31拉格朗日中值定理_第1頁
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3.1拉格朗日中值定理一、定理二、例題三、推論定理3-1（拉格朗日（Lagrange）中值定理）如果函數(shù)滿足下列條件：（1）在閉區(qū)間上連續(xù),（2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得:OxyABbaC由定理的條件可知,如圖所示，連接端點(diǎn)A和B作弦AB,則

幾何直觀曲線在上是一條連續(xù)的曲線弧曲線弧

內(nèi)部每一點(diǎn)處都有不垂直于x軸的切線.ξ令01)0()1()('--=ffxf,即得

0,110122=+-xx驗(yàn)證拉格朗日中值定理對(duì)函數(shù)1例

254)(23-+-=xxxxf

在區(qū)間[01]，上的正確性．

故它在閉區(qū)間[01]，

足拉格朗日中值定理的條件．

解254)(23-+-=xxxxf是初等函數(shù)，[0，1]所以函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，上連續(xù)，在開區(qū)間(0,1)上滿即存在使得

因此，拉格朗日中值定理對(duì)函數(shù)在區(qū)間[0，1]上成立．

注：只需要有一個(gè)根滿足就行，這是一個(gè)存在性定理。例2證明：對(duì)任意不等式成立．解

設(shè)．顯然它在拉格朗日中值定理的條件，所以有即

，因?yàn)?/p>

，故

所以

上滿足證

設(shè)為區(qū)間上任意兩點(diǎn)（不妨設(shè)），顯然在上滿足拉格朗日中值定理的條件，，即，則由于上為一常數(shù)．在區(qū)間)(xfI故也就是說，函數(shù)在區(qū)間

上任意兩點(diǎn)的函數(shù)值相等，I推論1若函數(shù)上滿足在區(qū)間，則在區(qū)間)(xf上必為一常數(shù)．I所以內(nèi)相等

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