

■2、算術(shù)移位：將移位的數(shù)據(jù)視為帶符號(hào)數(shù)據(jù)（機(jī)

器數(shù)）。算術(shù)移位的結(jié)果，在數(shù)值的絕對(duì)值上進(jìn)行

放大或縮小，同時(shí)，符號(hào)位必須要保持不變。

■3、循環(huán)移位：所有的數(shù)據(jù)位在自身范圍內(nèi)進(jìn)行左

移或者右移，左移時(shí)最高位移入最低位，右移時(shí)最

低位移入最高位。

13

QY補(bǔ)碼的算術(shù)移位

?:?算術(shù)左移：符號(hào)位不變，高位移出，低位補(bǔ)0。

■為保證補(bǔ)碼算術(shù)左移時(shí)不發(fā)生溢出，移位的數(shù)據(jù)

最高有效位必須與符號(hào)位相同。

■在不發(fā)生溢出的前提下，用硬件實(shí)現(xiàn)補(bǔ)碼的算術(shù)

左移時(shí)，直接將數(shù)據(jù)最高有效位移入符號(hào)位，不

會(huì)改變機(jī)器數(shù)的符號(hào)。

?:?算術(shù)右移：符號(hào)位不變，低位移出，高位正數(shù)補(bǔ)0,

負(fù)數(shù)補(bǔ)1,即高位補(bǔ)符號(hào)位。

符號(hào)位

fXf-----?X1X2--------?Xn----?

符號(hào)位

QY補(bǔ)碼的算術(shù)移位舉例

?:?例：設(shè)X=0.1001,丫=—0.0101,求

■伏]補(bǔ)=0.1001

■[2x1補(bǔ)=1.0010（溢出）

■[X/21補(bǔ)=0.0100

■[丫]補(bǔ)=1.1011

[2丫1補(bǔ)=1.0110

■[Y/2]補(bǔ)=LUOI

?

QY三、移碼加減運(yùn)算與判溢

篇碼和盜碼葉管

n

［X］移+［￥］移=2葉X+2+Y=2葉(2n+X+Y)=2n+［X+Y］移

n

［X］移+［-Y］移=2+［X—Y］移［X-Y］移=［X］移+［一Y］抖(mod2前)

?：?移碼和補(bǔ)碼混合計(jì)算

nn+1

［X］移+［Y］科=2葉X+”+i+Y="*+(2+X+Y)=2n+】+［X+Y］移=［X+Y］移(mod2)

n+1

［X-Y］移=［耳夠+［—Y］科(mod2)

?:?移碼運(yùn)算結(jié)果判溢：

0XfXix2.......xn

+YfYfYi丫2……Yn

SfiSf2Sis2……sn

16

移碼加減運(yùn)算與判溢

移碼運(yùn)算結(jié)果溢出的判斷條件是：

■當(dāng)結(jié)果的最高符號(hào)位Sf1二1時(shí)溢出，Sf1=0時(shí)結(jié)果

正確。

?Sf1Sf2=10時(shí),結(jié)果正溢出；

?Sf1Sf2=W時(shí),結(jié)果負(fù)溢出。

■由于移碼運(yùn)算用于浮點(diǎn)數(shù)的階碼，當(dāng)運(yùn)算結(jié)果正

溢出時(shí)，浮點(diǎn)數(shù)上溢；當(dāng)運(yùn)算結(jié)果負(fù)溢出時(shí)，浮

點(diǎn)數(shù)下溢，當(dāng)作機(jī)器零處理。

17

四、十進(jìn)制加法運(yùn)算

?:?計(jì)算機(jī)中的十進(jìn)制加法器通常采用BCD碼設(shè)計(jì)，在二

進(jìn)制加法器的基礎(chǔ)上，加上適當(dāng)?shù)男Ｕ娐?，可以?shí)

