2024-2025學年新教材高中數(shù)學課時素養(yǎng)評價一第一章空間向量與立體幾何1.1.1.1空間向量的概念及其線性運算含解析新人教B版選擇性必修第一冊

PAGE一空間向量的概念及其線性運算(15分鐘30分)1．下列命題中為真命題的是()A．向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BA,\s\up6(→))的長度相等B．將空間中全部的單位向量移到同一個起點，則它們的終點構成一個圓C．空間向量就是空間中的一條有向線段D．不相等的兩個空間向量的模必不相等【解析】選A.對于選項B，其終點構成一個球面；對于選項C，零向量不能用有向線段表示；對于選項D，向量a與向量b不相等，未必它們的模不相等．2．空間四邊形ABCD中，M，G分別是BC，CD的中點，則eq\o(MG,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝()A．2eq\o(DB,\s\up6(→))B．3eq\o(MG,\s\up6(→))C．3eq\o(GM,\s\up6(→))D．2eq\o(MG,\s\up6(→))【解析】選B.eq\o(MG,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(MG,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(MG,\s\up6(→))＋2eq\o(MG,\s\up6(→))＝3eq\o(MG,\s\up6(→)).3．如圖所示，點D是空間四邊形OABC的邊BC的中點，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，則eq\o(AD,\s\up6(→))為()A．eq\f(1,2)(a＋b)－cB．eq\f(1,2)(c＋a)－bC．eq\f(1,2)(b＋c)－aD．a(chǎn)＋eq\f(1,2)(b＋c)【解析】選C.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝－a＋eq\f(1,2)(b＋c).4．如圖所示，在三棱柱ABC-A′B′C′中，eq\o(AC,\s\up6(→))與是________向量(用“相等”“相反”填空)，eq\o(AC,\s\up6(→))與是______向量(用“共面”“不共面”填空).【解析】依據(jù)三棱柱的性質(zhì)，AC∥A′C′，AC＝A′C′，所以eq\o(AC,\s\up6(→))與是相反向量，又AB∥A′B′，所以eq\o(AC,\s\up6(→))與是共面對量．答案：相反共面5．如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，＝c，M是D1D的中點，點N是AC1上的點，且eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)，用a，b，c表示向量eq\o(MN,\s\up6(→)).【解析】因為M是D1D的中點，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)－eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)＝－eq\f(1,2)－eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,6)＝eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)b－eq\f(1,6)c.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分，共20分)1．在空間四邊形OABC中，eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))等于()A．eq\o(OA,\s\up6(→))B．eq\o(AB,\s\up6(→))C．eq\o(OC,\s\up6(→))D．eq\o(AC,\s\up6(→))【解析】選C.依據(jù)向量的加法、減法法則，得eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→)).2．設有四邊形ABCD，O為空間隨意一點，且eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，則四邊形ABCD是()A．平行四邊形B．空間四邊形C．等腰梯形D．矩形【解析】選A.因為eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)).所以AB∥DC且|AB|＝|DC|.所以四邊形ABCD為平行四邊形．【誤區(qū)警示】解答本題易忽視線段平行而無法推斷四邊形的形態(tài)．3．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M為A1C1的中點，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，＝c，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，則eq\o(BM,\s\up6(→))可表示為()A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cB．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋cD．eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c【解析】選A.eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋＋＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋＋eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.4.如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點．若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，AA1＝c，則下列向量中與eq\o(BM,\s\up6(→))相等的向量是()A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cB．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋cD．eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c【解析】選A.由題意，eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋＋＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋＋eq\f(1,2)＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋－eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.【補償訓練】平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M為AC與BD的交點，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，＝c，則下列式子中與相等的是()A．eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b－cB．eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋cC．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cD．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c【解析】選A.因為平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M為AC與BD的交點，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，＝c，所以＝＋eq\o(DM,\s\up6(→))＝＋eq\f(1,2)(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝－c－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)a＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b－c.