北師版八年級數(shù)學(xué)上冊 第五章 二元一次方程組（壓軸專練）（六大題型）

第五章二元一次方程組（壓軸專練）（六大題型）題型1：含參數(shù)的二元一次方程組1．若方程組的解是，則方程組的解是（

）A． B． C． D．2．已知關(guān)于x，y的方程組，以下結(jié)論其中不成立是（

）．A．不論k取什么實(shí)數(shù)，的值始終不變B．存在實(shí)數(shù)k，使得C．當(dāng)時，D．當(dāng)，方程組的解也是方程的解3．已知關(guān)于x，y的方程組，給出下列說法：①當(dāng)時，方程組的解也是的解；②若，則；③無論a取何值，x，y的值不可能互為相反數(shù)；④x，y都為自然數(shù)的解有5對．以上說法中正確的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．44．閱讀以下內(nèi)容：已知有理數(shù)m，n滿足m+n＝3，且求k的值．三位同學(xué)分別提出了以下三種不同的解題思路：甲同學(xué)：先解關(guān)于m，n的方程組，再求k的值；乙同學(xué)：將原方程組中的兩個方程相加，再求k的值；丙同學(xué)：先解方程組，再求k的值．（1）試選擇其中一名同學(xué)的思路，解答此題；（2）在解關(guān)于x，y的方程組時，可以用①×7﹣②×3消去未知數(shù)x，也可以用①×2+②×5消去未知數(shù)y．求a和b的值．題型2：新定義題5．對于實(shí)數(shù)x，y我們定義一種新運(yùn)算（其中a，b均為非零常數(shù)），由這種運(yùn)算得到的數(shù)我們稱之為芙蓉數(shù)，記為，其中叫做芙蓉數(shù)對．若實(shí)數(shù)x，y都取正整數(shù)，此時的叫做芙蓉正格數(shù)對．(1)若，則，；（用含m的式子表示）(2)已知，其中．若其中k為整數(shù)，問是否存在滿足這樣條件的芙蓉正格數(shù)對？若存在，請求出這樣的芙蓉正格數(shù)對；若不存在，請說明理由．6．定義：以二元一次方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)的全體叫做這個方程的圖象，這些點(diǎn)叫做該圖象的關(guān)聯(lián)點(diǎn)．(1)在①；②；③三點(diǎn)中，是方程圖象的關(guān)聯(lián)點(diǎn)有______________；（填序號）(2)已知A，C兩點(diǎn)是方程圖象的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，B，C兩點(diǎn)是方程圖象的關(guān)聯(lián)點(diǎn)．若點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，求四邊形的面積．(3)若，，三點(diǎn)是二元一次方程圖象的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，探究m，n，p，q之間的關(guān)系，請直接寫出你的結(jié)論．7．在平面直角坐標(biāo)系中，對于與原點(diǎn)不重合的兩個點(diǎn)和，關(guān)于，的方程稱為點(diǎn)的“照耀方程”．若是方程的解，則稱點(diǎn)“照耀”了點(diǎn)例如，點(diǎn)的“照耀方程”是，且是該方程的解，則點(diǎn)“照耀”了點(diǎn)．(1)下列點(diǎn)中被點(diǎn)“照耀”的點(diǎn)為____________．，，(2)若點(diǎn)同時被點(diǎn)和點(diǎn)“照耀”，請求出，(3)若個不同的點(diǎn)，，…，，每個點(diǎn)都“照耀”了其后所有的點(diǎn)，如“照耀”了，，…，，“照耀”了，，…，，……“照耀”了，請寫出的最大值，并說明理由．8．當(dāng)都是實(shí)數(shù)，且滿足，就稱點(diǎn)為“愛心點(diǎn)”．（1）判斷點(diǎn)、哪個點(diǎn)為“愛心點(diǎn)”，并說明理由；（2）若點(diǎn)、是“愛心點(diǎn)”，請判斷、兩點(diǎn)的中點(diǎn)在第幾象限？并說明理由；（3）已知、為有理數(shù)，且關(guān)于、的方程組解為坐標(biāo)的點(diǎn)是“愛心點(diǎn)”，求、的值．9．規(guī)定：對于平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)，若，即此點(diǎn)的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的兩倍，此時我們稱點(diǎn)為“雅贊點(diǎn)”．例如：對于點(diǎn)，它的縱坐標(biāo)2是橫坐標(biāo)1的2倍，所以點(diǎn)是“雅贊點(diǎn)”．(1)以下各點(diǎn)：①②③中“雅贊點(diǎn)”是________（填序號即可）；(2)若點(diǎn)是“雅贊點(diǎn)”，且A點(diǎn)向右平移3個單位后得到B點(diǎn)，B點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離相等，求此時“雅贊點(diǎn)”A點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)已知“雅贊點(diǎn)”，，關(guān)于x，y的方程組與有相同的解．①用含的式子表示和；②若對于任意k，等式恒成立，求此時的值．10．定義：對任意一個三位數(shù)，如果滿足百位數(shù)字與十位數(shù)字相同，個位數(shù)字與十位數(shù)字不相同，且都不為零，那么稱這個三位數(shù)為“追全數(shù)”．將一個“追全數(shù)”的各個數(shù)位上的數(shù)字交換后得到新的三位數(shù)，把所有的新三位數(shù)的和與111的商記為．例如：，為“追全數(shù)”，將各個數(shù)位上的數(shù)字交換后得到新的三位數(shù)有121、211、112，所有新三位數(shù)的和為，和與111的商為，所以．根據(jù)以上定義，數(shù)是兩個三位數(shù)，它們都是“追全數(shù)”，的個位數(shù)是1，的個位數(shù)字是3，．規(guī)定，當(dāng)?shù)暮褪?3的倍數(shù)時，則的最小值為．題型3：二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用11．為了同學(xué)們的身體健康，學(xué)校初、高中部分別購買了A、B、C三種健身器材．已知初中部購買A、B、C的數(shù)量之比為，A、B、C的單價之比為；高中部購買A種器材比初中部購買A種器材多出的費(fèi)用占高中部購買三種器材總費(fèi)用的，高中部購買A種工具的單價比初中部少，高中部購買B種工具超出初中部B種工具的費(fèi)用與高中部購買C種工具超出初中部購買C種工具的費(fèi)用之比為；高中部購買A種工具的費(fèi)用與購買B種工具的費(fèi)用之比為；那么初中部購買A種工具的數(shù)量與高中部購買的A種工具的數(shù)量之比為．12．