專題91圖形的旋轉(zhuǎn)（知識梳理與考點分類講解）-2023-2024學年八年級數(shù)學下冊基礎(chǔ)知識專項突破講與練（蘇科版）

專題9.1圖形的旋轉(zhuǎn)（全章知識梳理與考點分類講解）【知識點一】旋轉(zhuǎn)及相關(guān)概念定義在平面內(nèi)，將一個圖形繞一個定點按某個方向轉(zhuǎn)動一個角度，這樣的圖形運動稱為旋轉(zhuǎn)，這個定點稱為旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角稱為旋轉(zhuǎn)角.旋轉(zhuǎn)的“三要素”旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角對應元素旋轉(zhuǎn)的盜的圖性能與原圖形重合，我們把能夠重合的點叫對應點，能夠重合的線段叫做對應線段，能夠重合的角叫對應角.特別提醒始終保持不動的點是旋轉(zhuǎn)中心；旋轉(zhuǎn)方向有順時針和逆時針兩種；旋轉(zhuǎn)前后對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角就是旋轉(zhuǎn)角.【知識點二】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)一個圖形和它所經(jīng)過旋轉(zhuǎn)所得的圖形中：對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；任意一組對應點與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都等于旋轉(zhuǎn)角；對應線段向等，對應角相等.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的作用可以用來判斷線段或角是否相等.可以用來計算圖形的面積、線段的長短或角的大小.可以用來確定旋轉(zhuǎn)中心.特別提醒因為對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，所以旋轉(zhuǎn)中心在對應點所連線段的垂直平分線上，因此，旋轉(zhuǎn)中心是兩對對應點所連接線段的垂直平分線的交點.【知識點三】旋轉(zhuǎn)作圖作圖依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，每組對應點都旋轉(zhuǎn)相同的角度.旋轉(zhuǎn)作圖的一般步驟確定旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角.找出圖形的關(guān)鍵點，一般是圖形中的旋轉(zhuǎn)點.做旋轉(zhuǎn)后的對應點，方法如下：①連連接圖形的每個關(guān)鍵點與旋轉(zhuǎn)中心；②轉(zhuǎn)把連接線旋轉(zhuǎn)中心按旋轉(zhuǎn)方向旋轉(zhuǎn)相同的角度（作旋轉(zhuǎn)角）；③截在做得的角的另一邊截取與關(guān)鍵點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等的線段，得到各個關(guān)鍵點的對應點.按原圖形的順序連接這些對應點，所得到的圖形就是旋轉(zhuǎn)后的圖形寫出結(jié)論，說明作出圖形即為所求作的圖形.特別提醒確定旋轉(zhuǎn)中心的方法：要看旋轉(zhuǎn)中心是在圖形上還是不在圖形上若在圖形上，哪一點在旋轉(zhuǎn)的過程中位置沒有改變，這一點就是旋轉(zhuǎn)中心；若不在圖形上，任意兩對對應點所連接的垂直平分線的交點就是旋轉(zhuǎn)中心.【考點目錄】【考點1】旋轉(zhuǎn)三要素和對應元素?求值與證明【考點2】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)?求角度、線段的大小與判定【考點3】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)?求周長、面積與證明【考點4】旋轉(zhuǎn)作圖?求值與證明【考點5】旋轉(zhuǎn)與軸對稱圖形?圖形識別、求值與證明【考點6】坐標系中的旋轉(zhuǎn)問題?求值與證明【考點7】旋轉(zhuǎn)中的規(guī)律問題?求值與證明【考點8】旋轉(zhuǎn)的幾何變換問題?求值與證明【考點1】旋轉(zhuǎn)三要素和對應元素?求值與證明【例1】（2023上·遼寧大連·九年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形是正方形，E是上的一點，是的旋轉(zhuǎn)圖形．

（1）由順時針旋轉(zhuǎn)到，旋轉(zhuǎn)中心是________，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是________；（2）連接，判斷并說明的形狀．【答案】（1）點；；（2）是等腰直角三角形，理由見分析【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定，正方形的性質(zhì)，熟練利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得出旋轉(zhuǎn)中心，利用旋轉(zhuǎn)位置得出旋轉(zhuǎn)角即可；（2）利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得到，得到，，根據(jù)正方形性質(zhì)求出，即可判定出是等腰直角三角形．（1）解：由圖可知，順時針旋轉(zhuǎn)到，旋轉(zhuǎn)中心是點，旋轉(zhuǎn)角是，故答案為：點；；（2）如圖：連接，

