北師版九年級(jí)數(shù)學(xué) 第五章 投影與視圖 知識(shí)歸納與題型突破（八類題型清單）

第五章投影與視圖知識(shí)歸納與題型突破（八類題型清單）01思維導(dǎo)圖01思維導(dǎo)圖0202知識(shí)速記一、投影投影現(xiàn)象物體在光線的照射下，會(huì)在地面或其他平面上留下它的影子，這就是投影現(xiàn)象.影子所在的平面稱為投影面.2.中心投影

手電筒、路燈和臺(tái)燈的光線可以看成是從一點(diǎn)發(fā)出的，這樣的光線照射在物體上所形成的投影，稱為中心投影.相應(yīng)地，我們會(huì)得到兩個(gè)結(jié)論：(1)等高的物體垂直地面放置時(shí)，如圖1所示，在燈光下，離點(diǎn)光源近的物體它的影子短，離點(diǎn)光源遠(yuǎn)的物體它的影子長(zhǎng).

(2)等長(zhǎng)的物體平行于地面放置時(shí)，如圖2所示.一般情況下，離點(diǎn)光源越近，影子越長(zhǎng)；離點(diǎn)光源越遠(yuǎn)，影子越短，但不會(huì)比物體本身的長(zhǎng)度還短.

在中心投影的情況下，還有這樣一個(gè)重要結(jié)論：點(diǎn)光源、物體邊緣上的點(diǎn)以及它在影子上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在同一條直線上，根據(jù)其中兩個(gè)點(diǎn)，就可以求出第三個(gè)點(diǎn)的位置.

要點(diǎn)：

光源和物體所處的位置及方向影響物體的中心投影，光源或物體的方向改變，則該物體的影子的方向也發(fā)生變化，但光源、物體的影子始終分離在物體的兩側(cè).3.平行投影

1.平行投影的定義：太陽(yáng)光線可看成平行光線，平行光線所形成的投影稱為平行投影.相應(yīng)地，我們會(huì)得到兩個(gè)結(jié)論：

①等高的物體垂直地面放置時(shí)，如圖1所示，在太陽(yáng)光下，它們的影子一樣長(zhǎng).

②等長(zhǎng)的物體平行于地面放置時(shí)，如圖2所示，它們?cè)谔?yáng)光下的影子一樣長(zhǎng)，且影長(zhǎng)等于物體本身的長(zhǎng)度.

2.物高與影長(zhǎng)的關(guān)系①在不同時(shí)刻，同一物體的影子的方向和大小可能不同.不同時(shí)刻，物體在太陽(yáng)光下的影子的大小在變，方向也在改變，就北半球而言，從早晨到傍晚，物體影子的指向是：西→西北→北→東北→東，影長(zhǎng)也是由長(zhǎng)變短再變長(zhǎng).②在同一時(shí)刻，不同物體的物高與影長(zhǎng)成正比例.

即：.

利用上面的關(guān)系式可以計(jì)算高大物體的高度，比如旗桿的高度等.

注意：利用影長(zhǎng)計(jì)算物高時(shí)，要注意的是測(cè)量?jī)晌矬w在同一時(shí)刻的影長(zhǎng).

要點(diǎn)：1．平行投影是物體投影的一種，是在平行光線的照射下產(chǎn)生的.利用平行投影知識(shí)解題要分清不同時(shí)刻和同一時(shí)刻.

2．物體與影子上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線是平行的就說(shuō)明是平行光線.4、正投影如圖所示，圖(1)中的投影線集中于一點(diǎn)，形成中心投影；圖(2)(3)中，投影線互相平行，形成平行投影；圖(2)中，投影線斜著照射投影面；圖(3)中投影線垂直照射投影面(即投影線正對(duì)著投影面)，我們也稱這種情形為投影線垂直于投影面.像圖(3)這樣，當(dāng)平行光線與投影面垂直時(shí)，這種投影稱為正投影.要點(diǎn)：正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影.

二、中心投影與平行投影的區(qū)別與聯(lián)系1.區(qū)別：（1）太陽(yáng)光線是平行的，故太陽(yáng)光下的影子長(zhǎng)度都與物體高度成比例；燈光是發(fā)散的，燈光下的影子與物體高度不一定成比例.

（2）同一時(shí)刻，太陽(yáng)光下影子的方向總是在同一方向，而燈光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向.2.聯(lián)系：（1）中心投影、平行投影都是研究物體投影的一種，只不過(guò)平行投影是在平行光線下所形成的投影，通常的平行光線有太陽(yáng)光線、月光等，而中心投影是從一點(diǎn)發(fā)出的光線所形成的投影，通常狀況下，燈泡的光線、手電筒的光線等都可看成是從某一點(diǎn)發(fā)射出來(lái)的光線.

（2）在平行投影中，同一時(shí)刻改變物體的方向和位置，其投影也跟著發(fā)生變化；在中心投影中，同一燈光下，改變物體的位置和方向，其投影也跟著發(fā)生變化.在中心投影中，固定物體的位置和方向，改變燈光的位置，物體投影的方向和位置也要發(fā)生變化.

要點(diǎn)：在解決有關(guān)投影的問(wèn)題時(shí)必須先判斷準(zhǔn)確是平行投影還是中心投影，然后再根據(jù)它們的具體特點(diǎn)進(jìn)一步解決問(wèn)題.

三、視圖1.三視圖

（1）視圖：用正投影的方法繪制的物體在投影面上的圖形，稱為物體的視圖.

（2）三視圖

在實(shí)際生活和工程中，人們常常從正面、左面和上面三個(gè)不同方向觀察一個(gè)物體，分別得到這個(gè)物體的三個(gè)視圖.通常我們把從正面得到的視圖叫做主視圖，從左面得到的視圖叫做左視圖，從上面得到的視圖叫做俯視圖.主視圖、左視圖、俯視圖叫做物體的三視圖.

