北師版八年級數(shù)學(xué)上冊 第一章 勾股定理 知識歸納與題型突破（十一類題型清單）

第一章勾股定理知識歸納與題型突破（十一類題型清單）01思維導(dǎo)圖01思維導(dǎo)圖0202知識速記一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.（即：）二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形.要點：應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個三角形是不是直角三角形的基本步驟：（1）首先確定最大邊，不妨設(shè)最大邊長為；（2）驗證：與是否具有相等關(guān)系：

若，則△ABC是以∠C為90°的直角三角形；

若時，△ABC是銳角三角形；

若時，△ABC是鈍角三角形．2.勾股數(shù)滿足不定方程的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù)），顯然，以為三邊長的三角形一定是直角三角形.要點：常見的勾股數(shù)：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果()是勾股數(shù)，當(dāng)t為正整數(shù)時，以為三角形的三邊長，此三角形必為直角三角形.觀察上面的①、②、④、⑤四組勾股數(shù)，它們具有以下特征：1.較小的直角邊為連續(xù)奇數(shù)；2.較長的直角邊與對應(yīng)斜邊相差1.3.假設(shè)三個數(shù)分別為，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）三、勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，兩者互為逆定理，都與直角三角形有關(guān).四、勾股定理的應(yīng)用勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用是：（1）已知直角三角形的兩邊，求第三邊；（2）利用勾股定理可以證明有關(guān)線段平方關(guān)系的問題；（3）解決與勾股定理有關(guān)的面積計算；（4）勾股定理在實際生活中的應(yīng)用．0303題型歸納題型一用勾股定理解三角形例題1．若一個直角三角形的兩條直角邊長分別是6和8，則斜邊長是（

）A．6 B．7 C．8 D．10鞏固訓(xùn)練2．在直角中，∠B=90°，，，則的長為（

）A．5 B． C．5或 D．5或3．如圖，在中，，，則的值為（

）

A．8 B．2 C．4 D．4．如圖所示，已知中，，，于，為上任一點，則等于．題型二勾股定理逆定理勾股數(shù)例題5．下列給出的四組數(shù)中，能構(gòu)成直角三角形三邊的一組是（）A．5，12，14 B．6，8，9 C．7，24，25 D．8，13，15鞏固訓(xùn)練6．由下列條件不能判定為直角三角形的是（）A． B．，，C． D．7．在下列四組數(shù)中，屬于勾股數(shù)的是（）A．0.3，0.4，0.5 B．3，4，5C．2，8，10 D．1，，8．下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（

）．A．1，2，3 B． C． D．9，12，15題型三勾股定理及其逆定理解三角形解答題例題9．（1）如圖，在中，，求證：；（）在中，，，邊上的高，求邊的值．鞏固訓(xùn)練10．如圖，已知等腰的底邊，是腰上一點，連接，且．

(1)求證：是直角三角形；(2)求的長．11．如圖，已知在中，于點D，，，，(1)求、的長；(2)求證：是直角三角形．12．已知在中，，，，，過點作于點．(1)求的長；(2)求的長．題型四勾股定理逆定理拓展性質(zhì)例題13．下列由三條線段a、b、c構(gòu)成的三角形：①，，，②，，，③，，，④，其中能構(gòu)成直角三角形的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個鞏固訓(xùn)練14．以下四組代數(shù)式作為的三邊：①（n為正整數(shù)）；②（n為正整數(shù)）；③（，n為正整數(shù)）；④（，m，n為正整數(shù)）．其中能使為直角三角形的有（）A．0組 B．1組 C．2組 D．3組15．下列命題①如果為一組勾股數(shù)，那么仍是勾股數(shù)；②如果直角三角形的兩邊是3，4，那么斜邊必是5；③如果一個三角形的三邊是12、25、7，那么此三角形必是直角三角形；④一個等腰直角三角形的三邊，（），那么，其中正確的是（

）A．①② B．①③ C．①④ D．②④題型五勾股定理與數(shù)軸上的實數(shù)例題16．如圖，在數(shù)軸上點A表示的實數(shù)是（

）

A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練17．如圖，，

(1)寫出數(shù)軸上點A表示的數(shù)；(2)比較點A表示的數(shù)與的大?。?3)在數(shù)軸上作出所對應(yīng)的點．18．如圖，在數(shù)軸上以1個單位長度畫一個正方形，以原點為圓心，以正方形的對角線長為半徑畫弧，與正半軸的交點為B，且點B表示的是一個無理數(shù)，因此我們得出一個結(jié)論．(1)點B表示的數(shù)為_________；得出的結(jié)論是：_________與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的．(2)若將圖中數(shù)軸上標(biāo)的A，C，D各點與所給的三個實數(shù)，3和對應(yīng)起來，則點A表示的實數(shù)為_________，點C表示的實數(shù)為_________，點D表示的實數(shù)為_________．題型六網(wǎng)格問題例題19．如圖，的頂點、、在邊長為的正方形網(wǎng)格的格點上，于點，則的長為（