現(xiàn)BCD碼的加法器。

?:?對(duì)于8421BCD碼來(lái)說(shuō)，當(dāng)相加的兩數(shù)之和S>9時(shí)，力口6

校正；當(dāng)SW9時(shí)，且無(wú)進(jìn)位時(shí)，結(jié)果正確，不需校正。

18

4.2定點(diǎn)數(shù)的乘法運(yùn)算及實(shí)現(xiàn)

原碼乘法及實(shí)現(xiàn)

補(bǔ)碼乘法及實(shí)現(xiàn)

陣列乘法器

一、原碼乘法及實(shí)現(xiàn)

?:?由于計(jì)算機(jī)的軟硬件在邏輯上具有一定的等價(jià)性，因

此實(shí)現(xiàn)乘除法運(yùn)算，可以有三種方式：

?I.用軟件實(shí)現(xiàn)。

■硬件上：設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，沒(méi)有乘法器和除法器。

■指令系統(tǒng)：沒(méi)有乘除指令，但有加/減法和移位指

令

■實(shí)現(xiàn)：乘除運(yùn)算通過(guò)編制一段子程序來(lái)實(shí)現(xiàn)

■算法：程序中運(yùn)用串行乘除運(yùn)算算法，循環(huán)累加、

右移指令一乘法，循環(huán)減、左移指令一除法。

■運(yùn)算速度：較慢。

■適用場(chǎng)合：?jiǎn)纹瑱C(jī)。

20

一、原碼乘法及實(shí)現(xiàn)

on.用硬件乘法器和除法器實(shí)現(xiàn)。

■硬件上：設(shè)置有并行加法器、移位器和若干循環(huán)、

計(jì)數(shù)控制邏輯電路搭成的串行乘除法器。

■指令系統(tǒng)：具有乘除法指令。

■實(shí)現(xiàn)：乘除運(yùn)算通過(guò)微程序一級(jí)（硬件+微程序）

來(lái)實(shí)現(xiàn)。

■算法：在微程序中依據(jù)串行乘除運(yùn)算算法，循環(huán)累

力口、右移指令一乘法，循環(huán)減、左移指令一除法。

■運(yùn)算速度：有所提高，但硬件設(shè)計(jì)也相對(duì)復(fù)雜。

■適用場(chǎng)合：低性能CPU。

21

一、原碼乘法及實(shí)現(xiàn)

?III.用高速的陣列乘法器和陣列除法器來(lái)實(shí)現(xiàn)。

■硬件上：設(shè)置有專(zhuān)用的、并行運(yùn)算的陣列乘法器和

陣列除法器。

■指令系統(tǒng)：具有乘除法指令。

■實(shí)現(xiàn)：完全通過(guò)硬件來(lái)實(shí)現(xiàn)。

■算法：并行乘/除法。

■運(yùn)算速度：很快，但硬件設(shè)計(jì)相當(dāng)復(fù)雜。

■適用場(chǎng)合：高性能CPU。

22

原碼乘法及實(shí)現(xiàn)

*1、手工乘法算法

■手工計(jì)算1011X1101,步驟：1011

■手工算法：對(duì)應(yīng)每1位乘數(shù)求得1項(xiàng)位

積，并將位積逐位左移，然后將所有X1101

的位積一次相加，得到最后的乘積。~~WH

■乘法的機(jī)器算法：從乘數(shù)的最低位開(kāi)

始，每次根據(jù)乘數(shù)位得到其位積，乘0000

數(shù)位為0,位積為0,乘數(shù)位為1,則

位積為被乘數(shù)；用原部分積右移1位1011

加上本次位積，得新部分積；初始部

分積為0。1011

10001111

23

QY二、原碼乘法算法

?:*2、原碼一位乘法算法：

假設(shè)［X］原=XsX1X2.......Xn,［Y］原二YsY1

Y2……Yn,P=X-Y,Ps是積的符號(hào)：

■符號(hào)位單獨(dú)處理ps=Xs十Ys

?絕對(duì)值進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算|P|二|X|*|Y|

?:?例如：X=+1011,Y=-1101,用原碼一位乘法計(jì)算

P=X'YO

QY舉例

部分積乘數(shù)Y操作說(shuō)明

■[X]原二0,1011O,000011O1

?[Y]原=1，1101

+O,1011V4=l，+IX|

■Ps二Xs十Ys

O,1011

=0?1=1

右移—位

■|P|二|X|-|Y|O,0101111O

十O,0000V3=0,+0

O,0101

O,OO1O1111右移一位

+0,1011Y2=l，+|x|

O,1101

[P]原=L10001111

O,01101111右移—位

+0,1011V1=1,+Ix|

0001

0,1000右移一位

QH—、原碼乘法及實(shí)現(xiàn)