2.三視圖之間的關(guān)系（1）位置關(guān)系

一般地，把俯視圖畫在主視圖下面，把左視圖畫在主視圖右面，如圖(1)所示.

（2）大小關(guān)系

三視圖之間的大小是相互聯(lián)系的，遵循主視圖與俯視圖的長(zhǎng)對(duì)正，主視圖與左視圖的高平齊，左視圖與俯視圖的寬相等的原則.如圖(2)所示.

要點(diǎn)：三視圖把物體的長(zhǎng)、寬、高三個(gè)方面反映到各個(gè)視圖上，具體地說(shuō)，主視圖反映物體的長(zhǎng)和高；俯視圖反映物體的長(zhǎng)和寬，左視圖反映物體的高和寬，抓住這些特征能為畫物體的三視圖打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).3.畫幾何體的三視圖畫一個(gè)幾何體的三視圖時(shí)，要從三個(gè)方面觀察幾何體，具體畫法如下：

(1)確定主視圖的位置，畫出主視圖；

(2)在主視圖的正下方畫出俯視圖，注意與主視圖“長(zhǎng)對(duì)正”；

(3)在主視圖的正右方畫出左視圖，注意與主視圖“高平齊”，與俯視圖“寬相等”.

幾何體上被其他部分遮擋而看不見(jiàn)的部分的輪廓線要畫成虛線.

要點(diǎn)：畫一個(gè)幾何體的三視圖，關(guān)鍵是把從正面、上方、左邊三個(gè)方向觀察時(shí)所得的視圖畫出來(lái)，所以，首先要注意觀察時(shí)視線與觀察面垂直，即觀察到的平面圖是該圖的正投影；其二，要注意正確地用虛線表示看不到的輪廓線；其三，要充分發(fā)揮想象，多實(shí)踐，多與同學(xué)交流探討，多總結(jié)；最后，按三視圖的位置和大小要求從整體上畫出幾何體的三視圖.4.由三視圖想象幾何體的形狀

由三視圖想象幾何體的形狀，首先應(yīng)分別根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象主體圖的前面、上面和左側(cè)面，然后綜合起來(lái)考慮整體圖形.

要點(diǎn)：由物體的三視圖想象幾何體的形狀有一定的難度，可以從如下途徑進(jìn)行分析：(1)根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側(cè)面的形狀以及幾何體的長(zhǎng)、寬、高；(2)根據(jù)實(shí)線和虛線想象幾何體看得見(jiàn)和看不見(jiàn)的輪廓線；(3)熟記一些簡(jiǎn)單的幾何體的三視圖會(huì)對(duì)復(fù)雜幾何體的想象有幫助；(4)利用由三視圖畫幾何體與由幾何體畫三視圖為互逆過(guò)程，反復(fù)練習(xí)，不斷總結(jié)方法.0303題型歸納題型一平行投影1．下列光線所形成的投影是平行投影的是（

）A．太陽(yáng)光線 B．臺(tái)燈的光線 C．手電筒的光線 D．路燈的光線鞏固訓(xùn)練2．下圖中各投影是平行投影的是（

）A． B．C． D．3．如圖，一束太陽(yáng)光線平行照射在放置于地面的正五邊形，若，則（）

A．56° B．66° C．72° D．76°題型二中心投影4．下列現(xiàn)象屬于中心投影的有（）（1）小孔成像；

（2）皮影戲；

（3）手影；

（4）放電影．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)鞏固訓(xùn)練5．當(dāng)你走在路燈下，越來(lái)越接近路燈時(shí)，你的影子的長(zhǎng)是如何變化（

）A．變長(zhǎng) B．變短 C．不變 D．無(wú)法確定6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是一個(gè)光源．木桿兩端的坐標(biāo)分別為，．則木桿在x軸上的投影長(zhǎng)為（

）

A． B． C．5 D．6題型三正投影7．物體正投影的形狀、大小與它相對(duì)于投影面的位置有關(guān)．一個(gè)三角板的正投影不可能是（

）A．一條線段 B．一個(gè)與原三角板全等的三角形C．一個(gè)等腰三角形 D．一個(gè)小圓點(diǎn)鞏固訓(xùn)練8．把一個(gè)正六棱柱如圖水平放置，一束水平方向的平行光線照射此正六棱柱時(shí)的正投影是（）A． B．C． D．9．幻燈機(jī)是教師常用的教具之一，它能把精致的圖片投到銀幕上，如圖，在與中，下列結(jié)論一定正確的是（

）

A． B． C． D．10．如圖，一塊含角的直角三角形木板，將它的直角頂點(diǎn)放置于直線上，點(diǎn)，點(diǎn)在直線上的正投影分別是點(diǎn)，點(diǎn)，若，，則在直線上的正投影的長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．題型四視點(diǎn)、視角和盲區(qū)11．如圖，從點(diǎn)觀測(cè)建筑物的視角是（

）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練12．如圖，在房子屋檐E處安有一臺(tái)監(jiān)視器，房子前有一面落地的廣告牌，那么監(jiān)視器的盲區(qū)是（）

A． B． C． D．四邊形13．如圖1為五角大樓的示意圖，圖2是它的俯視圖，小紅站在地面上觀察這個(gè)大樓，若想看到大樓的兩個(gè)側(cè)面，則小紅應(yīng)站的區(qū)域是（

）A．A區(qū)域 B．B區(qū)域 C．C區(qū)域 D．三區(qū)域都可以題型五三視圖14．如圖所示幾何體的俯視圖是（

）A． B．C． D．鞏固訓(xùn)練15．水平地面上放著1個(gè)球和1個(gè)圓柱體，擺放方式如圖所示，其左視圖是（

）A． B． C． D．16．如圖是某組合體的三視圖，則該組合體是（

）

A．

B．

C．

D．

題型六由三視圖求體積和表面積17．如圖，一個(gè)長(zhǎng)方體從正面、上面看到的圖形如圖所示，則這個(gè)長(zhǎng)方體的體積等于（

）

A．18 B．12 C．9 D．6鞏固訓(xùn)練18．如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體的側(cè)面積是（