）

A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練20．如圖，在以下四個正方形網(wǎng)格中，各有一個三角形，不是直角三角形的是（）A．B． C． D．21．如圖所示，在的正方形網(wǎng)格中，的頂點都在格點上，下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B． C． D．題型七以直角三角形三邊為邊長的面積問題例題22．如圖，圖中的三角形為直角三角形，已知正方形A和正方形B的面積分別為和，則正方形C的面積為．

鞏固訓(xùn)練23．如圖，、、分別是以的三邊為直徑所畫半圓的面積，其中，，則．

24．如圖，五個正方形放在直線MN上，正方形A、C、E的面積依次為3、5、4，則正方形B、D的面積之和為（

）

A．11 B．14 C．17 D．2025．如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的邊長分別是3、4、1、3，則最大的正方形E的面積是（

）

A．11 B．47 C．26 D．3526．如圖所示為一種“羊頭”形圖案，其作法是：從正方形①開始，以它的一邊為斜邊，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角邊為邊，分別向外正方形②和，…，依次類推，若正方形①的面積為64，則正方形⑤的面積為（

）

A．2 B．4 C．8 D．16題型八求線段的平方和或差例題27．已知a，b，c是中，，的對邊，下列說法正確的有（

）個①若，則+；②若，則；③若，則+；④總有+．A．1 B．2 C．3 D．4鞏固訓(xùn)練28．在中，斜邊，則的值為（

）A． B． C． D．無法計算29．如圖，中，，點A向上平移后到，得到．下面說法錯誤的是（

）的內(nèi)角和仍為B．C． D．30．如圖，在中，，于H，M為AH上異于A的一點，比較與的大小，則（

）．A．大于 B．等于 C．小于 D．大小關(guān)系不確定題型九勾股定理的證明方法例題31．我國是最早了解勾股定理的國家之一，下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（

）A．

B．

C．

D．

鞏固訓(xùn)練32．我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國古代的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中．漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”．現(xiàn)在勾股定理的證明已經(jīng)有400多種方法，下面的兩個圖形就是驗證勾股定理的兩種方法，在驗證著名的勾股定理過程，這種根據(jù)圖形直觀推論或驗證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡稱為“無字證明”．在驗證過程中它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（

）A．函數(shù)思想 B．?dāng)?shù)形結(jié)合思想C．分類思想 D．方程思想33．勾股定理又稱畢達(dá)哥拉斯定理、商高定理、新娘座椅定理、百牛定理等，是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，大約有五百多種證明方法，我國古代數(shù)學(xué)家趙爽和劉徽也分別利用《趙爽弦圖》和《青朱出入圖》證明了勾股定理，以下四個圖形，哪一個是趙爽弦圖（

）A． B． C．D．34．如圖，在四邊形中，，，點是邊上一點，，，．下列結(jié)論：①；②；③四邊形的面積是；④；⑤．其中正確的結(jié)論個數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5題型十勾股定理的應(yīng)用例題35．如圖，一木桿在離地某處斷裂，木桿頂部落在離木桿底部8米處，斷落的木桿與地面形成角，則木桿原來的長度是（）A．8米 B．米 C．16米 D．24米鞏固訓(xùn)練36．如圖，，一架云梯長為25米，頂端A靠在墻上，此時云梯底端B與墻角C距離為7米，云梯滑動后停在的位置上，測得長為4米，則云梯底端B在水平方向滑動的距離為（

）A．4米 B．6米 C．8米 D．10米37．如圖所示是一個圓柱形飲料罐底面半徑是5，高是12，上底面中心有一個小圓孔，則一條到達(dá)底部的直吸管在罐內(nèi)部分a的長度（罐壁厚度和小圓孔大小忽略不計）范圍是（

）A． B． C． D．38．如圖所示，是長方形地面，長，寬，中間整有一堵磚墻高，一只螞蟻從A點爬到C點，它必須翻過中間那堵墻，則它至少要走（

）A．20 B．24 C．25 D．2639．某會展中心在會展期間準(zhǔn)備將高5m、長13m、寬2m的樓道鋪上地毯，已知地毯每平方米30元，請你幫助計算一下，鋪完這個樓道至少需要元．

40．在甲村至乙村的公路旁有一塊山地正在開發(fā)，現(xiàn)有一處需要爆破，已知點與公路上的停靠站的距離為300米，與公路上另一停靠站的距離為400米，且，如圖，為了安全起見，爆破點周圍250米范圍內(nèi)不得進(jìn)入，問在進(jìn)行爆破時，公路段是否有危險？是否需要暫時封鎖？請通過計算進(jìn)行說明．

41．某條道路限速，如圖，一輛小汽車在這條道路上沿直線行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀A處的正前方的C處，過了，小汽車到達(dá)B處，此時測得小汽車與車速檢測儀間的距離為．

