浙江省寧波市慈溪市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期6月期末測試數(shù)學(xué)試題

2023學(xué)年第二學(xué)期期末測試卷高二數(shù)學(xué)學(xué)科試卷第I卷（選擇題，共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用集合的補集概念即得.【詳解】依題，由可得，.故選：A2.已知），若為純虛數(shù)，則（）A.1 B.2 C.或 D.1或2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)純虛數(shù)的定義，即可列關(guān)系求解.【詳解】為純虛數(shù)，故且，解得.故選：B.3.已知函數(shù)與是互為反函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先得到的解析式，再代入計算可得.【詳解】因為函數(shù)與是互為反函數(shù)，所以，則，，，，即正確的只有D.故選：D4.已知一個袋子中有大小和質(zhì)地相同的8個球，其中有3個白球（標號為1~3），5個紅球（標號為），現(xiàn)從袋中不放回地依次隨機摸出2個球，則兩次摸到同種顏色球的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)分步以及分類計數(shù)原理，即可根據(jù)古典概型的概率公式求解.【詳解】不放回地依次隨機摸出2個球,共有種選擇，則兩次都摸到同色球共有種選擇，故兩次摸到同種顏色球的概率為，故選：A5.已知三個不同的平面，且，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】由垂直于同一平面的兩平面相交或平行以及充分必要條件的定義判斷即可．【詳解】解：若，，則或與相交，故不是充分條件，反之，若，，則，故是必要條件，故選：B．6.已知向量，的夾角為，，且向量在向量上的投影向量為，則實數(shù)（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用投影向量概念列出向量方程，由條件求出，代入計算即得.【詳解】向量在向量上的投影向量為，依題意，，即，因,代入解得，.故選：C.7.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有一個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】對進行討論，即可結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)以及零點存在性定理求解.【詳解】若時，，則，滿足題意，若，當，解得且，此時滿足題意，若時，，此時，此時方程在只有一根，滿足題意，若時，，此時，此時方程在只有一根，滿足題意，當，得時，此時，此時方差的根為，滿足題意，綜上可得或故選：C8.在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，的面積為，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角形面積公式，以及和差角公式可得，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)以及基本不等式可得，且,以及，即可代入求解.【詳解】由可得,故，由于,當且僅當,以及時，等號成立，結(jié)合，因此，且,以及，故,因此，故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若，為兩個隨機事件，且，，則（）A.當和互斥時，B.當和互斥時，C.當和相互獨立時，D.當和相互獨立時，【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)互斥事件以及相互獨立事件的概率公式以及性質(zhì)，即可結(jié)合選項逐一求解.【詳解】對于A,當和互斥時，,A正確，對于B,當和互斥時，,B正確，對于C,當和相互獨立時，,故C錯誤，對于D，當和相互獨立時，和也相互獨立，故，D正確，故選：ABD10.若關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】抓住一元二次方程、一元二次不等式和一元二次函數(shù)“三個二次”的關(guān)系分析，結(jié)合圖象即可一一判斷.【詳解】對于A，由題意，結(jié)合二次函數(shù)的圖象知，拋物線開口應(yīng)向下，則，故A錯誤；對于B，依題意，，且一元二次方程的兩根為和3，由韋達定理，，故，，即，故B正確；對于C，由上分析可得，故C正確；對于D，由上分析可得，故D正確.故選：BCD.11.已知復(fù)變函數(shù)是以復(fù)數(shù)作為自變量和因變量的函數(shù)，對任意一個復(fù)數(shù)，由可以得到，，，…，，….如果存在一個正實數(shù)，使得對任意都成立，那么稱為函數(shù)的收斂點.若是復(fù)變函數(shù)的收斂點，則復(fù)變函數(shù)可以是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】A選項，計算出，故不存在一個正實數(shù)，使得對都成立，A錯誤；BC選項，可找到，，，…，，…的周期，故滿足要求；D選項，計算發(fā)現(xiàn)的實部和虛部的絕對值均趨向于，故D錯誤.【詳解】A選項，，，……，，其中，不存在一個正實數(shù)，使得對都成立，A錯誤；B選項，，，，故此時，，，…，，…的周期為3，且，不妨取，滿足要求，B正確；C選項，，，故此時，，，…，，…的周期為2，且，不妨取，滿足要求，C正確；D選項，，，，，，……，依次計算，可以發(fā)現(xiàn)的實部和虛部的絕對值均趨向于，故不存在一個正實數(shù)，使得對都成立，D錯誤；故選：BC【點睛】方法點睛：新定義問題的方法和技巧：（1）可通過舉例子的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡單的應(yīng)用，從而加深對信息的理解；（2）可用自己的語言轉(zhuǎn)述新信息所表達的內(nèi)容，如果能清晰描述，那么說明對此信息理解的較為透徹；（3）發(fā)現(xiàn)新信息與所學(xué)知識的聯(lián)系，并從描述中體會信息的本質(zhì)特征與規(guī)律；（4）如果新信息是課本知識的推廣，則要關(guān)注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用書上的概念.