）A． B． C． D．19．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是（結(jié)果保留π）．

題型七由三視圖判斷正方體個(gè)數(shù)最少或最多問(wèn)題20．小立方塊搭一個(gè)幾何體，使它的主視圖和俯視圖如圖所示，它最少需要（

）個(gè)小立方塊？

A．11 B．10 C．9 D．8鞏固訓(xùn)練21．某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)探究用相同的小立方塊搭成幾何體的三視圖及其變化規(guī)律，下面是他們畫出的左視圖與俯視圖．由此可知，搭這個(gè)幾何體時(shí)，最多需要的小立方塊的個(gè)數(shù)是（

）．A．8 B．9 C．10 D．1122．用相同的小立方體搭一個(gè)幾何體，從正面、上面看到的形狀圖如圖所示，從上面看到的形狀圖中小正方形的字母表示在該位置上小立方體的個(gè)數(shù)，那么這樣的幾何體最多由幾個(gè)小立方體搭成，最少由幾個(gè)小立方體搭成．題型八投影與視圖綜合解答題23．有若干個(gè)完全相同的小正方體堆成的一個(gè)幾何體，如圖所示．請(qǐng)?jiān)诜礁窦埳袭嫵鏊娜晥D．鞏固訓(xùn)練24．由十個(gè)小立方體搭成的幾何體的俯視圖如圖所示，小正方形中的數(shù)字表示在該位置的小立方體的個(gè)數(shù)，請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中畫出從正面和左面看到的幾何體的形狀圖．

25．陽(yáng)光明媚的天，實(shí)踐課上，亮亮準(zhǔn)備用所學(xué)的知識(shí)測(cè)量教學(xué)樓前一座假山AB的高度，如圖，亮亮在地面上的點(diǎn)F處，眼睛貼地觀察，看到假山頂端A、教學(xué)樓頂端C在一條直線上．此時(shí)他起身在F處站直，發(fā)現(xiàn)自己的影子末端和教學(xué)樓的影子末端恰好重合于點(diǎn)G處，測(cè)得米，亮亮的身高EF為1.6米．假山的底部B處因有花園圍欄，無(wú)法到達(dá)，但經(jīng)詢問(wèn)和進(jìn)行部分測(cè)量后得知，米，點(diǎn)D、B、F、G在一條直線上，，，，已知教學(xué)樓的高度為16米，請(qǐng)你求出假山的高度．

26．已知下圖為一幾何體從三個(gè)方向看到的形狀圖．(1)寫出這個(gè)幾何體的名稱______；(2)畫出它的側(cè)面展開(kāi)圖；(3)根據(jù)圖中所給的數(shù)據(jù)，求這個(gè)幾何體的側(cè)面積．（結(jié)果保留）27．甲、乙兩棟樓的位置如圖所示，甲樓高16米．當(dāng)?shù)刂形?2時(shí)，物高與影長(zhǎng)的比是．

(1)如圖1，當(dāng)?shù)刂形?2時(shí)，甲樓的影子剛好不落到乙樓上，則兩樓間距的長(zhǎng)為_(kāi)________米．(2)當(dāng)?shù)叵挛?4時(shí)，物高與影長(zhǎng)的比是．如圖2，甲樓的影子有一部分落在乙樓上，求落在乙樓上的影子的長(zhǎng)．28．用棱長(zhǎng)為的若干小正方體按如所示的規(guī)律在地面上搭建若干個(gè)幾何體．圖中每個(gè)幾何體自上而下分別叫第一層、第二層，，第層（為正整數(shù))

（1）搭建第④個(gè)幾何體的小立方體的個(gè)數(shù)為．（2）分別求出第②、③個(gè)幾何體的所有露出部分（不含底面）的面積．（3）為了美觀，若將幾何體的露出部分都涂上油漆（不含底面），已知噴涂需要油漆克，求噴涂第個(gè)幾何體，共需要多少克油漆？29．甲、乙、丙三個(gè)學(xué)習(xí)小組于同一時(shí)刻在陽(yáng)光下對(duì)校園中一些物體進(jìn)行了測(cè)量，下面是他們通過(guò)測(cè)量得到的一些信息：甲組：如圖①，測(cè)得一根直立于平地、長(zhǎng)為80cm的竹竿的影長(zhǎng)為60cm．乙組：如圖②，測(cè)得學(xué)校旗桿的影長(zhǎng)為900cm．丙組：如圖③，測(cè)得校園景燈？（燈罩視為圓柱體，燈桿粗細(xì)忽略不計(jì)）的燈罩部分影長(zhǎng)為90cm，燈桿被陽(yáng)光照射到的部分長(zhǎng)為50cm，未被照射到的部分長(zhǎng)為32cm．(1)請(qǐng)你根據(jù)甲、乙兩組得到的信息計(jì)算出學(xué)校旗桿的高度．(2)請(qǐng)根據(jù)甲、丙兩組得到的信息，解答下列問(wèn)題：①求燈罩底面半徑的長(zhǎng)；②求從正面看燈罩得到的圖形的面積和從上面看燈罩得到的圖形的面積．30．操作與研究：如圖，被平行于的光線照射，于D，在投影面上．

(1)指出圖中線段的投影是______，線段的投影是______．(2)問(wèn)題情景：如圖1，中，，，我們可以利用與相似證明，這個(gè)結(jié)論我們稱之為射影定理，請(qǐng)證明這個(gè)定理．(3)拓展運(yùn)用如圖2，正方形的邊長(zhǎng)為15，點(diǎn)O是對(duì)角線、的交點(diǎn)，點(diǎn)E在上，過(guò)點(diǎn)C作，垂足為F，連接：①試?yán)蒙溆岸ɡ碜C明；②若，求的長(zhǎng)．