(1)求的長；(2)這輛小汽車超速了嗎？題型十一折疊問題例題42．如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊，，現(xiàn)將直角邊沿直線折疊，使它恰好落在斜邊上，且與重合．

(1)求的長；(2)求的長．鞏固訓(xùn)練43．如圖，在長方形中，將長方形沿折疊，使點C的對應(yīng)點與點A重合，點D的對應(yīng)點為點G．(1)求證：；(2)若，求的面積．44．如圖，在中，．

(1)如圖（1），把沿直線折疊，使點A與點B重合，求的長；(2)如圖（2），把沿直線折疊，使點C落在邊上G點處，請直接寫出的長．45．如圖，在矩形中，，，點在矩形的邊上由點向點運動.沿直線翻折，形成如下四種情形，設(shè)，和矩形重疊部分（陰影）的面積為.（1）如圖4，當(dāng)點運動到與點重合時，求重疊部分的面積；（2）如圖2，當(dāng)點運動到何處時，翻折后，點恰好落在邊上？這時重疊部分的面積等于多少？46．如圖，在中，，，點D為線段延長線上一點，以為腰作等腰直角，使，連接．(1)請判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若，，求線段的長；(3)如圖2，在（2）的條件下，將沿線段翻折，使點A與點E重合，連接，求線段的長．

第一章勾股定理知識歸納與題型突破（十一類題型清單）01思維導(dǎo)圖01思維導(dǎo)圖0202知識速記一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.（即：）二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形.要點：應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個三角形是不是直角三角形的基本步驟：（1）首先確定最大邊，不妨設(shè)最大邊長為；（2）驗證：與是否具有相等關(guān)系：

若，則△ABC是以∠C為90°的直角三角形；

若時，△ABC是銳角三角形；

若時，△ABC是鈍角三角形．2.勾股數(shù)滿足不定方程的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù)），顯然，以為三邊長的三角形一定是直角三角形.要點：常見的勾股數(shù)：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果()是勾股數(shù)，當(dāng)t為正整數(shù)時，以為三角形的三邊長，此三角形必為直角三角形.觀察上面的①、②、④、⑤四組勾股數(shù)，它們具有以下特征：1.較小的直角邊為連續(xù)奇數(shù)；2.較長的直角邊與對應(yīng)斜邊相差1.3.假設(shè)三個數(shù)分別為，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）三、勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，兩者互為逆定理，都與直角三角形有關(guān).四、勾股定理的應(yīng)用勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用是：（1）已知直角三角形的兩邊，求第三邊；（2）利用勾股定理可以證明有關(guān)線段平方關(guān)系的問題；（3）解決與勾股定理有關(guān)的面積計算；（4）勾股定理在實際生活中的應(yīng)用．0303題型歸納題型一用勾股定理解三角形例題1．若一個直角三角形的兩條直角邊長分別是6和8，則斜邊長是（

）A．6 B．7 C．8 D．10【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理計算即可得出答案．【解析】∵一個直角三角形的兩直角邊長分別是6和8∴斜邊長是故選：D．【點睛】本題主要考查勾股定理，掌握勾股定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練2．在直角中，，，，則的長為（

）A．5 B． C．5或 D．5或【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理計算即可．【解析】解：因為，，，所以，故選：B．【點睛】本題考查了勾股定理，解題關(guān)鍵是熟記勾股定理，準(zhǔn)確進(jìn)行計算．3．如圖，在中，，，則的值為（

）

A．8 B．2 C．4 D．【答案】A【分析】利用勾股定理進(jìn)行求解即可．【解析】解：∵，，∴；故選A．【點睛】本題考查勾股定理．熟練掌握直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，是解題的關(guān)鍵．4．如圖所示，已知中，，，于，為上任一點，則等于．【答案】【分析】在和中，分別表示出和，在和中，表示出和，代入求解即可；【解析】解：∵于，∴，在和中，，，在和中，，，，．故答案為：．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，準(zhǔn)確分析計算是解題的關(guān)鍵．題型二勾股定理逆定理勾股數(shù)例題5．下列給出的四組數(shù)中，能構(gòu)成直角三角形三邊的一組是（）A．5，12，14 B．6，8，9 C．7，24，25 D．8，13，15【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理逐項驗證即可得到答案．【解析】A、，不能構(gòu)成直角三角形，故此選項不符合題意；B、，不能構(gòu)成直角三角形，故此選項不符合題意；C、，能構(gòu)成直角三角形，故此選項符合題意；D、，不能構(gòu)成直角三角形，故此選項不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查勾股定理的逆定理，根據(jù)勾股定理的逆定理計算三角形兩邊的平方和是否等于第三邊的平方是解決問題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練6．由下列條件不能判定為直角三角形的是（）A． B．，，C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和及即可判斷A，根據(jù)勾股定理逆定理即可判斷B，根據(jù)平方差公式及勾股定理逆定理即可判斷C，根據(jù)三角形內(nèi)角和及即可得到答案．【解析】解：∵，，∴，∴為直角三角形，故A不符合題意；∵，∴不能判定三角形為直角三角形，故B符合題意；∵，∴為直角三角形，故C符合題意；∵，，∴，∴為直角三角形，故D符合題意，故選B．【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理及勾股定理逆定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形邊角關(guān)系．7．在下列四組數(shù)中，屬于勾股數(shù)的是（）A．0.3，0.4，0.5 B．3，4，5C．2，8，10 D．1，，【答案】B【分析】利用勾股數(shù)的定義進(jìn)行分析即可．【解析】解：A．0.3，0.4，0.5不是整數(shù)，不是勾股數(shù)，不符合題意；B．，、4、5是勾股數(shù)，符合題意；C．，，8，10不是勾股數(shù)，不符合題意；D．，，均不是整數(shù)，，，不是勾股數(shù)，不符合題意；故選：B．【點睛】此題主要考查了勾股數(shù)，關(guān)鍵是掌握滿足的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．8．下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（