某超市銷售水果時，將A、B、C三種水果采用甲、乙、丙三種搭配方式裝箱進(jìn)行銷售，每箱的成本分別為箱中A、B、C三種水果成本之和，箱子成本忽略不計，甲種方式每箱分別裝A、B、C三種水果6kg，3kg，1kg，乙種方式每箱分別裝A、B、C三種水果2kg，6kg，2kg，甲種方式每箱的總成本是每千克A水果成本的12.5倍，每箱甲的銷售利潤率為20%，每箱甲比每箱乙的售價低25%，丙每箱在成本上提高40%標(biāo)價后打八折銷售，獲利為每千克A水果成本的1.2倍，當(dāng)銷售甲、乙、丙三種方式的水果數(shù)量之比為2：1：6時，銷售的總利潤率為．13．某醫(yī)藥公司銷售甲、乙兩種型號的防疫口罩共20萬只，其中成本、售價如表：甲乙成本1.2元/只0.4元/只售價1.8元/只0.6元/只(1)直接填空：若該公司銷售甲種型號的口罩萬只，則總銷售額為______萬元．（用含的代數(shù)式表示）(2)當(dāng)所有口罩全部銷售時，該公司可獲利潤8.8萬元，求該公司銷售甲、乙兩種型號的防疫口罩分別是多少萬只？(3)小明有16.2元的零花錢，打算購買甲和乙兩種口罩（兩種都要買），正好趕上口罩價格調(diào)整，其中甲型口罩售價上漲50%，乙型口罩按原價出售，則小明有多少種不同的購買方案可以使錢正好花完？請?jiān)O(shè)計出這些方案．14．雜交水稻的發(fā)展對解決世界糧食不足問題有著重大的貢獻(xiàn)，某超市購進(jìn)A、B兩種大米銷售，其中兩種大米的進(jìn)價、售價如下表：類型進(jìn)價（元/袋）售價（元/袋）A種大米2030B種大米3045(1)該超市在3月份購進(jìn)A、B兩種大米共70袋，進(jìn)貨款恰好為1800元．①求這兩種大米各購進(jìn)多少袋；②據(jù)3月份的銷售統(tǒng)計，兩種大米的銷售總額為900元，求該超市3月份已售出大米的進(jìn)貨款為多少元．(2)為刺激銷量，超市決定在4月份增加購進(jìn)C種大米作為贈品，進(jìn)價為每袋10元，并推出兩種促銷方案．甲方案：“買3袋A種大米送1袋C種大米”；乙方案：“買3袋B種大米送2袋C種大米．”若進(jìn)貨款為2100元，4月份超市的購進(jìn)數(shù)量恰好滿足上述促銷搭配方案，此時購進(jìn)三種大米各多少袋？15．五一期間，商場為吸引顧客，每半小時進(jìn)行一次現(xiàn)金抽獎活動，顧客只需要花a元即可購買一張獎券，獎券面值有a元，b元，c元三種（且皆為整數(shù)）．甲、乙、丙三人從下午兩點(diǎn)至下午六點(diǎn)，一共參加了輪活動，每輪每人只能購買一張，且每輪三人剛好獲得a元，b元，c元獎券各一張．晚飯時，甲說：我今天賺了430元；乙說：我一次也沒有抽到過c元獎券，還有3次都是最小面值的，只賺了120元；丙說：我三種都抽到了，一共有360元獎券，賺了220元！則甲抽到了次c元獎券．16．我市某包裝生產(chǎn)企業(yè)承接了一批大型會議的禮品盒制作業(yè)務(wù)，為了確保質(zhì)量，該企業(yè)進(jìn)行試生產(chǎn)．他們購得規(guī)格是的標(biāo)準(zhǔn)板材作為原材料，每張標(biāo)準(zhǔn)板材再按照裁法一或裁法二裁下型與型兩種板材，如圖1所示，（單位：）（1）列出方程（組），求出圖中與的值．（2）在試生產(chǎn)階段，若將40張標(biāo)準(zhǔn)板材用裁法一裁剪，4張標(biāo)準(zhǔn)板材用裁法二裁剪，再將得到的型與型板材做側(cè)面和底面，做成圖2的豎式與橫式兩種無蓋禮品盒．①兩種裁法共產(chǎn)生型板材________張，型板材________張；②設(shè)做成的豎式無蓋禮品盒個，橫式無蓋禮品盒的個，根據(jù)題意完成表格：禮品盒板材豎式無蓋紙盒（個）橫式無蓋紙盒（個）型（張）型（張）________③若做成圖2所示的豎式與橫式兩種無蓋禮品盒將裁得的型板材恰好用完，求裁得的型板材最少剩幾張？題型4：二元一次方程組有關(guān)的圖表素材題17．根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．如何合理搭配消費(fèi)券？素材一我市在2024年發(fā)放了如圖所示的南太湖消費(fèi)券．規(guī)定每人可領(lǐng)取一套消費(fèi)券（共4張）：包含型消費(fèi)券（滿50減20元）1張，型消費(fèi)券（滿100減30元）2張，型消費(fèi)券（滿300減100元）1張．

素材二在此次活動中，小明一家4人各領(lǐng)到了一套消費(fèi)券．某日小明一家在超市使用消費(fèi)券共減了420元，請完成以下任務(wù)．任務(wù)一若小明一家用了2張型消費(fèi)券，2張型消費(fèi)券，則用了___________張型消費(fèi)券，此時實(shí)際消費(fèi)最少為____________元．任務(wù)二若小明一家用8張、、型的消費(fèi)券消費(fèi)，已知型比型的消費(fèi)券多1張，求、、型的消費(fèi)券各多少張？任務(wù)三若小明一家僅用兩種不同類型的消費(fèi)券組合消費(fèi)，請問該如何使用消費(fèi)券，才能使得實(shí)際消費(fèi)金額最小，并求出此時實(shí)際最小消費(fèi)金額．18．綜合與實(shí)踐課題設(shè)計裁切方案素材1如圖1所示是一把學(xué)生椅，主要由椅背、椅座及鐵架組成，如圖2所示是椅背與椅座的尺寸示意圖素材2因?qū)W校需要，某工廠配合制作該款學(xué)生椅，經(jīng)清點(diǎn)庫存發(fā)現(xiàn)，工廠倉庫已有大量的學(xué)生椅鐵架，現(xiàn)只需在市場上購進(jìn)某型號板材加工制作該款學(xué)生椅的椅背與椅座，再與鐵架進(jìn)行組裝．已知該工廠購進(jìn)的板材長為，寬為（裁切時不計損耗）我是板材裁切師任務(wù)一擬定裁切方案若要不造成板材浪費(fèi)，請你設(shè)計出一塊該型號板材的所有裁切方法方法一：裁切椅背15個和椅座0個；方法二：裁切椅背8個和椅座________個；方法三：裁切椅背______個和椅座8個任務(wù)二確定搭配數(shù)量若該工廠購進(jìn)110塊該型號板材，最多能制作成多少把學(xué)生椅任務(wù)三解決實(shí)際問題現(xiàn)需要制作2000把學(xué)生椅，該工廠倉庫現(xiàn)有260個椅座和80個椅背，還需要購買該型號板材多少塊（恰好全部用完）？并給出一種裁切方案題型5：整體思想與換元法19．?dāng)?shù)學(xué)方法：解方程組：，若設(shè)，，則原方程組可化為，解方程組得，所以，解方程組得，我們把某個式子看成一個整體，用一個字母去替代它，這種解方程組的方法叫做換元法．(1)直接填空：已知關(guān)于x，y的二元一次方程組，的解為，那么關(guān)于m、n的二元一次方程組的解為：．(2)知識遷移：請用這種方法解方程組．(3)拓展應(yīng)用：已知關(guān)于x，y的二元一次方程組的解為，求關(guān)于x，y的方程組的解．20．閱讀下列材料：小明同學(xué)在學(xué)習(xí)二元一次方程組時遇到了這樣一個問題：解方程組．小明發(fā)現(xiàn)，如果用代入消元法或加減消元法求解，運(yùn)算量比較大，容易出錯．如果把方程組中的看成一個整體，把看成一個整體，通過換元，可以解決問題．以下是他的解題過程：令，．原方程組化為，解得，把代入，，得，解得，∴原方程組的解為．(1)學(xué)以致用運(yùn)用上述方法解下列方程組：．(2)拓展提升已知關(guān)于x，y的方程組的解為，請直接寫出關(guān)于m、n的方程組的解是___________．題型6：二元一次方程組與一次函數(shù)21．