第II卷（非選擇題，共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知冪函數(shù)的圖象過點，則______.【答案】【解析】【分析】先設(shè)冪函數(shù)的解析式，根據(jù)條件確定冪函數(shù)的解析式，再求值.【詳解】設(shè)，由得，所以.故答案為：13.已知，則__________.【答案】34【解析】【分析】利用平方法，結(jié)合完全平方公式進行求解即可.【詳解】由，故答案為：14.已知四棱錐的底面是矩形，平面平面，，，.若四棱錐內(nèi)存在內(nèi)切球（球與四棱錐的各個面均相切），則______，該內(nèi)切球的表面積為______.【答案】①.7②.【解析】【分析】根據(jù)內(nèi)切球在等邊三角形內(nèi)的“正投影”求得內(nèi)切球的半徑，進而求得內(nèi)切球的表面積，利用等體積法，即可求解.【詳解】由于平面平面，，，.為直角三角形，底面為矩形，所以四棱錐的內(nèi)切球在的“正投影”是的內(nèi)切圓，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，解得，所以內(nèi)切球的半徑為1，其表面積為．設(shè)，則平面平面，且交線為,平面,所以平面，同理平面，平面,故,故,由余弦定理可得，進而可得，由等體積法可得化簡可得，故（舍去），故答案為：7，四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知向量，是不共線的單位向量，且向量，.（1）若，求的值；（2）若，，求.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)共線定理，即可列方程求解，（2）根據(jù)垂直關(guān)系可得，即可由模長公式求解，代入模長公式即可求解【小問1詳解】因為，所以存在實數(shù)，使得，即，，所以；小問2詳解】因為，所以，即，所以即因為，所以.所以16.已知函數(shù)的最大值為2，其圖象相鄰的兩條對稱軸距離為，且圖象關(guān)于點對稱.（1）求函數(shù)解析式；（2）若，求函數(shù)的值域.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意分別求出,代入點求出，即得解析式；（2）設(shè)，由求出，結(jié)合余弦函數(shù)的圖象，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可求得函數(shù)值域.【小問1詳解】由題意得，，.因，則，，又因為，且，所以.故.【小問2詳解】設(shè)，因，則，而在上遞減，在上遞增，且，故，所以函數(shù)的值域為.17.為貫徹“陽光體育”計劃，促進學(xué)生身心素養(yǎng)的提高，某校倡導(dǎo)全校學(xué)生積極參與體育運動，并統(tǒng)計學(xué)生一周內(nèi)運動時長，發(fā)現(xiàn)時長均在區(qū)間之間（單位：小時）.（1）將全校男生一周內(nèi)運動時長分為，，，，五組，并繪制如圖所示的頻率分布直方圖（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）.求該校男生一周運動時長的平均數(shù)和中位數(shù)；（2）已知高二（1）班男生30人，女生20人，根據(jù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析，發(fā)現(xiàn)該班男生一周內(nèi)運動時長的平均數(shù)為9，方差為2；女生一周內(nèi)運動時長的平均數(shù)為6.5，方差為4.求該班級全體學(xué)生一周內(nèi)運動時長的方差.【答案】（1）平均數(shù)為7.3；中位數(shù)為.（2）4.3【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)的計算公式以及中位數(shù)的計算公式即可求解，（2）根據(jù)方差的計算公式即可求解.【小問1詳解】，即男生一周運動時長的平均數(shù)為7.3小時；中位數(shù)為第50百分位數(shù)，運動時長為的概率為，運動時長為的頻率為，所以中位數(shù)落在區(qū)間內(nèi)，由，得到，即中位數(shù)為.【小問2詳解】該班級全體學(xué)生一周內(nèi)運動時長的平均數(shù)，所以該班級全體學(xué)生一周內(nèi)運動時長的方差18.如圖，平行四邊形中，，，為中點，現(xiàn)將沿折起至，連接，，且.（1）求證：平面平面；（2）已知.（i）若，求證：平面；（ii）若直線與平面所成角的正弦值為，求的值.【答案】（1）證明見解析；（2）（i）證明見解析；（ii）.【解析】【分析】（1）利用余弦定理求解長度，即可由勾股定理求解垂直，根據(jù)線線垂直求證線面垂直，進而可得面面垂直，（2）（i）根據(jù)中位線以及平行四邊形可得線線平行，即可求證線面平行，進而由面面平行的判定即可求證，（ii）由線面角的定義可得就是直線與平面所成的角，即可三角形相似以及余弦定理求解.【小問1詳解】由題可知為正三角形，取中點，連接，則，且，在中，，，，，所以，所以在中，，所以，因為，平面平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面.【小問2詳解】①取中點，連接，，在中，因為，分別為，的中點，所以，因為平面，平面，所以平面，而，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面，又因，平面,所以平面平面，因為平面，所以平面.②過作交于點，過作交于，設(shè)與交于點，連接，，，同①，易證平面平面，又因為平面平面，平面平面，所以，由（1）可知平面，所以平面，所以就是直線與平面所成的角，所以，因為，所以，在中，，所以，在中，，所以，所以，所以，解得或，因為，故.19.已知函數(shù).（1）若函數(shù)是奇函數(shù)，求的值；（2）若，記函數(shù)在上的最小值為.（i）求；（ii）設(shè)函數(shù)滿足：對任意，均存在，使得，求的取值范圍.【答案】（1）（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義可直接求參數(shù)的值.（2）（i）分情況去掉絕對值符號，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最小值，可得的解析式；（ii）問題轉(zhuǎn)化為的值域是值域的子集，根據(jù)集合之間的