）．A．1，2，3 B． C． D．9，12，15【答案】D【分析】欲判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時還需驗證兩小邊的平方和是否等于最長邊的平方．【解析】解：A、12+22≠32，不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意；B、22+（）2≠（）2，不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意；C、（）2+（）2＝（）2，能構(gòu)成直角三角形，但不是整數(shù)、故不符合題意；D、92+122=152，能構(gòu)成直角三角形且是整數(shù)，是勾股數(shù)，故符合題意．故選：D．【點睛】本題主要考查了勾股數(shù)的定義及勾股定理的逆定理，已知△ABC的三邊滿足a2+b2=c2，則△ABC是直角三角形．題型三勾股定理及其逆定理解三角形解答題例題9．（1）如圖，在中，，求證：；（）在中，，，邊上的高，求邊的值．【答案】（1）見解析；（2）【分析】本題主要考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．（1）利用勾股定理證明即可；（2）利用勾股定理求解即可．【解析】解：（）在，中，根據(jù)勾股定理得：，，∴，∴；（）在，中，根據(jù)勾股定理得：，，∴．鞏固訓(xùn)練10．如圖，已知等腰的底邊，是腰上一點，連接，且．

(1)求證：是直角三角形；(2)求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷即可得到答案；（2）設(shè)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，在直角三角形中，由勾股定理可得，解方程即可得到答案．【解析】（1）證明：，，，即為直角三角形；（2）解：設(shè)，是等腰三角形，．為直角三角形，為直角三角形，，即，解得：，故的長為：．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理以及勾股定理的逆定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的逆定理．11．如圖，已知在中，于點D，，，，(1)求、的長；(2)求證：是直角三角形．【答案】(1)，(2)見解析【分析】（1）在中，利用勾股定理求得的長，然后在中，再利用勾股定理求得的長，根據(jù)即可求解；（2）利用勾股定理的逆定理即可判斷．【解析】（1）解：∵在中，，，，在中，，，．．（2）證明：，，，，，，是直角三角形．【點睛】本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，正確理解定理的內(nèi)容是關(guān)鍵．12．已知在中，，，，，過點作于點．(1)求的長；(2)求的長．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了勾股定理；（1）中，由勾股定理得，進(jìn)而根據(jù)，即可求解；（2）根據(jù)等面積法，即可求解．【解析】（1）解：，，，中，由勾股定理得：，．（2），，，．題型四勾股定理逆定理拓展性質(zhì)例題13．下列由三條線段a、b、c構(gòu)成的三角形：①，，，②，，，③，，，④，其中能構(gòu)成直角三角形的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】判斷一組數(shù)能否成為直角三角形的三邊，就是看是否滿足兩較小邊的平方和等于最大邊的平方，將題目中的各題一一做出判斷即可．【解析】解：①∵，∴能成為直角三角形的三邊長；②∵，∴能成為直角三角形的三邊長；③，∴能成為直角三角形的三邊長；④∵，即，∴a，b，c不構(gòu)成三角形∴能構(gòu)成直角三角形的有3組，故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理的應(yīng)用，在應(yīng)用時注意是兩較短邊的平方和等于最長邊的平方．鞏固訓(xùn)練14．以下四組代數(shù)式作為的三邊：①（n為正整數(shù)）；②（n為正整數(shù)）；③（，n為正整數(shù)）；④（，m，n為正整數(shù)）．其中能使為直角三角形的有（）A．0組 B．1組 C．2組 D．3組【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理對各選項進(jìn)行計算判斷即可．【解析】解：①中，能構(gòu)成直角三角形，故符合要求；②中，，不能構(gòu)成直角三角形，故不符合要求；③中，能構(gòu)成直角三角形，故符合要求；④中，能構(gòu)成直角三角形，故符合要求．∴能使為直角三角形的有3組，故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，完全平方公式．解題的關(guān)鍵在于正確的運算．15．下列命題①如果為一組勾股數(shù)，那么仍是勾股數(shù)；②如果直角三角形的兩邊是3，4，那么斜邊必是5；③如果一個三角形的三邊是12、25、7，那么此三角形必是直角三角形；④一個等腰直角三角形的三邊，（），那么，其中正確的是（