第五章投影與視圖知識(shí)歸納與題型突破（八類題型清單）01思維導(dǎo)圖01思維導(dǎo)圖0202知識(shí)速記一、投影投影現(xiàn)象物體在光線的照射下，會(huì)在地面或其他平面上留下它的影子，這就是投影現(xiàn)象.影子所在的平面稱為投影面.2.中心投影

手電筒、路燈和臺(tái)燈的光線可以看成是從一點(diǎn)發(fā)出的，這樣的光線照射在物體上所形成的投影，稱為中心投影.相應(yīng)地，我們會(huì)得到兩個(gè)結(jié)論：(1)等高的物體垂直地面放置時(shí)，如圖1所示，在燈光下，離點(diǎn)光源近的物體它的影子短，離點(diǎn)光源遠(yuǎn)的物體它的影子長(zhǎng).

(2)等長(zhǎng)的物體平行于地面放置時(shí)，如圖2所示.一般情況下，離點(diǎn)光源越近，影子越長(zhǎng)；離點(diǎn)光源越遠(yuǎn)，影子越短，但不會(huì)比物體本身的長(zhǎng)度還短.

在中心投影的情況下，還有這樣一個(gè)重要結(jié)論：點(diǎn)光源、物體邊緣上的點(diǎn)以及它在影子上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在同一條直線上，根據(jù)其中兩個(gè)點(diǎn)，就可以求出第三個(gè)點(diǎn)的位置.

要點(diǎn)：

光源和物體所處的位置及方向影響物體的中心投影，光源或物體的方向改變，則該物體的影子的方向也發(fā)生變化，但光源、物體的影子始終分離在物體的兩側(cè).3.平行投影

1.平行投影的定義：太陽(yáng)光線可看成平行光線，平行光線所形成的投影稱為平行投影.相應(yīng)地，我們會(huì)得到兩個(gè)結(jié)論：

①等高的物體垂直地面放置時(shí)，如圖1所示，在太陽(yáng)光下，它們的影子一樣長(zhǎng).

②等長(zhǎng)的物體平行于地面放置時(shí)，如圖2所示，它們?cè)谔?yáng)光下的影子一樣長(zhǎng)，且影長(zhǎng)等于物體本身的長(zhǎng)度.

2.物高與影長(zhǎng)的關(guān)系①在不同時(shí)刻，同一物體的影子的方向和大小可能不同.不同時(shí)刻，物體在太陽(yáng)光下的影子的大小在變，方向也在改變，就北半球而言，從早晨到傍晚，物體影子的指向是：西→西北→北→東北→東，影長(zhǎng)也是由長(zhǎng)變短再變長(zhǎng).②在同一時(shí)刻，不同物體的物高與影長(zhǎng)成正比例.

即：.

利用上面的關(guān)系式可以計(jì)算高大物體的高度，比如旗桿的高度等.

注意：利用影長(zhǎng)計(jì)算物高時(shí)，要注意的是測(cè)量?jī)晌矬w在同一時(shí)刻的影長(zhǎng).

要點(diǎn)：1．平行投影是物體投影的一種，是在平行光線的照射下產(chǎn)生的.利用平行投影知識(shí)解題要分清不同時(shí)刻和同一時(shí)刻.

2．物體與影子上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線是平行的就說(shuō)明是平行光線.4、正投影如圖所示，圖(1)中的投影線集中于一點(diǎn)，形成中心投影；圖(2)(3)中，投影線互相平行，形成平行投影；圖(2)中，投影線斜著照射投影面；圖(3)中投影線垂直照射投影面(即投影線正對(duì)著投影面)，我們也稱這種情形為投影線垂直于投影面.像圖(3)這樣，當(dāng)平行光線與投影面垂直時(shí)，這種投影稱為正投影.要點(diǎn)：正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影.

二、中心投影與平行投影的區(qū)別與聯(lián)系1.區(qū)別：（1）太陽(yáng)光線是平行的，故太陽(yáng)光下的影子長(zhǎng)度都與物體高度成比例；燈光是發(fā)散的，燈光下的影子與物體高度不一定成比例.

（2）同一時(shí)刻，太陽(yáng)光下影子的方向總是在同一方向，而燈光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向.2.聯(lián)系：（1）中心投影、平行投影都是研究物體投影的一種，只不過(guò)平行投影是在平行光線下所形成的投影，通常的平行光線有太陽(yáng)光線、月光等，而中心投影是從一點(diǎn)發(fā)出的光線所形成的投影，通常狀況下，燈泡的光線、手電筒的光線等都可看成是從某一點(diǎn)發(fā)射出來(lái)的光線.

（2）在平行投影中，同一時(shí)刻改變物體的方向和位置，其投影也跟著發(fā)生變化；在中心投影中，同一燈光下，改變物體的位置和方向，其投影也跟著發(fā)生變化.在中心投影中，固定物體的位置和方向，改變燈光的位置，物體投影的方向和位置也要發(fā)生變化.

要點(diǎn)：在解決有關(guān)投影的問(wèn)題時(shí)必須先判斷準(zhǔn)確是平行投影還是中心投影，然后再根據(jù)它們的具體特點(diǎn)進(jìn)一步解決問(wèn)題.

三、視圖1.三視圖

（1）視圖：用正投影的方法繪制的物體在投影面上的圖形，稱為物體的視圖.

（2）三視圖

在實(shí)際生活和工程中，人們常常從正面、左面和上面三個(gè)不同方向觀察一個(gè)物體，分別得到這個(gè)物體的三個(gè)視圖.通常我們把從正面得到的視圖叫做主視圖，從左面得到的視圖叫做左視圖，從上面得到的視圖叫做俯視圖.主視圖、左視圖、俯視圖叫做物體的三視圖.