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B均在x軸上，點(diǎn)C在第一象限，直線AC與y軸交于點(diǎn)D，且直線AC上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都是二元一次方程的解，直線BC上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都是二元一次方程的解．(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)時，小聰是這樣想的：先設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)C在直線AC上，所以是方程的解；又因?yàn)辄c(diǎn)C在直線BC上，所以是方程的解，從而m，n滿足據(jù)此可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)為______，再求出點(diǎn)A的坐標(biāo)為______，點(diǎn)B的坐標(biāo)為；(2)求四邊形BODC的面積；(3)點(diǎn)是線段BC上一點(diǎn)，若點(diǎn)E的縱坐標(biāo)，則點(diǎn)E的橫坐標(biāo)x的取值范圍是；(4)在y軸上是否存在點(diǎn)P，使三角形ACP的面積等于三角形ABC面積的倍？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．22．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，其中b、c是二元一次方程組的解．

(1)求點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；(2)如圖，直線軸于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，為線段的中點(diǎn)，直線交于x軸點(diǎn)A，動點(diǎn)P從點(diǎn)G出發(fā)以每秒2個單位長度的速度沿線段勻速運(yùn)動．設(shè)的面積為S，運(yùn)動時間為t秒，請用含有t的式子表示S，并直接寫出t的取值范圍；(3)在（2）的條件下，動點(diǎn)Q同時從點(diǎn)A出發(fā)以每秒3個單位的速度沿線段勻速運(yùn)動，分別過點(diǎn)O、B作直線的垂線，垂足分別為點(diǎn)E、點(diǎn)F，當(dāng)時，求出t的值．23．我們對平面直角坐標(biāo)系中的三角形給出新的定義：三角形的“橫長”和三角形的“縱長”.我們假設(shè)點(diǎn)，是三角形邊上的任意兩點(diǎn)．如果的最大值為，那么三角形的“橫長”；如果的最大值為，那么三角形的“縱長”．如右圖，該三角形的“橫長”；“縱長”．當(dāng)時，我們管這樣的三角形叫做“方三角形”．（1）如圖1所示，已知點(diǎn)，．①在點(diǎn)，，中，可以和點(diǎn)，點(diǎn)構(gòu)成“方三角形”的點(diǎn)是；②若點(diǎn)在函數(shù)上，且為“方三角形”，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖2所示，已知點(diǎn)，，點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)．若為“方三角形”，且，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．

第五章二元一次方程組（壓軸專練）（六大題型）題型1：含參數(shù)的二元一次方程組1．若方程組的解是，則方程組的解是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將變形為，再設(shè)-3x+1=x’，-2y=y’，列出方程組，再得其解即可．【解析】解：將變形為,設(shè)-3x+1=x’，-2y=y’，則原方程變形為：，因?yàn)榉匠探M的解是，所以，解得：，所以方程組的解是，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的解，熟練掌握二元一次方程組的解與二元一次方程組的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．已知關(guān)于x，y的方程組，以下結(jié)論其中不成立是（

）．A．不論k取什么實(shí)數(shù)，的值始終不變B．存在實(shí)數(shù)k，使得C．當(dāng)時，D．當(dāng)，方程組的解也是方程的解【答案】D【分析】把k看成常數(shù)，解出關(guān)于x，y的二元一次方程組（解中含有k），然后根據(jù)選項(xiàng)逐一分析即可．【解析】解：，解得：，然后根據(jù)選項(xiàng)分析：A選項(xiàng)，不論k取何值，，值始終不變，成立；B選項(xiàng)，，解得，存在這樣的實(shí)數(shù)k，成立；C選項(xiàng)，，解得，成立；D選項(xiàng)，當(dāng)時，，則，不成立；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了含有參數(shù)的二元一次方程組的解法，正確解出含有參數(shù)的二元一次方程組（解中含有參數(shù)）是解決本題的關(guān)鍵．3．已知關(guān)于x，y的方程組，給出下列說法：①當(dāng)時，方程組的解也是的解；②若，則；③無論a取何值，x，y的值不可能互為相反數(shù)；④x，y都為自然數(shù)的解有5對．以上說法中正確的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】將代入原方程組得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)得是的解，故①正確；方程組兩方程相加得，根據(jù)，得到，解得，故②正確；根據(jù)，，得到，得到，從而得到無論a取何值，x，y的值不可能互為相反數(shù)，故③正確；根據(jù)，得到x，y都為自然數(shù)的解有共5對，故④正確．【解析】解：將代入原方程組得，解得，將代入方程左右兩邊，左邊，右邊，∴當(dāng)時，方程組的解也是的解，故①正確；方程組得，若，則，解得，故②正確；∵，，∴兩方程相加得，∴，∴無論a取何值，x，y的值不可能互為相反數(shù)，故③正確；∵，∴x，y都為自然數(shù)的解有共5對，故④正確．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了消元法解二元一次方程組，二元一次方程解的定義，二元一次方程的自然數(shù)解等知識，理解消元法解二元一次方程組的根據(jù)是等式的性質(zhì)和等量代換是解題關(guān)鍵．4．閱讀以下內(nèi)容：已知有理數(shù)m，n滿足m+n＝3，且求k的值．三位同學(xué)分別提出了以下三種不同的解題思路：甲同學(xué)：先解關(guān)于m，n的方程組，再求k的值；乙同學(xué)：將原方程組中的兩個方程相加，再求k的值；丙同學(xué)：先解方程組，再求k的值．（1）試選擇其中一名同學(xué)的思路，解答此題；（2）在解關(guān)于x，y的方程組時，可以用①×7﹣②×3消去未知數(shù)x，也可以用①×2+②×5消去未知數(shù)y．