）A．①② B．①③ C．①④ D．②④【答案】C【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義和直角三角形的性質(zhì)，依次分析①②③④，選出正確的命題的序號，即可得到答案．【解析】解：①如果為一組勾股數(shù)，則設(shè)，則，仍是勾股數(shù)，故①正確，符合題意；②如果直角三角形的兩邊是3，4，則另一邊的長可能為，且符合三角形的兩邊之和大于第三邊，故②錯誤，不符合題意；③，③錯誤，不符合題意；④一個等腰直角三角形的三邊，（），，即，故④正確，符合題意；故選：C．【點睛】本題主要考查了勾股數(shù)和直角三角形的性質(zhì)，正確掌握勾股數(shù)的定義和直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型五勾股定理與數(shù)軸上的實數(shù)例題16．如圖，在數(shù)軸上點A表示的實數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理求得，進(jìn)而即可求解．【解析】解：如圖所示，

∵∴，故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理與無理數(shù)，實數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練17．如圖，，

(1)寫出數(shù)軸上點A表示的數(shù)；(2)比較點A表示的數(shù)與的大??；(3)在數(shù)軸上作出所對應(yīng)的點．【答案】(1)．(2)(3)見解析【分析】（1）OB是直角邊長為1的等腰直角三角形的斜邊長，因，根據(jù)勾股定理即可求得OA的長度，再考慮點A位于原點的左側(cè)，為負(fù)數(shù)，即可得解．（2）先比較兩數(shù)的絕對值的平方值大小，然后再比較兩數(shù)的大小，考慮到絕對值越大的負(fù)數(shù)，實際值越小，即可得出結(jié)果．（3）構(gòu)造直角邊長為1、2的直角三角形，其斜邊長即為，則問題得解．【解析】（1）由勾股定理得：．因點A位于原點的左側(cè)，∴點A表示的數(shù)是．（2）∵，

∴∴∴（3）如下圖在區(qū)間的上方作一個直角邊長分別為1、2的直角，

由勾股定理得：，以O(shè)為圓心，長為半徑畫弧，交x軸的正半軸于點D．∴．故點D就是數(shù)軸上作出的所對應(yīng)的點．【點睛】本題為考查勾股定理、數(shù)軸和尺規(guī)作圖綜合題，體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合”的思想，解題的關(guān)鍵構(gòu)造恰當(dāng)?shù)闹苯侨切危?8．如圖，在數(shù)軸上以1個單位長度畫一個正方形，以原點為圓心，以正方形的對角線長為半徑畫弧，與正半軸的交點為B，且點B表示的是一個無理數(shù)，因此我們得出一個結(jié)論．(1)點B表示的數(shù)為_________；得出的結(jié)論是：_________與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的．(2)若將圖中數(shù)軸上標(biāo)的A，C，D各點與所給的三個實數(shù)，3和對應(yīng)起來，則點A表示的實數(shù)為_________，點C表示的實數(shù)為_________，點D表示的實數(shù)為_________．【答案】(1)，實數(shù)(2)，，3【分析】（1）根據(jù)勾股定理求得對角線的長度，即可求解；（2）判斷出三個數(shù)的大小關(guān)系，結(jié)合A，C，D的位置即可求解．【解析】（1）解：應(yīng)用勾股定理得，正方形的對角線的長度為：，為圓的半徑，則，所以數(shù)軸上的點B表示的數(shù)為：，它是無理數(shù)．得出的結(jié)論是實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的；故答案為：，實數(shù)；（2）解：根據(jù)數(shù)軸可得A表示負(fù)數(shù)，C和D表示正數(shù)，且D表示的數(shù)大于C表示的數(shù)，∴A表示，C表示的數(shù)是，D表示的數(shù)是3．故答案為：，，3．【點睛】此題考查了勾股定理，實數(shù)與數(shù)軸，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理以及數(shù)軸與實數(shù)的有關(guān)知識．題型六網(wǎng)格問題例題19．如圖，的頂點、、在邊長為的正方形網(wǎng)格的格點上，于點，則的長為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圖形和三角形的面積公式求出的面積，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)三角形的面積公式計算即可．【解析】解：如圖，