3、原碼乘法的硬件實(shí)現(xiàn)

000001101

27

gY第一次求部分積加運(yùn)算：+兇000001101

010111101

28

000001101

01011E1101

001011110

29

000001101

010111101

001011110

001011110

30

01011

01011

01011

01011

符號(hào)位異或

01011結(jié)果為：1,1000111

開(kāi)始

原碼一位乘法流程

結(jié)束

36

補(bǔ)碼乘法及實(shí)現(xiàn)

1、補(bǔ)碼乘法算法

(1)補(bǔ)碼一位乘法——校正法

假設(shè)［X］補(bǔ)=Xo.X1,

［丫］補(bǔ)=丫。4……I，

則有:

［X?Y］補(bǔ)二［知補(bǔ)?(0.Y1……YQ+Y°?［—X］補(bǔ)

37

補(bǔ)碼乘法及實(shí)現(xiàn)

證明如下：

■當(dāng)被乘數(shù)X的符號(hào)任意，Y為正數(shù)時(shí)：

根據(jù)補(bǔ)碼定義有：

［X］補(bǔ)=2+X=2n+1+X(mod2)

［Y］補(bǔ)二Y

則：

［X］補(bǔ)?［Y］補(bǔ)=(2田+X)-Y=2田?丫+X-Y

=2n+i?(0.丫1.......Yn)+X?Y

=2-(丫1.......Yn)+X?Y=2+X-Y(mod2)

=［X?Y］補(bǔ)

即：Y>0時(shí)，［X?Y］補(bǔ)二［X］補(bǔ)?［Y］補(bǔ)

二兇補(bǔ)?”……Yn)

38

補(bǔ)碼乘法及實(shí)現(xiàn)

■當(dāng)被乘數(shù)X的符號(hào)任意，Y為負(fù)數(shù)時(shí)：

［Y］補(bǔ)=2+Y=1.丫1……Y”則：

丫=［Y］補(bǔ)一2=0.Y1……Yn-1

［X?Y］補(bǔ)二［X。丫1?????,Yn-X］補(bǔ)

=［X”……Yn］補(bǔ)+［-X］補(bǔ)

因?yàn)?.丫1......Yn>0,所以：

［X”……Yn］補(bǔ)=［X］補(bǔ)?”……Yn)

所以：Y<0時(shí)，

［X?Y］補(bǔ)二兇補(bǔ)?(0.1?????.Yn)+［—X］補(bǔ)

39

Q＜二、補(bǔ)碼乘法及實(shí)現(xiàn)

例如：X=+0.1011,Y=-0.1101,用補(bǔ)碼一位乘法的校正法計(jì)算P二XV。

[X]補(bǔ)=00.1011[Y]^1=11.0011[-X]^1=11.0101

部分積乘數(shù)Y操作說(shuō)明

00.00000011

+00.1011Y4=l,+[X]補(bǔ)

00.1011

00.01011001_右移一位

+00.1011Y3=l,+[X]補(bǔ)

01.0000

00.10000100右移一,位

+00.0000Y2=0,+0[X-Y]^=1.01110001

00.1000

00.01000010右移一位X-Y=-0.10001111

+00.0000Yi=O,+0

00.0100

00.00100001右移一位

+11.0101Vo=i,+[—X]補(bǔ)校lE

11.01110001

例：設(shè)X=—0.1101,Y二一0.1011,即:兇補(bǔ)二11.0011,[Y]補(bǔ)=11.0101,求[X*Y]補(bǔ)