求a和b的值．【答案】（1）見解析；（2）a和b的值分別為2，5．【分析】（1）分別選擇甲、乙、丙，按照提示的方法求出k的值即可；（2）根據(jù)加減消元法的過程確定出a與b的值即可．【解析】解：（1）選擇甲，，①×3﹣②×2得：5m＝21k﹣8，解得：m＝，②×3﹣①×2得：5n＝2﹣14k，解得：n＝，代入m+n＝3得：＝3，去分母得：21k﹣8+2﹣14k＝15，移項(xiàng)合并得：7k＝21，解得：k＝3；選擇乙，，①+②得：5m+5n＝7k﹣6，解得：m+n＝，代入m+n＝3得：＝3，去分母得：7k﹣6＝15，解得：k＝3；選擇丙，聯(lián)立得：，①×3﹣②得：m＝11，把m＝11代入①得：n＝﹣8，代入3m+2n＝7k﹣4得：33﹣16＝7k﹣4，解得：k＝3；（2）根據(jù)題意得：，解得：，檢驗(yàn)符合題意，則a和b的值分別為2，5．【點(diǎn)睛】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．題型2：新定義題5．對于實(shí)數(shù)x，y我們定義一種新運(yùn)算（其中a，b均為非零常數(shù)），由這種運(yùn)算得到的數(shù)我們稱之為芙蓉數(shù)，記為，其中叫做芙蓉數(shù)對．若實(shí)數(shù)x，y都取正整數(shù)，此時的叫做芙蓉正格數(shù)對．(1)若，則，；（用含m的式子表示）(2)已知，其中．若其中k為整數(shù)，問是否存在滿足這樣條件的芙蓉正格數(shù)對？若存在，請求出這樣的芙蓉正格數(shù)對；若不存在，請說明理由．【答案】(1)3，；(2)時，存在正格數(shù)對，滿足條件．【分析】（1）直接根據(jù)新定義進(jìn)行求解即可得到答案；（2）先根據(jù)定義求出c的值，然后根據(jù)廣芙蓉正格數(shù)對的定義進(jìn)行求解即可．【解析】（1）解：根據(jù)題中的新定義得：；，故答案為：3；；（2）解：存在，，理由如下：根據(jù)題中的新定義化簡，得：，解得：，∴，化簡，得：，∴，依題意，x，y都為正整數(shù)，k是整數(shù)，是奇數(shù)，，3，9，解得：，0，3，當(dāng)時，，，舍去；當(dāng)時，，，舍去；當(dāng)時，，，綜上，時，存在正格數(shù)對，滿足條件．【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵在于能夠準(zhǔn)確地讀懂題意．6．定義：以二元一次方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)的全體叫做這個方程的圖象，這些點(diǎn)叫做該圖象的關(guān)聯(lián)點(diǎn)．(1)在①；②；③三點(diǎn)中，是方程圖象的關(guān)聯(lián)點(diǎn)有______________；（填序號）(2)已知A，C兩點(diǎn)是方程圖象的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，B，C兩點(diǎn)是方程圖象的關(guān)聯(lián)點(diǎn)．若點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，求四邊形的面積．(3)若，，三點(diǎn)是二元一次方程圖象的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，探究m，n，p，q之間的關(guān)系，請直接寫出你的結(jié)論．【答案】(1)①③；(2)；(3)．【分析】（1）將①；②；③三點(diǎn)，分別代入方程，利用圖象的關(guān)聯(lián)點(diǎn)定義即可解決問題；（2）根據(jù)圖象的關(guān)聯(lián)點(diǎn)定義，解方程組求出點(diǎn)，，三點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可以利用割補(bǔ)法求四邊形的面積；（3）將，，三點(diǎn)分別代入二元一次方程即可求得與的大小關(guān)系．【解析】（1）解：將①；②；③三點(diǎn)，分別代入方程，①，②，③，在①；②；③三點(diǎn)中，是方程圖象的關(guān)聯(lián)點(diǎn)有①③，故答案為：①③；（2）∵，兩點(diǎn)是方程圖象的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，，兩點(diǎn)是方程圖象的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，，解得，，點(diǎn)在軸上，當(dāng)時，，，，點(diǎn)在軸上，當(dāng)時，，，，，四邊形的面積；（3），，三點(diǎn)是二元一次方程圖象的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，將，代入得整理，得①，將代入得②，①②得，解得將代入得即解得，將代入得即解得，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，二元一次方程組的解及其直線方程的圖象，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用圖象法解決問題．7．在平面直角坐標(biāo)系中，對于與原點(diǎn)不重合的兩個點(diǎn)和，關(guān)于，的方程稱為點(diǎn)的“照耀方程”．若是方程的解，則稱點(diǎn)“照耀”了點(diǎn)例如，點(diǎn)的“照耀方程”是，且是該方程的解，則點(diǎn)“照耀”了點(diǎn)．(1)下列點(diǎn)中被點(diǎn)“照耀”的點(diǎn)為____________．，，(2)若點(diǎn)同時被點(diǎn)和點(diǎn)“照耀”，請求出，(3)若個不同的點(diǎn)，，…，，每個點(diǎn)都“照耀”了其后所有的點(diǎn)，如“照耀”了，，…，，“照耀”了，，…，，……“照耀”了，請寫出的最大值，并說明理由．【答案】(1)(2)，(3)的最大值為3；理由見解析【分析】（1）根據(jù)題目中給出的定義進(jìn)行解答即可；（2）根據(jù)題意列出方程組，求解即可；（3）根據(jù)二元一次方程組只有一個解解答即可．【解析】（1）解：點(diǎn)的照耀方程為：，把點(diǎn)代入得：，∴點(diǎn)不是被點(diǎn)“照耀”的點(diǎn)；把點(diǎn)代入得：，∴點(diǎn)不是被點(diǎn)“照耀”的點(diǎn)；把點(diǎn)代入得：，∴點(diǎn)是被點(diǎn)“照耀”的點(diǎn)；故答案為：．（2）解：點(diǎn)的照耀方程為：，點(diǎn)的照耀方程為：，解方程組得：，∴點(diǎn)C為，即，．（3）解：的最大值為3；理由如下：設(shè)點(diǎn)，則關(guān)于點(diǎn)的照耀方程為，設(shè)點(diǎn)，則關(guān)于點(diǎn)的照耀方程為，設(shè)點(diǎn)是被和的“照耀”的點(diǎn)，∴是方程組，∵方程組為關(guān)于x、y的二元一次方程組，又∵二元一次方程組只有一個解，∴被和“照耀”的點(diǎn)只有一個，∴不可能再寫出第4個點(diǎn)，∴的最大值為3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是理解題意，熟練掌握解二元一次方程組的方法，及二元一次方程組解的定義．