的面積，由勾股定理得，，則，解得，故選：C．【點睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，掌握在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練20．如圖，在以下四個正方形網(wǎng)格中，各有一個三角形，不是直角三角形的是（）A．B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理對各選項進(jìn)行逐一判斷即可．【解析】解：A、三邊長分別為，∵，∴不是直角三角形，故本選項符合題意；B、三邊長分別為，，∴是直角三角形，故本選項不符合題意；C、三邊長分別為，∵，∴是直角三角形，故本選項不符合題意；D、三邊長分別為，∵，∴是直角三角形，故本選項不符合題意．故選A．【點睛】本題考查勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三邊長滿足，那么這個三角形就是直角三角形是解題關(guān)鍵．21．如圖所示，在的正方形網(wǎng)格中，的頂點都在格點上，下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用勾股定理求出三邊長，再依據(jù)勾股定理逆定理判斷出即可得出答案．【解析】解：由勾股定理可得：，，，∵，，∴，∴，故B、C、D都正確，不符合題意，∵，，∴，∴，∴，故A錯誤，符合題意．故選：A．【點睛】本題主要考查了勾股定理和其逆定理，運用勾股定理求出三邊長，是解題的關(guān)鍵．題型七以直角三角形三邊為邊長的面積問題例題22．如圖，圖中的三角形為直角三角形，已知正方形A和正方形B的面積分別為和，則正方形C的面積為．

【答案】【分析】根據(jù)題意，得出，再根據(jù)勾股定理，得出，再結(jié)合正方形的面積，得出，進(jìn)而即可得出正方形C的面積．【解析】解：如圖，

由題意得，∴，∵四邊形都是正方形，∴，，，∵正方形A、B的面積分別為和，∴，，∴，∴正方形C的面積為：．故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理的幾何應(yīng)用，熟知勾股定理是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練23．如圖，、、分別是以的三邊為直徑所畫半圓的面積，其中，，則．

【答案】【分析】先分別算出、、的面積，然后根據(jù)勾股定理即可解答．【解析】解：∵，，∴∵∴．∵，，∴故答案為．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，勾股定理的內(nèi)容是直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．24．如圖，五個正方形放在直線MN上，正方形A、C、E的面積依次為3、5、4，則正方形B、D的面積之和為（

）

A．11 B．14 C．17 D．20【答案】C【分析】如圖：由題意可得,,，再根據(jù)全等三角形和勾股定理可得，同理可得，最后求正方形B、D的面積之和即可．【解析】解：如圖：由題意可得：,,∴∴，∴,∴,∵，∴，∴,即,同理：;∴．

故選C．【點睛】本題主要考查了勾股定理、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)各正方形之間的面積關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．25．如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的邊長分別是3、4、1、3，則最大的正方形E的面積是（

）

A．11 B．47 C．26 D．35【答案】D【分析】如圖，根據(jù)勾股定理分別求出F、G的面積，再根據(jù)勾股定理計算出E的面積即可．【解析】解：如圖，

由勾股定理得，正方形F的面積正方形A的面積正方形B的面積，同理，正方形G的面積正方形C的面積正方形D的面積，∴正方形E的面積正方形F的面積正方形G的面積，故選：D．【點睛】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么．26．如圖所示為一種“羊頭”形圖案，其作法是：從正方形①開始，以它的一邊為斜邊，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角邊為邊，分別向外正方形②和，…，依次類推，若正方形①的面積為64，則正方形⑤的面積為（

）

A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【分析】根據(jù)題意可知第一個正方形的面積是64，則第二個正方形的面積是32，…，進(jìn)而可找出規(guī)律得出第n個正方形的面積，即可得出結(jié)果．【解析】解：第一個正方形的面積是64；設(shè)第一個等腰直角三角形的直角邊長為由勾股定理可得：∴解得：∴第二個正方形的面積是；同理：第三個正方形的面積是；…第n個正方形的面積是，當(dāng)時，正方形的面積為，∴正方形⑤的面積是4，故B正確．故選：B．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理．解題的關(guān)鍵是找出第n個正方形的面積．題型八求線段的平方和或差例題27．已知a，b，c是中，，的對邊，下列說法正確的有（

）個①若，則+；②若，則；③若，則+；④總有+．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理逐一判斷即可求解．【解析】解：，，是中，，的對邊，若，則；若，則；若，則；故①②③正確；只有當(dāng)時才有，故④錯誤，故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練28．在中，斜邊，則的值為（

）A． B． C． D．無法計算【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理可知，進(jìn)而可知．【解析】解：∵在中，斜邊為，∴，∵，∴，∴，故選．【點睛】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．29．如圖，中，，點A向上平移后到，得到．下面說法錯誤的是（

）A．的內(nèi)角和仍為 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，勾股定理以及平移的性質(zhì)對各選項分析判斷后利用排除法求解．【解析】解：A、△A′BC的內(nèi)角和仍為180°正確，故本選項正確，不合題意；B、∵∠BA′C＜90°，∠BAC=90°，∴∠BA′C＜∠BAC正確，故本選項正確，不合題意；C、由勾股定理，AB2+AC2=BC2，故本選項正確，不合題意；D、應(yīng)為A′B2+A′C2＞BC2，故本選項錯誤，符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理，三角形的內(nèi)角和定理，以及平移，熟記定理并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．30．如圖，在中，，于H，M為AH上異于A的一點，比較與的大小，則（