是等腰直角三角形，理由如下：旋轉(zhuǎn)得到，，，，四邊形是正方形，，，，即，是等腰直角三角形．【變式1】（2023下·貴州貴陽·八年級?？计谥校┤鐖D，與都是等腰直角三角形，，點E在上，如果繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后能與重合，則旋轉(zhuǎn)角度是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)等腰直角三角形的定義可得，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的定義即可得．解：與都是等腰直角三角形，，，繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后能與重合，和都是旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)角度是，故選：C．【點撥】本題考查了等腰直角三角形、旋轉(zhuǎn)角，找準旋轉(zhuǎn)角是解題關(guān)鍵．【變式2】（2023上·山東濟寧·九年級?？计谥校┤鐖D，每個小正方形的邊長都是，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，則點的坐標是.

【答案】【分析】本題考查了坐標與圖形變化：旋轉(zhuǎn)，根據(jù)對應點連線的垂直平分線的交點，即可求解．解：將以某點為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)得到，點的對應點為點，點的對應點為點，作線段和的垂直平分線，它們的交點為（，），旋轉(zhuǎn)中心的坐標為，故答案為.【考點2】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)?求角度、線段的大小與判定【例2】（2021上·江蘇蘇州·八年級蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學校?？计谥校┮阎獮榈妊苯侨切危?，（1）如圖1，若以為邊在點C同側(cè)作等邊三角形，判斷所在直線與線段的關(guān)系，并說明理由．（2）如圖2，將繞若點B旋轉(zhuǎn)60°得，若，求的長．【答案】（1），理由見分析；（2）【分析】（1）延長DC交AB于點E，根據(jù)SSS證明，由全等三角形的性質(zhì)得，由等邊三角形“三線合一”即可證明；（2）延長交于點M，連接，由勾股定理求出，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，，故可得是等邊三角形，故，根據(jù)SSS證明，由全等三角形的性質(zhì)得，根據(jù)等邊三角形“三線合一”得，，由勾股定理求出，，由即可得出答案．解：（1），理由如下：如圖，延長DC交AB于點E，∵是等邊三角形，∴，在與中，，∴，∴，∴；（2）延長交于點M，連接，在中，，∵繞若點B旋轉(zhuǎn)得，∴，，，，∴是等邊三角形，∴，在與中，，∴，∴，∴，，∴，，∴．【點撥】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理，掌握相關(guān)知識點的應用是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2021·全國·八年級專題練習）如圖，為等邊三角形，以為邊向外作，使，再以點C為旋轉(zhuǎn)中心把旋轉(zhuǎn)到，則給出下列結(jié)論：①D，A，E三點共線；②平分；③；④．其中正確的有（

）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】①設(shè)∠1=x度，把∠2=（60x）度，∠DBC=∠4=（x+60）度，∠3=60°加起來等于180度，即可證明D、A、E三點共線；②根據(jù)△BCD繞著點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△ACE，判斷出△CDE為等邊三角形，求出∠BDC=∠E=60°，∠CDA=120°60°=60°，可知DC平分∠BDA；③由②可知，∠BAC=60°，∠E=60°，從而得到∠E=∠BAC．④由旋轉(zhuǎn)可知AE=BD，又∠DAE=180°，DE=AE+AD．而△CDE為等邊三角形，DC=DE=DB+BA．解：如圖，①設(shè)∠1=x度，則∠2=（60x）度，∠DBC=（x+60）度，故∠4=（x+60）度，∴∠2+∠3+∠4=60x+60+x+60=180度，∴D、A、E三點共線；故①正確；②∵△BCD繞著點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△ACE，∴CD=CE，∠DCE=60°，∴△CDE為等邊三角形，∴∠E=60°，∴∠BDC=∠E=60°，∴∠CDA=120°60°=60°，∴DC平分∠BDA；故②正確；③∵∠BAC=60°，∠E=60°，∴∠E=∠BAC．故③正確；④由旋轉(zhuǎn)可知AE=BD，又∵∠DAE=180°，∴DE=AE+AD．∵△CDE為等邊三角形，∴DC=DB+DA．故④正確；故選：D．【點撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等相關(guān)知識，要注意旋轉(zhuǎn)不變性，找到變化過程中的不變量．【變式2】（2023·上海·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，將繞著點A旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的點B落在上，點B的對應點為D，連接是的角平分線，則．