8．當(dāng)都是實(shí)數(shù)，且滿足，就稱點(diǎn)為“愛心點(diǎn)”．（1）判斷點(diǎn)、哪個點(diǎn)為“愛心點(diǎn)”，并說明理由；（2）若點(diǎn)、是“愛心點(diǎn)”，請判斷、兩點(diǎn)的中點(diǎn)在第幾象限？并說明理由；（3）已知、為有理數(shù)，且關(guān)于、的方程組解為坐標(biāo)的點(diǎn)是“愛心點(diǎn)”，求、的值．【答案】（1）為愛心點(diǎn)，理由見解析；（2）第四象限，理由見解析；（3），=【分析】（1）分別把A、B點(diǎn)坐標(biāo)，代入（m﹣1，）中，求出m和n的值，然后代入2m＝8+n檢驗(yàn)等號是否成立即可；（2）把點(diǎn)A（a，﹣4）、B（4，b）各自代入（m﹣1，）中，分別用a、b表示出m、n，再代入2m＝8+n中可求出a、b的值，則可得A和B點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求出C點(diǎn)坐標(biāo)，然后即可判斷點(diǎn)C所在象限；（3）解方程組，用q和p表示x和y，然后代入2m＝8+n可得關(guān)于p和q的等式，再根據(jù)p，q為有理數(shù)，即可求出p、q的值．【解析】解：（1）A點(diǎn)為“愛心點(diǎn)”，理由如下：當(dāng)A（5，3）時，m﹣1＝5，＝3，解得：m＝6，n＝4，則2m＝12，8+n＝12，所以2m＝8+n，所以A（5，3）是“愛心點(diǎn)”；當(dāng)B（4，8）時，m﹣1＝4，＝8，解得：m＝5，n＝14，顯然2m≠8+n，所以B點(diǎn)不是“愛心點(diǎn)”；（2）A、B兩點(diǎn)的中點(diǎn)C在第四象限，理由如下：∵點(diǎn)A（a，﹣4）是“愛心點(diǎn)”，∴m﹣1＝a，＝﹣4，解得：m＝a+1，n＝﹣10．代入2m＝8+n，得2（a+1）＝8﹣10，解得：a＝﹣2，所以A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣4）；∵點(diǎn)B（4，b）是“愛心點(diǎn)”，同理可得m＝5，n＝2b﹣2，代入2m＝8+n，得：10=8+2b﹣2，解得：b＝2．所以點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，2）．∴A、B兩點(diǎn)的中點(diǎn)C坐標(biāo)為（），即（1，﹣1），在第四象限．（3）解關(guān)于x，y的方程組，得：．∵點(diǎn)B（x，y）是“愛心點(diǎn)”，∴m﹣1＝p﹣q，＝2q，解得：m＝p﹣q+1，n＝4q﹣2．代入2m＝8+n，得：2p﹣2q+2＝8+4q﹣2，整理得2p﹣6q＝4．∵p，q為有理數(shù)，若使2p﹣6q結(jié)果為有理數(shù)4，則p＝0，所以﹣6q＝4，解得：q＝﹣．所以p＝0，q＝﹣．【點(diǎn)睛】本題是新定義題型，以“愛心點(diǎn)”為載體，主要考查了解二元一次方程組、中點(diǎn)坐標(biāo)公式等知識以及閱讀理解能力和遷移運(yùn)用能力，正確理解題意、熟練掌握二元一次方程組的解法是關(guān)鍵．9．規(guī)定：對于平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)，若，即此點(diǎn)的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的兩倍，此時我們稱點(diǎn)為“雅贊點(diǎn)”．例如：對于點(diǎn)，它的縱坐標(biāo)2是橫坐標(biāo)1的2倍，所以點(diǎn)是“雅贊點(diǎn)”．(1)以下各點(diǎn)：①②③中“雅贊點(diǎn)”是________（填序號即可）；(2)若點(diǎn)是“雅贊點(diǎn)”，且A點(diǎn)向右平移3個單位后得到B點(diǎn)，B點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離相等，求此時“雅贊點(diǎn)”A點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)已知“雅贊點(diǎn)”，，關(guān)于x，y的方程組與有相同的解．①用含的式子表示和；②若對于任意k，等式恒成立，求此時的值．【答案】(1)①③(2)(3)①；②【分析】（1）根據(jù)定義進(jìn)行判斷即可求解；（2）根據(jù)題意得出，平移后的坐標(biāo)為，根據(jù)B點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離相等，列出方程，解方程即可求解；（3）①根據(jù)同解方程組得出，根據(jù)新定義得出，代入方程組，解方程組即可求解；②根據(jù)等式恒成立，得出，得出，與代入代數(shù)式，即可求解．【解析】（1）解：∵，∴①②③中“雅贊點(diǎn)”是①③，故答案為：①③．（2）點(diǎn)是“雅贊點(diǎn)”向右平移個單位后得到；（3）①由題意得與有相同的解；“雅贊點(diǎn)”，，，

②，，，對于任意恒成立，，，又，，【點(diǎn)睛】本題考查了平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離，解二元一次方程組，代數(shù)式求值，整式加減中無關(guān)類型，理解新定義熟練掌握是解題的關(guān)鍵．10．定義：對任意一個三位數(shù)，如果滿足百位數(shù)字與十位數(shù)字相同，個位數(shù)字與十位數(shù)字不相同，且都不為零，那么稱這個三位數(shù)為“追全數(shù)”．將一個“追全數(shù)”的各個數(shù)位上的數(shù)字交換后得到新的三位數(shù)，把所有的新三位數(shù)的和與111的商記為．例如：，為“追全數(shù)”，將各個數(shù)位上的數(shù)字交換后得到新的三位數(shù)有121、211、112，所有新三位數(shù)的和為，和與111的商為，所以．根據(jù)以上定義，數(shù)是兩個三位數(shù)，它們都是“追全數(shù)”，的個位數(shù)是1，的個位數(shù)字是3，．規(guī)定，當(dāng)?shù)暮褪?3的倍數(shù)時，則的最小值為．【答案】【分析】設(shè)p百位數(shù)字為x，q百位數(shù)字為y，分別計算出，，根據(jù)的和是13的倍數(shù)，結(jié)合題中限制條件，，，確定x、y的值，進(jìn)而求得p、q、k，比較大小可求解．【解析】解：設(shè)p百位數(shù)字為x，q百位數(shù)字為y，則，，將p各個數(shù)位上的數(shù)字交換后得到新的三位數(shù)為，，，∴，將q各個數(shù)位上的數(shù)字交換后得到新的三位數(shù)為，，，∴，∴，∵的和是13的倍數(shù)時，，∴當(dāng)時，，與x、y為整數(shù)矛盾，舍去；當(dāng)時，，根據(jù)題意，，，，∴當(dāng)時，，，則；當(dāng)時，，，則；當(dāng)時，，，則；當(dāng)時，，，則，當(dāng)時，與x、y為整數(shù)矛盾，舍去，綜上，k的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)與式新定義問題，理解題中定義及運(yùn)算法則，借助二元一次方程求解第（2）問是解答的關(guān)鍵．