）．A．大于 B．等于 C．小于 D．大小關(guān)系不確定【答案】C【分析】由題意得，AB2＝AH2＋BH2，AC2＝AH2＋HC2，則AB2?AC2＝BH2?HC2，同理有MB2?MC2＝BH2?HC2，則AB2?AC2＝MB2?MC2．再根據(jù)平方差公式即可求解．【解析】解：∵AH⊥BC，有AB2＝AH2＋BH2，AC2＝AH2＋HC2，∴AB2?AC2＝BH2?HC2，又∵M(jìn)H⊥BC，同理有MB2?MC2＝BH2?HC2，∴AB2?AC2＝MB2?MC2，即（AB＋AC）（AB?AC）＝（MB＋MC）（MB?MC），又∵M(jìn)點在△ABC內(nèi)，∵AB＋AC＞MB＋MC，則AB?AC＜MB?MC．故選C．【點睛】本題考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟知勾股定理及平方差公式的應(yīng)用．題型九勾股定理的證明方法例題31．我國是最早了解勾股定理的國家之一，下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)等面積法證明即可．【解析】解：A．，整理得：，即能證明勾股定理，故本選項不符合題意；B．，整理得：，即能證明勾股定理，故本選項不符合題意；C．，整理得：，即能證明勾股定理，故本選項不符合題意；D．根據(jù)圖形不能證明勾股定理，故選D．【點睛】本題考查了勾股定理的證明，熟練掌握等面積法證明勾股定理是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練32．我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國古代的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中．漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”．現(xiàn)在勾股定理的證明已經(jīng)有400多種方法，下面的兩個圖形就是驗證勾股定理的兩種方法，在驗證著名的勾股定理過程，這種根據(jù)圖形直觀推論或驗證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡稱為“無字證明”．在驗證過程中它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（

）A．函數(shù)思想 B．?dāng)?shù)形結(jié)合思想C．分類思想 D．方程思想【答案】B【分析】根據(jù)圖形直觀推論或驗證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想為數(shù)形結(jié)合思想．【解析】解：這種根據(jù)圖形直觀推論或驗證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡稱為“無字證明”，它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合思想，故選：B．【點睛】本題考查了勾股定理的證明，掌握根據(jù)圖形直觀推論或驗證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想為數(shù)形結(jié)合思想．33．勾股定理又稱畢達(dá)哥拉斯定理、商高定理、新娘座椅定理、百牛定理等，是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，大約有五百多種證明方法，我國古代數(shù)學(xué)家趙爽和劉徽也分別利用《趙爽弦圖》和《青朱出入圖》證明了勾股定理，以下四個圖形，哪一個是趙爽弦圖（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)趙爽弦圖證明勾股定理的方法即可求解．【解析】解：趙爽弦圖，是個全等的直角三角形和中間一個小正方形拼成一個大正方形，直角三角形中較長的直角邊為，較短的直角邊為，中間小正方形的邊長為，∴選項，是趙爽弦圖，符合題意；選項，不是趙爽弦圖，不符合題意；選項，不是趙爽弦圖，不符合題意；選項，不是趙爽弦圖，不符合題意；故選：．【點睛】本題主要考查對趙爽弦圖的理解，掌握勾股定理的證明方法，趙爽弦圖證明勾股定理的方法是解題的關(guān)鍵．34．如圖，在四邊形中，，，點是邊上一點，，，．下列結(jié)論：①；②；③四邊形的面積是；④；⑤．其中正確的結(jié)論個數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根據(jù)全等三角形的判定可判斷①正確；再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和平角定義可判斷②正確；根據(jù)梯形的面積公式可判斷③正確；根據(jù)可判斷④錯誤，⑤正確，綜合即可作出選擇．【解析】解：∵，，∴，∴，又∵，，∴，故①正確；∴，∵，∴，則，∴，故②正確；∵，，，，∴四邊形的面積是，故③正確；∵，∴，∵，∴，即，∴，故④錯誤，⑤正確，綜上，正確的結(jié)論有4個，故選：C．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用、勾股定理的證明、平行線的性質(zhì)、完全平方公式、梯形和三角形的面積等知識，證明三角形全等以及發(fā)現(xiàn)圖形中的邊角關(guān)系是解答的關(guān)鍵．題型十勾股定理的應(yīng)用例題35．如圖，一木桿在離地某處斷裂，木桿頂部落在離木桿底部8米處，斷落的木桿與地面形成角，則木桿原來的長度是（）A．8米 B．米 C．16米 D．24米【答案】B【分析】根據(jù)題意可知該木桿折斷后與地面形成一個等腰直角三角形，再利用勾股定理即可求出結(jié)果．【解析】如圖，根據(jù)題意可知為等腰直角三角形，且米，．∴米．∴在中，米．故木桿原來的長度為米．故選：B．【點睛】本題考查勾股定理的實際應(yīng)用．根據(jù)題意判斷出木桿折斷后與地面形成的三角形是等腰直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練36．如圖，，一架云梯長為25米，頂端A靠在墻上，此時云梯底端B與墻角C距離為7米，云梯滑動后停在的位置上，測得長為4米，則云梯底端B在水平方向滑動的距離為（