2.三視圖之間的關(guān)系（1）位置關(guān)系

一般地，把俯視圖畫在主視圖下面，把左視圖畫在主視圖右面，如圖(1)所示.

（2）大小關(guān)系

三視圖之間的大小是相互聯(lián)系的，遵循主視圖與俯視圖的長(zhǎng)對(duì)正，主視圖與左視圖的高平齊，左視圖與俯視圖的寬相等的原則.如圖(2)所示.

要點(diǎn)：三視圖把物體的長(zhǎng)、寬、高三個(gè)方面反映到各個(gè)視圖上，具體地說(shuō)，主視圖反映物體的長(zhǎng)和高；俯視圖反映物體的長(zhǎng)和寬，左視圖反映物體的高和寬，抓住這些特征能為畫物體的三視圖打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).3.畫幾何體的三視圖畫一個(gè)幾何體的三視圖時(shí)，要從三個(gè)方面觀察幾何體，具體畫法如下：

(1)確定主視圖的位置，畫出主視圖；

(2)在主視圖的正下方畫出俯視圖，注意與主視圖“長(zhǎng)對(duì)正”；

(3)在主視圖的正右方畫出左視圖，注意與主視圖“高平齊”，與俯視圖“寬相等”.

幾何體上被其他部分遮擋而看不見(jiàn)的部分的輪廓線要畫成虛線.

要點(diǎn)：畫一個(gè)幾何體的三視圖，關(guān)鍵是把從正面、上方、左邊三個(gè)方向觀察時(shí)所得的視圖畫出來(lái)，所以，首先要注意觀察時(shí)視線與觀察面垂直，即觀察到的平面圖是該圖的正投影；其二，要注意正確地用虛線表示看不到的輪廓線；其三，要充分發(fā)揮想象，多實(shí)踐，多與同學(xué)交流探討，多總結(jié)；最后，按三視圖的位置和大小要求從整體上畫出幾何體的三視圖.4.由三視圖想象幾何體的形狀

由三視圖想象幾何體的形狀，首先應(yīng)分別根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象主體圖的前面、上面和左側(cè)面，然后綜合起來(lái)考慮整體圖形.

要點(diǎn)：由物體的三視圖想象幾何體的形狀有一定的難度，可以從如下途徑進(jìn)行分析：(1)根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側(cè)面的形狀以及幾何體的長(zhǎng)、寬、高；(2)根據(jù)實(shí)線和虛線想象幾何體看得見(jiàn)和看不見(jiàn)的輪廓線；(3)熟記一些簡(jiǎn)單的幾何體的三視圖會(huì)對(duì)復(fù)雜幾何體的想象有幫助；(4)利用由三視圖畫幾何體與由幾何體畫三視圖為互逆過(guò)程，反復(fù)練習(xí)，不斷總結(jié)方法.0303題型歸納題型一平行投影1．下列光線所形成的投影是平行投影的是（

）A．太陽(yáng)光線 B．臺(tái)燈的光線 C．手電筒的光線 D．路燈的光線【答案】A【分析】判斷投影是平行投影的方法是看光線是否是平行的，如果光線是平行的，所得到的投影就是平行投影．【解析】解：四個(gè)選項(xiàng)中只有太陽(yáng)光可認(rèn)為是平行光線；故太陽(yáng)光線下形成的投影是平行投影．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行投影，解題關(guān)鍵是看光線是否是平行的.鞏固訓(xùn)練2．下圖中各投影是平行投影的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平行投影定義即可判斷．【解析】解：只有C中的投影線是平行的，且影子長(zhǎng)度與原物體長(zhǎng)度比一致．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行投影的知識(shí)，牢記平行投影的定義是解題的關(guān)鍵．3．如圖，一束太陽(yáng)光線平行照射在放置于地面的正五邊形，若，則（）

A．56° B．66° C．72° D．76°【答案】B【分析】根據(jù)正五邊形得到，利用三角形內(nèi)角和求出的度數(shù)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出．【解析】解：如圖，延長(zhǎng)和分別交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G和I，

∵六邊形是正五邊形，∴，∴，∴，由平行光線知，；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查平行投影的性質(zhì)、多邊形外角性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，構(gòu)造三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．題型二中心投影4．下列現(xiàn)象屬于中心投影的有（）（1）小孔成像；

（2）皮影戲；

（3）手影；

（4）放電影．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】本題考查中心投影的定義，中心投影：把關(guān)由一點(diǎn)向外散射形成的投影，根據(jù)中心投影定義，結(jié)合日常生活中的場(chǎng)景即可得到小孔成像；皮影戲；手影；放電影均為中心投影，熟記中心投影的定義及生活中常見(jiàn)的中心投影場(chǎng)景是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【解析】解：由中心投影定義可知，（1）小孔成像；（2）皮影戲；（3）手影；（4）放電影均為中心投影，故選：D．鞏固訓(xùn)練5．當(dāng)你走在路燈下，越來(lái)越接近路燈時(shí)，你的影子的長(zhǎng)是如何變化（

）A．變長(zhǎng) B．變短 C．不變 D．無(wú)法確定【答案】B【分析】根據(jù)中心投影的性質(zhì)，燈光下影子與物體離燈源距離有關(guān)，從而得出答案．【解析】解：燈光下，涉及中心投影，根據(jù)中心投影的特點(diǎn)燈光下影子與物體離燈源距離有關(guān)，你走在路燈下，越來(lái)越接近路燈時(shí)，你的影子的長(zhǎng)是變短．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了中心投影的特點(diǎn)和規(guī)律．中心投影的特點(diǎn)是：①等高的物體垂直地面放置時(shí)，在燈光下，離點(diǎn)光源近的物體它的影子短，離點(diǎn)光源遠(yuǎn)的物體它的影子長(zhǎng)；②等長(zhǎng)的物體平行于地面放置時(shí)，在燈光下，離點(diǎn)光源越近，影子越長(zhǎng)；離點(diǎn)光源越遠(yuǎn)，影子越短．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是一個(gè)光源．木桿兩端的坐標(biāo)分別為，．則木桿在x軸上的投影長(zhǎng)為（