部分積乘數(shù)說(shuō)明

00.00000101初始值

+[X]補(bǔ)11.0011+[X]補(bǔ)

11.0011—

右移一位11.1001]C1o右移—M立

+000.0000+0

11.1001—

右移一位1L1100]01右移—位

+[X]補(bǔ)11.0011+DG補(bǔ)

10.1111

右移一位11.0111111o右移--位

+000.0000+0

11.0111

右移一位

右移一位11.101111111

+「—X〕補(bǔ)00.1I01+[-X]補(bǔ)

00.10001111

計(jì)算結(jié)果:[X*Y]補(bǔ)=0.10001111

補(bǔ)碼乘法及實(shí)現(xiàn)

?（2）補(bǔ)碼一位乘法----Booth算法

做出如下推導(dǎo)：

［X?Y］補(bǔ)二蟲(chóng)］補(bǔ)?（O.Yi……Yn）+Y°?［—X］補(bǔ)

=兇補(bǔ)?（丫/2一1+丫2?2-2++Y/2-n-Yo）

=［X］補(bǔ)?［Y/（2°-2-1）+Y2-（2-1-2-2）+.......+Yn-（2一村-

2-n）-Y0-20］

二補(bǔ)?［丫。-丫12n+1

［X］*p|1I?21I?2-1+YZ./2--Yz_/2-+.......+Yr'i2--Yr-i2-

n-Y0'20］

二兇補(bǔ)?［（丫廠丫。）?20+（Y2-丫1）?2-1+（Y3-Y2）?2一2+……+

（Yn-YQ51-YQ］

二［X］補(bǔ)?［（丫廣丫。）?2。+（Y2-YP?2-1+（Y3-丫2）?2一2+……+

（丫廣丫田）-2一,十（丫叼-Yn）-2-］,0

-12n

=兇補(bǔ)?（a0-2°+a/2+a2-2^千二…++an-2-）

其中，將乘數(shù)Y的補(bǔ)碼在最末位添加一位附加位丫.

（初始為0），aLYj+「Yj,i=0,1,…??.，n-1,n。.

42

Booth算法的運(yùn)算規(guī)則

假設(shè)［Y］補(bǔ)=Y0,Y1……Yn

①被乘數(shù)X和乘數(shù)Y均以補(bǔ)碼的形式參加乘法運(yùn)算，運(yùn)算

的結(jié)果是積的補(bǔ)碼。

②部分積和被乘數(shù)X采用雙符號(hào)位，乘數(shù)丫采用單符號(hào)位。

③初始部分積為0;運(yùn)算前，在乘數(shù)丫的補(bǔ)碼末位后添加

一位附加位Yn+1,初始為0。

④根據(jù)YnYn+1的值，按照表4.3進(jìn)行累加右移操作，右移

時(shí)遵循補(bǔ)碼的移位規(guī)則。

⑤累加n+1次，右移n次，即最后一次不右移。

|表43補(bǔ)碼乘法的Booth算法操作表

*操作，

0-lj.+0,右移一位，，

1+［閩斗，右移一位2

b山+［-X］中右移一位，

1-1+0?右移一位c

43

例如：X=+0.1011,Y=-0.1101,用補(bǔ)碼一位乘法的Booth算法計(jì)算P二XV。

解:[X]補(bǔ)=00.1011[Y]^=11.0011[-X]^=11.0101

部分積乘數(shù)Y（丫口丫…）操作說(shuō)叨

00.00001.0011_0

+

11.0101Y4Y5=10,+[—X]補(bǔ)

11.0101

11.101011.0011右移一位

[X-Y]補(bǔ)=1.01110001

十00.0000Y3Y4=11,+0

11.1010

X-Y=-0.10001111

11.1101011.001右移一位

十00.1011丫2丫3=。1.+[X]補(bǔ)

00.1000

00.0100001100右移一位

+00.0000

YiV2=00,-+-0

00.0100

00.0010D0011,0右移一位

4-11.0101Y°Y『10,+E-x]補(bǔ)