【答案】【分析】如圖，，，根據(jù)角平分線的定義可得，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得，即得，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求解即可．解：如圖，根據(jù)題意可得：，，∵是的角平分線，∴，∵，，∴，則在中，∵，∴，解得：；故答案為：

【點撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和等知識，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【考點3】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)?求周長、面積與證明【例3】（2021上·湖北省直轄縣級單位·九年級?？茧A段練習）如圖1，D為等邊△ABC內(nèi)一點，將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到AE，連接CE，BD的延長線與AC交于點G，與CE交于點F．（1）求證：BD＝CE；（2）如圖2，連接FA，小穎對該圖形進行探究，得出結(jié)論：∠BFC＝∠AFB＝∠AFE．小穎的結(jié)論是否正確？若正確，請給出證明；若不正確，請說明理由．【答案】（1）見分析；（3）正確，見分析【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AD＝AE，∠DAE＝60°，結(jié)合已知條件可得∠BAC＝∠DAE，進而證明△ABD≌△ACE，即可證明BD＝CE；（2）過A作BD，CF的垂線段分別交于點M，N，△ABD≌△ACE，BD＝CE，由面積相等可得AM＝AN，證明Rt△AFM≌Rt△AFN，進而證明∠BFC＝∠AFB＝∠AFE＝60°解：證明：（1）如圖1，∵線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到AE，∴AD＝AE，∠DAE＝60°，∵∠BAC＝60°，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，（2）由（1）可知△ABD≌△ACE則∠ABD＝∠ACE，又∵∠AGB＝∠CGF，∴∠BFC＝∠BAC＝60°，∴∠BFE＝120°，過A作BD，CF的垂線段分別交于點M，N，又∵△ABD≌△ACE，BD＝CE，∴由面積相等可得AM＝AN，在Rt△AFM和Rt△AFN中，，∴Rt△AFM≌Rt△AFN（HL），∴∠AFM＝∠AFN，∴∠BFC＝∠AFB＝∠AFE＝60°．【點撥】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確的添加輔助線找到全等三角形并證明是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2022上·河南南陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝1，將△ABC繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△，此時點恰好在AB邊上，連接B，則△的周長為（）A． B．1+ C．2+ D．3+【答案】D【分析】先根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理得到，．再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，則可判斷△CA為等邊三角形，所以∠AC=60°，，從而可求出．判斷△CB為等邊三角形，從而得到B的長，進而可求出△的周長．解：∵∠ACB=90°，∠A=60°，AC=1，∴，．∵△ABC繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△，此時點恰好在AB邊上，∴，，，．∵∠A=60°，∴△CA為等邊三角形，∴∠AC=60°，，∴∠BC=60°，，∴△CB為等邊三角形，∴B=BC=，∴．故選D．【點撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理．熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022下·山東青島·八年級統(tǒng)考期中）如圖，點O為等邊△ABC內(nèi)一點，，，將△AOC繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)，使AC與AB重合，點O旋轉(zhuǎn)至點處，連接，則的面積是．【答案】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出，，，得出為等邊三角形，得出，根據(jù)，得出為直角三角形，即可求出其面積．解：∵將△AOC繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到，∴，，，∴為等邊三角形，，，∴為直角三角形，．故答案為：24．【點撥】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理逆定理，得出為直角三角形是解題的關(guān)鍵．【考點4】旋轉(zhuǎn)作圖?求值與證明【例4】（2022上·北京海淀·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，將線段CA繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段CD，連接AD，BD．（1）依題意補全圖形；（2）若BC=1，求線段BD的長．【答案】（1）見分析；（2）【分析】（1）根據(jù)線段旋轉(zhuǎn)的方法，得出，然后連接AD，BD即可得；（2）根據(jù)角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可得，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得是等邊三角形，再利用勾股定理求解即可．解：（1）根據(jù)線段旋轉(zhuǎn)方法，，如圖所示即為所求；