題型3：二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用11．為了同學(xué)們的身體健康，學(xué)校初、高中部分別購買了A、B、C三種健身器材．已知初中部購買A、B、C的數(shù)量之比為，A、B、C的單價之比為；高中部購買A種器材比初中部購買A種器材多出的費(fèi)用占高中部購買三種器材總費(fèi)用的，高中部購買A種工具的單價比初中部少，高中部購買B種工具超出初中部B種工具的費(fèi)用與高中部購買C種工具超出初中部購買C種工具的費(fèi)用之比為；高中部購買A種工具的費(fèi)用與購買B種工具的費(fèi)用之比為；那么初中部購買A種工具的數(shù)量與高中部購買的A種工具的數(shù)量之比為．【答案】【分析】設(shè)初中部購買A、B、C的數(shù)量分別為、、，A、B、C的單價分別為、y、y，則初中部購買A、B、C的費(fèi)用分別為、、，設(shè)高中部購買三種工具的總費(fèi)用為a元，高中部購買B種工具超出初中部B種工具的費(fèi)用與高中部購買C種工具超出初中部購買C種工具的費(fèi)用分別為，，根據(jù)高中部購買A種工具的費(fèi)用與購買B種工具的費(fèi)用之比為列出方程，解方程得出，求出高中部購買的A種工具的數(shù)量為：，最后求出比值即可．【解析】解：設(shè)初中部購買A、B、C的數(shù)量分別為、、，A、B、C的單價分別為、y、y，則初中部購買A、B、C的費(fèi)用分別為、、，高中部購買三種工具的總費(fèi)用為a元，高中部購買B種工具超出初中部B種工具的費(fèi)用，高中部購買C種工具超出初中部購買C種工具的費(fèi)用分別為，，根據(jù)題意得：，解得：，高中部購買的A種工具的數(shù)量為：，∴初中部購買A種工具的數(shù)量與高中部購買的A種工具的數(shù)量之比為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是設(shè)出未知數(shù)，根據(jù)等量關(guān)系列出方程．12．某超市銷售水果時，將A、B、C三種水果采用甲、乙、丙三種搭配方式裝箱進(jìn)行銷售，每箱的成本分別為箱中A、B、C三種水果成本之和，箱子成本忽略不計，甲種方式每箱分別裝A、B、C三種水果6kg，3kg，1kg，乙種方式每箱分別裝A、B、C三種水果2kg，6kg，2kg，甲種方式每箱的總成本是每千克A水果成本的12.5倍，每箱甲的銷售利潤率為20%，每箱甲比每箱乙的售價低25%，丙每箱在成本上提高40%標(biāo)價后打八折銷售，獲利為每千克A水果成本的1.2倍，當(dāng)銷售甲、乙、丙三種方式的水果數(shù)量之比為2：1：6時，銷售的總利潤率為．【答案】17.2%【分析】分別設(shè)每千克A、B、C三種水果的成本為x、y、z，設(shè)丙每箱成本為m，然后根據(jù)題意將甲、乙、丙三種方式的每箱成本和利潤用x表示出來即可求解．【解析】解：設(shè)每千克A、B、C三種水果的成本分別為為x、y、z，依題意得：6x+3y+z＝12.5x，∴3y+z＝6.5x，∴每箱甲的銷售利潤＝12.5x?20%＝2.5x，乙種方式每箱成本＝2x+6y+2z＝2x+13x＝15x，乙種方式每箱售價＝12.5x?（1+20%）÷（1﹣25%）＝20x，∴每箱乙的銷售利潤＝20x﹣15x＝5x，設(shè)丙每箱成本為m，依題意得：m（1+40%）?0.8﹣m＝1.2x，解得m＝10x．∴當(dāng)銷售甲、乙、丙三種方式的水果數(shù)量之比為2：1：6時，總成本為：12.5x?2+15x?1+10x?6＝100x，總利潤為：2.5x?2+5x+1.2x?6＝17.2x，銷售的總利潤率為×100%=17.2%．故答案為17.2%．【點(diǎn)睛】本題考查了三元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)，列出方程，用含x的式子表示各量是解題關(guān)鍵，本題數(shù)量關(guān)系較為復(fù)雜，需要反復(fù)讀題，理解題意．13．某醫(yī)藥公司銷售甲、乙兩種型號的防疫口罩共20萬只，其中成本、售價如表：甲乙成本1.2元/只0.4元/只售價1.8元/只0.6元/只(1)直接填空：若該公司銷售甲種型號的口罩萬只，則總銷售額為______萬元．（用含的代數(shù)式表示）(2)當(dāng)所有口罩全部銷售時，該公司可獲利潤8.8萬元，求該公司銷售甲、乙兩種型號的防疫口罩分別是多少萬只？(3)小明有16.2元的零花錢，打算購買甲和乙兩種口罩（兩種都要買），正好趕上口罩價格調(diào)整，其中甲型口罩售價上漲50%，乙型口罩按原價出售，則小明有多少種不同的購買方案可以使錢正好花完？請?jiān)O(shè)計出這些方案．【答案】(1)；(2)甲型號口罩生產(chǎn)12萬只，乙型口罩生產(chǎn)了8萬只；(3)該同學(xué)共有2種購買方案，方案1：購買4個甲型口罩，9個乙型口罩；方案2：購買2個甲型口罩，18個乙型口罩．【分析】（1）根據(jù)題意直接列出代數(shù)式即可；（2）設(shè)該公司三月份生產(chǎn)甲種型號的防疫口罩萬只，乙種型號的防疫口罩萬只，根據(jù)該公司三月份生產(chǎn)甲、乙兩種型號的防疫口罩共20萬只且全部售出后獲得的總利潤為8.8萬元，可得出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)該同學(xué)購買只甲型口罩，只乙型口罩，利用總價單價數(shù)量，可得出關(guān)于，的二元一次方程，結(jié)合，均為正整數(shù)，即可得出各購買方案．【解析】（1）由題意可得：若該公司銷售甲種型號的口罩萬只，則總銷售額為（萬元），故答案為：；（2）設(shè)甲型號口罩生產(chǎn)x萬只，乙型口罩生產(chǎn)了y萬只，由題意可得：，解得：，答：甲型號口罩生產(chǎn)12萬只，乙型口罩生產(chǎn)了8萬只；（3）設(shè)該同學(xué)購買只甲型口罩，只乙型口罩，根據(jù)題意得：，．又，均為正整數(shù)，或，該同學(xué)共有2種購買方案，方案1：購買4個甲型口罩，9個乙型口罩；方案2：購買2個甲型口罩，18個乙型口罩．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程．14．雜交水稻的發(fā)展對解決世界糧食不足問題有著重大的貢獻(xiàn)，某超市購進(jìn)A、B兩種大米銷售，其中兩種大米的進(jìn)價、售價如下表：類型進(jìn)價（元/袋）售價（元/袋）A種大米2030B種大米3045(1)該超市在3月份購進(jìn)A、B兩種大米共70袋，進(jìn)貨款恰好為1800元．①求這兩種大米各購進(jìn)多少袋；②據(jù)3月份的銷售統(tǒng)計，兩種大米的銷售總額為900元，求該超市3月份已售出大米的進(jìn)貨款為多少元．(2)為刺激銷量，超市決定在4月份增加購進(jìn)C種大米作為贈品，進(jìn)價為每袋10元，并推出兩種促銷方案．甲方案：“買3袋A種大米送1袋C種大米”；乙方案：“買3袋B種大米送2袋C種大米．”