11.01110001

二、補(bǔ)碼乘法及實(shí)現(xiàn)

2、補(bǔ)碼乘法的硬件實(shí)現(xiàn)

46

陣列乘法器

孝原理類(lèi)似于二進(jìn)制手工算法

■位積的每一位XiYj都可以用一個(gè)與門(mén)實(shí)現(xiàn)，而每

位的相加均可以使用一個(gè)全加器來(lái)實(shí)現(xiàn)。

XXXX

1234

XYYYY

1234_______

XYXYXYXY

14243444

XYXYXYXY

13233343

XYXYXYXY

12223242

+XYXYXYXY

11213141

PPPPPPPP

12345678

47

絕對(duì)值陣列乘法器

48

補(bǔ)碼陣列乘法器

補(bǔ)碼求絕對(duì)值電路

先通過(guò)一個(gè)補(bǔ)碼求絕對(duì)值的邏輯電路變?yōu)榻^對(duì)值后，

送入絕對(duì)值陣列乘法器，運(yùn)算得到積的絕對(duì)值，然后

再通過(guò)一個(gè)絕對(duì)值求補(bǔ)碼的邏輯電路，根據(jù)積的符號(hào)

求出積的補(bǔ)碼形式。

49

補(bǔ)碼陣列乘法器

50

4.3定點(diǎn)數(shù)除法運(yùn)算及實(shí)現(xiàn)

原碼除法及實(shí)現(xiàn)

補(bǔ)碼除法及實(shí)現(xiàn)

陣列除法器

QH—、原碼除法及實(shí)現(xiàn)

1、原碼除法算法

?：?(D手工除法算法0.1101

■改進(jìn)手工算法即可適合機(jī)器運(yùn)算：0.1101]0,10110

■計(jì)算機(jī)通過(guò)做減法測(cè)試來(lái)實(shí)現(xiàn)1101

判斷：結(jié)果大于等于表明夠

0,10010

減，曲1;結(jié)果小于0,表明不

夠減，商0。1101

■計(jì)算機(jī)將余數(shù)左移一位，再直10100

接與不右移的除數(shù)相減。1101

X=+0.1011,Y=-0.11010111

X+Y

52

一、原碼除法及實(shí)現(xiàn)

?(2)原碼恢復(fù)余數(shù)算法

假設(shè)［X］原=Xs.X1X2.......Xn,［丫］原二丫$.丫1

Y2.......Yn,Q是X+Y的同，Qs是陶的符號(hào)，R是

X小丫的余數(shù)，Rs是余數(shù)的符號(hào)

■原碼除法運(yùn)算的規(guī)則是：

?1.Qs-Xs?Ys,Rs-Xs,|Q|-

|X|+|Y|-|R|+|Y|

?2.余數(shù)和被除數(shù)、除數(shù)均采用雙符號(hào)位；初

始余數(shù)為|X|。

53

一、原碼除法及實(shí)現(xiàn)

■原碼除法運(yùn)算的規(guī)則是：

?3.每次用余數(shù)減去|Y|（通過(guò)加上［-|丫|］補(bǔ)來(lái)

實(shí)現(xiàn)），若結(jié)果的符號(hào)位為0,則夠減，上商

1,余數(shù)左移一位；若結(jié)果的符號(hào)位為1,則

不夠減，上商0,先加|丫卜1灰復(fù)余數(shù)，然后余

數(shù)左移一位。

?4.循環(huán)操作步驟3,共做n+1次，最后一次不

左移，但若最后一次上商0,則必須+|丫卜詼復(fù)

余數(shù)；若為定點(diǎn)小數(shù)除法，余數(shù)則為最后計(jì)

算得到的余數(shù)右移n位的值。

54

被除數(shù)/余數(shù)商Q操作說(shuō)明

±1

00.10110000

+11.0011+［-IY|］補(bǔ)

例如：X=+0.1011,11.101100000R0<0,上商。

Y=-0.1101+00.1101+1Y|恢復(fù)余數(shù)