（2）∵，，，∴，∴，∵線段CA繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CD，∴且，∴是等邊三角形，∴，，∴，∴在中，．【點撥】題目主要考查旋轉(zhuǎn)圖形的作法及性質(zhì)，勾股定理，角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等，理解題意，作出圖形，綜合運用各個定理性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式1】（2023下·山東青島·八年級即墨市第二十八中學?？计谥校┤鐖D，的三個頂點都在方格紙的格點上，其中點的坐標是．現(xiàn)將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，則旋轉(zhuǎn)后點的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】在網(wǎng)格中繪制出旋轉(zhuǎn)后的圖形，得到點C旋轉(zhuǎn)后對應點的坐標即可．解：如圖所示，繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，∴旋轉(zhuǎn)后點的坐標是，故選B．【點撥】本題主要考查了坐標與圖形變化——旋轉(zhuǎn)，正確畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形是解題的關(guān)鍵，需要注意題干中要求順時針旋轉(zhuǎn)還是逆時針旋轉(zhuǎn)．【變式2】（2023上·天津紅橋·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點A，B，O均在格點上，C是小正方形邊的中點．

（Ⅰ）的面積等于；（Ⅱ）請用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)后的圖形，并簡要說明點的位置是如何找到的（不要求證明）．【答案】3連接交于一點，該點即為點【分析】（Ⅰ）利用三角形面積公式求出結(jié)果即可；（Ⅱ）連接交于一點，即可得出點．解：（Ⅰ）的面積為；故答案為：3．（Ⅱ）連接交于一點，該點即為點；連接，，如圖所示：

根據(jù)方格特點可知，點為為中點，∵C是小正方形邊的中點，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴點是點繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)的對應點．故答案為：連接交于一點，該點即為點．【點撥】本題主要考查了利用網(wǎng)格求三角形的面積，旋轉(zhuǎn)變換，三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合熟練掌握旋轉(zhuǎn)的特點．【考點5】旋轉(zhuǎn)與軸對稱圖形?圖形識別、求值與證明【例5】（2023下·江蘇·八年級專題練習）如圖，在四邊形中，，，垂足為點C，E是的中點，連接并延長交的延長線于點F．（1）圖中可以由△______繞著點______旋轉(zhuǎn)______度后得到；（2）寫出圖中的一對全等三角形______；（3）若，，．求的面積．【答案】（1），E，；（2）；（3）25【分析】（1）通過證明即可得到可以由繞點E旋轉(zhuǎn)后得到；（2）根據(jù)（1）可直接得到答案；（3）利用可得到答案．（1）解：∵，∴，，∵E是的中點，∴，在和中，,∴（AAS），∴可以由繞點E旋轉(zhuǎn)后得到，故答案為：，E，；（2）解：由（1）可知故答案為：；（3）解：∵，，∴．【點撥】本題考查了全等三角形的判定、梯形的面積公式運用以及中心對稱的知識，解題的關(guān)鍵證得．【變式1】（2023下·四川內(nèi)江·七年級統(tǒng)考階段練習）觀察下列圖標，其中既是軸對稱圖形又是旋轉(zhuǎn)對稱圖形的是（