）

A． B． C．5 D．6【答案】D【分析】延長(zhǎng)、分別交軸于、，作軸于，交于，證明，得到，即可求解．【解析】解：延長(zhǎng)、分別交軸于、，作軸于，交于，如圖，，，．，，，，，，即，，故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查了中心投影：中心投影的光線特點(diǎn)是從一點(diǎn)出發(fā)的投射線．物體與投影面平行時(shí)的投影是放大（即位似變換）的關(guān)系．題型三正投影7．物體正投影的形狀、大小與它相對(duì)于投影面的位置有關(guān)．一個(gè)三角板的正投影不可能是（

）A．一條線段 B．一個(gè)與原三角板全等的三角形C．一個(gè)等腰三角形 D．一個(gè)小圓點(diǎn)【答案】D【分析】由三角板所在的平面與投影光線的關(guān)系逐一分析可得答案．【解析】解：當(dāng)三角板所在的平面與投影光線平行時(shí)，可得投影是一條線段，故A不符合題意；當(dāng)三角板所在的平面與投影光線垂直時(shí)，可得投影是一個(gè)與原三角板全等的三角板，故B不符合題意；當(dāng)三角板所在的平面與投影光線成一定的角度時(shí)，可得投影是一個(gè)變形的三角板，可能為等腰三角形，不可能是一個(gè)點(diǎn)，故C不符合題意；D符合題意；故選D【點(diǎn)睛】本題考查的是投影的含義，理解物體正投影的形狀、大小與它相對(duì)于投影面的位置有關(guān)是解本題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練8．把一個(gè)正六棱柱如圖水平放置，一束水平方向的平行光線照射此正六棱柱時(shí)的正投影是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正投影的特點(diǎn)及圖中正六棱柱的擺放位置即可直接得出答案．【解析】解：把一個(gè)正六棱柱如圖擺放，一束水平方向的平行光線照射此正六棱柱時(shí)的正投影是矩形．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正投影的性質(zhì)，一個(gè)幾何體在一個(gè)平面上的正投影是一個(gè)平面圖形．9．幻燈機(jī)是教師常用的教具之一，它能把精致的圖片投到銀幕上，如圖，在與中，下列結(jié)論一定正確的是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)投影的性質(zhì)：投影后的圖像與投影前的圖像相似，逐個(gè)判斷即可得到答案；【解析】解：由題意可得，，∴，故A錯(cuò)誤，，故B正確，，故C，D不一定成立，故選B；【點(diǎn)睛】本題考查投影的性質(zhì)：投影后的圖像與投影前的圖像相似．10．如圖，一塊含角的直角三角形木板，將它的直角頂點(diǎn)放置于直線上，點(diǎn)，點(diǎn)在直線上的正投影分別是點(diǎn)，點(diǎn)，若，，則在直線上的正投影的長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，可得，求出的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理可得的長(zhǎng)；通過(guò)證明，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得的長(zhǎng)，進(jìn)而得出的長(zhǎng)．【解析】解：在中，，，，，在中，，，，，，，，，即在直線上的正投影的長(zhǎng)是，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行投影，掌握相似三角形的判斷與性質(zhì)以及勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．題型四視點(diǎn)、視角和盲區(qū)11．如圖，從點(diǎn)觀測(cè)建筑物的視角是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)視角的定義，由物體兩端射出的兩條光線在眼球內(nèi)交叉而成的角，即可判斷．【解析】如圖所示，根據(jù)視角的定義，建筑物兩端發(fā)出的光線在眼球內(nèi)交叉的角為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了視角的定義，解題的關(guān)鍵是熟悉并掌握視角的定義．鞏固訓(xùn)練12．如圖，在房子屋檐E處安有一臺(tái)監(jiān)視器，房子前有一面落地的廣告牌，那么監(jiān)視器的盲區(qū)是（）

A． B． C． D．四邊形【答案】C【分析】解答此題首先要了解盲區(qū)的定義，視線覆蓋不到的地方即為該視點(diǎn)的盲區(qū)，由圖知，是視點(diǎn)，找到在點(diǎn)處看不到的區(qū)域即可．【解析】解：由圖知：在視點(diǎn)的位置，看不到段，因此監(jiān)視器的盲區(qū)在所在的區(qū)域，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了投影和視圖的概念，解答此類問(wèn)題，首先要確定視點(diǎn)，然后再根據(jù)盲區(qū)的定義進(jìn)行判斷．13．如圖1為五角大樓的示意圖，圖2是它的俯視圖，小紅站在地面上觀察這個(gè)大樓，若想看到大樓的兩個(gè)側(cè)面，則小紅應(yīng)站的區(qū)域是（

）A．A區(qū)域 B．B區(qū)域 C．C區(qū)域 D．三區(qū)域都可以【答案】C【分析】根據(jù)視點(diǎn)，視角和盲區(qū)的定義，觀察圖形，選出答案．【解析】由圖可知，A區(qū)域可以看到一個(gè)側(cè)面，B區(qū)域可以看到三個(gè)側(cè)面，C區(qū)域可以看到兩個(gè)側(cè)面.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查的是視點(diǎn)，視角和盲區(qū)在實(shí)際中的應(yīng)用，比較基礎(chǔ)，難度不大．題型五三視圖14．如圖所示幾何體的俯視圖是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)俯視圖的定義，從上往下看到的幾何圖形是俯視圖即可判斷．【解析】解：從幾何體上面看，是一排三個(gè)小正方形．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單組合體的三視圖，理解視圖的意義，掌握三視圖的畫法是得出正確答案的前提．鞏固訓(xùn)練15．水平地面上放著1個(gè)球和1個(gè)圓柱體，擺放方式如圖所示，其左視圖是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】找到從左面看所得到的圖形即可．【解析】從左邊看時(shí)，球是一個(gè)圓，圓柱是一個(gè)矩形，圓在矩形的中間，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖的知識(shí)，左視圖是從物體的左面看得到的視圖．16．如圖是某組合體的三視圖，則該組合體是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根據(jù)三視圖分別判斷出兩部分的幾何體．【解析】解：根據(jù)正視圖和俯視圖可知，組合體上部分為一個(gè)圓柱體，根據(jù)俯視圖和左視圖可知，組合體下部分為一個(gè)長(zhǎng)方體，故該組合體是有一個(gè)圓柱和長(zhǎng)方體組合而成，選項(xiàng)A滿足，