若進(jìn)貨款為2100元，4月份超市的購進(jìn)數(shù)量恰好滿足上述促銷搭配方案，此時購進(jìn)三種大米各多少袋？【答案】(1)①A種大米30袋，B種大米40袋；②600元(2)方案一：A種：57袋，B種：21袋，C種：33袋；方案二：A種：24袋，B種：42袋，C種：36袋【分析】（1）①分別設(shè)A、B種大米為a袋、b袋，根據(jù)大米總袋數(shù)和金額列方程進(jìn)行計算；②列出方程后利用總貨款數(shù)與總袋數(shù)呈倍數(shù)關(guān)系，將總袋數(shù)的代數(shù)式整體代入貨款的方程中計算；（2）設(shè)購進(jìn)A種大米袋，B種大米袋，可得購進(jìn)C種大米為袋，根據(jù)金額列出方程，利用袋數(shù)為整數(shù)的條件求出x、y的值，再根據(jù)x、y的值算出各種大米數(shù)量．【解析】（1）①設(shè)購進(jìn)A種大米a袋，B種大米b袋，則題意列方程得，解得所以購進(jìn)A種大米30袋，B種大米40袋；②設(shè)售出A種大米m袋，B種大米n袋，則，化簡得，所以進(jìn)貨款（元）（2）設(shè)購進(jìn)A種大米袋，購進(jìn)B種大米袋，則購進(jìn)C種大米為袋．由題意得：．解得，為正整數(shù)，∴或，則有①，②∴有兩種購買方案：方案一：A種：57袋，B種：21袋，C種：33袋；方案二：A種：24袋，B種：42袋，C種：36袋【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，利用方程中代數(shù)式恰好呈倍數(shù)和未知數(shù)只能取整數(shù)巧妙解方程是解題關(guān)鍵．15．五一期間，商場為吸引顧客，每半小時進(jìn)行一次現(xiàn)金抽獎活動，顧客只需要花a元即可購買一張獎券，獎券面值有a元，b元，c元三種（且皆為整數(shù)）．甲、乙、丙三人從下午兩點(diǎn)至下午六點(diǎn)，一共參加了輪活動，每輪每人只能購買一張，且每輪三人剛好獲得a元，b元，c元獎券各一張．晚飯時，甲說：我今天賺了430元；乙說：我一次也沒有抽到過c元獎券，還有3次都是最小面值的，只賺了120元；丙說：我三種都抽到了，一共有360元獎券，賺了220元！則甲抽到了次c元獎券．【答案】5【分析】根據(jù)題意，求得每張獎券所賺錢數(shù)，設(shè)甲抽了次獎券，次獎券，列二元一次方程求解即可．【解析】解：每半小時進(jìn)行一次現(xiàn)金抽獎活動，從下午兩點(diǎn)至下午六點(diǎn)，共進(jìn)行了輪游戲，∴，∵乙抽到3次最小面值，且賺了錢，∴，∵丙一共有360元獎券，賺了220元，即成本為元，∴是的倍數(shù)，即或，當(dāng)時，（元）∵乙沒有抽到過c元獎券，還有3次都是最小面值的，∴乙抽到過3次獎券，次獎券，則（元）∵甲賺了430元，乙賺了120元，丙賺了220元，共賺了770元，∴每輪賺了110元，∴（元），∴每次抽到賺了元，設(shè)甲抽了次獎券，次獎券，則，即∵為整數(shù)∴，，即甲抽到了次獎券；當(dāng)時，（元）∵乙沒有抽到過c元獎券，還有3次都是最小面值的，∴乙抽到過3次獎券，次獎券，則（元）∵甲賺了430元，乙賺了120元，丙賺了220元，共賺了770元，∴每輪賺了154元，∴（元），∴每次抽到賺了元，設(shè)甲抽了次獎券，次獎券，則，∵為整數(shù)，∴無解，舍去；綜上，甲抽到了次獎券，故答案為：5【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，根據(jù)量之間的關(guān)系正確求得每張獎券所賺錢數(shù)．16．我市某包裝生產(chǎn)企業(yè)承接了一批大型會議的禮品盒制作業(yè)務(wù)，為了確保質(zhì)量，該企業(yè)進(jìn)行試生產(chǎn)．他們購得規(guī)格是的標(biāo)準(zhǔn)板材作為原材料，每張標(biāo)準(zhǔn)板材再按照裁法一或裁法二裁下型與型兩種板材，如圖1所示，（單位：）（1）列出方程（組），求出圖中與的值．（2）在試生產(chǎn)階段，若將40張標(biāo)準(zhǔn)板材用裁法一裁剪，4張標(biāo)準(zhǔn)板材用裁法二裁剪，再將得到的型與型板材做側(cè)面和底面，做成圖2的豎式與橫式兩種無蓋禮品盒．①兩種裁法共產(chǎn)生型板材________張，型板材________張；②設(shè)做成的豎式無蓋禮品盒個，橫式無蓋禮品盒的個，根據(jù)題意完成表格：禮品盒板材豎式無蓋紙盒（個）橫式無蓋紙盒（個）型（張）型（張）________③若做成圖2所示的豎式與橫式兩種無蓋禮品盒將裁得的型板材恰好用完，求裁得的型板材最少剩幾張？【答案】（1）a=60、b=40；（2）①84，48；②見解析；③2張【分析】（1）由圖示列出關(guān)于a、b的二元一次方程組求解．（2）①根據(jù)已知和圖示計算出兩種裁法共產(chǎn)生A型板材和B型板材的張數(shù)；②同樣由圖示完成表格；③根據(jù)A型板材恰好用完，得到4x+3y=84，求出整數(shù)解，再比較計算即可．【解析】解：（1）由題意得：，解得：，答：圖甲中a與b的值分別為：60、40．（2）①由圖示裁法一產(chǎn)生A型板材為：2×40=80，裁法二產(chǎn)生A型板材為：1×4=4，所以兩種裁法共產(chǎn)生A型板材為80+4=84（張），由圖示裁法一產(chǎn)生B型板材為：1×40=40，裁法二產(chǎn)生A型板材為，2×4=8，所以兩種裁法共產(chǎn)生B型板材為40+8=48（張），故答案為：84，48．②由已知和圖示得：橫式無蓋禮品盒的y個，每個禮品盒用2張B型板材，所以用B型板材2y張．禮品盒板材豎式無蓋紙盒（個）橫式無蓋紙盒（個）型（張）型（張）2y③由上表可知橫式無蓋款式共5y個面，用A型3y張，則B型需要2y張．則做兩款盒子共需要A型（4x+3y）張，B型（x+2y）張．要使A型板材恰好用完，則4x+3y=84，∴x=21-y，當(dāng)y=20時，x=6，則x+2y=46，當(dāng)y=24時，x=3，則x+2y=51＞48，當(dāng)y=16時，x=9，則x+2y=41，∴48-46=2張，∴B型板材最少剩2張．【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是二元一次方程（組）的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)已知先列出二元一次方程組求出a、b的值，再根據(jù)圖示解答．題型4：二元一次方程組有關(guān)的圖表素材題17．根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．如何合理搭配消費(fèi)券？素材一我市在2024年發(fā)放了如圖所示的南太湖消費(fèi)券．規(guī)定每人可領(lǐng)取一套消費(fèi)券（共4張）：包含型消費(fèi)券（滿50減20元）1張，型消費(fèi)券（滿100減30元）2張，型消費(fèi)券（滿300減100元）1張．