）A．B．

C． D．【答案】C【分析】根據(jù)軸對稱圖形和旋轉(zhuǎn)對稱圖形的定義逐項判斷即得答案．解：A、不是軸對稱圖形，是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，故本選項不符合題意；B、不是軸對稱圖形，也不是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，故本選項不符合題意；C、既是軸對稱圖形又是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，故本選項符合題意；D、既不是軸對稱圖形又不是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，故本選項不符合題意；故選：C【點撥】本題考查軸對稱圖形及旋轉(zhuǎn)對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后能完全重合；旋轉(zhuǎn)對稱圖形的關(guān)鍵是尋找旋轉(zhuǎn)中心，圖形繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)一定角度后，能夠和原來的圖形重合．【變式2】（2020上·上海嘉定·七年級統(tǒng)考期末）在正方形、長方形、線段、等邊三角形和平行四邊形這五種圖形中，是旋轉(zhuǎn)對稱圖形不是中心對稱圖形的是.【答案】等邊三角形【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義以及旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)分別判斷得出即可．解：正方形、長方形、線段、等邊三角形和平行四邊形這五種圖形中、線段和平行四邊形和正方形和長方形都是中心對稱圖形，只有等邊三角形是旋轉(zhuǎn)對稱圖形但不是中心對稱圖形；故答案為：等邊三角形．【點撥】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)，注意中心對稱圖形也屬于旋轉(zhuǎn)圖形，但要按要求答題【考點6】坐標系中的旋轉(zhuǎn)問題?求值與證明【例6】（2022上·天津紅橋·九年級?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵校c，點，把繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)，得，其中，點，分別為點A，旋轉(zhuǎn)后的對應點，記旋轉(zhuǎn)角為．（1）如圖，當時，求點的坐標；（2）當軸時，求點D的坐標（直接寫出結(jié)果即可）．【答案】（1）；（2）點的坐標為或【分析】（1）如圖，過點作于．解直角三角形求出，即可．（2）分兩種情形：在軸上方時，設(shè)交軸于，過點作軸于．求出，即可．當在軸下方時，同法可得．（1）解：如圖，過點作于．，，，，．（2）解：如圖，在軸上方時，設(shè)交軸于，過點作軸于．軸，，，，，∵，，，，當在軸下方時，同法可得．綜上所述，滿足條件的點的坐標為或．【點撥】本題屬于坐標與圖形變化旋轉(zhuǎn)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．【變式1】（2022上·九年級單元測試）如圖，在中，，，，將繞O點旋轉(zhuǎn)后得到，則點的坐標是（