故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了組合體的三視圖，解題的關(guān)鍵是掌握常見(jiàn)的幾何體的三視圖的特征，比如圓柱，圓錐之類．題型六由三視圖求體積和表面積17．如圖，一個(gè)長(zhǎng)方體從正面、上面看到的圖形如圖所示，則這個(gè)長(zhǎng)方體的體積等于（

）

A．18 B．12 C．9 D．6【答案】D【分析】由主視圖和俯視圖知，該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為3、寬為1、高為2，根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式即可得．【解析】解：由主視圖和俯視圖知，該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為3、寬為1、高為2，則這個(gè)長(zhǎng)方體的體積為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查由三視圖判斷幾何體，解題的關(guān)鍵是熟練掌握長(zhǎng)方體的三視圖，并根據(jù)三視圖得出其長(zhǎng)、寬、高．鞏固訓(xùn)練18．如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體的側(cè)面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】易得圓錐的底面直徑為6，母線長(zhǎng)為3cm，根據(jù)圓錐的側(cè)面積=π×底面半徑×母線長(zhǎng)，把相應(yīng)數(shù)值代入即可求解．【解析】解：根據(jù)三視圖知：此幾何體為圓錐，且底面直徑為6，母線長(zhǎng)為8，所以圓錐的側(cè)面積=πrl=π×3×8=24π，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖判斷幾何體及圓錐的計(jì)算的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是能夠確定幾何體的形狀，難度不大．19．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是（結(jié)果保留π）．

【答案】【分析】由三視圖可知該幾何體是個(gè)半圓柱，且半圓柱的底面半徑是2，高是4，根據(jù)表面積的計(jì)算公式求解即可．【解析】解：故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是一道由三視圖求幾何體的表面積的題目，關(guān)鍵是由三視圖判斷出幾何體的形狀．題型七由三視圖判斷正方體個(gè)數(shù)最少或最多問(wèn)題20．小立方塊搭一個(gè)幾何體，使它的主視圖和俯視圖如圖所示，它最少需要（

）個(gè)小立方塊？

A．11 B．10 C．9 D．8【答案】B【分析】根據(jù)俯視圖可知第一層有6個(gè)小立方塊，根據(jù)主視圖判斷出第二層和第三層小立方塊的最少個(gè)數(shù)即可得解．【解析】解：根據(jù)俯視圖可知第一層有6個(gè)小立方塊，根據(jù)主視圖可知第二層最少有3個(gè)小立方塊，第三層最少有1個(gè)小立方塊，即最少需要10個(gè)小立方塊，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生對(duì)三視圖的掌握程度和靈活運(yùn)用能力，同時(shí)也體現(xiàn)了對(duì)空間想象能力方面的考查．鞏固訓(xùn)練21．某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)探究用相同的小立方塊搭成幾何體的三視圖及其變化規(guī)律，下面是他們畫出的左視圖與俯視圖．由此可知，搭這個(gè)幾何體時(shí)，最多需要的小立方塊的個(gè)數(shù)是（

）．A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【分析】根據(jù)題意可在俯視圖的每個(gè)小正方形上填寫此處可用最多的小立方塊的個(gè)數(shù)，即可解答．【解析】由左視圖和俯視圖可知用最多的小立方塊可搭成的幾何體如圖，∴最多需要的小立方塊的個(gè)數(shù)是3+1+1+2+2=9（塊）．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查已知三視圖求搭建組合體所用最多的小立方塊的個(gè)數(shù)．掌握三視圖之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．22．用相同的小立方體搭一個(gè)幾何體，從正面、上面看到的形狀圖如圖所示，從上面看到的形狀圖中小正方形的字母表示在該位置上小立方體的個(gè)數(shù)，那么這樣的幾何體最多由幾個(gè)小立方體搭成，最少由幾個(gè)小立方體搭成．【答案】119【分析】根據(jù)主視圖、俯視圖的形狀以及相應(yīng)位置所擺放的小正方體的數(shù)量，判斷最多、最少時(shí)的總個(gè)數(shù)即可．【解析】解：根據(jù)主視圖、俯視圖的形狀以及相應(yīng)位置所擺放的小正方體的數(shù)量可知，最多時(shí)：d、e、f都是2；b、c都是1；a是3，因此小正方體最多共有3+1+1+2+2+2＝11（個(gè)）；最少時(shí)：d、e、f中只有一個(gè)是2，其余是1；b、c都是1；a是3，因此小正方體最少共有3+1+1+2+1+1＝9（個(gè)），故答案為：11，9【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單組合體的三視圖，理解視圖的定義，掌握簡(jiǎn)單組合體的三視圖的畫法是正確判斷的關(guān)鍵．題型八投影與視圖綜合解答題23．有若干個(gè)完全相同的小正方體堆成的一個(gè)幾何體，如圖所示．請(qǐng)?jiān)诜礁窦埳袭嫵鏊娜晥D．【答案】見(jiàn)解析【分析】從正面看有3列，左邊一列有3個(gè)，中間一列有1個(gè)，右邊一列有2個(gè)；從左面看有3列，左邊一列有3個(gè)，中間一列有2個(gè)，右邊一列有1個(gè)；從上面看有3列，左邊一列有3個(gè)，中間一列有2個(gè)，右邊一列有1個(gè)．【解析】如圖所示：【點(diǎn)睛】此題主要考查了作圖--三視圖，關(guān)鍵是掌握三視圖所看的位置．從正面看到的圖是主視圖，從上面看到的圖形是俯視圖，從左面看到的圖形是左視圖，能看到的線畫實(shí)線，被遮擋的線畫虛線．鞏固訓(xùn)練24．由十個(gè)小立方體搭成的幾何體的俯視圖如圖所示，小正方形中的數(shù)字表示在該位置的小立方體的個(gè)數(shù)，請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中畫出從正面和左面看到的幾何體的形狀圖．