用原碼恢復(fù)余數(shù)算法計(jì)算00.1011

X+Y。

01.011O00000左移一位

解:［X］原=0.10。

+11.0011+［-IY|］補(bǔ)

1101

00.100100001_Ri>0,上商1

|X|=0.1011|Y|=0.1101

01.001000010左移一位

［-［丫|］補(bǔ)=11.0011

+11.0011+Y門(mén)補(bǔ)

G)S=Xg十丫s=Rg二0

00.010100011_R2>0,上商1

00.101000110—4立

得［Q］原=11101+11.0011+［-1Y］］補(bǔ)

11.110100110R<o,上商0

［R］原=0.000001113

+00.1101+1V|恢復(fù)余數(shù)

00.1010

01.010001100-4爻

+11.0011+［―IY門(mén)補(bǔ)

01101

00.0111R4>0,上商1

一、原碼除法及實(shí)現(xiàn)

?：?（3）原碼不恢復(fù)余數(shù)算法

-又稱(chēng)為加減交替法：當(dāng)某一次求得的差值（余

數(shù)%）為負(fù)時(shí)，不是恢復(fù)它，而是繼續(xù)求下一位

商，但用加上除數(shù)（+|丫|）的辦法來(lái)取代

（-|Y|）操作，其他操作不變。

■其原理證明如下：

?在恢復(fù)余數(shù)除法中，若第iT次求商的余數(shù)

為RT,下一次求商的余數(shù)為用,貝八

R=2R.一|Y|

?如巢R/0,商的第i位上1,并執(zhí)行操作：

余數(shù)左移一位，再減|丫|,得以+1,貝%

Ri+1=2R-|Y|

56

一、原碼除法及實(shí)現(xiàn)

■如果RRO,商的第i位上0,并執(zhí)行操作：恢

復(fù)余數(shù)(+1丫|),將余數(shù)左移一位，再減|丫|,

得其過(guò)程可用公式表示如下：

Ri+1=2(&+|Y|)-|Y|=2Ri+2|Y|-|Y>2Ri+|Y|

■加減交替法的規(guī)則如下：

?余數(shù)為正時(shí)，商上1,求下一位商的辦法，是

余數(shù)左移一位，再減去除數(shù)；

?當(dāng)余數(shù)為負(fù)時(shí)，商上0,求下一位商的辦法，

是余數(shù)左移一位，再加上除數(shù)。

?若最后一次上商為0,而又需得到正確余數(shù)，

則在這最后一次仍需恢復(fù)余數(shù)。

57

被除數(shù)/余數(shù)商Q操作說(shuō)明

00.10110000

例如：X=+0.1011,

Y=-0.1101,用原碼不+11.0011+[-1Y]]補(bǔ)

恢復(fù)余數(shù)算法計(jì)算11.111000000R0<0,上商。

X+Y。11.110000000左—Y立

解：原

[X]=0.1011+00.1101+1Y|

[Y]原=1.1101

00.10010000工Ri>0,上商1

|X|=0,1011

|Y|=0.110101.001000010左—Y立

[-|Y|]補(bǔ)=11.0011+11.0011+[-1Y□補(bǔ)

00.01010001

Qs二Xs十Ys-11R2>0,上商1

RS二000.101000110左移一位

+11.0011+[-1Y]]補(bǔ)

11.110100110R3<O,上商。

[Q]原=1.1101

11.101001100左移一位

[R]原=0.00000111+00.1101+1Y|

00.011101101R4>0,上商1

QY—、原碼除法及實(shí)現(xiàn)

*2、原碼除法的硬件實(shí)現(xiàn)

A<|X|/余數(shù)）Q（商IQI）Qn

7\

左移一位

緩沖骷

z\

QQ

Bi

計(jì)數(shù)器＜斜＞

并行加法器（n+2位）

=0

控制電路邏輯

7\7\n_n_n_

控制邏相:<>DIV

t

B（除數(shù)|Y|）

QY—、原碼除法及實(shí)現(xiàn)