二、多選題(每小題5分，共10分，全部選對得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分)5．已知λ，μ∈R，給出以下命題正確的是()A．λ<0，a≠0時，λa與a是相反向量B．λ≠0，a≠0時，λa與a是共線向量C．λμ>0，a≠0時，λa與μa的方向肯定相同D．λμ<0，a≠0時，λa與μa的方向肯定相反【解析】選BCD.λ<0，a≠0時，λa與a的方向相反，由于長度不肯定相等，故不肯定為相反向量，A不正確；由數(shù)乘的定義及性質(zhì)可知BCD均正確．6．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列各式運算的結果為的是()A．(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋B．(＋)＋C．(eq\o(AB,\s\up6(→))＋)＋D．(＋)＋【解析】選ABCD.依據(jù)空間向量的加法運算以及正方體的性質(zhì)逐一進行推斷．(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋＝；(＋)＋＝＋＝；(eq\o(AB,\s\up6(→))＋)＋1＝＋＝；(＋)＋＝＋＝．所以4個式子的運算結果都是．三、填空題(每小題5分，共10分)7．化簡eq\f(1,2)(a＋2b－3c)＋5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a－\f(1,2)b＋\f(2,3)c))－3(a－2b＋c)＝________．【解析】原式＝eq\f(1,2)a＋b－eq\f(3,2)c＋eq\f(10,3)a－eq\f(5,2)b＋eq\f(10,3)c－3a＋6b－3c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(10,3)－3))a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,2)＋6))b＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)＋\f(10,3)－3))c＝eq\f(5,6)a＋eq\f(9,2)b－eq\f(7,6)c.答案：eq\f(5,6)a＋eq\f(9,2)b－eq\f(7,6)c8．已知點P和不共線三點A，B，C四點共面且對于空間任一點O，都有eq\o(OP,\s\up6(→))＝－2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋λeq\o(OC,\s\up6(→))，則λ＝________．【解析】eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝－3eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋λeq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝－2eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝－2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋(λ－1)eq\o(OC,\s\up6(→))，因為P，A，B，C四點共面，所以存在m，n∈R使得eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(BP,\s\up6(→))＋neq\o(CP,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2m－2n＝－3，,n＝1，,n（λ－1）＋mλ＝λ，))解得m＝eq\f(1,2)，n＝1，λ＝2.答案：2四、解答題(每小題10分，共20分)9．如圖，P，Q分別為四邊形ABCD的對角線BD，AC的中點，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，向量a，b不共線，試用a，b表示向量eq\o(PQ,\s\up6(→)).【解析】因為P，Q分別為四邊形ABCD的對角線BD，AC的中點，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，向量a，b不共線，設G為CD中點，連接QG，PG，所以eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\o(PG,\s\up6(→))＋eq\o(GQ,\s\up6(→))，eq\o(GQ,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)b，eq\o(PG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a，所以eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b.10.空間四邊形ABCD中，E，H分別是AB，AD的中點，F(xiàn)，G分別在邊CB，CD上，且eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(CG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→))，求證：四邊形EFGH為梯形．【證明】依據(jù)題意，因為eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(AH,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)).又因為eq\o(AH,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))，①因為eq\o(FG,\s\up6(→))＝eq\o(CG,\s\up6(→))－eq\o(CF,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))，又因為eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(CG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→))，所以eq\o(FG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(BD,\s\up6(→)).②由①②得eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(FG,\s\up6(→))，所以eq\o(EH,\s\up6(→))∥eq\o(FG,\s\up6(→))，且|eq\o(EH,\s\up6(→))|≠|(zhì)eq\o(FG,\s\up6(→))|，又因為點F不在直線EH上，所以四邊形EFGH為梯形．1．如圖，四面體ABCD的每條棱長都等于2，點E，F(xiàn)分別為棱AB，AD的中點，則|eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))|＝________；|eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(EF,\s\up6(→))|＝________．【解析】取BD的中點H，連接AH，CH，因為四面體ABCD的每條棱長都等于2，點E，F(xiàn)分別為棱AB，AD的中點，所以AH⊥BD，CH⊥BD，所以AH∩CH＝H，所以BD⊥平面ACH，因為AC?平面AHC，所以AC⊥BD，過C作CG∥BD使CG＝EF，則eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(CG,\s\up6(→))，所以AC⊥CG且AC＝2，CG＝eq\f(1,2)BC＝1，所以|eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CG,\s\up6(→))|＝|eq\o(AG,\s\up6(→))|＝eq\r(5).因為點E，F(xiàn)分別為棱AB，AD的中點，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))，所以|eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(EF,\s\up6(→))|＝eq