）A．4米 B．6米 C．8米 D．10米【答案】C【分析】由題意知，AB=DE=25米，CB=7米，則在直角△ABC中，根據(jù)AB，BC可以求AC，在直角△CDE中，可以求CE，則BD=DC-BD即為題目要求的距離．【解析】解：在直角中，已知米，米，米，在直角中，已知米，米，米，米，米，米故云梯底端在水平方向滑動了8米，故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理在實際生活中的運用，本題中在直角△ABC中和直角△CDE中分別運用勾股定理是解題的關(guān)鍵．37．如圖所示是一個圓柱形飲料罐底面半徑是5，高是12，上底面中心有一個小圓孔，則一條到達(dá)底部的直吸管在罐內(nèi)部分a的長度（罐壁厚度和小圓孔大小忽略不計）范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意得當(dāng)吸管與底面圓垂直時，吸管在罐內(nèi)部分a的長度為最小，即為12，當(dāng)吸管與底面圓的一端重合時，吸管在罐內(nèi)部分a的長度為最大，根據(jù)勾股定理可進(jìn)行求解．【解析】解：由題意得：當(dāng)吸管與底面圓垂直時，吸管在罐內(nèi)部分a的長度為最小，即為12，當(dāng)吸管與底面圓的一端重合時，吸管在罐內(nèi)部分a的長度為最大，如圖所示：∴，∴在Rt△ABC中，，∴吸管在罐內(nèi)部分a的長度的范圍是，故選A．【點睛】本題主要考查勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．38．如圖所示，是長方形地面，長，寬，中間整有一堵磚墻高，一只螞蟻從A點爬到C點，它必須翻過中間那堵墻，則它至少要走（

）A．20 B．24 C．25 D．26【答案】D【分析】將題中圖案展開后，連接AC，利用勾股定理可得AC長，將中間的墻展開在平面上，則原矩形長度增加寬度不變，求出新矩形的對角線長即為所求．【解析】解：展開如圖得新矩形，連接AC，則其長度至少增加2MN，寬度不變，由此可得：，根據(jù)勾股定理有：故選D．【點睛】本題考查平面展開圖形最短路線問題以及勾股定理得應(yīng)用；解題關(guān)鍵在于根據(jù)題意畫出正確的平面展開圖．39．某會展中心在會展期間準(zhǔn)備將高5m、長13m、寬2m的樓道鋪上地毯，已知地毯每平方米30元，請你幫助計算一下，鋪完這個樓道至少需要元．

【答案】1020【分析】地毯的長是樓梯的豎直部分與水平部分的和，即與的和，在直角中，根據(jù)勾股定理即可求得的長，地毯的長與寬和積就是面積，再乘地毯每平方米的單價即可求解．【解析】解：由勾股定理得：，則地毯總長為，則地毯的總面積為，鋪完這個樓道至少需要（元）．故填：．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確理解地毯的長度的計算是解題的關(guān)鍵．40．在甲村至乙村的公路旁有一塊山地正在開發(fā)，現(xiàn)有一處需要爆破，已知點與公路上的?？空镜木嚯x為300米，與公路上另一?？空镜木嚯x為400米，且，如圖，為了安全起見，爆破點周圍250米范圍內(nèi)不得進(jìn)入，問在進(jìn)行爆破時，公路段是否有危險？是否需要暫時封鎖？請通過計算進(jìn)行說明．

【答案】有危險，需要暫時封鎖；理由見解析．【分析】本題需要判斷點C到AB的距離是否小于250米，如果小于則有危險，大于則沒有危險．因此過C作于D，然后根據(jù)勾股定理在中即可求出的長度，然后利用三角形的面積公式即可求出，然后和250米比較大小即可判斷需要暫時封鎖．【解析】解：有危險，需要暫時封鎖．理由：如圖，過作于，

米，米，，∴在中，米，∵，∴米．∵，∴有危險，段公路需要暫時封鎖．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用直角三角形的性質(zhì)求出的長．41．某條道路限速，如圖，一輛小汽車在這條道路上沿直線行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀A處的正前方的C處，過了，小汽車到達(dá)B處，此時測得小汽車與車速檢測儀間的距離為．

(1)求的長；(2)這輛小汽車超速了嗎？【答案】(1)(2)沒有超速．【分析】（1）中，有斜邊的長，有直角邊的長，那么根據(jù)勾股定理即可求出的長；（2）根據(jù)小汽車用行駛的路程為，那么可求出小汽車的速度，然后再判斷是否超速了．【解析】（1）解：在中，，；據(jù)勾股定理可得：=（2）解：小汽車的速度為；∵；∴這輛小汽車行駛沒有超速．答：這輛小汽車沒有超速．【點睛