）A．B．或C． D．或【答案】B【分析】根據(jù)題意將繞O點旋轉(zhuǎn)后得到，應分順時針和逆時針進行分類討論，根據(jù)旋轉(zhuǎn)知識求得的坐標．解：∵在中，，，，∴當繞點順時針旋轉(zhuǎn)后得到，如圖，∴，∴；當繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后得到，如圖，∴，∴，故選：B．【點撥】此題考查了坐標與圖形變化—旋轉(zhuǎn)，解題時，注意分類討論，以防錯解．【變式2】（2022上·江蘇南京·八年級統(tǒng)考期末）如圖，正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）的圖像經(jīng)過點A（2，4），AB⊥x軸于點B，將△ABO繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADC，則直線AC的函數(shù)表達式為．【答案】y=0.5x+5【分析】直接把點A（2，4）代入正比例函數(shù)y=kx，求出k的值即可；由A（2，4），AB⊥x軸于點B，可得出OB，AB的長，再由△ABO繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADC，由旋轉(zhuǎn)不變性的性質(zhì)可知DC=OB，AD=AB，故可得出C點坐標，再把C點和A點坐標代入y=ax+b，解出解析式即可．解：∵正比例函數(shù)y=kx（k≠0）經(jīng)過點A（2，4）∴4=2k，解得：k=2，∴y=2x；∵A（2，4），AB⊥x軸于點B，∴OB=2，AB=4，∵△ABO繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADC，∴DC=OB=2，AD=AB=4∴C（6，2）設(shè)直線AC的解析式為y=ax+b，把（2，4）（6，2）代入解析式可得：，解得：，所以解析式為：y=0.5x+5【點撥】本題考查的是一次函數(shù)圖象上點的坐標特點及圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟知一次函數(shù)圖象上各點的坐標一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．【考點7】旋轉(zhuǎn)中的規(guī)律問題?求值與證明【例7】（2020上·廣西百色·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標為A（﹣1，1）、B（0，﹣2）、C（1,0），點P（0，2）繞點A旋轉(zhuǎn)180°得到點P1，點P1繞點B旋轉(zhuǎn)180°得到點P2，點P2繞點C旋轉(zhuǎn)180°得到點P3，（1）在圖中畫出點P1、P2、P3；（2）繼續(xù)將點P3繞點A旋轉(zhuǎn)180°得到點P4，點P4繞點B旋轉(zhuǎn)180°得到點P5，…，按此作法進行下去，則點P2020的坐標為．【答案】（1）見分析；（2）（﹣2，﹣2）【分析】（1）利用網(wǎng)格特點和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出點P1、P2、P3即可；（2）畫出P1～P6，尋找規(guī)律后即可解決問題．解：（1）點P1、P2、P3如圖所示，（2）（﹣2，﹣2）解析：如圖所示：P1（﹣2，0），P2（2，﹣4），P3（0，4），P4（﹣2，﹣2）P5（2，﹣2），P6（0，2）∵6次一個循環(huán)∴2020÷6=336...4∴P2020（﹣2，﹣2）【點撥】本題考查坐標與圖形的性質(zhì)、點的坐標等知識，解題的關(guān)鍵是循環(huán)探究問題的方法，屬于中考?？碱}型．【變式1】（2023上·全國·九年級專題練習）如圖在平面直角坐標系中，有一個等腰直角三角形，，直角邊在x軸上，且．將繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)得到等腰直角三角形，且，再將繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)得到等腰三角形，且…，依此規(guī)律，得到等腰直角三角形，則點的坐標（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)特點，找到坐標的變化規(guī)律，再求解．解：由題意得：，，，，……，，的坐標為，故選：A．【點撥】本題考查了點的坐標，找到坐標的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022上·黑龍江佳木斯·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，，，，把沿x軸正方向做無滑動翻轉(zhuǎn)依次得到，，，…，則的直角頂點的坐標為．【答案】【分析】由圖可知，每旋轉(zhuǎn)三次為一個周期，依此循環(huán)，每個周期前進的長度為，據(jù)此規(guī)律即可求出的直角頂點的坐標．解：∵，，∴，由圖可知，每旋轉(zhuǎn)三次為一個周期，依此循環(huán)，每個周期前進的長度為，∵，的直角頂點是第674個循環(huán)周期里的最后一個三角形的直角頂點，∵，∴的直角頂點的坐標為，故答案為：【點撥】本題主要考查旋轉(zhuǎn)變換，規(guī)律性點的坐標知識，解題的關(guān)鍵是學會探究規(guī)律的方法，屬于中考?？碱}型．【考點8】旋轉(zhuǎn)的幾何變換問題?求值與證明【例8】（2016上·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期末）（1）如圖1，O是等邊△ABC內(nèi)一點，連接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，將△BAO繞點B順時針旋轉(zhuǎn)后得到△BCD，連接OD．求：①旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；②線段OD的長；③求∠BDC的度數(shù)．（2）如圖2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）內(nèi)一點，連接OA、OB、OC，將△BAO繞點B順時針旋轉(zhuǎn)后得到△BCD，連接OD．當OA、OB、OC滿足什么條件時，∠ODC＝90°？請給出證明．【答案】（1）①60°；②4；③150°；（2）當OA、OB、OC滿足OA2+2OB2＝OC2時，∠ODC＝90°，見分析【分析】（1）①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得BA＝BC，∠ABC＝60°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠OBD＝∠ABC＝60°，于是可確定旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為60°；②由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BO＝BD，加上∠OBD＝60°，則可判斷△OBD為等邊三角形，所以O(shè)D＝OB＝4；③由△BOD為等邊三角形得到∠BDO＝60°，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CD＝AO＝3，然后根據(jù)勾股定理的逆定理可證明△OCD為直角三角形，∠ODC＝90°，所以∠BDC＝∠BDO＋∠ODC＝150°；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠OBD＝∠ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO，則可判斷△OBD為等腰直角三角形，則OD＝OB，然后根據(jù)勾股定理的逆定理，當時，△OCD為直角三角形，∠ODC＝90°．解：（1）①∵△ABC為等邊三角形，∴BA＝BC，∠ABC＝60°，∵△BAO繞點B順時針旋轉(zhuǎn)后得到△BCD，∴∠OBD＝∠ABC＝60°，∴旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為60°；②∵△BAO繞點B順時針旋轉(zhuǎn)后得到△BCD，∴BO＝BD，而∠OBD＝60°，∴△OBD為等邊三角形；∴OD＝OB＝4；③∵△BOD為等邊三角形，∴∠BDO＝60°，∵△BAO繞點B順時針旋轉(zhuǎn)后得到△BCD，∴CD＝AO＝3，在△OCD中，CD＝3，OD＝4，OC＝5，∵32+42＝52，∴CD2+OD2＝OC2，∴△OCD為直角三角形，∠ODC＝90°，∴∠BDC＝∠BDO+∠ODC＝60°+90°＝150°；（2）OA2+2OB2＝