【答案】見(jiàn)解析【分析】利用俯視圖可得出幾何體的形狀，進(jìn)而利用主視圖以及左視圖的觀察角度得出不同視圖即可．【解析】解：如圖所示：【點(diǎn)睛】此題主要考查了三視圖以及由三視圖判斷幾何體的形狀，正確想象出幾何體的形狀是解題關(guān)鍵．25．陽(yáng)光明媚的天，實(shí)踐課上，亮亮準(zhǔn)備用所學(xué)的知識(shí)測(cè)量教學(xué)樓前一座假山AB的高度，如圖，亮亮在地面上的點(diǎn)F處，眼睛貼地觀察，看到假山頂端A、教學(xué)樓頂端C在一條直線上．此時(shí)他起身在F處站直，發(fā)現(xiàn)自己的影子末端和教學(xué)樓的影子末端恰好重合于點(diǎn)G處，測(cè)得米，亮亮的身高EF為1.6米．假山的底部B處因有花園圍欄，無(wú)法到達(dá)，但經(jīng)詢問(wèn)和進(jìn)行部分測(cè)量后得知，米，點(diǎn)D、B、F、G在一條直線上，，，，已知教學(xué)樓的高度為16米，請(qǐng)你求出假山的高度．

【答案】【分析】根據(jù)同一時(shí)刻，物高和影長(zhǎng)對(duì)應(yīng)成比例得到，求出的長(zhǎng)，進(jìn)而得到的長(zhǎng)，證明，列式求解即可．【解析】解：由題意，得：，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，即：，∴．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是證明三角形相似．26．已知下圖為一幾何體從三個(gè)方向看到的形狀圖．(1)寫出這個(gè)幾何體的名稱______；(2)畫出它的側(cè)面展開(kāi)圖；(3)根據(jù)圖中所給的數(shù)據(jù)，求這個(gè)幾何體的側(cè)面積．（結(jié)果保留）【答案】(1)圓柱(2)側(cè)面展開(kāi)圖見(jiàn)解析(3)這個(gè)幾何體的側(cè)面積為【分析】本題主要考查了三視圖、幾何體的側(cè)面展開(kāi)圖及幾何體的側(cè)面積計(jì)算方法，理解、看懂三視圖是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)三視圖的特征即可得出幾何體；（2）根據(jù)圓柱體的特征，側(cè)面展開(kāi)為一個(gè)長(zhǎng)方形，即可獲得答案；（3）根據(jù)三視圖可知：底面圓的直徑為，圓柱的高為，根據(jù)圓柱側(cè)面積的計(jì)算公式即可求得答案．【解析】（1）解：根據(jù)題目中已知的三視圖符合圓柱體的三視圖特征，故這個(gè)幾何體為圓柱．故答案為：圓柱；（2）側(cè)面展開(kāi)圖如圖所示：（3）根據(jù)三視圖可知：底面圓的直徑為，圓柱的高為，∴這個(gè)幾何體的側(cè)面積為：答：這個(gè)幾何體的側(cè)面積為．27．甲、乙兩棟樓的位置如圖所示，甲樓高16米．當(dāng)?shù)刂形?2時(shí)，物高與影長(zhǎng)的比是．

(1)如圖1，當(dāng)?shù)刂形?2時(shí)，甲樓的影子剛好不落到乙樓上，則兩樓間距的長(zhǎng)為_(kāi)________米．(2)當(dāng)?shù)叵挛?4時(shí)，物高與影長(zhǎng)的比是．如圖2，甲樓的影子有一部分落在乙樓上，求落在乙樓上的影子的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)米【分析】（1）根據(jù)物高與影長(zhǎng)的比是列出比例式解答即可；（2）作于點(diǎn)F，則，根據(jù)即可求解．【解析】（1）解：由題意得：，即，解得，故答案為：；（2）解：如圖，作于點(diǎn)F，

在中，，，物高與影長(zhǎng)的比是，，，，即落在乙樓上的影子的長(zhǎng)為米．【點(diǎn)睛】本題考查平行投影，根據(jù)物高與影長(zhǎng)的比得出相關(guān)比例式是解題的關(guān)鍵．28．用棱長(zhǎng)為的若干小正方體按如所示的規(guī)律在地面上搭建若干個(gè)幾何體．圖中每個(gè)幾何體自上而下分別叫第一層、第二層，，第層（為正整數(shù))

（1）搭建第④個(gè)幾何體的小立方體的個(gè)數(shù)為．（2）分別求出第②、③個(gè)幾何體的所有露出部分（不含底面）的面積．（3）為了美觀，若將幾何體的露出部分都涂上油漆（不含底面），已知噴涂需要油漆克，求噴涂第個(gè)幾何體，共需要多少克油漆？【答案】（1）；（2）第②個(gè)幾何體露出部分（不含底面）面積為，第③個(gè)幾何體露出部分（不含底面）面積為；（3）克．【分析】（1）歸納出前3個(gè)幾何體的規(guī)律即可得；（2）分別畫出兩個(gè)幾何體的三視圖，再根據(jù)四個(gè)側(cè)面和向上的面的小正方形的個(gè)數(shù)即可得；（3）先根據(jù)（1）的