素材二在此次活動中，小明一家4人各領(lǐng)到了一套消費(fèi)券．某日小明一家在超市使用消費(fèi)券共減了420元，請完成以下任務(wù)．任務(wù)一若小明一家用了2張型消費(fèi)券，2張型消費(fèi)券，則用了___________張型消費(fèi)券，此時實(shí)際消費(fèi)最少為____________元．任務(wù)二若小明一家用8張、、型的消費(fèi)券消費(fèi)，已知型比型的消費(fèi)券多1張，求、、型的消費(fèi)券各多少張？任務(wù)三若小明一家僅用兩種不同類型的消費(fèi)券組合消費(fèi)，請問該如何使用消費(fèi)券，才能使得實(shí)際消費(fèi)金額最小，并求出此時實(shí)際最小消費(fèi)金額．【答案】任務(wù)一：6；880；任務(wù)二：型的消費(fèi)券3張，型的消費(fèi)券2張，則型的消費(fèi)券3張；任務(wù)三：使用1張型消費(fèi)券、4張型消費(fèi)券時實(shí)際消費(fèi)金額最小，最小金額為830元【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，二元一次方程的應(yīng)用；任務(wù)一：根據(jù)消費(fèi)券規(guī)則求解；任務(wù)一：根據(jù)“小明一家在超市使用消費(fèi)券共減了元”列方程求解；任務(wù)一：先分類討論，列關(guān)系式，再根據(jù)二元一次方程的整數(shù)解即可求解．【解析】解：任務(wù)一：用型的消費(fèi)券數(shù)量為：，滿減前至少消費(fèi)（元），實(shí)際消費(fèi)最少為（元）．故答案為：6；880；任務(wù)二：設(shè)型的消費(fèi)券張，則型的消費(fèi)券張，型的消費(fèi)券張，由題意可得，解得．型的消費(fèi)券3張，型的消費(fèi)券2張，則型的消費(fèi)券3張；任務(wù)三：設(shè)小明一家共使用型的消費(fèi)券張，型的消費(fèi)券張，型的消費(fèi)券張，則，，都是正整數(shù)，，，，①、型：．，，都是正整數(shù)，，，無解；②、型：，，，都是正整數(shù)，，，．實(shí)際消費(fèi)金額：，（元）；③、型：，，，都是正整數(shù)，，，．實(shí)際消費(fèi)金額：，（元）；綜上所述，使用1張型消費(fèi)券、4張型消費(fèi)券時實(shí)際消費(fèi)金額最小18．綜合與實(shí)踐課題設(shè)計裁切方案素材1如圖1所示是一把學(xué)生椅，主要由椅背、椅座及鐵架組成，如圖2所示是椅背與椅座的尺寸示意圖素材2因?qū)W校需要，某工廠配合制作該款學(xué)生椅，經(jīng)清點(diǎn)庫存發(fā)現(xiàn)，工廠倉庫已有大量的學(xué)生椅鐵架，現(xiàn)只需在市場上購進(jìn)某型號板材加工制作該款學(xué)生椅的椅背與椅座，再與鐵架進(jìn)行組裝．已知該工廠購進(jìn)的板材長為，寬為（裁切時不計損耗）我是板材裁切師任務(wù)一擬定裁切方案若要不造成板材浪費(fèi)，請你設(shè)計出一塊該型號板材的所有裁切方法方法一：裁切椅背15個和椅座0個；方法二：裁切椅背8個和椅座________個；方法三：裁切椅背______個和椅座8個任務(wù)二確定搭配數(shù)量若該工廠購進(jìn)110塊該型號板材，最多能制作成多少把學(xué)生椅任務(wù)三解決實(shí)際問題現(xiàn)需要制作2000把學(xué)生椅，該工廠倉庫現(xiàn)有260個椅座和80個椅背，還需要購買該型號板材多少塊（恰好全部用完）？并給出一種裁切方案【答案】任務(wù)一：4，1；任務(wù)二：最多能制作成600把學(xué)生椅；任務(wù)三：需要購買該型號板材塊，裁切方案為：用方法一裁切113塊，用方法二裁切1塊，用方法三裁切217塊．【分析】任務(wù)一：根據(jù)板材長為列式計算即可；任務(wù)二：由板材剛好用完，且椅背和椅座數(shù)量相等時，能制作最多數(shù)量的學(xué)生椅，可知方法二和方法三各裁五塊，方法一裁一塊時剛好配套，此時共用11塊板材，能制作成60把學(xué)生椅，然后可得答案；任務(wù)三：先計算出還需要多少椅座和椅背，再計算一共需要的總長度，除以300即為需要該型號板材的數(shù)量，假設(shè)用方法一裁切x塊，用方法二裁切y塊，用方法三裁切z塊（均為自然數(shù)），由題意列出方程組，求解即可．【解析】解：任務(wù)一：由題意得：（個），（個），故方法二：裁切椅背8個和椅座4個；方法三：裁切椅背1個和椅座8個；故答案為：4，1；任務(wù)二：因?yàn)榉椒ǘ梢圆们谐鲆伪?個和椅座4個，方法三可以裁切出椅背1個和椅座8個，所以方法二和方法三各裁一塊時，能得到椅背9個和椅座12個，又因?yàn)楫?dāng)板材剛好用完，且椅背和椅座數(shù)量相等時，能制作最多數(shù)量的學(xué)生椅，所以方法二和方法三各裁五塊，方法一裁一塊時剛好配套，此時共用11塊板材，裁出60個椅背和60個椅座，即能制作成60把學(xué)生椅，所以若該工廠購進(jìn)110塊該型號板材，最多能制作成600把學(xué)生椅；任務(wù)三：由題意得：需裁出個椅座，個椅背，∵（塊），∴恰好全部用完時，需要購買該型號板材塊，假設(shè)用方法一裁切x塊，用方法二裁切y塊，用方法三裁切z塊（均為自然數(shù)），由題意得：，整理可得：，當(dāng)時，則，，答：需要購買該型號板材塊，裁切方案可以是：用方法一裁切113塊，用方法二裁切1塊，用方法三裁切217塊．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用和三元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)題意找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．題型5：整體思想與換元法19．?dāng)?shù)學(xué)方法：解方程組：，若設(shè)，，則原方程組可化為，解方程組得，所以，解方程組得，我們把某個式子看成一個整體，用一個字母去替代它，這種解方程組的方法叫做換元法．(1)直接填空：已知關(guān)于x，y的二元一次方程組，的解為，那么關(guān)于m、n的二元一次方程組的解為：．(2)知識遷移：請用這種方法解方程組．(3)拓展應(yīng)用：已知關(guān)于x，y的二元一次方程組的解為，求關(guān)于x，y的方程組的解．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）設(shè)，，即可得，解方程組即可求解；（2）設(shè)，，則原方程組可化為，解方程組即可求解；（3）設(shè)，，則原方程組可化為，，根據(jù)的解為，可得，即有，則問題得解．【解析】（1）設(shè)，，則原方程組可化為，∵的解為，∴，解得，故答案為：；（2）設(shè)，，則原方程組可化為，解得，即有，解得，即：方程組的解為；（3）設(shè)，，則原方程組可化為，化簡，得，∵關(guān)于x，y的二元一次方程組的解為，∴，即有，解得：，故方程組的解為：．【點(diǎn)睛】本題考查了用換元法解二元一次方程組的知識，緊密結(jié)合題目給出的示例，合理換元是解答本題的關(guān)鍵．20．閱讀下列材料：小明同學(xué)在學(xué)習(xí)二元一次方程組時遇到了這樣一個問題：解方程組．小明發(fā)現(xiàn)，如果用代入消元法或加減消元法求解，運(yùn)算量比較大，容易出錯．如果把方程組中的看成一個整體，把看成一個整體，通過換元，可以解決問題．以下是他的解題過程：令，．原方程組化為，解得，把代入，，得，解得，∴原方程組的解為．(1