原碼不恢復(fù)余數(shù)除法流程

計(jì)數(shù)器減1

補(bǔ)碼除法及實(shí)現(xiàn)

1、補(bǔ)碼除法算法

補(bǔ)碼不恢復(fù)余數(shù)除法的規(guī)則。假設(shè)［X］補(bǔ)=XS.X1

X2...Xn,［Y］補(bǔ)=YS.Y1Y2...Yn,Q是X+Y的

商，R是余數(shù)，則補(bǔ)碼除法運(yùn)算的規(guī)則是：

①X和Y以補(bǔ)碼形式參加除法運(yùn)算，商也以補(bǔ)碼的形

式產(chǎn)生。余數(shù)和被除數(shù)、除數(shù)均采用雙符號(hào)位。

②當(dāng)［X］補(bǔ)與［Y］補(bǔ)同號(hào)時(shí),第一次做兇補(bǔ)+［-丫］補(bǔ)操作,

當(dāng)異號(hào)時(shí)，第一次做［X］補(bǔ)+［Y］補(bǔ)操作，得到第一

次的部分余數(shù)［R0］補(bǔ)。

61

補(bǔ)碼除法及實(shí)現(xiàn)

補(bǔ)碼除法運(yùn)算的規(guī)則是：

③當(dāng)［Ri］補(bǔ)與［丫］補(bǔ)同號(hào)時(shí)，上商1,然后余數(shù)先左移

一位，珈［-丫］；、得到新余數(shù)［Ri+口補(bǔ)；當(dāng)［Ri］補(bǔ)與

［Y］補(bǔ)異號(hào)時(shí)，上商0,余數(shù)左移T立，力口［丫"卜得

到新余數(shù)［Ri+1］補(bǔ)。

④循環(huán)操作步驟③，共做n次，得到1位商符和（n-

1）位商的補(bǔ)碼數(shù)值位，最末位桌用恒置“1”法。

表4.4補(bǔ)碼除法的運(yùn)算操作表

上商

[X]與[Y]商符第一次操作[K]與[Y]下一步操作

真值補(bǔ)碼

減法同號(hào)（夠減）11余數(shù)左移一位，+［-Y］

同號(hào)0

[X]+[-￥]異號(hào)（不夠減）00余數(shù)左移一位，+［Y］

加法同號(hào)（不夠減）01余數(shù)左移一位，+［-Y］

異號(hào)1

[X]+[￥]異號(hào)（夠減）10余數(shù)左移一位，+［Y］

62

補(bǔ)碼除法及實(shí)現(xiàn)

第二種方法的運(yùn)算規(guī)則為：

①X和Y以補(bǔ)碼形式參加除法運(yùn)算，商也以補(bǔ)碼的形

式產(chǎn)生。余數(shù)和被除數(shù)、除數(shù)均采用雙符號(hào)位。

部分余數(shù)初始為［X］補(bǔ)，即［R。］補(bǔ)=［X］補(bǔ)。

②當(dāng)［Ri］補(bǔ)與［丫］補(bǔ)同號(hào)時(shí)，上商1,然后余數(shù)先左移

一位，加［-丫］補(bǔ)得到新余數(shù)［Ri+口補(bǔ)；當(dāng)［Ri］補(bǔ)與

［Y］補(bǔ)異號(hào)時(shí)，上商0,余數(shù)左移一位，加［-丫］補(bǔ)得

到新余數(shù)［Ri+1］補(bǔ)。

③循環(huán)操作步驟②，共做n次，得到1位商符和（n-1

位商的補(bǔ)碼數(shù)值位，最末位采用恒置“1”法。

63

補(bǔ)碼除法及實(shí)現(xiàn)

X=+0.1011,Y=-0.1101,用補(bǔ)碼不恢復(fù)余數(shù)算法計(jì)算

X4-Yo

兇補(bǔ)二00.1011[丫]補(bǔ)二.0011[-Y],,=00.1101

第一種方法